苏教版高中数学选修空间向量及其运算知能优化训练

1．给出下列命题：
①将空间中所有的单位向量的起点移到同一个点，则它们的终点构成一个圆； ②若空间向量a 、b 满足|a |＝|b |，则a ＝b ；
③若空间向量m 、n 、p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ； ④空间中任意两个单位向量必相等； ⑤零向量没有方向．
其中假命题的个数是__________． 解析：只有③正确． 答案：4
2．化简：(AB →－CD →)－(AC →－BD →
)＝__________.
解析：法一：将向量减法转化为向量加法进行化简． (AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝AB →－CD →－AC →＋BD →＝AB →＋DC →＋CA →＋BD →＝(AB →＋BD →)＋(DC →＋CA →)＝AD →＋DA →
＝0.
法二：利用AB →－AC →＝CB →，DC →－DB →＝BC →
进行化简． (AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝AB →－CD →－AC →＋BD →＝(AB →－AC →)＋(DC →－DB →)＝CB →＋BC →
＝0.
法三：利用MN →＝ON →－OM →
的关系进行化简． 设O 为平面内任意一点，则有 (AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝AB →－CD →－AC →＋BD →＝(OB →－OA →)－(OD →－OC →)－(OC →－OA →)＋(OD →－OB →)＝OB →－OA →－OD →＋OC →－OC →＋OA →＋OD →－OB →
＝0.
答案：0
3．四边形ABCD 中，O 为空间任意一点，且AO →＋OB →＝DO →＋OC →
，则四边形ABCD 是__________．
解析：由AO →＋OB →＝DO →＋OC →，有AB →＝DC →
，故有
AB DC ，则四边形ABCD 是平行四边形．
答案：平行四边形 4.
在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则向量D 1B →
可用a ，b ，c 表示为__________．
解析：如图，D 1B →＝－BD 1→＝－(BA →＋BC →＋BB 1→)＝AB →－BC →－BB 1→＝AB →－AD →－AA 1→
＝a －b －c .
答案：a －b －c
一、填空题 1.
//
如图，四棱柱的上底面ABCD 中，AB →＝DC →
，下列向量相等的一组是__________． (1)AD →与CB →；(2)OA →与DC →；(3)AC →与DB →；(4)DO →与OB →.
解析：∵AB →＝DC →，∴|AB →|＝|DC →
|，且AB ∥DC .即四边形ABCD 为平行四边形，由平行
四边形的性质知DO →＝OB →
.
答案：(4) 2.
如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算结果为向量AC 1→
的共有__________个．
①(AB →＋BC →)＋CC 1→；②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→；③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→；④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→. 解析：根据向量加、减法则以及正方体的性质逐一进行判断． ①(AB →＋BC →)＋CC 1→＝AC →＋CC 1→＝AC 1→；
②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→＝AD 1→＋D 1C 1→＝AC 1→； ③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→.
④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→.
∴四个式子的运算结果均为AC 1→
. 答案：4 3.
如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→
＝b ，A 1A →＝c ，则下列向量中与B 1M →
相等的向量是__________(填序号)．
①－12a ＋12b ＋c ；②12a ＋12b ＋c ；③12a －1
2b ＋c ；
④－12a －1
2
b ＋
c .
解析：B 1M →＝B 1B →＋BM →＝B 1B →＋12BD →＝B 1B →＋12(BA →＋BC →
)＝c ＋12(－a ＋b )＝－12a ＋12
b ＋
c .
答案：① 4.
如图，空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →
＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，
N 为BC 的中点，则MN →
等于__________．
解析：MN →＝ON →－OM →＝12(OB →＋OC →
)－23OA →＝12(b ＋c )－23a ＝－23a ＋12b ＋12
c .
答案：－23a ＋12b ＋1
2
c
5．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →
＝__________(用b ，c 表示)．
解析：
如图，在△ABC 中，AD →＝AB →＋BD →.又BD →＝2 DC →，∴BD →＝23
BC →
.
