6464弧度制双基能力训练
【艺术生专项】双基训练—三角函数(教师版)
第1讲 任意角1.角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：类型定义图示正角按________________形成的角负角按________________形成的角零角一条射线________________，称它形成了一个零角答案逆时针方向旋转 顺时针方向旋转 没有作任何旋转2．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝________________}.答案α＋k·360°，k∈Z1.下列说法正确的是()A.终边相同的角一定相等B.钝角一定是第二象限角C.第一象限角一定不是负角D.小于90°的角都是锐角答案 B2.与600°角终边相同的角可表示为()A.k·360°＋220°(k∈Z)B.k·360°＋240°(k∈Z)C.k·360°＋60°(k∈Z)D.k·360°＋260°(k∈Z)答案 B解析 ∵600°＝360°＋240°，∴与600°终边相同的角可表示为k·360°＋240°(k∈Z).3．与405°角终边相同的角是()A．k·360°－45°，k∈Z B．k·180°－45°，k∈ZC．k·360°＋45°，k∈Z D．k·180°＋45°，k∈Z答案 C4.设A＝{θ|θ为锐角}，B＝{θ|θ为小于90°的角}，C＝{θ|θ为第一象限的角}，D＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是()A.A ＝BB.B ＝CC.A ＝CD.A ＝D答案 D解析 直接根据角的分类进行求解，容易得到答案. 5．若α＝45°＋k ·180° (k ∈Z )，则α的终边在( ) A ．第一或第三象限 B ．第二或第三象限 C ．第二或第四象限 D ．第三或第四象限答案 A6．已知α为第三象限角，则α2所在的象限是( )A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限 答案 D [由k ·360°＋180°<α<k ·360°＋270°，k ∈Z ， 得k 2·360°＋90°<α2<k2·360°＋135°，k ∈Z . 当k 为偶数时，α2为第二象限角；当k 为奇数时，α2为第四象限角．]7．如图所示，终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是______________________________．答案 {α|k ·360°－45°≤α≤k ·360°＋120°，k ∈Z }第2讲 弧度制1．角度制与弧度制的换算角度化弧度 弧度化角度 360°＝________ rad 2π rad ＝________ 180°＝______ rad π rad ＝________ 1°≈0.017 45 rad1 rad ≈57°18′答案 2π 360° π 180° 2.扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为R ，弧长为l ，α (0<α<2π)为其圆心角，则答案 απR 180 αR απR 360 12αR 2 121.时针经过一小时，时针转过了( ) A.π6 rad B.－π6 radC.π12 radD.－π12rad答案 B解析 时针经过一小时，转过－30°， 又－30°＝－π6 rad ，故选B.2.若θ＝－5，则角θ的终边在( ) A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限D.第一象限答案 D解析 2π－5与－5的终边相同， ∵2π－5∈(0，π2)，∴2π－5是第一象限角，则－5也是第一象限角.3.已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是( )A.1B.4C.1或4D.2或4答案 C解析 设扇形半径为r ，圆心角弧度数为α， 则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋αr ＝6，12αr 2＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝1，α＝4或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，α＝1.4.将－1 485°化成2k π＋α，(0≤α＜2π，k ∈Z )的形式为________. 答案 －10π＋74π解析 因为－1 485°＝－4×360°－45° ＝－4×360°＋(－360°＋315°) ＝－5×360°＋315°， 所以－1 485°＝－10π＋74π.第3讲 任意角的三角函数1．任意角三角函数的定义设角α终边上任意一点的坐标为(x ，y )，它与原点的距离为r ，则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________. 答案 y r x r y x2．正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号1.sin 1 860°等于( ) A.12 B.－12 C.32 D.－32 答案 C解析 sin 1 860°＝sin(60°＋5×360°)＝sin 60°＝32. 2．sin 780°等于( ) A.32 B ．－32 C.12 D ．－12答案 A3．若sin α<0且tan α>0，则α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角答案 C [∵sin α<0，∴α是第三、四象限角．又tan α>0， ∴α是第一、三象限角，故α是第三象限角．]4．角α的终边经过点P (－b,4)且cos α＝－35，则b 的值为( )A ．3B ．－3C ．±3D ．5答案 A [r ＝b 2＋16，cos α＝－b r ＝－b b 2＋16＝－35.∴b ＝3.]5.当α为第二象限角时，|sin α|sin α－cos α|cos α|的值是( )A.1B.0C.2D.－2 答案 C解析 ∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0. ∴|sin α|sin α－cos α|cos α|＝sin αsin α－cos α－cos α＝2. 6.若点P (3，y )是角α终边上的一点，且满足y <0，cos α＝35，则tan α等于( )A.－34B.34C.43D.－43答案 D 解析 ∵cos α＝332＋y 2＝35∴32＋y 2＝5，∴y 2＝16， ∵y <0，∴y ＝－4，∴tan α＝－43.7．若角α的终边过点P (5，－12)，则sin α＋cos α＝______. 答案 －7138．求下列各式的值． (1)cos ⎝⎛⎭⎫－233π＋tan 174π； (2)sin 630°＋tan 1 125°＋tan 765°＋cos 540°. (3)tan 405°－sin 450°＋cos 750°＝________.答案 (1)原式＝cos ⎣⎡⎦⎤π3＋(－4)×2π＋tan ⎝⎛⎭⎫π4＋2×2π＝cos π3＋tan π4＝121＝32. (2)原式＝sin(360°＋270°)＋tan(3×360°＋45°)＋tan(2×360°＋45°)＋cos(360°＋180°) ＝sin 270°＋tan 45°＋tan 45°＋cos 180° ＝－1＋1＋1－1＝0.(3)原式＝tan 405°－sin 450°＋cos 750°＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(720°＋30°)＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°＝1－1＋32＝32.第4讲 同角三角函数的基本关系1．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：____________________.(2)商数关系：____________(α≠k π＋π2，k ∈Z )．答案 (1)sin 2α＋cos 2α＝1 (2)tan α＝sin αcos α2．同角三角函数基本关系式的变形 (1)sin 2α＋cos 2α＝1的变形公式： sin 2α＝________；cos 2α＝________； (sin α＋cos α)2＝____________________； (sin α－cos α)2＝________________； (sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝______；答案 1－cos 2α 1－sin 2α 1＋2sin αcos α 1－2sin αcos α 21.若sin α＝45，且α是第二象限角，则tan α的值等于( )A.－43B.34C.±34D.±43答案 A解析 α为第二象限角，sin α＝45，cos α＝－35，tan α＝－432．已知tan α＝－12，则1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α的值是( )A.13 B ．3 C ．－13D ．－3 答案 C [1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝(sin α＋cos α)(sin α＋cos α)(sin α＋cos α)(sin α－cos α)＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝－12＋1－12－1＝－13.]3．已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝________.答案 sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1，又tan θ＝2，故原式＝4＋2－24＋1＝45.4．已知sin αcos α＝18且π4<α<π2，则cos α－sin α＝____.答案 (cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝34，∵π4<α<π2，∴cos α<sin α.∴cos α－sin α＝－32. 5.已知A 是三角形的一个内角，sin A ＋cos A ＝23( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形答案 B解析 ∵sin A ＋cos A ＝23，∴1＋2sin A cos A ＝49，∴sin A cos A ＝－518＜0，又∵A ∈(0，π)，sin A ＞0，∴cos A ＜0，A 为钝角.故选B.6.已知4sin θ－2cos θ3sin θ＋5cos θ＝611，求下列各式的值.(1)5cos 2θsin 2θ＋2sin θcos θ－3cos 2θ； (2)1－4sin θcos θ＋2cos 2θ. 解 由已知4sin θ－2cos θ3sin θ＋5cos θ＝611，∴4tan θ－23tan θ＋5＝611，解得tan θ＝2.(1)原式＝5tan 2θ＋2tan θ－3＝55＝1.(2)原式＝sin 2θ－4sin θcos θ＋3cos 2θ ＝sin 2θ－4sin θcos θ＋3cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ－4tan θ＋31＋tan 2θ＝－15.第5讲 三角函数诱导公式1．设α为任意角，则π＋α，－α，π－α的终边与α的终边之间的对称关系.相关角 终边之间的对称关系 π＋α与α 关于________对称 －α与α 关于________对称 π－α与α关于________对称答案 原点 x 轴 y 轴 2.诱导公式一～四记忆口诀：函数名不变，符号看象限(1)公式一：sin(α＋2k π)＝__________，cos(α＋2k π)＝________，tan(α＋2k π)＝________，其中k ∈Z . (2)公式二：sin(π＋α)＝______，cos(π＋α)＝________，tan(π＋α)＝________. (3)公式三：sin(－α)＝________，cos(－α)＝________，tan(－α)＝________. (4)公式四：sin(π－α)＝________，cos(π－α)＝________，tan(π－α)＝________.答案 (1)sin α cos α tan α (2)－sin α －cos α tan α (3)－sin α cos α －tan α (4)sin α －cos α －tan α3.诱导公式五～六记忆口诀：函数名改变，符号看象限(1)公式五：sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝________；cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝________. (2)公式六：sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝________；cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝________. 答案 (1)cos α sin α (2)cos α －sin α1．sin 585°的值为( ) A ．－22 B.22 C ．－32 D.32答案 A2.sin ⎝⎛⎭⎫－236π的值是( ) A.12 B.－12 C.32 D.－32 答案 A3．若cos(π＋α)＝－12，32π<α<2π，则sin(2π＋α)等于( )A.12 B ．±32 C.32 D ．－32答案 D [由cos(π＋α)＝－12，得cos α＝12，∴sin(2π＋α)＝sin α＝－1－cos 2 α＝－32(α为第四象限角)．] 4．若sin(3π＋α)＝－12，则cos ⎝⎛⎭⎫72π－α等于( ) A ．－12 B.12 C.32 D ．－32答案 A [∵sin(3π＋α)＝－sin α＝－12，∴sin α＝12.∴cos ⎝⎛⎭⎫7π2－α＝cos ⎝⎛⎭⎫32π－α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝－sin α＝－12.] 5．已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值等于( ) A ．－13 B.13 C.－223 D.223答案 A [cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝－sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－13.] 6．三角函数式cos (α＋π)sin 2(α＋3π)tan (α＋π)cos 3(－α－π)的化简结果是______.答案 tan α解析 原式＝－cos α·sin 2αtan α·cos 3(α＋π)＝－cos α·sin 2α－tan α·cos 3α＝cos α·sin 2αsin α·cos 2α＝sin αcos α＝tan α.7．已知cos(π6＋θ)＝33，则cos(5π6－θ)＝________.答案 －338．若sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋7π12＝________. 答案 cos ⎝⎛⎭⎫α＋7π12＝cos ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫α＋π12＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝－13. 9．已知tan α＝2，则sin (α－3π)＋cos (π－α)＋sin ⎝⎛⎭⎫π2－α－2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α－sin (－α)＋cos (π＋α)＝________.答案 原式＝sin αsin α－cos α＝tan αtan α－1＝22－1＝2.10.已知cos(α－75°)＝－13α为第四象限角，求sin(105°＋α)的值.解 ∵cos(α－75°)＝－13，且α为第四象限角，∴α－75°是第三象限角.∴sin(α－75°)＝－1－cos 2(α－75°)＝－ 1－⎝⎛⎭⎫－132＝－223. ∴sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)] ＝－sin(α－75°)＝223.11．化简sin (α－2π)＋sin (－α－3π)cos (α－3π)cos (π－α)－cos (－π－α)cos (α－4π).答案 原式＝－sin (2π－α)－sin (3π＋α)cos (3π－α)－cos α－(－cos α)cos α＝sin α－sin αcos α－cos α＋cos 2α＝sin α(1－cos α)－cos α(1－cos α)＝－tan α.12.已知sin(π＋α)＝－13.计算：(1)cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2；(2)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α. 解 ∵sin(π＋α)＝－sin α＝－13，∴sin α＝13.(1)cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝－sin α＝－13. (2)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α，cos 2α＝1－sin 2α＝1－19＝89. ∵sin α＝13，∴α为第一或第二象限角.①当α为第一象限角时，sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α＝223. ②当α为第二象限角时，sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α＝－223. 