四川省部分中学2023高中数学必修一第五章三角函数真题

四川省部分中学2023高中数学必修一第五章三角函数真题
单选题
1、若sin(π−α)+cos(−α)=1
5，α∈(0,π)，则tan (3
2π−α)的值为（ ） A ．−4
3或−3
4B ．−4
3C ．−3
4D ．34 答案：C
分析：根据同角三角函数的基本关系及诱导公式求解. 由sin(π−α)+cos(−α)=1
5可得：sinα+cosα=1
5， 平方得：sin 2α+2sinαcosα+cos 2α=125
所以
tan 2α+2tanα+1
tan 2α+1
=1
25，
解得tanα=−4
3或tanα=−3
4， 又sinα+cosα=1
5， 所以|sinα|>|cosα|， 故tanα=−4
3，
故选：C
2、已知tanθ=2，则sin(π2
+θ)−cos(π−θ)cosθ−sin(π−θ)
=（ ）
A ．2
B ．-2
C ．0
D ．2
3 答案：B
分析：根据tanθ=2，利用诱导公式和商数关系求解. 因为tanθ=2， 所以
sin(π2
+θ)−cos(π−θ)cosθ−sin(π−θ)
，
=2cosθ
cosθ−sinθ， =2
1−tanθ=−2，
故选：B
3、若函数f (x )=sin (ωx −π
3)(0<ω<40)的图象经过点(1
6,−1)，则f (x )的最小正周期为（ ） A ．2
11B ．2
9C ．2
7D ．2
5 答案：A
分析：f (1
6)=−1，据此求出ω的表达式，再根据ω的范围求得ω的值即可求最小正周期.
依题意可得f (1
6)=−1，则ω
6−π
3=−π
2+2k π(k ∈Z )，得ω=(12k −1)π(k ∈Z ).
因为0<ω<40，所以ω=11π，T =2π|ω|
=
211
.
故选：A.
4、若f (x )=cos (x −π
3)在区间[−a,a ]上单调递增，则实数a 的最大值为（ ） A ．π
3B ．π
2C ．2π
3D ．π 答案：A
分析：先求出函数的增区间，进而建立不等式组解得答案即可.
易知将函数y =cosx 的图象向右平移π
3得到函数f (x )=cos (x −π
3)的图象，则函数f (x )=cos (x −π
3)的增区间为[−2
3
π+2kπ,π
3
+2kπ](k ∈Z )，而函数又在[−a,a ]上单调递增，所以{
−a ≥−2
3
πa ≤
π3 ⇒a ≤π3
，于是0<a ≤π3
，即a
的最大值为π
3
.
故选：A.
5、若tanθ=2，则
sinθ(1−sin2θ)sinθ−cosθ=（ ）
A ．25
B ．−25
C ．65
D ．−65
答案：A
分析：由二倍角正弦公式和同角关系将
sinθ(1−sin2θ)sinθ−cosθ
转化为含tanθ的表达式，由此可得其值. sinθ(1−sin2θ)sinθ−cosθ
=
sinθ(sin 2θ+cos 2θ−sin2θ)
sinθ−cosθ
=
sinθ(sinθ−cosθ)2
sinθ−cosθ
=
sin 2θ−sinθcosθsin 2θ+cos 2θ
=
tan 2θ−tanθtan 2θ+1
=2
5．
故选：A.
6、小说《三体》中的“水滴”是三体文明派往太阳系的探测器，由强相互作用力材料制成，被形容为“像一滴圣母的眼泪”．小刘是《三体》的忠实读者，他利用几何作图软件画出了他心目中的水滴（如图），由线段AB ，AC 和优弧BC 围成，其中BC 连线竖直，AB ，AC 与圆弧相切，已知“水滴”的水平宽度与竖直高度之比为7
4，则cos∠BAC =（ ）．
A ．17
25B ．4√37C ．45D ．5
7
答案：A
分析：设优弧BC 的圆心为O ，半径为R ，连接OA ，OB ，OC ，如图，进而可得“水滴”的水平宽度为|OA |+R
，
竖直高度为2R ，根据题意求得OA =5
2R ，由切线的性质和正弦函数的定义可得sin∠BAO =2
5，结合圆的对称性和二倍角的余弦公式即可得出结果.