∵BC →＝AC →－AB →＝b －c ，∴AD →＝AB →＋23BC →
＝c ＋23(b －c )＝23b ＋13
c .
答案：23b ＋13c
6.
如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B →
＝__________.
解析：在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1 CC 1，∴AA 1→＝CC 1→
＝c . 又AB →＝CB →－CA →
＝b －a .
∴A 1B →＝AB →－AA 1→＝CB →－CA →－CC 1→
＝b －a －c ＝－a ＋b －c . 答案：－a ＋b －c
7．已知点M 是△ABC 的重心，则MA →＋MB →＋MC →
＝__________.
解析：设D 为AB 的中点，则MA →＋MB →＝2MD →
，
又M 为△ABC 的重心，则MC →＝－2MD →
，
所以MA →＋MB →＋MC →
＝0. 答案：0 8.
如图，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别在B 1B 和D 1D 上，且BE ＝1
3
BB 1，
DF ＝23
DD 1，若EF →＝x AB →＋y AD →＋z AA →
，则x ＋y ＋z ＝__________.
解析：在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，有
//
AA 1→＝BB 1→＝CC 1→，于是EF →＝AF →－AE →＝(AD →＋DF →)－(AB →＋BE →)
＝－AB →＋AD →＋23DD 1→－13
BB 1
→
＝－AB →＋AD →＋13
AA 1→，
又EF →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，
∴x ＝－1，y ＝1，z ＝1
3
.
∴x ＋y ＋z ＝1
3.
答案：13
二、解答题 9.
如图，在空间四边形A －BCD 中，点M 、G 分别是BC 、CD 的中点．
化简：(1)AB →＋12
(BC →＋BD →
)；
(2)AG →－12
(AB →＋AC →)．
解：(1)原式＝AB →＋BM →＋MG →＝AG →
；
(2)原式＝AB →＋BM →＋MG →－12
(AB →＋AC →
)
＝BM →＋MG →＋12
(AB →－AC →)＝BM →＋MG →＋MB →＝MG →.
10．已知四面体ABCD 中，G 为△BCD 的重心，E 、F 、H 分别为边CD 、AD 和BC 的中点，化简下列各式．
(1)AG →＋13BE →＋12CA →
；(2)12
(AB →＋AC →－AD →)．
解：
(1)如图所示，由G 是△BCD 的重心知，GE →＝1
3BE .又E 、F 为中点，因此EF 12
AC ，
12
CA →＝EF →. ∴AG →＋13BE →＋12
CA →＝AG →＋GE →＋EF →＝AF →.
(2)由向量加法的平行四边形法则及几何意义知12(AB →＋AC →)＝AH →，12AD →＝AF →
，∴12
(AB →＋AC
→－AD →)＝AH →－AF →＝FH →.
11．已知六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′是平行六面体．
//
(1)化简12AA ′→＋BC →＋23
AB →
，并在图中标出其结果；
(2)设M 是底面ABCD 的中心，BN →＝34
BC ′→.设MN →＝αAB →＋βAD →＋γAA ′→
，试求α、β、γ
的值．
解：
(1)如图，取AA ′的中点为E ，则12AA ′→＝EA ′→，又BC →＝A ′D ′→，AB →＝D ′C ′→
，取F
为D ′C ′的一个三等分点(D ′F →＝23D ′C ′→)，D ′F →＝23AB →，所以12AA ′→＋BC →＋23
AB →＝EA ′→
＋
A ′D ′→＋D ′F →＝EF →
(说明：表示法不惟一)．
(2)MN →＝MB →＋BN →＝12DB →＋34BC ′→＝12(DA →＋AB →)＋34(BC →＋CC ′→)＝12(－AD →＋AB →
)＋34(AD →＋
AA ′→
)＝12AB →＋14AD →＋34AA ′→，所以α＝12，β＝14，γ＝34
.。