13．求证：tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π2cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝－tan α.证明 左边＝tan (－α)·sin (－α)·cos (－α)sin ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α·cos ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α＝(－tan α)·(－sin α)·cos αsin ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin 2α－sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－α ＝sin 2α－cos α·sin α＝－sin αcos α＝－tan α＝右边．∴原等式成立．第6讲 正弦函数、余弦函数的图象1．正弦曲线、余弦曲线2．“五点法”画图画正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，五个关键点是_________________________； 画余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，五个关键点是__________________________．答案 (0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫32π，－1，(2π，0) (0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫32π，0，(2π，1)1.用五点法画y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象时，下列哪个点不是关键点( ) A.⎝⎛⎭⎫π6，12 B.⎝⎛⎭⎫π2，1 C.(π，0) D.(2π，0) 答案 A解析 易知⎝⎛⎭⎫π6，12不是关键点.2.下列图象中，是y ＝－sin x 在[0,2π]上的图象的是( )答案 D解析 由y ＝sin x 在[0,2π]上的图象作关于x 轴的对称图形，应为D 项. 3．函数y ＝sin x (x ∈R )图象的一条对称轴是( ) A ．x 轴 B ．y 轴 C ．直线y ＝x D ．直线x ＝π2答案 D4．函数y ＝cos x (x ∈R )的图象向右平移π2个单位后，得到函数y ＝g (x )的图象，则g (x )的解析式为( )A ．－sin xB ．sin xC ．－cos xD ．cos x答案 B5．函数y ＝－sin x ，x ∈[－π2，3π2]的简图是( )答案 D6.函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝－12的交点有________个.答案 两解析 作y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象及直线y ＝－12图略)，知两函数图象有两个交点.7.作出下列函数的草图： (1)y ＝1－sin x (0≤x ≤2π)； (2)y ＝－1－cos x (0≤x ≤2π)； (3)y ＝|sin x |(x ∈R ). 答案 (1)(2)(3)第7讲 正弦函数、余弦函数的性质1.正弦函数、余弦函数的性质：函数 y ＝sin xy ＝cos x图象定义域 ______ ______ 值域 ______ ______ 奇偶性 ______ ______ 周期性最小正周期：______最小正周期：______单调性在__________________________________上单调递增；在__________________________________________________上单调递减 在__________________________________________上单调递增；在______________________________上单调递减最值在________________________时，y max＝1；在________________________________________时，y min ＝－1在______________时，y max ＝1；在__________________________时，y min＝－1答案 R R [－1,1] [－1,1] 奇函数 偶函数 2π 2π [－π2＋2k π，π2＋2k π](k ∈Z ) [π2＋2k π，3π2＋2k π] (k ∈Z ) [－π＋2k π，2k π] (k ∈Z ) [2k π，π＋2k π] (k ∈Z ) x ＝π2＋2k π (k ∈Z )x ＝－π2＋2k π (k ∈Z ) x ＝2k π (k ∈Z ) x ＝π＋2k π (k ∈Z )1.下列函数中，周期为π2的是( )A.y ＝sin x2B.y ＝sin 2xC.y ＝cos x4D.y ＝cos(－4x )答案 D解析 T ＝2π|－4|＝π2.2.函数f (x )＝3sin(x 2－π4)，x ∈R 的最小正周期为( )A.π2 B ．π C ．2π D ．4π 答案 D3.函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6的最小正周期为π5，其中ω>0，则ω等于( ) A.5 B.10 C.15 D.20 答案 B4.设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2，x ∈R ，则f (x )是( ) A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为π的偶函数 C.最小正周期为π2的奇函数D.最小正周期为π2的偶函数答案 B解析 ∵sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝－cos 2x ， ∴f (x )＝－cos 2x .又f (－x )＝－cos(－2x )＝－cos 2x ＝f (x )， ∴f (x )是最小正周期为π的偶函数.5．函数f (x )＝sin(2πx ＋π4)的最小正周期是________．答案 16．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4的最小正周期是2π3，其中ω>0，则ω＝______. 解析2π|ω|＝2π3，∴ω＝3. 7.函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的一个递减区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤－π2，π2B.[－π，0]C.⎣⎡⎦⎤－23π，23πD.⎣⎡⎦⎤π2，23π答案 D解析 由π2≤x ＋π6≤32π，解得π3≤x ≤43π.故选D.8.函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的值域是( )A.⎣⎡⎦⎤－32，12B.⎣⎡⎦⎤－12，32 C.⎣⎡⎦⎤32，1D.⎣⎡⎦⎤12，1答案 B解析 ∵0≤x ≤π2，∴π6≤x ＋π6≤23π.∴cos 23π≤cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≤cos π6， ∴－12≤y ≤ 32.故选B.9.函数y ＝2sin(2x ＋π3)(－π6≤x ≤π6)的值域是________．答案 [0,2]解析 ∵－π6≤x ≤π6，∴0≤2x ＋π3≤2π3.∴0≤sin(2x ＋π3)≤1，∴y ∈[0,2]10.求函数y ＝2sin(π6－2x )，x ∈(0，π)的单调递增区间.解 ∵函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6－2x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， ∴函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6－2x 的增区间为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的减区间，由π2＋2k π≤2x －π6≤3π2＋2k π，k ∈Z . 得k π＋π3≤x ≤k π＋5π6，k ∈Z ，∵x ∈(0，π)，∴k ＝0得：π3≤x ≤5π6.函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6－2x ，x ∈(0，π)的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤π3，5π6.第8讲 正切函数的性质与图象1.函数y ＝tan x 的性质与图象见下表：y ＝tan x图象定义域 __________________________值域______周期 最小正周期为______奇偶性 __________单调性在开区间______________________内递增答案 {x |x ∈R ，且x ≠k π＋π2，k ∈Z } R π 奇函数 ⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2 (k ∈Z )1.函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的定义域是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π2，k ∈ZB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π2－3π8，k ∈ZC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π2＋π8，k ∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π2，k ∈Z答案 C2.函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的单调递增区间为( ) A.⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2，k ∈Z B.()k π，(k ＋1)π，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎫k π－3π4，k π＋π4，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈Z 答案 C3.在下列函数中同时满足：①在⎝⎛⎭⎫0，π2上递增；②以2π为周期；③是奇函数的是( ) A.y ＝tan x B.y ＝cos x C.y ＝tan x2D.y ＝－tan x答案 C4．函数y ＝3tan(ωx ＋π6)的最小正周期是π2，其中ω>0，则ω＝____.答案 2解析 T ＝π|ω|＝π2，∴ω＝2.5．函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的对称中心的坐标是_________． 答案 ⎝⎛⎭⎫k π2－π3，0 (k ∈Z ) 解析 由x ＋π3＝k π2 (k ∈Z )，得x ＝k π2－π3(k ∈Z )．∴对称中心坐标为⎝⎛⎭⎫k π2－π3，0 (k ∈Z )．6．求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π3的定义域、周期、单调区间和对称中心． 答案 ①由x 2－π3≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠2k π＋53π，k ∈Z .∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R 且x ≠2k π＋53π，k ∈Z .②T ＝π12＝2π，∴函数的周期为2π.③由k π－π2<x 2－π3<k π＋π2，k ∈Z ，解得2k π－π3<x <2k π＋53，k ∈Z .∴函数的单调增区间为⎝⎛⎭⎫2k π－π3，2k π＋5π3，k ∈Z . ④由x 2－π3＝k π2，k ∈Z ，得x ＝k π＋23π，k ∈Z .∴函数的对称中心是⎝⎛⎭⎫k π＋23π，0，k ∈Z .第9讲 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像1．简谐振动简谐振动y ＝A sin(ωx ＋φ)中，______叫做振幅，周期T ＝______，频率f ＝______，相位是______，初相是______． 答案 A2πω ω2πωx ＋φ φ 2.用“图象变换法”作y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的图象 (1)φ对y ＝sin(x ＋φ)，x ∈R 的图象的影响y ＝sin(x ＋φ) (φ≠0)的图象可以看作是把正弦曲线y ＝sin x 上所有的点______(当φ>0时)或________(当φ<0时)平行移动________个单位长度而得到． (2)ω(ω>0)对y ＝sin(ωx ＋φ)的图象的影响函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象，可以看作是把y ＝sin(x ＋φ)的图象上所有点的横坐标________(当ω>1时)或________(当0<ω<1时)到原来的______倍(纵坐标________)而得到． (3)A (A >0)对y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的影响函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，可以看作是把y ＝sin(ωx ＋φ)图象上所有点的纵坐标________(当A >1时)或________(当0<A <1时)到原来的________(横坐标不变)而得到，函数y ＝A sin x 的值域为________，最大值为________，最小值为________． 答案 (1)向左 向右 |φ| (2)缩短 伸长1ω不变 (3)伸长 缩短 A 倍 [－A ，A ] A －A1.函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6(x ∈(0，＋∞))的周期、振幅、初相分别是( ) A.π4，2，π6B.4π，2，π6C.4π，2，－π6D.2π，2，－π6答案 C2.函数y ＝cos x 图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y ＝cos ωx ，则ω的值为( ) A.2 B.12 C.4 D.14答案 B3．已知简谐运动f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋φ(|φ|<π2)的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( )A ．T ＝6，φ＝π6B ．T ＝6，φ＝π3C ．T ＝6π，φ＝π6D ．T ＝6π，φ＝π3答案 A [T ＝2πω＝2ππ3＝6，代入(0,1)点得sin φ＝12.∵－π2<φ<π2，∴φ＝π6.]4．要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象，只要将y ＝sin x 的图象( ) A ．向左平移π3个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向右平移π6个单位长度答案 B5．为得到函数y ＝cos(x ＋π3)的图象，只需将函数y ＝sin x 的图象( )A ．向左平移π6个单位长度B ．向右平移π6个单位长度C ．向左平移5π6个单位长度D ．向右平移5π6个单位长度答案 C6．把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象向右平移π8个单位，所得图象对应的函数是( ) A ．非奇非偶函数 B ．既是奇函数又是偶函数 C ．奇函数 D ．偶函数 答案 D7．将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是( )A ．y ＝cos 2xB ．y ＝1＋cos 2xC ．y ＝1＋sin(2x ＋π4) D ．y ＝cos 2x －1答案 B [将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝sin2(x ＋π4)，即y ＝sin(2x ＋π2)＝cos 2x的图象，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式为y ＝1＋cos 2x .]8．把函数y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有的点向左平行移动π3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，x ∈R B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6，x ∈R C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，x ∈R D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，x ∈R 答案 C [把函数y ＝sin x 的图象上所有的点向左平行移动π3个单位长度后得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象，再把所得图象上所有的点的横坐标缩短到原来的12倍，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象．] 9．为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象( ) A ．