设优弧BC 的圆心为O ，半径为R ，连接OA ，OB ，OC ，如下图所示
易知“水滴”的水平宽度为|OA |+R ，竖直高度为2R ，
则由题意知
OA+R 2R
=7
4，解得OA =5
2R ，
AB 与圆弧相切于点B ，则OB ⊥AB ，
∴在Rt △ABO 中，sin∠BAO =
OB OA
=R 52
R
=25
，
由对称性可知，∠BAO =∠CAO ，则∠BAC =2∠BAO ，
∴cos∠BAC =1−2sin 2∠BAO =1−2×(25)2
=17
25， 故选：A ．
7、若角α的终边上一点的坐标为(1，−1)，则cosα=( ) A ．−1B ．−√22C ．√22
D ．1 答案：C
分析：根据任意角三角函数的定义即可求解.
∵角α的终边上一点的坐标为(1，−1)，它与原点的距离r =√12+(−1)2=√2， ∴cosα=x
r =√
2
=√2
2
， 故选：C.
8、在平面直角坐标系中，角α的终边与单位圆交于一点P (m,1)，则cos (α+π
6)=（ ）
A ．−1
2B ．1
2C ．−√32D ．√32
答案：A
分析：根据点P (m,1)在单位圆上，可求得m 的值，进而可求得角α，再根据诱导公式即可求解. 因为点P (m,1)在单位圆上，所以m 2+12=1，解得：m =0， 所以P (0,1)为单位圆与y 轴非负半轴的交点，所以α=π
2+2k π(k ∈Z )，
所以cos (α+π6)=cos (π2+2k π+π6)=cos (π2+π6)=−sin π6=−1
2，
故选：A.
9、《九章算术》是我国古代数学的杰出代表作．其中“方田”章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=1
2(弦×矢＋矢2
)．弧田（如图7-1-5）由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为2π
3，半径为4m 的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（ ）
A．6m2B．9m2C．12m2D．15m2
答案：B
分析：根据题设条件计算出弦和矢，再代入弧田面积公式计算作答.
依题意，弦=2×4sinπ
3=4√3(m)，矢=4−4cosπ
3
=2(m)，
则弧田面积=1
2
(4√3×2+22)=4√3+2≈9(m2)，
所以弧田面积约是9m2.
故选：B
10、如图，为一半径为3m的水轮，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮自点A开始1min旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y＝A sin(ωx＋φ)＋2，则有（）
A．ω＝2π
15，A＝3B．ω＝15
2π
，A＝3
C．ω＝2π
15，A＝5D．ω＝15
2π
，A＝5
答案：A
分析：根据最大值及半径求出A，根据周期求出ω.由题目可知最大值为5，∴ 5＝A×1＋2⇒A＝3．
T=60
4=15，则ω=2π
T
=2π
15
．故选:A
填空题
11、函数f(x)=1
√2sinx−1
的定义域为___________.
答案：(π
6+2kπ,5π
6
+2kπ)(k∈Z)
分析：根据题意得到2sinx−1>0，进而解得答案即可.
由题意，2sinx−1>0⇒sinx>1
2⇒x∈(π
6
+2kπ,5π
6
+2kπ)(k∈Z).
所以答案是：(π
6+2kπ,5π
6
+2kπ)(k∈Z).
12、函数f(x)=sinx的图象向左平移π
6
个单位得到函数g(x)的图象，则下列函数g(x)的结论：①一条对称轴方
程为x=7π
6；②点(5π
6
,0)是对称中心；③在区间(0,π
3
)上为单调增函数；④函数g(x)在区间[π
2
,π]上的最小值为
−1
2
.其中所有正确的结论为______.（写出正确结论的序号）
答案：②③④
解析：先求得g(x)，然后利用代入法判断①②，根据单调区间和最值的求法判断③④.
函数f(x)=sinx的图象向左平移π
6个单位得到函数g(x)=sin(x+π
6
)，
g(7π
6)=sin(7π
6
+π
6
)=sin4π
3
=sin(π+π
3
)=−sinπ
3
=−√3
2
≠±1，所以①错误.
g(5π
6)=sin(5π
6
+π
6
)=sinπ=0，所以②正确.
