部编版2020学年高中数学第一章立体几何初步1.4北师大版必修0

2016-2017学年高中数学 第一章 立体几何初步1.4 空间图形的基本关系与公理 第二课时公理4与等角定理高效测评 北师大版必修2
一、选择题(每小题5分，共20分) 1．下列结论正确的是( )
①在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行； ②平行于同一条直线的两条直线平行；
③一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么它也和另一条相交； ④空间四条直线a ，b ，c ，d ，如果a ∥b ，c ∥d ，且a ∥d ，那么b ∥c . A ．①②③ B ．②④ C ．③④
D ．②③
解析： ①错，可以异面．②正确．③错误，和另一条可以异面．④正确，由平行直线的传递性可知．
答案： B
2．两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形( ) A ．全等
B ．相似
C ．仅有一个角相等
D ．无法判断
解析： 由题意知，这两个三角形的三个角对应相等，故这两个三角形相似． 答案： B
3．如图，α∩β＝l ，a α，b β，且a ，b 为异面直线，则以下结论正确的是( ) A ．a ，b 都与l 平行
B ．a ，b 中至多有一条与l 平行
C ．a ，b 都与l 相交
D ．a ，b 中至多有一条与l 相交
解析： 如果，a ，b 都与l 平行，根据公理4，有a ∥b ，这与a ，b 为异面直线矛盾，故a ，b 中至多有一条与l 平行．
答案： B
4．已知空间四边形ABCD 中，M ，N 分别为AB ，CD 的中点，则下列判断正确的是( ) A ．MN ≥1
2(AC ＋BD ) B ．MN ≤1
2(AC ＋BD ) C ．MN ＝1
2(AC ＋BD )
D ．MN ＜1
2(AC ＋BD )
解析： 如图，取BC 的中点H ，据题意有MH ＝12AC ，MH ∥AC ，HN ＝1
2BD ，HN ∥BD .在△MNH 中，由两边之和大于第三边知，MN ＜MH ＋HN ＝1
2(AC ＋BD ) .
答案： D
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，BD 和B 1D 1是正方形ABCD 和A 1B 1C 1D 1的对角线． (1)∠DBC 的两边与________的两边分别平行且方向相同； (2)∠DBC 的两边与________的两边分别平行且方向相反．
解析： (1)因为B 1D 1∥BD ，B 1C 1∥BC 且方向相同，所以∠DBC 的两边与∠D 1B 1C 1的两边分别平行且方向相同．
(2)B 1D 1∥BD ，D 1A 1∥BC 且方向相反，所以∠DBC 的两边与∠B 1D 1A 1的两边分别平行且方向相反．
答案： (1)∠D 1B 1C 1 (2)∠B 1D 1A 1
6．如图，在空间四边形ABCD 中，E ，H 分别是AB ，AD 的中点，F ，G 分别是CB ，CD 上
的点，且CF CB ＝CG CD ＝2
3.若BD ＝6 cm ，梯形EFGH 的面积为28 cm 2
，则平行线EH ，FG 间的距离
为________．
解析： 在△BCD 中，∵CF CB ＝CG CD ＝2
3， ∴GF ∥BD ，FG BD ＝2
3.∴FG ＝4 cm.
在△ABD 中，∵点E ，H 分别是AB ，AD 的中点，
∴EH ＝1
2BD ＝3(cm)．
设EH ，FG 间的距离为d cm.则1
2×(4＋3)×d ＝28，∴d ＝8. 答案： 8 cm
三、解答题(每小题10分，共20分) 7．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求证： (1)∠ABC ＝∠A 1B 1C 1； (2)∠A 1D 1A ＝∠B 1C 1B .
证明： (1)如下图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，由长方体的性质可得：A 1B 1∥AB ，BC ∥B 1C 1，且方向相同，由等角定理可得∠ABC ＝∠A 1B 1C 1.
(2)如上图在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， 由长方体的性质可得：D 1C 1綊AB ， ∴四边形ABC 1D 1为平行四边形．
∴AD 1∥BC 1且A 1D 1∥B 1C 1，并且方向相同， ∴∠A 1D 1A ＝∠B 1C 1B .
8．直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中∠ACB ＝90°，D 1、F 1分别是A 1B 1、A 1C 1的中点．若BC ＝CA ＝
CC 1＝2，求异面直线BD 1与AF 1所成的角．
解析： 取BC 中点G ，连接F 1G ，AG ，D 1F 1，则D 1F 1∥B 1C 1且D 1F 1＝1
2B 1C 1， 又∵B 1C 1綊BC ，G 为BC 的中点．
∴D 1F 1綊BG ，
∴四边形D 1F 1GB 是平行四边形，
∴BD1∥F1G，
∴∠AF1G(或其补角)为异面直线BD1与AF1所成的角．
在Rt△ACG中，AG＝AC2＋CG2＝22＋12＝ 5.
同理在Rt△BB1D1，Rt△A1AF1中可求BD1＝AF1＝ 5.
又BD1＝GF1，故△AGF1是等边三角形，∴∠AF1G＝60°，
∴异面直线BD1与AF1所成的角是60°.
尖子生题库☆☆☆
9．(10分)如图，已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点．
(1)求证：E、F、G、H四点共面；
(2)若四边形EFGH是矩形，求证：AC⊥BD.
证明：(1)在△ABD中，
∵E、H分别是AB、AD的中点，
EH∥BD，同理FG∥BD，
∴EH∥FG，∴E、F、G、H四点共面．
(2)由(1)知EH∥BD，同理AC∥GH.
又∵四边形EFGH是矩形，
∴EH⊥GH，∴AC⊥BD.。