向左平移π4个长度单位B ．向右平移π4个长度单位C ．向左平移π2个长度单位D ．向右平移π2个长度单位答案 B [y ＝sin(2x ＋π6)4−−−−−−−→向右平移个长度单位y ＝sin[2(x －π4)＋π6]＝sin(2x －π3)．] 10.把函数y ＝f (x )的图象上各点向右平移π6个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的23倍，所得图象的解析式是y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3，求f (x )的解析式( ) A.f (x )＝3cos x B.f (x )＝3sin x C.f (x )＝3cos x ＋3D.f (x )＝sin 3x答案 A解析 y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3――――――――――――――→纵坐标伸长到原来的32倍 y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3―――――――――――――→横坐标缩短到原来的12倍y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3―――――――――――→向左平移π6个单位 y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝3cos x . ∴f (x )＝3cos x .11．下列函数中，图象的一部分如下图所示的是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫4x －π3D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6 答案 D [由图知T ＝4×⎝⎛⎭⎫π12＋π6＝π，∴ω＝2πT ＝2.又x ＝π12时，y ＝1.] 12．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，则( )A ．ω＝1，φ＝π6B ．ω＝1，φ＝－π6C ．ω＝2，φ＝π6D ．ω＝2，φ＝－π6答案 D [由图象知T 4＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π，ω＝2.且2×7π12＋φ＝k π＋π(k ∈Z )，φ＝k π－π6(k ∈Z )．又|φ|<π2，∴φ＝－π6.]13．函数y ＝sin(ωx ＋φ) (x ∈R ，ω>0,0≤φ<2π)的部分图象如图所示，则( )A ．ω＝π2，φ＝π4B ．ω＝π3，φ＝π6C ．ω＝π4，φ＝π4D ．ω＝π4，φ＝5π4答案 C [由⎩⎪⎨⎪⎧ω×1＋φ＝π2ω×3＋φ＝π，解得⎩⎨⎧ω＝π4φ＝π4.]14.如图所示为函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0,0＜|φ|＜π2)的图象的一部分，则y 的一个解析式为( )A.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫1011x ＋π6 B.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫1011x －π6 C.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6D.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 答案 C解析 由图象可知A ＝2，T ＝2⎝⎛⎭⎫2π3－π6＝π， ∴ω＝2πT＝2.∴2×π6＋φ＝π2，可得φ＝π6.∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 15.已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象( ) A.关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称 B.关于直线x ＝π4对称C.关于点⎝⎛⎭⎫π4，0对称D.关于直线x ＝π3对称答案 A解析 ω＝2ππ＝2，将x ＝π3代入f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， 得f ⎝⎛⎭⎫π3＝0，故选A.16．函数y ＝sin 2x 图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，所得图象的函数解析式为f (x )＝____________. 答案 sin x17．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向左平移π6个单位，所得函数的解析式为____________． 答案 y ＝cos 2x18.由y ＝3sin x 的图象变换到y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3的图象主要有两个过程：先平移后伸缩和先伸缩后平移，前者需向左平移______个单位，后者需向左平移______个单位. 答案 π3 2π319.函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫5x －π2的图象向右平移π4个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12，所得图象的函数解析式为________. 答案 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －7π4 解析 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫5x －π2―→y ＝sin ⎣⎡⎦⎤5⎝⎛⎭⎫x －π4－π2 ＝sin ⎝⎛⎭⎫5x －7π4―→y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －7π4. 20．函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6与y 轴最近的对称轴方程是__________． 答案 x ＝－π6解析 令2x －π6＝k π＋π2(k ∈Z )，∴x ＝k π2＋π3(k ∈Z )．由k ＝0，得x ＝π3；由k ＝－1，得x ＝－π6.21．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ) (ω>0，－π≤φ<π)的图象如下图所示，则φ＝________.答案9π10解析 由图象知函数y ＝sin(ωx ＋φ)的周期为 2⎝⎛⎭⎫2π－3π4＝5π2，∴2πω＝5π2，∴ω＝45. ∵当x ＝34时，y 有最小值－1，∴45×3π4＋φ＝2k π－π2 (k ∈Z )． ∵－π≤φ<π，∴φ＝9π10.22．函数y ＝sin 2x 的图象向右平移φ个单位(φ>0)得到的图象恰好关于x ＝π6对称，则φ的最小值是________． 答案5π12解析 y ＝sin 2x 向右平移φ个单位得 f (x )＝sin 2(x －φ)＝sin(2x －2φ)．由f ⎝⎛⎭⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2φ＝±1， ∴π3－2φ＝k π＋π2(k ∈Z )， ∴2φ＝－k π－π6，令k ＝－1，得2φ＝56，∴φ＝512π或作出y ＝sin 2x 的图象观察易知φ＝π6－⎝⎛⎭⎫－π4＝512π. 23.最大值为12，周期为2π3，初相为π6的函数解析式为 .答案 y ＝12sin(3x ＋π6)24．怎样由函数y ＝sin x 的图象变换得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，试口述这一过程． 答案 由y ＝sin x 的图象通过变换得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象有两种变化途径： ①y ＝sin x ————→向右平移π3个单位y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3——————→纵坐标不变横坐标缩短为12y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 ②y ＝sin x ————→纵坐标不变横坐标缩短为12y ＝sin 2x ——————→向右平移π6个单位 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 25.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π2)的部分图象如图所示.(1)求f (x )的解析式； (2)写出f (x )的递增区间.解 (1)易知A ＝2，T ＝4×[2－(－2)]＝16. ∴ω＝2πT ＝π8，∴f (x )＝2sin(π8x ＋φ)，代入(－2,0)得：sin(－π4＋φ)＝0，令－π4＋φ＝0，∴φ＝π4，∴f (x )＝2sin(π8x ＋π4).(2)由－π2＋2k π≤π8x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得：16k －6≤x ≤16k ＋2，k ∈Z ，∴f (x )的递增区间为[16k －6,16k ＋2]，k ∈Z .。
2024-2025年北师大版数学必修第二册1.3.1-2弧度制(带答案)
§3 弧度制 3．1 弧度概念 3．2 弧度与角度的换算必备知识基础练知识点一 弧度制与角度制1．下列说法中，错误的是( ) A ．半圆所对的圆心角是π rad B ．周角的大小等于2πC ．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径长D ．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度 2．将下列角度与弧度进行互化．(1)20°；(2)－15°；(3)7π12 ；(4)－11π5.知识点二 用弧度制表示角3．把角－570°化为2k π＋α(0≤α＜2π，k ∈Z )的形式为( )A ．－3π－π6B ．－4π＋150°C ．－3π－30° D．－4π＋5π64．把下列各角化成2k π＋α(0≤α＜2π，k ∈Z )的形式，并指出是第几象限角．(1)－1 500°；(2)236π；(3)－4.知识点三 扇形的弧长与面积的计算5．已知扇形的半径为10 cm ，圆心角为165°，则扇形的弧长为( )A ．10π cm B．11π cm C ．55π6 cm D ．28π3cm6．某扇形的圆心角为60°，所在圆的半径为6，则它的面积是( ) A ．6π B ．3π C．12π D ．9π 7．已知扇形的圆心角为α，α>0，半径为R .(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求该弧所在的弓形的面积． (2)若扇形的周长为20 cm ，则当扇形的圆心角α等于多少时，这个扇形的面积最大？关键能力综合练一、选择题1．(易错题)亲爱的考生，本场考试需要2小时，则在本场考试中，钟表的时针转过的弧度数为( )A ．π3B ．－π3C ．5π3D ．－5π32．将－1 485°化成α＋2k π(0≤α＜2π，k ∈Z )的形式是( )A ．－π4 －8π B．74 π－8πC ．π4 －10π D．74π－10π3．若α＝－2π3＋k π，k ∈Z ，则α终边所在象限为( )A ．第一象限B ．第一、三象限C ．第二象限D ．第二、四象限4．若扇形的周长是16，圆心角是360π度，则扇形的面积是( )A ．16B ．32C ．8D ．64 5．下列结论错误的是( )A ．67°30′化成弧度是3π8radB ．－10π3rad 化成度是－600°C ．－150°化成弧度是－7π6radD ．π12rad 化成度是15° 二、填空题6．已知α＝1 690°，把α写成2k π＋β(其中k ∈Z ，β∈[0，2π))的形式为________________，θ与α的终边相同，且θ∈(－4π，－2π)，则θ＝________．7．(探究题)已知2k π＋2π3 <α<2k π＋5π6 (k ∈Z )，则α2为第________象限角．8．折扇(如图1)是我国传统文化的延续，已有四千年左右的历史．图2为其结构简化图，在扇面ABCD 中，延长DA ，CB 交于点O ，已知OC ＝3OB ＝30 cm ，弧CD 的长度为60 cm ，则该扇面ABCD 的面积为________ cm 2.三、解答题9．设α1＝－570°，α2＝750°，β1＝3π5 rad ，β2＝－π3rad.(1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自是第几象限角；(2)将β1，β2用角度制表示出来，并在－720°～0°之间找出与它们终边分别相同的所有角．学科素养升级练1.(多选题)已知某扇形的圆心角为π10，半径为5，则( )A ．该扇形的弧长为π2B ．该扇形的弧长为π4C ．该扇形的面积为5π2D ．该扇形的面积为5π42．(学科素养——数学运算)在一块顶角为2π3，腰长为2的等腰三角形钢板废料OAB中裁剪扇形，现有如图所示的两种方案．(1)求两种方案中扇形的周长之差的绝对值； (2)比较两种方案中的扇形面积的大小．§3 弧度制 3．1 弧度概念3．2 弧度与角度的换算必备知识基础练1．答案：D解析：由弧度制的定义可知：长度等于半径的弧所对的圆心角的大小是1弧度，而长度等于半径的弦所对的圆心角的大小不是1弧度，选项D 的说法错误，很明显选项A 、B 、C 的说法正确．故选D.2．解析：(1)20°＝20×π180 ＝π9 .(2)－15°＝－15×π180 ＝－π12；(3)7π12 ＝7π12 ×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π °＝105°；(4)－11π5 ＝－11π5 ×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π °＝－396°.3．答案：D解析：－570°＝－2×360°＋150°，而150°＝150×π180 ＝5π6，所以－570°可化为－4π＋5π6.故选D.4．解析：(1)－1 500°＝－1 800°＋300°＝－10π＋5π3，∴角－1 500°与角5π3终边相同，是第四象限角．(2)23π6 ＝2π＋11π6 ，∴角23π6 与角11π6终边相同，是第四象限角．(3)－4＝－2π＋(2π－4)，∴角－4与角2π－4终边相同，是第二象限角． 5．答案：C解析：∵165°＝π180 ×165＝11π12 ，∴扇形的弧长l ＝11π12 ×10＝55π6(cm).故选C.6．答案：A解析：60°＝60×π180 ＝π3 rad ，扇形面积S ＝12 ×π3×62＝6π.故选A.7．解析：(1)设弧长为l ，弓形面积为S .∵α＝60°＝π3，R ＝10 cm ，∴S ＝12 ×π3 ×102－34 ×100＝⎝ ⎛⎭⎪⎫50π3－253 cm 2. (2)设扇形的弧长为l ，则l ＋2R ＝20，∴l ＝20－2R (0<R <10).∴扇形的面积S ＝12 lR ＝12(20－2R )R ＝－R 2＋10R ，∴当R ＝5 cm 时，S 有最大值25 cm 2， 此时，l ＝10 cm ，α＝l R＝2 rad. ∴当α＝2 rad 时，扇形的面积最大．关键能力综合练1．答案：B解析：因为时针旋转一周为12小时，转过的角度为2π，按顺时针转所形成的角为负角，所以经过2小时，时针所转过的弧度数为－16 ×2π＝－13π.故选B.2．答案：D解析：∵－1 485°＝－5×360°＋315°，2π rad＝360°，315°＝74π rad.∴－1 485°化成α＋2k π(0≤α＜2π，k ∈Z )的形式是74π－10π.故选D.3．答案：B解析：∵－2π3 角的终边在第三象限，则反向延长其终边在第一象限，故α＝－2π3＋k π，k ∈Z 在一、三象限．故选B.4．答案：A解析：因为360π度等于2弧度，所以扇形的弧长l ＝2r ，因为扇形的周长是16，所以l ＋2r ＝16，所以r ＝4，l ＝8.因此扇形的面积是12 lr ＝12×8×4＝16.故选A.5．答案：C解析：对于A ，67°30′＝67.5×π180 ＝3π8 ，结论正确；对于B ，－10π3＝(－10π3 )×180°π ＝－600°，结论正确；对于C ，－150°＝－150×π180 ＝－5π6，结论错误；对于D ，π12 ＝π12 ×180°π＝15°，结论正确．故选C.6．答案：4×2π＋25π18 －47π18解析：α＝1 690°＝1 440°＋250°＝8π＋25π18，所以α＝4×2π＋25π18.依题意，有θ＝2k π＋25π18(k ∈Z )，由θ∈(－4π，－2π)，得－4π<2k π＋25π18 <－2π.又k ∈Z ，所以k ＝－2，所以θ＝－47π18.7．答案：一或三解析：由已知，得k π＋π3 <α2 <k π＋5π12 (k ∈Z )，当k 为偶数时，α2 为第一象限角，当k 为奇数时，α2 为第三象限角，故α2为第一或三象限角．8．答案：800解析：因为OC ＝3OB ＝30 cm ，弧CD 的长度为60 cm ，则弧AB 的长度为20 cm ，则该扇面ABCD 的面积为S ＝S 扇形OCD －S 扇形OAB ＝12 ×60×30－12 ×10×20＝800 cm 2.9．解析：(1)α1＝－570°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－570×π180 rad ＝－19π6 rad ＝⎝⎛⎭⎪⎫－2×2π＋5π6 rad ，α2＝750°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫750×π180 rad ＝25π6 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2×2π＋π6 rad ， ∴α1是第二象限角，α2是第一象限角．(2)β1＝3π5 rad ＝3π5 ×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π °＝108°，与108°角终边相同的角的集合S ＝{β|β＝108°＋k ·360°，k ∈Z }． S 中适合－720°<β<0°的元素是108°－2×360°＝－612°，108°－1×360°＝－252°，∴在－720°～0°之间与β1终边相同的角为－612°和－252°.β2＝－π3rad ＝－π3 ×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π °＝－60°，与－60°角终边相同的角的集合T ＝{β|β＝－60°＋k ·360°，k ∈Z }．T 中适合－720°<β<0°的元素是－60°－1×360°＝－420°， ∴在－720°～0°之间与β2终边相同的角为－420°.学科素养升级练1．答案：AD解析：由题意得该扇形的弧长为π10 ×5＝π2 ，面积为12 ×π2 ×5＝5π4，故A ，D 正确，B ，C 错误．故选AD.2．解析：(1)∵△OAB 是顶角为2π3、腰长为2的等腰三角形，∴∠A ＝∠B ＝π6，OM ＝ON ＝1.方案一中扇形的周长L 1＝2＋2＋2×π6 ＝4＋π3 ，方案二中扇形的周长L 2＝1＋1＋1×2π3 ＝2＋2π3，∴两种方案中扇形的周长之差的绝对值为|(4＋π3 )－(2＋2π3 )|＝2－π3.(2)方案一中扇形的面积S 1＝12 ×π6 ×22＝π3 ，方案二中扇形的面积S 2＝12 ×2π3 ×12＝π3，∴S 1＝S 2，即两种方案中扇形的面积相等．。
