冀教版数学八年级下册 正方形

第15讲正方形
一．教学目标
掌握正方形的性质和判定。

二．知识点梳理
1．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形．平行四边形．矩形．菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
2．正方形的判定
正方形的判定方法：
①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；
②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．
③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．
3．正方形的判定与性质
（1）正方形的性质：正方形具有平行四边形．矩形．菱形的所有性质．
（2）正方形的判定
正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定．
三．典型例题
例1 下列说法中正确的是（）
A．对角线相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形
B．对角线互相垂直且一组邻边相等的平行四边形是正方形
C．四个角都相等的菱形是正方形
D．对角线互相垂直平分且有一组邻边相等的四边形是正方形
例2 如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到E，使AE=AC，则∠BCE的大小是（）
A．67．5°B．22．5°C．30°D．45°
例3 如图，正方形ABCD中，AE=AB，直线DE交BC于点F，则∠BED的度数是（）
A．105°B．120°C．135°D．150°
例4 如图，正方形ABCD中，点E．F分别是BC．CD上的点，且CE=CF，点P．Q分别是AF．EF的中点，连接PD．PQ．DQ，则△PQD的形状是（）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰非直角三角形D．等腰直角三角形
例5 如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD
于点F，连接AP，EF．给出下列结论：①PD=EC；②四边形PECF的周长为8；③△APD 一定是等腰三角形；④AP=EF；⑤EF的最小值为2；⑥AP⊥EF．其中正确结论的序号为（）
A．①②④⑤⑥B．①②④⑤C．②④⑤D．②④⑤⑥
例6 如图，▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠OBC=∠OCB．
（1）求证：▱ABCD是矩形；
（2）请添加一个条件使矩形ABCD为正方形并说明理由．
例7 已知：如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD．BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．
（1）求证：BM=CM；
（2）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；
（3）当矩形ABCD的长和宽满足什么条件时，四边形MENF是正方形？为什么？
例8 如图，已知在正方形ABCD中，点E是BC边上的一点，F为AB延长线上一点，连结
AE．EF．CF，且满足△ABE≌△CBF．
（1）若∠BAE=20°，求∠EFC的度数；
（2）试判断AE与CF之间的位置关系，并说明理由．
四．课堂练习
1．下列判定正确的是（）
A．一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形
B．对角线相等且一组对边平行的四边形是矩形
C．对角线相等的矩形是正方形
D．有一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形
2．如图，在正方形ABCD中，点E在边BC上，点F在线段DE上，若AB=AF，则∠BFE=（）
A．45°B．30°C．60°D．55°
3．如图，面积为16的正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中E．F．G分别在AB．BC．FD 上．若BF=1，则小正方形的周长为（）
A．7 B．6 C．5 D．4
4．如图4，过正方形ABCD的顶点B作直线l，过A，C作直线l的垂线，垂足分别为E，F，
若AE=1，CF=3，则AB的长为（）
A．B．10 C．3 D．
5．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，分别以△ABC的边向外作正方形，连接EC．BF，过B 作BM⊥FG于M，交AC于N，下列结论：
=2S△AEC；③S四边形AFMN=2S△ABF；④S正方形ABDE=S四边形AFMN，其①△ABF≌△AEC；②S
四边形ABDE
中正确的是（）
A．①②B．①②③C．①D．①②③④
6．如图，已知E是正方形ABCD的边CD的中点，点F在BC上，且∠DAE=∠FAE，求证：AF=AD+CF．
7．如图，BD是边长为1的正方形ABCD的对角线，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC
到点F，使CF=CE，连接DF，交BE的延长线于点G．
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）求CF的长．