由2kπ−π
2≤x+π
6
≤2kπ+π
2
，解得2kπ−2π
3
≤x≤2kπ+π
3
，k∈Z.
令k=0得−2π
3≤x≤π
3
，所以g(x)在区间(0,π
3
)上为单调增函数，即③正确.
由π
2≤x≤π得2π
3
≤x+π
6
≤7π
6
，所以当x=π,x+π
6
=7π
6
时，g(x)有最小值为sin7π
6
=sin(π+π
6
)=−sinπ
6
=−1
2
，
所以④正确.
所以答案是：②③④
小提示：解决有关三角函数对称轴、对称中心的问题，可以考虑代入验证法.考查三角函数单调区间的问题，可以考虑整体代入法.
13、已知cos(α+π
6)=3
5
，α∈(0，π
2
)，则cos(2α+7π
12
)=__．
答案：−31√2
50
分析：先求出cos(2α+π
3)=−7
25
，sin(2α+π
3
)=24
25
，再利用和差角公式即可求解.
∵cos(α+π
6)=3
5
，α∈(0，π
2
)．
∴(α+π
6)∈(0，π
2
)，(2α+π
3
)∈(0，π)．
cos(2α+π
3)=2cos(α+π
6
)−1=2×(3
5
)2−1=−7
25
．
∴sin(2α+π
3)=√1−cos(2α+π
3
)=24
25
．
∴cos(2α+7π
12)=cos(2α+π
3
+π
4
)
=cos(2α+π
3)cosπ
4
−sin(2α+π
3
)sinπ
4
=−7×√2−24×√2
=−31√2
50
．
所以答案是：−31√2
50
.
解答题
14、函数f(x)=A sin(ωx+φ)+B的部分图象如图所示，其中A>0，ω>0，|φ|<π
2
.
（Ⅰ）求函数y=f(x)解析式；
（Ⅱ）求x∈[0,π
2
]时，函数y=f(x)的值域.
答案：（Ⅰ）f(x)=2sin(2x+π
6
)+2；（Ⅱ）[1,4].
解析：（Ⅰ）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由f(π
6
)=4求出φ的值，可得函数的解析式；
（Ⅱ）由已知可求范围2x+π
6∈[π
6
,7π
6
]，利用正弦函数的图象和性质可得sin(2x+π
6
)∈[−1
2
,1]，即可求解.
（Ⅰ）根据函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B的一部分图象，其中A>0，ω>0，|φ|<π
2
，
可得A=4−2=2，B=2，T
4=1
4
⋅2π
ω
=5π
12
−π
6
，∴ω=2.
又f(π
6)=4，得2sin(2×π
6
+φ)+2=4，
∴π
3+φ=2kπ+π
2
，即φ=2kπ+π
6
，
∵|φ|<π
2，∴φ=π
6
，
∴f(x)=2sin(2x+π
6
)+2；
（Ⅱ）∵x∈[0,π
2
]，
∴2x +π6∈[π6,
7π
6
]，∴sin (2x +π6)∈[−12,1]，∴y =2sin (2x +π
6)+2∈[1,4]. 小提示：本题主要考查由函数y =Asin (ωx +φ)的部分图象求解析式、正弦函数的定义域和值域及正弦函数的单调性，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力，属于中档题. 15、已知1|
sinα
|
=−1sinα
，且lgcosα有意义．
(1)试判断角α是第几象限角；
(2)若角α的终边上有一点M (3
5,m)，且OM =1（O 为坐标原点），求实数m 的值及sinα的值．
答案：(1)角α是第四象限角 (2)m =−4
5
，sinα=−4
5
分析：（1）根据已知分别确定sinα,cosα的正负，再三角函数值符号得象限角的结论 （2）由余弦函数定义求出m ，再由正弦函数定义求得结论． （1）
∵1
|sinα|=−1
sinα，∴sinα<0，
∴角α是第三或第四象限角或终边在y 轴的负半轴上的角． 由lgcosα有意义，可知cosα>0，
∴角α是第一或第四象限角或终边在x 轴的正半轴上的角． 综上，角α是第四象限角 （2）
∵OM =1，∴(35)2
+m 2=1，解得m =±4
5． 又角α是第四象限角，故m <0，∴m =−4
5．
∴sinα=−
4
5
1
=−4
5
．。