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】双基限时练(五)1．α是第四象限的角，cos α＝1213，sin α＝( ) A.512 B ．－513 C.513 D ．－512答案 B2．下列结论能成立的是( ) A ．sin α＝12且cos α＝12 B ．tan α＝2且cos αsin α＝13 C ．tan α＝1且cos α＝22 D ．sin α＝1且tan α·cos α＝12解析 同角三角函数的基本关系式是指同一个角的不同三角函数值之间的关系，这个角可以是任意角，利用同角三角函数的基本关系即得C 成立．答案 C3．化简1－sin 2160°的结果是( ) A ．cos160° B ．－cos160° C ．±cos160°D ．±|cos160°| 解析 ∵cos160°<0，∴原式＝|cos160°|＝－cos160°. 答案 B4．设A 是△ABC 的一个内角，且sin A ＋cos A ＝23，则这个三角形是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．不等腰的直角三角形D ．等腰的直角三角形解析 将sin A ＋cos A ＝23两边平方得sin A cos A ＝－518. ∵0<A <π，∴sin A >0，cos A <0，即A 是钝角． 答案 B5．已知sin x －cos x ＝15(0≤x <π)，则tan x 等于( ) A ．－34 B ．－43 C.34D.43解析 由sin x －cos x ＝15(0≤x <π)知，sin x ＝45，cos x ＝35，∴tan x ＝sin x cos x ＝43.答案 D6．已知sin α－2cos α3sin α＋5cos α＝－5，那么tan α的值为( )A ．－2B ．2 C.2316D ．－2316解析 原式左边分子和分母同除以cos α，得tan α－23tan α＋5＝－5，解得tan α＝－2316.7．若sin 2x ＋sin x ＝1，则cos 4x ＋cos 2x 的值等于________． 解析 ∵sin 2x ＋sin x ＝1， ∴sin x ＝1－sin 2x ＝cos 2x . ∴cos 4x ＋cos 2x ＝sin 2x ＋sin x ＝1. 答案 18．若sin α＋3cos α＝0，则cos α＋2sin α2cos α－3sin α的值为________．答案 －5119．若cos α＝－35，且α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2，则tan α＝________.解析 依题意得sin α＝－1－cos 2α＝－45，tan α＝sin αcos α＝43.答案 4310.1－2sin10°cos10°sin10°－1－sin 210°＝__________. 解析 原式＝(cos10°－sin10°)2sin10°－cos 210° ＝|cos10°－sin10°|sin10°－cos10° ＝cos10°－sin10°sin10°－cos10° ＝－1.11．若cos α＝－35，且tan α>0，求tan αcos 3α1－sin α的值．解 ∵cos α＝－35，tan α>0， ∴α在第三象限． ∴sin α＝－1－cos 2α＝－45.tan α·cos 3α1－sin α＝sin αcos α·cos 3α1－sin α＝sin α(1－sin 2α)1－sin α＝sin α(1＋sin α) ＝－45×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－45＝－425.12．已知tan 2α＝2tan 2β＋1，求证：sin 2β＝2sin 2α－1. 证明 因为tan 2α＝2tan 2β＋1， 所以tan 2α＋1＝2tan 2β＋2，所以sin 2αcos 2α＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2βcos 2β＋1， 所以1cos 2α＝2cos 2β，所以1－sin 2β＝2(1－sin 2α)， 即sin 2β＝2sin 2α－1.13．已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根为sin θ，cos θ，θ∈(0,2π)，求：(1)sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θcos θ－sin θ的值； (2)m 的值．解 (1)由根与系数的关系可知 sin θ＋cos θ＝3＋12，① sin θcos θ＝m2.则sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θcos θ－sin θ＝sin 2θ－cos 2θsin θ－cos θ ＝sin θ＋cos θ＝3＋12.(2)由①平方，得1＋2sin θcos θ＝2＋32， ∴sin θcos θ＝34， ∴m ＝32.高中数学知识点三角函数1、以角的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点，点P 到原点的距离记为，则sin= ，cos = ，tg = ，ctg = ，sec = ，csc = 。
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】双基限时练(二十三)1．已知作用在A 点的三个力F 1＝(3,4)，F 2＝(2，－5)，F 3＝(3,1)，A (1,1)，则合力F ＝F 1＋F 2＋F 3的终点坐标是( )A ．(8,2)B ．(9,1)C ．(－1,9)D ．(3,1)解析 由已知得F ＝F 1＋F 2＋F 3＝(8,0)． ∴OF →＝OA →＋AF →＝(1,1)＋(8,0)＝(9,1)． 答案 B2．初速度为v 0，发射角为θ，若要使炮弹在水平方向的速度为12v 0，则发射角θ应为( )A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°解析 炮弹的水平速度为v ＝v 0·cos θ＝12v 0⇒cos θ＝12⇒θ＝60°. 答案 D3．已知三个力F 1＝(－2，－1)，F 2＝(－3,2)，F 3＝(4，－3)同时作用于某一物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力F 4，则F 4等于( )A ．(－1，－2)B ．(1，－2)C ．(－1,2)D ．(1,2)解析 由题意知，F 1＋F 2＋F 3＋F 4＝0. 又F 1＋F 2＋F 3＝(－1，－2)，∴F 4＝(1,2)． 答案 D4．已知两个力F 1，F 2的夹角为90°，它们的合力大小为10 N ，合力与F 1的夹角为60°，那么F 1的大小为( )A ．5 3 NB ．5 NC ．10 ND ．5 2 N解析 如下图所示，|F 1|＝|F |cos60°＝10×12＝5 N ，应选B.答案 B5．一船从某河的一岸驶向另一岸，船速为v 1，水速为v 2，已知船可垂直到达对岸，则( )A ．|v 1|<|v 2|B ．|v 1|>|v 2|C ．|v 1|≤|v 2|D ．|v 1|≥|v 2|解析 船速v 1应大于水速v 2，即|v 1|>|v 2|. 答案 B6．当两人提重为|G |的书包时，夹角为θ，用力为|F |，则当|F |最小时，θ应为( )A ．0 B.π2 C.2π3 D. π答案 A7．河水从东向西流，流速为2 m/s ，一轮船以2 m/s 垂直水流方向向北横渡，则轮船实际航行的方向是________，航速是________．解析 如图所示，记水速|v 1|＝2 m/s ，船速|v 2|＝2 m/s. v 表示船实际航行的速度，则由图知：|v |＝22＋22＝22(m/s)．方向与水流方向成45°. 答案 西北方向 2 2 m/s8．三个力F 1，F 2，F 3同时作用于O 点且处于平衡状态，已知F 1与F 2的夹角为120°，又|F 1|＝|F 2|＝20 N ，则|F 3|＝________.解析 由题意有F 1＋F 2＋F 3＝0，∴F 3＝－F 1－F 2，∴|F 3|2＝F 21＋2F 1·F 2＋F 22＝202＋2|F 1|·|F 2|cos120°＋202＝202，∴|F 3|＝20 N.答案 20 N9．已知速度v 1＝(1，－2)，速度v 2＝(3,4)，则合速度v ＝________. 答案 (4,2)10．质量m ＝2.0 kg 的物体，在4 N 的水平力作用下，由静止开始在光滑水平面上运动了3 s ，则水平力在3 s 内对物体所做的功为__________．解析 水平力在3 s 内对物体所做的功：F·s ＝F ·12a t 2＝12F·F m t 2＝12m F 2t 2＝12×12×42×32＝36(J)．答案 36 J 11.今有一小船位于d ＝60 m 宽的河边P 处，从这里起，在下游l ＝80 m 处河流有一瀑布，若河水流速方向由上游指向下游(与河岸平行)，水速大小为5 m/s ，如图，为了使小船能安全渡河，船的划速不能小于多少？当划速最小时，划速方向如何？解如图，由题设可知，船的实际速度v ＝v 划＋v 水，其方向为临界方向PO →.则最小划速|v |＝|v 水|·sin θ， sin θ＝d d 2＋l 2＝60602＋802＝35，∴θ＝37°，∴最小划速应为|v 划|＝5×sin θ＝5×35＝3(m/s)．12．平面上有两个向量e 1＝(1,0)，e 2＝(0,1)，今有动点P ，从P 0(－1,2)开始沿着与向量e 1＋e 2相同的方向作匀速直线运动，速度大小为|e 1＋e 2|，另一动点Q ，从点Q 0(－2，－1)出发，沿着与向量3e 1＋2e 2相同的方向作匀速直线运动，速度大小为|3e 1＋2e 2|.设P ，Q 在t ＝0秒时分别在P 0，Q 0处，则当PQ →⊥P 0Q 0→时，t 等于多少秒．解 ∵P 0(－1,2)，Q 0(－2，－1)， ∴P 0Q 0→＝(－1，－3)．又∵e 1＋e 2＝(1,1)，∴|e 1＋e 2|＝ 2. ∵3e 1＋2e 2＝(3,2)，∴|3e 1＋2e 2|＝13.∴当t 时刻时，点P 的位置为(－1＋t,2＋t )，点Q 位置为(－2＋3t ，－1＋2t )．∴PQ →＝(－1＋2t ，－3＋t )． ∵P 0Q 0→⊥PQ →，∴(－1)×(－1＋2t )＋(－3)×(－3＋t )＝0. ∴t ＝2.即当PQ →⊥P 0Q 0→时所需时间为2秒．13．如图，用两根分别长52米和10米的绳子，将100 N的物体吊在水平屋顶AB上，平衡后，G点距屋顶距离恰好为5米，求A 处所受力的大小(绳子的重量忽略不计)．解如图，由已知条件可知AG与竖直方向成45°角，BG与竖直方向成60°角．设A处所受力为F a，B处所受力为F b，物体的重力为G，∠EGC＝60°，∠EGD＝45°，则有|F a|cos45°＋|F b|cos60°＝|G|＝100，①且|F a|sin45°＝|F b|sin60°.②由①②解得|F a|＝1502－506，∴A处所受力的大小为(1502－506) N.高中数学知识点三角函数1、以角的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点，点P 到原点的距离记为，则sin= ，cos = ，tg = ，ctg = ，sec = ，csc = 。
2017-2018学年高中数学专题01任意角和弧度制同步单元双基双测卷(B卷)新人教A版必修4
专题一任意角和弧度制测试卷（B 卷）（测试时间：120分钟 满分：150分）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．半径为2，圆心角为3π的扇形的面积为（ ） A. 4π3 B. π C. 2π3 D. π3【答案】C【解析】由扇形面积公式得： 211S r 2223l π=⨯⨯=⨯⨯=2π3. 故选C.2．将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是( ) A.3π B. 6π C. 3π- D. 6π- 【答案】A【解析】将表的分针拨慢10分钟，则分针逆时针转过60°，即分针转过的角的弧度数是3π. 本题选择A 选项.3．终边落在第二象限的角组成的集合为 ( ) A. {|,}2k k k Z παπαπ<<+∈ B. {|,}2k k k Z παπαππ+<<+∈C. {|22,}2k k k Z παπαπ<<+∈ D. {|22,}2k k k Z παπαππ+<<+∈【答案】D4．【2018届河北省大名县第一中学高三上第一次月考】已知弧度数为2的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是（ ）A. 2B.C.D.【答案】C【解析】如图所示,设扇形OAB 中,圆心角∠AOB=2,过0点作OC ⊥AB 于点C, 延长OC ，交弧AB 于D 点， 则∠AOD=∠BOD=1,AC=AB=1， ∵Rt △AOC 中,,得半径，∴弧AB 长. 故选：C.5．若α是第三象限的角, 则2απ-是 （ ）A. 第一或第二象限的角B. 第一或第三象限的角C. 第二或第三象限的角D. 第二或第四象限的角 【答案】B6．顶点为坐标原点，始边在轴的非负半轴上，终边在轴上的角的集合是( ) A. B.C. D.【答案】C【解析】顶点为坐标原点，始边在轴的非负半轴上，终边落在轴上的角的取值集合为，故选C.7．半径为cmπ的圆中，60圆心角所对的弧长为（）A.3cmπB.23cmπC.23cmπD.223cmπ【答案】B【解析】由题意得，根据扇形的弧长公式，可知弧长为233l R cmππαπ==⨯=，故选B.8．若一圆弧长等于它所在圆的内接正三角形的边长，则该弧所对的圆心角弧度数为（）A. 3B. 2C. 23πD.3π【答案】A9．若扇形的半径为6 cm，所对的弧长为2πcm，则这个扇形的面积是（）。
【人教A版】高中数学必修4教学同步讲练第一章《弧度制》练习题(含答案)
第一章 三角函数1.1 任意角和弧度制1.1.2 弧度制A 级 基础巩固一、选择题1．下列说法中，错误的是( )A ．半圆所对的圆心角是π radB ．周角的大小等于2πC ．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D ．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度2．时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为( )A.143π B ．－143π C.718 π D ．－718π 3．在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为( )A.403π B.203π C.2003π D.4003π 4．把－11π4表示成θ＋2k π(k ∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是( )A ．－3π4B ．－π4 C.π4 D.3π45．一段圆弧的长度等于其圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数为( )A.π2B.π3C. 3D. 2二、填空题 6．π12rad ＝________度，________ rad ＝－300°.7．已知扇形的圆心角为60°，半径为3，则扇形的面积是________．8．(1)1°的圆心角所对弧长为1米，则此圆半径为________米；(2)1 rad 的圆心角所对弧长为1米，则此圆半径为______米．三、解答题9．已知α＝2 000°.(1)把α写成2k π＋β [k ∈Z ，β∈[0，2π)]的形式；(2)求θ，使得θ与α的终边相同，且θ∈(4π，6π)．10．用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角的集合．B 级 能力提升1．集合⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中角的终边所在的范围(阴影部分)是( )2．钟表的时间经过了一小时，则时针转过了________rad.3．已知半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10.求α(∠AOB )所在的扇形的弧长l 及弧所在的弓形的面积S .参考答案第一章 三角函数1.1 任意角和弧度制1.1.2 弧度制A 级 基础巩固一、选择题1．下列说法中，错误的是( )A ．半圆所对的圆心角是π radB ．周角的大小等于2πC ．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D ．