8．如图示，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上，EF与BD相交于点H，连接CF．
①求证：△DAE≌△DCF．
②求证：AH2=AE2+HF2．
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN与E，垂足为F，连接CD，BE．
（1）求证：CE=AD；
（2）当D在AB中点时，四边形CDBE是什么特殊四边形？说明理由；
（3）在满足（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形CDBE是正方形？请说明你的理由．
10．如图①，正方形ABCD中，M是AB的中点，E是延长线上一点．MN⊥DM，且交∠CBE
的平分线于N．
（1）若点F是AD的中点，求证：MD=MN；
（2）若将上述条件中的“M是AB的中点”改为“M是AB上的任意一点”，其它条件不变．如图②所示，则结论“MD=MN”是否成立．若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．
五．课后作业
1．在四边形ABCD中，两对角线交于点O，若OA=OB=OC=OD，则这个四边形（）A．可能不是平行四边形B．一定是菱形
C．一定是正方形D．一定是矩形
2．如图，在▱ABCD中，E为BC边上一点，以AE为边作正方形AEFG，若∠BAE=45°，∠CEF=15°，则∠D的度数是（）
A．55°B．60°C．65°D．70°
3．如图，在矩形ABCD内有一点F，FB与FC分别平分∠ABC和∠BCD，点E为矩形ABCD 外一点，连接BE，CE．现添加下列条件：
①EB∥CF，CE∥BF；②BE=CE，BE=BF；③BE∥CF，CE⊥BE；④BE=CE，CE∥BF，
其中能判定四边形BECF是正方形的共有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为（，1），则点C 的坐标为（）
A．（，1）B．（﹣1，）C．（，1）D．（﹣，﹣1）
5．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠DAE=67．5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为（）
A．1 B．C．4D．3
6．如图，正方形ABCD的边长为6，在各边上顺次截取AE=BF=CG=DH=4，则四边形EFGH 的面积是（）
A．14 B．16 C．18 D．20
7．如图，以Rt△ABC的斜边BC为边，在△ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连接AO．若AB=4，AO=6，则AC的长等于（）
A．12B．16 C．8+6D．4+6
8．如图，四边形ABCD与四边形OEFG都是正方形，O是正方形ABCD的中心，OE交BC 于点M，OG交CD于点N，下列结论：①△ODG≌△OCE；②GD=CE；③OG⊥CE；④若正方形ABCD的边长为2，则四边形OMCN的面积等于1，其中正确的结论有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．如图，四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，且BC=CD，CE=CG，∠BCD=∠GCE=90°．（1）求证：△BCG≌△DCE；
（2）求证：BG⊥DE．
10．已知：如图，正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE⊥AP，DF⊥AP，垂足分别是点E．F．（1）求证：EF=AE﹣BE；
（2）连接BF，若AD=5，AF=3，求BF的长．
11．已知：如图，在矩形ABCD中，M．N分别是AD．BC的中点，P．Q分别是BM．DN 的中点．
（1）求证：BM∥DN；
（2）求证：四边形MPNQ是菱形；
（3）矩形ABCD的边长AB与AD满足什么数量关系时四边形MPNQ为正方形，请说明理由．
12．已知：在正方形ABCD和正方形DEFG中，顶点B．D．F在同一直线上，H是BF的中点．
（1）如图①，若AB=1，DG=2，求BH的长；
（2）如图②，连接AH．GH，求证：AH=GH且AH⊥GH．
13．如图，在正方形ABCD中，点F是BC延长线上一点，BE⊥DF，垂足为E，BE交CD于点G．
（1）求证：BG=DF；
（2）求证：EF+EG=CE．
14．如图，正方形ABCD中，AB=4，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE．EF为邻边作矩形DEFG，连接AG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）求AG+AE的值；
（3）若F恰为AB中点，连接DF交AC于点M，请直接写出ME的长．
15．（1）如图1的正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°，延长CD到点G，使DG=BE，连接EF，AG．求证：EF=FG；
（2）如图2，等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点M，N在边BC上，且∠MAN=45°．若BM=1，CN=3，求MN的长．
16．如图，正方形ABCD中，点E是BC延长线上一点，连接DE，过点B作BF⊥DE于点F，连接FC．
（1）求证：∠FBC=∠CDF；
（2）作点C关于直线DE的对称点G，连接CG，FG，猜想线段DF，BF，CG之间的数量关系，并证明你的结论．。