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度解析：根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A 、B 、C 均正确，D 错误．答案：D2．时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为( )A.143π B ．－143π C.718 π D ．－718π 解析：显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了73周，转过的弧度为－73×2π＝－143π. 答案：B3．在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为( )A.403π B.203πC.2003πD.4003π 解析：240°＝240180π＝43π， 所以弧长l ＝|α|·r ＝43π×10＝403π. 答案：A4．把－11π4表示成θ＋2k π(k ∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是( )A ．－3π4B ．－π4 C.π4 D.3π4解析：令－11π4＝θ＋2k π(k ∈Z)，则θ＝－11π4－2k π(k ∈Z)． 取k ≤0的值，k ＝－1时，θ＝－3π4，|θ|＝3π4； k ＝－2时，θ＝5π4，|θ|＝5π4>3π4； k ＝0时，θ＝－11π4，|θ|＝11π4>3π4. 答案：A5．一段圆弧的长度等于其圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数为( )A.π2B.π3C. 3D. 2解析：设圆内接正方形的边长为a ，则该圆的直径为2a ，所以弧长等于a 的圆弧所对的圆心角为α＝l r ＝a 22a ＝ 2. 答案：D二、填空题6．π12rad ＝________度，________ rad ＝－300°. 解析：π12＝180°12＝15°；－300°＝－300×π180＝－5π3. 答案：15 －5π37．已知扇形的圆心角为60°，半径为3，则扇形的面积是________．解析：因为60°＝π3 rad 则扇形的面积S ＝12×π3×32＝32π. 答案：32π 8．(1)1°的圆心角所对弧长为1米，则此圆半径为________米；(2)1 rad 的圆心角所对弧长为1米，则此圆半径为______米．解析：(1)因为|α|＝1°＝π180，l ＝1， 所以r ＝l |α|＝1π180＝180π. (2)因为l ＝1，|α|＝1，所以r ＝l|α|＝1.答案：(1)180π (2)1 三、解答题9．已知α＝2 000°.(1)把α写成2k π＋β [k ∈Z ，β∈[0，2π)]的形式；(2)求θ，使得θ与α的终边相同，且θ∈(4π，6π)．解：(1)α＝2 000°＝5×360°＋200°＝10π＋109π. (2)θ与α的终边相同，故θ＝2k π＋109π，k ∈Z ， 又θ∈(4π，6π)，所以k ＝2时，θ＝4π＋109π＝46π9. 10．用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角的集合．解：(1)如题图①，330°角的终边与－30°角的终边相同，将－30°化为弧度，即－π6，而75°＝75×π180＝5π12， 所以终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪⎪2k π－π6＜θ＜2k π＋5π12，k ∈Z . (2)如题图②，因为30°＝π6，210°＝7π6，这两个角的终边所在的直线相同，因此终边在直线AB 上的角为α＝k π＋π6，k ∈Z ， 又终边在y 轴上的角为β＝k π＋π2，k ∈Z ， 从而终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪⎪k π＋π6＜θ＜k π＋π2，k ∈Z . B 级 能力提升1．集合⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中角的终边所在的范围(阴影部分)是( )解析：当k ＝2m ，m ∈Z 时，2m π＋π4≤α≤2m π＋π2，m ∈Z ；当k ＝2m ＋1，m ∈Z 时，2m π＋5π4≤α≤2m π＋3π2，m ∈Z ，所以选C.答案：C2．钟表的时间经过了一小时，则时针转过了________rad.解析：钟表的时针是按顺时针的方向旋转的，经过12小时，时针转过－2π rad ，所以经过一小时，时针转过－π6rad. 答案：－π63．已知半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10.求α(∠AOB )所在的扇形的弧长l 及弧所在的弓形的面积S .解：由⊙O 的半径r ＝10＝AB ，知△AOB 是等边三角形， 所以α＝∠AOB ＝60°＝π3.所以弧长l ＝a ·r ＝π3×10＝10π3，所以S 扇形＝12lr ＝12×10π3×10＝50π3，又S △AOB ＝12·AB ·53＝12×10×53＝5032，所以S ＝S 扇形－S △AOB ＝50⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－32.。
人教A版高中数学必修四学基础达标训练弧度制基础达标含答案解析
1．下列说法中，错误的说法是 ( )A ．半圆所对的圆心角是π radB ．周角的大小等于2πC ．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D ．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度解析：选D.根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A 、B 、C 均正确，D 错误．2．下列转化结果错误的是( )A ．67°30′化成弧度是3π8B ．－10π3化成角度是－600°C ．－150°化成弧度是－7π6 D.π12化成角度是15° 解析：选C.对A,67°30′＝67.5×π180＝3π8，正确；对B ，－10π3＝－10π3×(180π)°＝－600°，正确；对C ，－150°＝－150×π180＝－5π6，错误；对D ，π12＝π12×(180π)°＝15°，正确． 3．在半径为8 cm 的圆中，5π3的圆心角所对的弧长为( ) A.403π cm B.203π cm C.2003π cm D.4003π cm 解析：选A.根据弧长公式，得l ＝5π3×8＝40π3cm. 4．将－1 485°化成α＋2k π(0≤α<2π，k ∈Z )的形式是( )A ．－π4－8πB ．－7π4－8π C ．－π4－10π D ．－7π4－10π 解析：选A.－1 485°＝－1 485×π180＝－33π4＝－π4－8π. 5．集合{α|k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z }中的角所表示的范围(阴影部分)是( )解析：选C.当k ＝2m ，m ∈Z 时，2m π＋π4≤α≤2m π＋π2，m ∈Z ； 当k ＝2m ＋1，m ∈Z 时，2m π＋5π4≤α≤2m π＋3π2，m ∈Z ，所以选C. 6．把－900°化成弧度为________．解析：－900°＝－900×π180＝－5π. 答案：－5π7．若角α的终边与85π角的终边相同，则在[0,2π]上，终边与α4角的终边相同的角是________． 解析：由题意，得α＝8π5＋2k π，∴α4＝2π5＋k π2(k ∈Z )．令k ＝0,1,2,3，得α4为2π5，9π10，7π5，19π10. 答案：2π5，9π10，7π5，19π108．圆的半径变为原来的3倍，而所对弧长不变，则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的________倍．解析：设原来圆的半径为r ，弧长为l ，弧所对的圆心角为α，则现在的圆的半径为3r ，弧长为l ，设弧所对的圆心角为β，于是l ＝|α|r ＝β·3r ，∴β＝13α. 答案：139．将下列各角化成弧度制下的角，并指出是第几象限角．(1)165°；(2)－1 725°；(3)－60°＋360°·k (k ∈Z )．解：(1)165°＝π180°×165°＝1112π，是第二象限角； (2)－1 725°＝75°－5×360°＝－5·2π＋5π12＝－10π＋5π12，是第一象限角． (3)－60°＋360°·k ＝－π180°×60°＋2π·k ＝－π3＋2k π(k ∈Z )，是第四象限角． 10．已知一个扇形的周长为8π9＋4，圆心角为80°，求这个扇形的面积． 解：设扇形的半径为r ，面积为S ，则扇形的圆心角为80×π180＝4π9. ∴扇形的弧长为4π9r ，∴4π9r ＋2r ＝8π9＋4，∴r ＝2. ∴S ＝12·4π9r 2＝8π9. 即扇形的面积为8π9.。
2024年新高一数学初升高衔接《弧度制》含答案解析
第22讲弧度制模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换；2．体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集的一一对应关系；3．掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式.知识点1角度制与弧度制的概念1、角度制：规定周角的1360为1度的角，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．2、弧度制的有关概念为了使用方便，数学上采用另一种度量角的单位制——弧度制．（1）1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．（2）弧度制：①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制．②记法：用符号rad表示，读作弧度．如图，在单位圆O 中， AB 的长度等于1，∠AOB 就是1弧度的角．3、弧度制与角度制的区别与联系区别（1）单位不同，弧度制以“弧度”为度量单位，角度制以“度”为度量单位；（2）定义不同．联系不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的定值．【注意】用弧度制表示角时，“弧度”二字可以省略不写；用角度制表示角时单位“°”不能丢．知识点2角度制与弧度制之间的互化1、角度制与弧度制的换算角度化弧度弧度化角度360°＝2πrad 2πrad ＝360°180°＝πrad πrad ＝180°1°＝π180rad≈0.01745rad1rad ＝180π°≈57.30°度数×π180＝弧度数弧度数×180π°＝度数2、特殊角的度数与弧度数的对应表度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧度6π4π3π2π32π43π65ππ23ππ23、角的集合与实数集R 的关系角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系，如图,每个角都是唯一的实数（等于这个角的弧度数）与它对应；反之，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的交)与之对应．知识点3弧长与扇形面积公式1、弧长与扇形面积公式的两种表示类别/度量单位角度制弧度制扇形的弧长180n R l π=l R α=扇形的面积2360n R S π=21122S lR R α==【注】扇形的半径为R ，弧长为l ，)20(παα<<或n °为其圆心角．2、弧长公式与扇形面积公式的注意事项（1）在应用公式时，要注意α的单位是“弧度”；（2）在弧度制下的扇形面积公式12S lR=，与三角形面积公式12S ah=的形式相似，可类比记忆．考点一：角度制与弧度制概念辨析例1．（23-24高一下·陕西·月考）已知相互啮合的两个齿轮，大轮50齿，小轮20齿，当小轮转动一周时大轮转动的弧度数是（）A．4π5B．5π4C．π5D．5π【变式1-1】（23-24高一上·全国·专题练习）（多选）下列各说法，正确的是（）A．半圆所对的圆心角是πradB．圆周角的大小等于2πC．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度【变式1-2】（22-23高一上·上海松江·期末）下列命题中，正确的是（）A．1弧度的角就是长为半径的弦所对的圆心角B．若α是第一象限的角，则π2α-也是第一象限的角C．若两个角的终边重合，则这两个角相等D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关【变式1-3】（22-23高一下·江西萍乡·期中）（多选）下列说法中正确的是（）A．度与弧度是度量角的两种不同的度量单位B．1度的角是周角的1360，1弧度的角是周角的12πC．根据弧度的定义，180︒一定等于π弧度D．不论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小均与圆的半径长短有关考点二：角度制化为弧度制例2.（23-24高一下·北京房山·期中）300o 化成弧度是（）A ．5π3B ．π611C ．7π6D ．7π4【变式2-1】（23-24高一上·安徽亳州·期末）将315- 化为弧度制，正确的是（）A ．3π4-B ．7π4-C ．45π-D ．5π3-【变式2-2】（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·月考）（多选）把495- 表示成2πk θ+，Z k ∈的形式，则θ值可以是（）A ．5π4B ．5π4-C ．3π4D ．3π4-【变式2-3】（23-24高一上·广东·月考）（多选）下列各角中，与角495︒终边相同的角为（）A ．3π4B ．5π4-C ．9π4-D ．13π4考点三：弧度制化为角度制例3.（23-24高一上·湖南株洲·月考）把5π4化成角度是（）A ．45︒B ．225︒C ．300︒D ．135︒【变式3-1】（23-24高一上·广东汕头·月考）5π12化为角度是（）A ．60︒B ．75︒C ．115︒D ．135︒【变式3-2】（23-24高一上·广东汕头·月考）3rad 是第（）象限角A ．一B ．二C ．三D ．四【变式3-3】（22-23高一上·北京·期末）下列与7π4的终边相同的角的表达式中，正确的是（）A ．()2π315Z k k +∈B ．()36045Z k k ⋅-∈C ．()7π360Z 4k k ⋅+∈D ．()5π2πZ 4k k +∈考点四：扇形弧长的相关计算例4.（23-24高一上·云南曲靖·月考）半径为3cm ，圆心角为210°的扇形的弧长为（）A ．630cmB ．7cm6C ．7πcm 6D ．7πcm 2【变式4-1】（23-24高一上·广东深圳·期末）若扇形的面积为1，且弧长为其半径的两倍，则该扇形的周长为（）A ．1B ．2C ．4D ．6【变式4-2】（23-24高一下·江西景德镇·期中）古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的扇面多为扇环形.已知某纸扇的扇面如图所示，其中外弧长与内弧长之和为89cm ，连接外弧与内弧的两端的线段长均为18cm ，且该扇环的圆心角的弧度数为2.5，则该扇环的外弧长为（）A ．63cmB ．65cmC ．67cmD ．69cm【变式4-3】（23-24高一下·山东烟台·月考）《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把郑铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，郑铁饼者的手臂长约为π4米，肩宽约为π8米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，则郑铁饼者双手之间的距离约为)1.41≈（）A ．1.01米B ．1.76米C ．2.04米D ．2.94米考点五：扇形面积的相关计算例5.（23-24高一下·广东韶关·月考）已知扇形的圆心角为2弧度，其弧长为8m ，则该扇形的面积为（）A ．28m B ．212m C ．216m D ．232m 【变式5-1】（23-24高一上·云南昆明·期末）已知某扇形的圆心角是3π8，半径为4，则该扇形的面积为．【变式5-2】（22-23高一下·河南南阳·期中）圆环被同圆心的扇形截得的一部分叫做扇环．如图所示，扇环ABCD 的内圆弧AB 的长为2π3，外圆弧CD 的长为4π3，圆心角2π3AOB ∠=，则该扇环的面积为（）A ．πB ．π2C ．4π3D ．2π3【变式5-3】（23-24高一下·河南驻马店·月考）如图，在菱形ABCD 中，45A ∠=︒，1A ，1B ，1C ，1D 分别是边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，以点A 为圆心，以1AA ，2AA 为半径作出两段圆弧，与AD 分别交于点1D ，3A ，分别以B ，C ，D 为圆心，用同样方法作出如图阴影部分的扇环，其中121212121A A B B C C D D ====.若扇环1231A A A D 的周长为7π24+，则扇环1231B B B A 的面积为（）A ．3πB ．21π8C ．7π8D ．3π4考点六：扇形周长、面积的最值例6.（23-24高一下·重庆璧山·月考）已知某扇形的周长是24，则该扇形的面积的最大值是（）A ．28B ．36C ．42D ．50【变式6-1】（23-24高一上·江苏南京·期末）（多选）已知扇形的半径为r ，弧长为l .若其周长的数值为面积的数值的2倍，则下列说法正确的是（）A ．该扇形面积的最小值为8B ．当扇形周长最小时，其圆心角为2C ．2r l +的最小值为9D ．2214r l +的最小值为12【变式6-2】（23-24高一上·云南曲靖·期末）已知一扇形的圆心角为α（α为正角），周长为C ，面积为S ，所在圆的半径为r ．(1)若36α=︒，10cm r =，求扇形的弧长；(2)若4cm C =，求S 的最大值及此时扇形的半径和圆心角．【变式6-3】（23-24高一下·河南南阳·月考）已知一扇形的圆心角为()0αα>，半径为R ，面积为S ，周长为L ．(1)若24cm S =，则扇形圆心角α为多少弧度时，L 最小？并求出L 的最小值；(2)若10cm L =，则扇形圆心角α为多少弧度时，S 最大？并求出S 的最大值．一、单选题1．（23-24高一上·贵州黔南·月考）将315︒化为弧度是（）A ．π4-B ．7π4C ．11π6D ．5π32．（23-24高一上·江苏徐州·月考）把2π3弧度化成角度是（）A ．30︒B ．60︒C ．90︒D ．120︒3．（22-23高一上·广东深圳·期末）在半径为2的圆中，弧长为π的弧所对的圆心角为（）A ．60︒B ．90︒C ．120︒D ．180︒4．（23-24高一下·辽宁大连·月考）已知扇形的弧长为2π，半径为3，则扇形的面积为（）A ．πB ．3π2C ．3πD ．6π5．（23-24高一下·内蒙古赤峰·月考）已知扇形的半径为2，圆心角为2弧度，则此扇形的弧长为（）A ．4B ．6C ．8D ．106．（23-24高一上·陕西铜川·月考）已知一扇形的周长为40，当扇形的面积最大时，扇形的圆心角等于（）A ．2B ．3C ．1D ．4二、多选题7．（23-24高一下·安徽淮北·月考）下列说法正确的是（）A ．120-︒化成弧度是2πrad3-B ．πrad 10化成角度是18°C ．1 化成弧度是180radD ．10πrad 3-化成角度是60-︒8．（23-24高一下·湖南·期中）已知某扇形的周长和面积均为18，则扇形的圆心角的弧度数可能为（）A ．4B ．3C ．2D ．1三、填空题9．（23-24高一下·河南驻马店·月考）已知某扇形的半径为，周长为，则该扇形的面积为.10．（23-24高一下·河南南阳·月考）以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫作角的密位制.在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写.密位的写法是在百位数与十位数之间画一条短线，如5密位写成“005-”，235密位写成“235-”，1246密位写成“1246-”.1周角等于6000密位，写成“6000-”.已知某扇形中的弧的中点到弧所对的弦的距离等于弦长的6，则该扇形的圆心角用密位制表示为.11．（23-24高一下·江西乙醇·dm ，宽为1dm 的长方体木块在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第四次时被小木块挡住，此时长方体木块底面与桌面所成的角为π6，求点A 走过的路程为．四、解答题12．（23-24高一下·辽宁辽阳·期中）如图，这是一个扇形环面（由扇形OCD 挖去扇形OAB 后构成）展台，4=AD 米．(1)若2π3COD ∠=，2OA =米，求该扇形环面展台的周长；(2)若该扇形环面展台的周长为14米，布置该展台的平均费用为500元/平方米，求布置该扇形环面展台的总费用．13．（23-24高一上·安徽淮北·月考）已知扇形的圆心角是α，半径为R ，弧长为l .(1)若3πα=，10cm R =，求扇形的弧长l .(2)若扇形的周长是20cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？(3)若,2cm 3R πα==，求扇形的弧所在的弓形的面积.第22讲弧度制模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换；2．体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集的一一对应关系；3．掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式.知识点1角度制与弧度制的概念1、角度制：规定周角的1360为1度的角，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．2、弧度制的有关概念为了使用方便，数学上采用另一种度量角的单位制——弧度制．（1）1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．（2）弧度制：①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制．②记法：用符号rad表示，读作弧度．如图，在单位圆O 中， AB 的长度等于1，∠AOB 就是1弧度的角．3、弧度制与角度制的区别与联系区别（1）单位不同，弧度制以“弧度”为度量单位，角度制以“度”为度量单位；（2）定义不同．联系不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的定值．【注意】用弧度制表示角时，“弧度”二字可以省略不写；用角度制表示角时单位“°”不能丢．知识点2角度制与弧度制之间的互化1、角度制与弧度制的换算角度化弧度弧度化角度360°＝2πrad 2πrad ＝360°180°＝πrad πrad ＝180°1°＝π180rad≈0.01745rad1rad ＝180π°≈57.30°度数×π180＝弧度数弧度数×180π°＝度数2、特殊角的度数与弧度数的对应表度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧度6π4π3π2π32π43π65ππ23ππ23、角的集合与实数集R 的关系角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系，如图,每个角都是唯一的实数（等于这个角的弧度数）与它对应；反之，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的交)与之对应．知识点3弧长与扇形面积公式1、弧长与扇形面积公式的两种表示类别/度量单位角度制弧度制扇形的弧长180n R l π=l R α=扇形的面积2360n R S π=21122S lR R α==【注】扇形的半径为R ，弧长为l ，)20(παα<<或n °为其圆心角．2、弧长公式与扇形面积公式的注意事项（1）在应用公式时，要注意α的单位是“弧度”；（2）在弧度制下的扇形面积公式12S lR=，与三角形面积公式12S ah=的形式相似，可类比记忆．考点一：角度制与弧度制概念辨析例1．（23-24高一下·陕西·月考）已知相互啮合的两个齿轮，大轮50齿，小轮20齿，当小轮转动一周时大轮转动的弧度数是（）A．4π5B．5π4C．π5D．5π【答案】A【解析】小齿轮转动一周时，大齿轮转动202 505=周，故其转动的弧度数是24π2π55⨯=.故选：A.【变式1-1】（23-24高一上·全国·专题练习）（多选）下列各说法，正确的是（）A．半圆所对的圆心角是πradB．圆周角的大小等于2πC．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度【答案】ABC【解析】由弧度制的定义可知：长度等于半径的弧所对的圆心角的大小是1弧度，则长度等于半径的弦所对的圆心角的大小不是1弧度，D的说法错误，根据弧度的定义及角度与弧度的换算可知，ABC的说法正确．故选：ABC【变式1-2】（22-23高一上·上海松江·期末）下列命题中，正确的是（）A ．1弧度的角就是长为半径的弦所对的圆心角B ．若α是第一象限的角，则π2α-也是第一象限的角C ．若两个角的终边重合，则这两个角相等D ．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关【答案】B【解析】1弧度的角就是长为半径的弧所对的圆心角，A 选项错误；若α是第一象限的角，则α-是第四象限的角，所以π2α-+是第一象限的角，B 选项正确；当30α= ，390β= 时，α与β终边重合，但两个角不相等，C 选项错误；不论是用角度制还是弧度制度量角，由角度值和弧度值的定义可知度量角与所取圆的半径无关，D 选项错误.故选：B【变式1-3】（22-23高一下·江西萍乡·期中）（多选）下列说法中正确的是（）A ．度与弧度是度量角的两种不同的度量单位B ．1度的角是周角的1360，1弧度的角是周角的12πC ．根据弧度的定义，180︒一定等于π弧度D ．不论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小均与圆的半径长短有关【答案】ABC【解析】根据角度制和弧度制的定义可知，度与弧度是度量角的两种不同的度量单位，所以A 正确；由圆周角的定义知，1度的角是周角的1360，1弧度的角是周角的12π，所以B 正确；根据弧度的定义知，180︒一定等于π弧度，所以C 正确；无论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小均与圆的半径长短无关，只与弧长与半径的比值有关，故D 不正确.故选：ABC.考点二：角度制化为弧度制例2.（23-24高一下·北京房山·期中）300o 化成弧度是（）A ．5π3B ．π611C ．7π6D ．7π4【答案】A【解析】因为180π= ，所以3π5π300300180=⨯=.故选：A 【变式2-1】（23-24高一上·安徽亳州·期末）将315- 化为弧度制，正确的是（）A ．3π4-B ．7π4-C ．45π-D ．5π3-【答案】B【解析】7π3153151804π-=-⨯=-.故选：B 【变式2-2】（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·月考）（多选）把495- 表示成2πk θ+，Z k ∈的形式，则θ值可以是（）A ．5π4B ．5π4-C ．3π4D ．3π4-【答案】AD【解析】根据角度制与弧度制的互化公式，可得11π4954-=-，再由终边相同角的表示，可得11π3π5π2π4π444-=--=-，所以11π4-与3π4-和5π4的终边相同.故选：AD.【变式2-3】（23-24高一上·广东·月考）（多选）下列各角中，与角495︒终边相同的角为（）A ．3π4B ．5π4-C ．9π4-D ．13π4【答案】AB【解析】对于A ，495360135︒=︒+︒，3π1354︒=，故A 正确；对于B ，与3π4终边相同的角为324k παπ=+，k ∈Z ，当1k =-时，5π4α=-，故B 正确；对于C ，令3π9π2π44k +=-，解得32k =-∉Z ，故C 错误；对于D ，令3π13π2π44k +=，解得54k =∉Z ，故D 错误．故选：AB.考点三：弧度制化为角度制例3.（23-24高一上·湖南株洲·月考）把5π4化成角度是（）A ．45︒B ．225︒C ．300︒D ．135︒【答案】B 【解析】5π5π18022544π︒=⨯=︒.故选：B 【变式3-1】（23-24高一上·广东汕头·月考）5π12化为角度是（）A ．60︒B ．75︒C ．115︒D ．135︒【答案】B 【解析】5π5180751212=⨯︒=︒.故选：B 【变式3-2】（23-24高一上·广东汕头·月考）3rad 是第（）象限角A ．一B ．二C ．三D ．四【答案】B【解析】π180rad =，540903180πrad ⎛⎫∴<=< ⎪⎝⎭为第二象限角.故选：B【变式3-3】（22-23高一上·北京·期末）下列与7π4的终边相同的角的表达式中，正确的是（）A ．()2π315Z k k +∈B ．()36045Z k k ⋅-∈C ．()7π360Z 4k k ⋅+∈D ．()5π2πZ 4k k +∈【答案】B【解析】因为7πrad 3154=，终边落在第四象限，且与45- 角终边相同，故与7π4的终边相同的角的集合{}{}31536045360S k k αααα==+⋅==-+⋅ 即选项B 正确；选项AC 书写不规范，选项D 表示角终边在第三象限.故选：B.考点四：扇形弧长的相关计算例4.（23-24高一上·云南曲靖·月考）半径为3cm ，圆心角为210°的扇形的弧长为（）A ．630cm B ．7cm6C ．7πcm 6D ．7πcm 2【答案】D【解析】圆心角210︒化为弧度为7π6，则弧长为7π7π3cm 62⨯=.故选：D 【变式4-1】（23-24高一上·广东深圳·期末）若扇形的面积为1，且弧长为其半径的两倍，则该扇形的周长为（）A ．1B ．2C ．4D ．6【答案】C【解析】设扇形的半径为r ，圆心角为α，则弧长2l r r α==，所以2α=，扇形的面积22112S r r α===，解得1r =或1r =-（舍去），所以2l r α==，则该扇形的周长为24r l +=.故选：C【变式4-2】（23-24高一下·江西景德镇·期中）古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的扇面多为扇环形.已知某纸扇的扇面如图所示，其中外弧长与内弧长之和为89cm ，连接外弧与内弧的两端的线段长均为18cm ，且该扇环的圆心角的弧度数为2.5，则该扇环的外弧长为（）A ．63cmB ．65cmC ．67cmD ．69cm【答案】C【解析】设该扇环的内弧的半径为r cm ，则外弧的半径为()18cm r +，圆心角 2.5α=，所以()1889r r αα++=，即()2.5 2.51889r r ++=，解得8.8r =，所以该扇环的外弧长()()2.518 2.58.81867cm l r =+=+=.故选：C【变式4-3】（23-24高一下·山东烟台·月考）《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把郑铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，郑铁饼者的手臂长约为π4米，肩宽约为π8米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，则郑铁饼者双手之间的距离约为)2 1.41≈（）A ．1.01米B ．1.76米C ．2.04米D ．2.94米【答案】B【解析】由题意可知，“弓”所在圆的弧长为 ππ5π2488BC=⨯+=，由弧度数公式得5ππ81.252l BOC r ∠===，即BOC 为等腰直角三角形，所以π4OBC ∠=，则掷铁饼者双手之间的距离()5251.41 1.76m π4sin4r BC ==≈⨯≈.故选：B.考点五：扇形面积的相关计算例5.（23-24高一下·广东韶关·月考）已知扇形的圆心角为2弧度，其弧长为8m ，则该扇形的面积为（）A ．28m B ．212m C ．216m D ．232m 【答案】C【解析】由扇形的圆心角为2弧度，其弧长为8m ，得扇形所在圆半径4m =r ，所以该扇形的面积148162S =⨯⨯=(2m ).故选：C 【变式5-1】（23-24高一上·云南昆明·期末）已知某扇形的圆心角是3π8，半径为4，则该扇形的面积为．【答案】3π【解析】由扇形的圆心角是3π8，半径为4，则该扇形的面积为23π43π812S ⨯⨯==.故答案为：3π.【变式5-2】（22-23高一下·河南南阳·期中）圆环被同圆心的扇形截得的一部分叫做扇环．如图所示，扇环ABCD 的内圆弧AB 的长为2π3，外圆弧CD 的长为4π3，圆心角2π3AOB ∠=，则该扇环的面积为（）A ．πB ．π2C ．4π3D ．2π3【解析】由扇形面积公式2122l S lr α==（其中l 为扇形弧长，α为扇形圆心角，r 为扇形半径）可得，扇环面积22214π2π34ππ2334π3S α⎡⎤⎛⎫⎛⎫'=-=⨯=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦.故选：A 【变式5-3】（23-24高一下·河南驻马店·月考）如图，在菱形ABCD 中，45A ∠=︒，1A ，1B ，1C ，1D 分别是边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，以点A 为圆心，以1AA ，2AA 为半径作出两段圆弧，与AD 分别交于点1D ，3A ，分别以B ，C ，D 为圆心，用同样方法作出如图阴影部分的扇环，其中121212121A A B B C C D D ====.若扇环1231A A A D 的周长为7π24+，则扇环1231B B B A 的面积为（）A ．3πB ．21π8C ．7π8D ．3π4【答案】B【解析】设2AA r =，则11AA r =+，因为扇环1231A A A D 的周长为7π24+，所以：()ππ7π122444r r +++=+⇒3r =.所以扇环1231B B B A 的面积为：2213π13π432424⋅⋅-⋅⋅21π8=.故选：B考点六：扇形周长、面积的最值例6.（23-24高一下·重庆璧山·月考）已知某扇形的周长是24，则该扇形的面积的最大值是（）A ．28B ．36C ．42D ．50【解析】设扇形的弧长为l ，半径为r ，则224l r +=，所以扇形的面积22111212123624424l r S lr l r +⎛⎫==⋅≤=⨯= ⎪⎝⎭，当且仅当2l r =，即12,6l r ==时取等号，所以该扇形的面积的最大值是36，故选：B【变式6-1】（23-24高一上·江苏南京·期末）（多选）已知扇形的半径为r ，弧长为l .若其周长的数值为面积的数值的2倍，则下列说法正确的是（）A ．该扇形面积的最小值为8B ．当扇形周长最小时，其圆心角为2C ．2r l +的最小值为9D ．2214r l+的最小值为12【答案】BCD【解析】由题意，知2r l rl +=，则(),22lr l l =>-，所以扇形面积22111(2)4(2)422222l l l S rl l l -+-+==⋅=⋅--1411[(2)4]4)(44)42222l l =-++≥=⨯+=-，当且仅当422l l -=-，即4l =时，等号成立，选项A 错误；扇形周长为()()22242422222l l l l r l l l l l -+-++=+==---4(2)44482l l =-++≥+=-，当且仅当422l l -=-，即4l =时，等号成立，此时，圆心角为422l r==，选项B 正确；()()()222522222522222l l l l l l r l l l -+-+=-+=+=--++-5459≥=+=当且仅当()2222l l -=-，即3l =时，等号成立，选项C 正确；()22222222144841118421l r l l l l l l -⎛⎫+=+=-+=-+ ⎪⎝⎭,当114l =时，上式取得最小值为12，选项D 正确.故选：BCD.【变式6-2】（23-24高一上·云南曲靖·期末）已知一扇形的圆心角为α（α为正角），周长为C ，面积为S ，所在圆的半径为r ．(1)若36α=︒，10cm r =，求扇形的弧长；(2)若4cm C =，求S 的最大值及此时扇形的半径和圆心角．【答案】(1)()2πcm ；(2)S 的最大值为1，此时扇形的半径是1cm ，圆心角2rad ．【解析】（1）π13636rad πrad 1805α=⨯=︒=，扇形的弧长()1π102πcm 5l r α==⨯=；（2）设扇形的弧长为l ，半径为r ，则24r l +=，()4202l r r ∴=-<<，则()()22114221122S lr r r r r r ==-=-+=--+，当1r =时，2max 1cm S =，此时4212cm l =-⨯=，2lrα==，S ∴的最大值是21cm ，此时扇形的半径是1cm ，圆心角2rad α=．【变式6-3】（23-24高一下·河南南阳·月考）已知一扇形的圆心角为()0αα>，半径为R ，面积为S ，周长为L ．(1)若24cm S =，则扇形圆心角α为多少弧度时，L 最小？并求出L 的最小值；(2)若10cm L =，则扇形圆心角α为多少弧度时，S 最大？并求出S 的最大值．【答案】(1)2rad α=，最小值为8cm ；(2)2rad α=，最大值为225cm 4．【解析】（1）2214cm 2S R α== ，28Rα∴=则288222L R R R R R R Rα=+=+⋅=+．由基本不等式可得828R R +≥=，当且仅当82R R =，即2R =时等号成立，此时2822α==．∴当2rad α=时，L 最小，最小值为8cm ．（2）210cm L R R α=+= ，102RRα-∴=．22221110252552224R S R R R R R R α-⎛⎫==⋅⋅=-+=--+ ⎪⎝⎭．当52R =，即2α=时，max 254S =．∴当2rad α=时，S 最大，最大值为225cm 4．一、单选题1．（23-24高一上·贵州黔南·月考）将315︒化为弧度是（）A ．π4-B ．7π4C ．11π6D ．5π3【答案】B 【解析】3157315ππ1804︒==.故选：B 2．（23-24高一上·江苏徐州·月考）把2π3弧度化成角度是（）A ．30︒B ．60︒C ．90︒D ．120︒【答案】D【解析】因为π180=︒，所以22π18012033=⨯︒=︒.故选：D.3．（22-23高一上·广东深圳·期末）在半径为2的圆中，弧长为π的弧所对的圆心角为（）A ．60︒B ．90︒C ．120︒D ．180︒【答案】B【解析】弧长为π的弧所对的圆心角为πrad 902︒=，故选：B 4．（23-24高一下·辽宁大连·月考）已知扇形的弧长为2π，半径为3，则扇形的面积为（）A ．πB ．3π2C ．3πD ．6π【答案】C【解析】由扇形的面积可得，112π33π22S lr ==⨯⨯=.故选：C5．（23-24高一下·内蒙古赤峰·月考）已知扇形的半径为2，圆心角为2弧度，则此扇形的弧长为（）A ．4B ．6C ．8D ．10【答案】A【解析】因为半径2r =，圆心角=2α，所以根据弧长公式l r α=得4l =.故选：A.6．（23-24高一上·陕西铜川·月考）已知一扇形的周长为40，当扇形的面积最大时，扇形的圆心角等于（）A ．2B ．3C ．1D ．4【答案】A【解析】设扇形所在圆半径为r ，则该扇形弧长402l r =-，020r <<，于是该扇形的面积21(20)(10)1001002S rl r r r ==-=--+≤，当且仅当10r =时取等号，所以当10r =时，扇形的面积最大，此时扇形的圆心角等于2lr=.故选：A 二、多选题7．（23-24高一下·安徽淮北·月考）下列说法正确的是（）A ．120-︒化成弧度是2πrad3-B ．πrad 10化成角度是18°C ．1 化成弧度是180rad D ．10πrad 3-化成角度是60-︒【答案】AB【解析】对于A 项，因π2120120πrad 1803-︒=-⨯=-，故A 项正确；对于B 项，因ππ180rad=()181010π⨯=，故B 项正确；对于C 项，因ππ11rad rad 180180=⨯=，故C 项错误；对于D 项，因1010180πrad π(60033π-=-⨯=-，故D 项错误.故选：AB.8．（23-24高一下·湖南·期中）已知某扇形的周长和面积均为18，则扇形的圆心角的弧度数可能为（）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】AD【解析】设扇形的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α，根据扇形的周长和面积均为18，则2181182l r lr +=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得312r l =⎧⎨=⎩或66r l =⎧⎨=⎩，则4lrα==或1.故选：AD .三、填空题9．（23-24高一下·河南驻马店·月考）已知某扇形的半径为42，周长为122，则该扇形的面积为.【答案】16【解析】设扇形的弧长为l ，依题意，242122l ⨯+=，解得42l =.故该扇形的面积为14242162⨯⨯=.故答案为：16.10．（23-24高一下·河南南阳·月考）以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫作角的密位制.在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写.密位的写法是在百位数与十位数之间画一条短线，如5密位写成“005-”，235密位写成“235-”，1246密位写成“1246-”.1周角等于6000密位，写成“6000-”.已知某扇形中的弧的中点到弧所对的弦的距离等于弦长的36，则该扇形的圆心角用密位制表示为.【答案】2000-【解析】如图，C 是弧AB 的中点，由题意可得3363CD AB BD ==，即3=BD CD .因为AB CD ⊥，所以π6CBD ∠=，所以同弧所对圆心角π3AOC ∠=，所以2π2π60002000332πAOB ∠==⨯=，即该扇形的圆心角用密位制表示为2000-.故答案为：2000-11．（23-24高一下·江西乙醇·3dm ，宽为1dm 的长方体木块在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第四次时被小木块挡住，此时长方体木块底面与桌面所成的角为π6，求点A 走过的路程为．()923dm 6+【解析】第一次是以B 为旋转中心，以()2312BA =+=为半径旋转90︒，此次点A 走过的路径是π2π2⨯=，第二次是以C 为旋转中心，以11CA =为半径旋转90︒，此次点A 走过的路径是ππ122⨯=，第三次是以D 为旋转中心，以23DA =60︒，此次点A 走过的路径是π3π333=∴点A 三次共走过的路径是()3π3π923dm 236+，故答案为：()923πdm 6+．四、解答题12．（23-24高一下·辽宁辽阳·期中）如图，这是一个扇形环面（由扇形OCD 挖去扇形OAB 后构成）展台，4=AD 米．(1)若2π3COD ∠=，2OA =米，求该扇形环面展台的周长；(2)若该扇形环面展台的周长为14米，布置该展台的平均费用为500元/平方米，求布置该扇形环面展台的总费用．【答案】(1)16π83+米；(2)6000元【解析】（1）弧AB 的长度14π3l =，弧CD 的长度212π3l =，所以扇形环面展台周长为：1216π2483l l ++⨯=+米；（2）设COD θ∠=，OA r =米，则弧AB 的长度1l r θ=，弧CD 的长度()244l r r θθθ=+=+，因为该扇形环面的周长为14米，所以124214l l ++⨯=，即4814r r θθθ+++=，整理得23r θθ+=，则该扇形环面展台的面积：()2211(4)48421222S r r r r θθθθθ=+-=+=+=平方米，所以布置该扇形环面展台的总费用为：125006000⨯=元.13．（23-24高一上·安徽淮北·月考）已知扇形的圆心角是α，半径为R ，弧长为l .(1)若3πα=，10cm R =，求扇形的弧长l .(2)若扇形的周长是20cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？(3)若,2cm 3R πα==，求扇形的弧所在的弓形的面积.【答案】(1)10cm 3π；(2)2α=时，面积最大；(3)23π⎛⎝cm 2.【解析】（1）由,10cm 3R πα==，则扇形的弧长101033l R ππα==⨯=(cm).（2）由已知得，220l R +=，则202l R =-，∴()()22022111202252242R R S lR R R -+⎡⎤==-⋅≤=⎢⎥⎣⎦当且仅当2022R R -=，即5R =时扇形的面积最大，此时圆心角1025α===l R .（3）设弓形面积为S 弓形，由,2cm 3R πα==，得()2cm 3l R πα==，所以22121222sin cm 23233S πππ⎛=⨯⨯-⨯⨯= ⎝弓形.。
北师大版高中数学必修四双基限时练3.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作双基限时练(三) 弧度制一、选择题1．下列结论不正确的是( ) A.π3 rad ＝60° B ．10°＝π18 rad C ．36°＝π5 radD.5π8 rad ＝115°解析 5π8＝5π8×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝112.5°.答案 D2．若扇形的半径变为原来的2倍，而弧长也扩大到原来的2倍，则( )A ．扇形的面积不变B ．扇形的圆心角不变C ．扇形的面积扩大到原来的2倍D ．扇形的圆心角扩大到原来的2倍解析 由S 扇＝12rl 知当半径变为原来的2倍，弧长也扩大到原来的2倍时，面积变为原来的4倍，故A ，C 不对，又由圆心角θ＝l r ，当l 与r 均变为原来的2倍时，θ的值不变，故B 正确．答案 B3．时钟经过三小时，时针转过了( ) A. π6 rad B. π2 rad C. －π2 radD. －π6 rad解析 时针每小时转过－π6 rad. 答案 C4．将－1485°改写成2k π＋α(0≤α<π，k ∈Z )的形式是( ) A. －8π＋π4 B. －10π－π4 C. －8π＋74πD. －10π＋74π 解析 －1485°＝－1485×π180＝－334π＝－10π＋74π. 答案 D5．若α与β关于y 轴对称，则( ) A ．α＋β＝π2(k ∈Z ) B ．α＋β＝2k π＋π2(k ∈Z ) C ．α＋β＝2k π(k ∈Z ) D ．α＋β＝2k π＋π(k ∈Z )解析 由α，β关于y 轴对称，得β＝2k π＋π－α(k ∈Z )． 答案 D6．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 所表示的角的范围(用阴影表示)是( )解析当k＝2m，m∈Z时，2mπ＋π4≤α≤2mπ＋π2，m∈Z；当k＝2m＋1，m∈Z时，2mπ＋5π4≤α≤2mπ＋3π2，m∈Z，所以选C.答案 C7．将－300°化为弧度为()A. －4π3 B. －5π3C. －7π6 D. －7π4解析∵1°＝π180，∴－300°＝－300×π180＝－5π3rad.答案 B二、填空题8．若三角形三内角之比为4∶5∶6，则三内角的弧度数分别是__________．解析 设三角形的三个内角的弧度数分别为4x,5x,6x ，则有4x ＋5x ＋6x ＝π，解得x ＝π15.∴三内角的弧度数分别为4x ＝4π15，5x ＝π3，6x ＝2π5. 答案 4π15，π3，2π59．已知一扇形的圆心角α＝π3，扇形所在圆的半径R ＝10，则这个扇形的弧长为________，该扇形所在弓形的面积为________．解析 设扇形的弧长为l ， 则l ＝α·R ＝π3×10＝10π3，由题意得S 弓＝S 扇－S △＝12Rl －12R 2sin π3 ＝12×10×10π3－12×102×32 ＝50(π3－32)．答案 103π 50⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－3210．(1)若θ∈(0，π)，且θ与7θ终边相同，则θ＝______. (2)设α＝－2 rad ，则α的终边在第________象限． 解析 (1)由题意得7θ＝2k π＋θ， ∴θ＝k π3(k ∈Z )，又θ∈(0，π)， 当k ＝1时，θ＝π3；当k ＝2时θ＝23π. (2)－2＝－2π＋2π－2，∵2π－2∈(π，32π)，故α为第三象限角．答案 (1)π3或2π3 (2)三 三、解答题11．将下列各角写成2k π＋α(0≤α<2π)的形式，并指出角的终边所在的象限．(1)214π； (2)1580°； (3)－236π.解 (1)214π＝4π＋54π，为第三象限角；(2)1580°＝1580180π＝799π＝8π＋79π，为第二象限角； (3)－236π＝－4π＋π6，为第一象限角．12．用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(包括边界)并判断2012°是不是这个集合的元素．解 ∵150°＝5π6，∴终边在阴影区域内角的集合为S ＝{β|5π6＋2k π≤β≤3π2＋2k π，k ∈Z }．∵2012°＝212°＋5×360°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫53π45＋10πrad ，又5π6＜53π45＜3π2. ∴2012°＝503π45∈S .13．如图，动点P ，Q 从点A (4,0)出发，沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π3弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转π6弧度，求P ，Q 第一次相遇时所用的时间及P ，Q 点各自走过的弧长.解 设P ，Q 第一次相遇时所用的时间是t ，则t ·π3＋t ·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－π6＝2π， 所以t ＝4(s)，即P ，Q 第一次相遇时所用的时间为4 s.P 点走过的弧长为4π3×4＝16π3， Q 点走过的弧长为2π3×4＝8π3.。
高中数学 专题01 任意角和弧度制同步单元双基双测卷(A卷)新人教A版必修4
专题一任意角和弧度制测试卷（A 卷）（测试时间：120分钟 满分：150分）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．与60-°的终边相相同的角是 （ ） A.3πB. 23πC. 43πD. 53π【答案】D【解析】因为π603o -=-, π5π2π33-=-,所以与60-°的终边相相同的角是5π3;故选D. 2．460是（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第五象限 【答案】B【解析】由题意得， 460360100︒=︒+︒，因此460与100︒在同一象限第二象限，故选B. 3．下列角终边位于第二象限的是（ ）A. 420B. 860C. 1060D. 1260【答案】B【解析】00042036060=+终边位于第一象限， 0008602360140=⨯+终边位于第二象限，选B. 4．已知圆的半径为π，则060圆心角所对的弧长为（ ）A. 3πB. 23πC. 23πD. 223π【答案】C【解析】60化为弧度制为3π，由弧长公式有233l r ππαπ==⨯=，选C.5．终边在第二象限的角的集合可以表示为( ) A. 0{|90180}αα<<B. 0000{|270360180360,}k k k Z αα-+⋅<<-+⋅∈ C. 0{|90180180180,}k k k Z αα+⋅<<+⋅∈ D. 0{|270180180180,}k k k Z αα-+⋅<<-+⋅∈ 【答案】B6．下列说法中， ①与角5π的终边相同的角有有限个； ②圆的半径为6，则15 的圆心角与圆弧围成的扇形面积为23π；正确的个数是 ( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 【答案】B【解析】①错；②22113156221802S r ππα==⨯⨯⨯=,对；因而正确的个数为0.选B. 7．已知扇形的半径为2，面积为4，则这个扇形圆心角的弧度数为（ ）【答案】B【解析】由扇形面积公式12S lr =，则4l =，又422l r α===．故本题答案选B ． 8．已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（ ） A. B.C.D. A=B=C【答案】B【解析】 锐角必小于,故选B.9．已知α是锐角，则2α是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角C. 小于180的正角D. 第一或第二象限角【答案】C【解析】α是锐角,∴()20απ∈，，∴2α是小于180的正角.10．扇形的圆心角为 ）A.54πB. π2 【答案】A【解析】扇形的面积2211552264S R ππθ==⨯⨯=11．终边在直线y x =上的角的集合是（ ）A. {|,}4k k Z πααπ=+∈ B. {|2,}4k k Z πααπ=+∈C. 3{|,}4k k Z πααπ=+∈D. 5{|2,}4k k Z πααπ=+∈【答案】A【解析】与α终边在一条直线上的角的集合为{|,}k k Z ββαπ=+∈，∴与4π终边在同一直线上的角的集合是{|,}4a k k Z παπ=+∈.故选A.12．已知α为第三象限角，则2α所在的象限是（ ）A. 第一或第三象限B. 第二或第三象限C. 第一或第三象限D. 第二或第四象限 【答案】D第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．的角属于第_________象限.【答案】二 【解析】在第二象限,所以的角属于第二象限14．53π-的角化为角度制的结果为__________， 135-的角化为弧度制的结果为__________．【答案】 300- 34π-【解析】由题意得， 5518030033π-=-⨯︒=-︒， 135- 31351804ππ=-︒⨯=-︒ .15.已知扇形的半径为4cm ，弧长为12cm ，则扇形的圆周角为 ； 【答案】3 【解析】3412===r l α 16．已知扇形的周长为10cm ，面积为42cm ，则扇形的中心角等于__________（弧度）. 【答案】12【解析】由题意2108{{ 81r l l lr r +==⇒==或2{ 4l r ==，则圆心角是12l r α==，应填答案12.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．写出(0)y x x =±≥所夹区域内的角的集合。
数学北师大必修自主训练：弧度制 含解析
自主广场我夯基我达标1．下列命题中，错误的是（）A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B.一度的角是周角的3601，一弧度的角是周角的π21C.根据弧度的定义，180°等于π弧度D.不论用角度制还是用弧度制度量角，它们与圆的半径长短有关思路解析：由角和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小与半径的长短无关，只与弧长与半径的比值有关.答案：D2．α是第三象限的角，则π+α是（）A.第一象限的角B.第二象限的角C.第三象限的角D.第四象限的角思路解析：结合图形，π+α可以看成将α按顺时针旋转π得到的，则π+α是第一象限的角. 答案：A3.如果一扇形的圆心角为72°，半径等于20 cm，则扇形的面积为（）A.40π cm2B.80π cm2C.40 cm2D.80 cm2思路解析：先把角度化为弧度，然后利用弧度制下的扇形面积公式即可解出.72°=52π,S=21|α|r2=21×52π×202=80π cm2.答案：B4．若扇形的面积是1 cm2，它的周长是4 cm，则扇形圆心角的弧度数为（）A.1B.2C.3D.4思路解析：设扇形的半径为Ｒ，弧长为l，由已知条件可知⎪⎩⎪⎨⎧=+=,42,121lRlR解得⎩⎨⎧==.1,2Rl所以扇形的圆心角度数为r1=2.答案：B5．若α、β满足-2π＜α＜β＜2π，则α-2β的取值范围是____________________.思路解析：由题意,得-2π＜α＜2π，-π＜-2β＜π，∴-23π＜α-2β＜23π.答案：(-23π,23π)6.1弧度的圆心角所对的弦长为2，求这个圆心角所对的弧长及扇形的面积.思路分析：解决此问题的关键是求圆的直径.图1-3-5 解：如图所示，作OC⊥AB于C，则C为AB的中点，且AC=1，∠AOC=21，∴r=OA=AOCAC∠sin=21sin1.则弧长l=|α|·r=21sin1，面积S=21lr=21sin212.我综合我发展7.在直径为10 cm的轮子上有一长为6cm的弦，P为弦的中点，轮子以每秒５弧度的角速度旋转，求经过５秒钟后，点P转过的弧长.思路分析：P点在一新圆上，所以要求点P转过的弧长，需先求新圆的半径.解：P到圆心O的距离PO=2235-=4（cm），即点P所在新圆的半径为4，又点P转过的角的弧度数α=5×5=25，所以弧长为α·OP=25×4=100（cm）.即点P转过的弧长为100 cm.8.如图1-3-6,动点P、Q从点(4,0)出发沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转3π弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转6π弧度，求P、Q第一次相遇时所用的时间，相遇点的坐标及P、Q点各自走过的弧长.图1-3-6思路分析：利用方程思想，结合题意，求出第一次相遇的时间；利用解直角三角形的知识，根据点所处位置，确定相遇点坐标；（3）利用弧长公式求弧长.解：设P、Q第一次相遇时所用的时间是t，则t·3π+t·|-6π|=2π，所以t=4（秒），即第一次相遇的时间为4秒，设第一次相遇点为C，则第一次相遇时已运动到终边在3π·4=34π的位置，则x C=-cos3π·4=-2,y C=-sin3π·4=-32，所以C点的坐标为(-2,- 32)，P点走过的弧长为34π·4=316π；Q点走过的弧长为32π·4=38π.9.将钟表上的时针作为角的始边，分针作为终边，那么当钟表上显示8点5分时，时针与分针构成的角度是_____________.思路解析：本题应从任意角的概念出发，研究时针与分针所构成的角α，其中有正角、负角，共有无穷多个角.要求这无穷多个角，可先求出在-360°—0°范围内的角∠AOB.∠AOB＝-(121×360°×1211+90°+121×360°)=-147.5°,所以角α可表示为α＝k·360°-147.5°（k∈Z）答案：k·360°-147.5°（k∈Z）10.如图1-3-7，已知一长为3dm ，宽为1 dm 的长方形木块在桌面上作无滑动的翻滚，翻滚到第四面时被一小木板挡住，且木块底面与桌面成角为6π，求点A 走过的路程及走过的弧所在扇形的总面积.图1-3-7思路分析：A 点首先以B 为圆心，以2为半径旋转2π达到A 1的位置；再以C 为圆心，以1为半径旋转2π到A 2的位置；然后以A 2为圆心旋转2π，最后以D 为圆心，以3为半径转过3π到达A 3，A 点走过的路程将包括三段弧，将这三段弧长及三个扇形面积分别相加即可. 解：由题意得所对的圆的半径为2，圆心角为2π，则弧长l 1=2×2π=π，扇形面积S 1=21×2π×22=π.所对的圆半径是1，圆心角是2π，则弧长l 2=1×2π=2π，扇形面积S 2=21×2π×12=4π.所对的圆半径为3，圆心角为3π，则弧长l 3=3×3π=33π，扇形面积S 3=21×3π×(3)2=2π. 则所走过路程是三段圆弧之和，即π+2π+33π=dm π6329+，三段弧所在扇形的总面积是π+4π+2π=47πdm 2. 11.一条铁路在转弯处成圆弧形，圆弧的半径为2 km ，一列火车用每小时30 km 的速度通过，10 s 间转过几度？思路分析：利用速度和时间求出路程，即得圆弧的弧长，再由弧长公式可得圆心角的度数.因为火车前进的方向未知，所以将圆心角的大小加上绝对值. 解：因为圆弧半径为2 km=2 000 m ，v k =30 km/h=325m/s ，10 s 走过的弧长为3250m ， ∴|α|=r 1=24120003250=⨯rad≈2.39°,即10秒间转过约2.39°.。
高中数学 课下能力提升(二)弧度制 北师大版必修4
课下能力提升(二) 弧 度 制一、选择题1．下列命题中，真命题是( )A ．1弧度是1度的圆心角所对的弧B ．1弧度是长度为半径的弧C ．1弧度是1度的弧与1度的角之和D ．1弧度的角是长度等于半径长的弧所对的圆心角2．α＝－2 rad ，则α的终边在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．时钟的分针在1时到3时20分这段时间里转过的弧度数为( )A.14π3 B ．－14π3 C.7π18 D ．－7π184．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π＋（－1）k ×π2，k ∈Z ，B ＝{x |x ＝2k π＋π2，k ∈Z }，则集合A 与B 之间的关系为( )A ．AB B ．A BC ．A ＝BD ．A ∩B ＝∅二、填空题5．在半径为2的圆内，弧长为2π3的圆心角的度数为________． 6．终边落在直线y ＝x 上的角的集合用弧度表示为S ＝________．7．已知θ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝k π＋（－1）k ×π4，k ∈Z ，则角θ的终边所在的象限是________． 8．已知扇形的面积为25，圆心角为2 rad ，则它的周长为________．三、解答题9．用弧度表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在图中的阴影部分内的角的集合(不包括边界)．10. 如图，动点P ，Q 从点A (4，0)出发，沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π3弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转π6弧度，求P ，Q 第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及P ，Q 点各自走过的弧长．答案1．解析：选D 由弧度制定义知D 正确．2．解析：选C ∵－π<－2<－π2，∴α的终边落在第三象限，故选C. 3．解析：选B 显然分针在1时到3时20分这段时间里，顺时针转过了213周，其弧度数为－(2π×73)＝－14π3rad. 4．解析：选C 对于集合A ，当k ＝2n (n ∈Z )时，x ＝2n π＋π2，当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，x ＝2n π＋π－π2＝2n π＋π2∴A ＝B ，故选C.5．解析：设所求的角为α，角α＝2π32＝π3＝60°. 答案：60°6．解析：S ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝π4＋2k π，k ∈Z ∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝5π4＋2k π，k ∈Z ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝π4＋2k π，k ∈Z ∪{α|α＝π4＋(2k ＋1)π，k ∈Z }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝π4＋n π，n ∈Z .答案：{α|α＝π4＋n π，n ∈Z } 7．解析：当k 为偶数时，α＝2n π＋π4，终边在第一象限；当k 为奇数时，α＝(2n ＋1)π－π4＝2n π＋34π，终边在第二象限．答案：第一、二象限8．解析：设扇形的弧长为l ，半径为r ，则由S ＝12αr 2＝25，得r ＝5，l ＝αr ＝10，故扇形的周长为20.答案：209．解：(1)图①中，以OA 为终边的角为π6＋2k π(k ∈Z )；以OB 为终边的角为－2π3＋2k π(k ∈Z )．∴阴影部分内的角的集合为{α|－2π3＋2k π<α<π6＋2k π，k ∈Z }．(2)图②中，以OA 为终边的角为π3＋2k π，k ∈Z ；以OB 为终边的角为2π3＋2k π，k ∈Z .不妨设右边阴影部分所表示集合为M 1，左边阴影部分所表示集合为M 2，则M 1＝{α|2k π<α<π3＋2k π，k ∈Z }，M 2＝{α|2π3＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z }．∴阴影部分所表示的集合为：M 1∪M 2＝{α|2k π<α<π3＋2k π，k ∈Z }∪{α|2π3＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z }＝{α|2k π<α<π3＋2k π或2π3＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z }．10．解：设P ，Q 第一次相遇时所用的时间是t s ，则t ×π3＋t ×|－π6|＝2π，所以t ＝4(s)，即P ，Q 第一次相遇时所用的时间为4 s .如图，设第一次相遇点为C ，第一次相遇时已运动到终边在π3×4＝4π3的位置，则x c ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫4×12＝－2，y c ＝－42－22＝－23，所以C 点的坐标为(－2，－23)．P 点走过的弧长为4π3×4＝16π3，Q 点走过的弧长为2π3×4＝8π3.。
弧度制练习(含答案)之欧阳治创编
厦门外国语学校高一下学期校本作业（2）班级:姓名:座号__________弧度制一、选择题1、若α是第四象限角，则απ-是（ ）A 、第一象限角B 、第二象限角C 、第三象限角 D 、第四象限角2、若α＝－3，则角α的终边在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3. 求值：1333-tan sin cos πππ··等于（）A. 14B. 34C. 12D. 324、下列各组角中，终边相同的角是（ ）A ．π2k与)(2Z k k ∈+ππ B ．)(3k3Z k k ∈±πππ与C．ππ)14()12(±+k k 与)(Z k ∈D ．)(66Z k k k ∈±+ππππ与5．若角α与角β的终边关于y 轴对称，则 （ ）A ．B ．C ．D ．6、集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==Z k k A ,6παα与⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z n n B ,63ππββ的关系是（ ）A 、B A ⊂ B 、B A ⊃C 、B A =D 、B A ⊆7．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（ ） A ．2 B ．1sin 2C ．1sin 2D ．2sin8．某扇形的面积为12cm ，它的周长为4cm ，那么该扇形圆心角的度数为（）A ．2°B ．2C ．4°D ．49．一个半径为R 的扇形，它的周长是4R ，则这个扇形所含弓形的面积是( )10．下列命题中正确的命题是( )A.若两扇形面积的比是1∶4，则两扇形弧长的比是)(Z k k ∈+=+ππβα1∶2B.若扇形的弧长一定，则面积存在最大值C.若扇形的面积一定，则弧长存在最小值D.任意角的集合可以与实数集R 之间建立一种一一对应关系二、填空题：11、7弧度的角在第象限，与7弧度角终边相同的最小正角为12．已知α是第二象限角，且,4|2|≤+α则α的范围是.13．已知扇形的半径为R ，所对圆心角为α，该扇形的周长为定值c ，则该扇形最大面积为.14、在半径为2米的圆中，1200的圆心角所对的弧长为__________________15、一个扇形OAB 的面积是1，它的周长为4，求中心角的弧度数为______三、解答题：16、求值：2cos 4tan 6cos 6tan 3tan 3sin ππππππ-+17、已知集合Ａ＝｛α｜2ｋπ≤α≤π＋2ｋπ，ｋ∈Ｚ｝，B ＝｛α｜－4≤α≤4｝，求A ∩B .18、单位圆上两个动点M 、N ，同时从P （1，0）点出发，沿圆周运动，M 点按逆时针方向旋转6π弧度/秒，N 点按顺时针转3π弧度/秒，试求它们出发后第三次相遇时的位置和各自走过的弧度.19、圆周上点A （1，0）依逆时针方向作匀速圆周运动，已知A 点1分钟转过)(0πθθ<<角，2分钟第一次到达第三象限，14分钟后回到原来的位置，求θ．20、已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R 。
(2021年整理)任意角弧度制基础练习题
（完整）任意角弧度制基础练习题编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（完整）任意角弧度制基础练习题）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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10）、若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长,则其圆心角的弧度数为（）360,n∈Z180,n∈Z+⋅∈Z+⋅∈Z1)360,n1)180,n14）、下列各组中终边相同的是（ ）A ．()21k π+与()41k π±B ．2k π与2k ππ+ C ．6k ππ+与26k ππ± D ．3k ππ±与3k π15)、若角α与β终边相同，则一定有（ ）A α+β=180°B α+β=0°C 、α—β=k ·360°，k ∈ZD α+β=k ·360°，k ∈Z16）、 610°是( )A 、第一象限角B 、第二象限角C 、第三象限角D 、第四象限角17）、把－1485°转化为α＋k ·360°(0°≤α＜360°, k ∈Z ）的形式是 ( )A ．45°－4×360°B ．－45°－4×360°C ．－45°－5×360°D ．315°－5×360°18）、－1120°角所在象限是（ ） 158弧度，扇形面积是22）、经过一刻钟，长为10 cm的分针所覆盖的面积是________。
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弧度制·双基能力训练
(一)选择题：
A．第一象限角 B．第一或第三象限角
C．第二象限角 D．第一或第二象限角
2．把-885°化成2kπ+α(0≤α≤2，k∈Z)的形式应
是 [ ]
3．第四象限角可以表示
为 [ ]
是 [ ]
A．α+β＞α-β B．α+β＜α-β
C．α+β=α-β D．不确定的
5．已知集合A={α|2kπ≤α≤(2k+1)，k∈Z}，B={α|-4≤α≤4}，则A∩B等于 [ ]
C．{α|0≤α≤π}
D．{α|-4≤α≤-π或0≤α≤π}
(二)填空题：
6．终边在第一、三象限的角平分线上的角的集合可表示为______；终边在第二、四象限的角平分线上的角的集合可表示为______．
7．一条弦长等于圆的半径，这条弦所对圆心角的弧度数是______，半圆弧所对圆心角的弧度数是_________．
8．三角形三内角的比是7∶8∶15，各内角的弧度数分别是_______．9．地球赤道的半径为6370km，所以赤道上1°的弧长是_______．
(三)解答题
10．如图2-5，半径为1的圆上有两点A、B，若=2，求弓形AMB 的面积．
11．已知一个扇形OAB的面积是1cm3，它的周长是4cm，求它的中心角和弦AB的长？
12．如图2-6，在扇形AOB中，∠AOB=90°，弧长为l，求此扇形内切圆的面积．
13．一个扇形的周长为20，求扇形的半径，圆心角各取何值时，此扇形的面积最大？
弧度制·双基能力训练·答案提示
(一)1．B 2．A 3．C 4．A 5．D
(二)6．{x|x=k·180°+45°，k∈Z}；{x|x=k·180°-45°，k
13．解：设扇形的半径为r，面积为S，圆心角为α，则扇形的弧。