中考试题湖北省黄冈市模拟试卷(C)

2016年湖北省黄冈市中考数学模拟试卷（C ）
一、选择题（共6小题，每小题3分，满分18分）
1．﹣的相反数是（ ）
A ．
B ．﹣
C ．2
D ．﹣2
2．下列计算正确的是（ ）
A ．2a 2+4a 2=6a 4
B ．（a +1）2=a 2+1
C ．（a 2）3=a 5
D ．x 7÷x 5=x 2
3．如图所示的几何体的左视图是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4．如图，AB 是⊙O 的弦，半径OA=2，∠AOB=120°，则弦AB 的长是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5．以﹣2和3为两根的一元二次方程是（ ）
A ．x 2+x ﹣6=0
B ．x 2﹣x ﹣6=0
C ．x 2+6x ﹣1=0
D ．x 2﹣6x +1=0
6．一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，若两车之间的
距离S 关于客车行驶时间X 的函数关系式当0≤x ≤时，S=160x +600；当≤x ≤6时，S=160x ﹣600；当6≤x ≤10时，S=60x ，设客车离甲地的距离为y 1（km ），出租车离甲地的距离为y 2（km ），y 1，y 2与x 的函数关系图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
7．函数y=中自变量x的取值范围是______．
8．据国家考试中心发布的信息，我国今年参加高考的考生数达1160万人，这个数据用科学记数法可表示为______．
9．分解因式：a2﹣b2﹣2b﹣1=______．
10．（）﹣1﹣20160+|﹣4|﹣tan60°=______．
11．若a2+b2=6，ab=2，则a+b=______．
12．如图，在⊙O中，AB为直径，C、D为⊙O上两点，若∠C=25°，则∠ABD=______．
13．如图，在矩形ABCD中，AD=4，DC=3，将△ADC按逆时针方向绕点A旋转到△AEF （点A、B、E在同一直线上），连接CF，则CF=______．
14．已知等边△ABC边长为2，放置在如图的水平桌面上，将△ABC水平向右作无滑动翻滚，使△ABC首次落回开始的位置，则等边△ABC的中心O经过的路径长为______．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．解方程：．
16．如图，已知，▱ABCD中，AE=CF，M、N分别是DE、BF的中点．
求证：四边形MFNE是平行四边形．
17．某生态示范园要对1号、2号、3号、4号四个品种共500株果树幼苗进行成活实验，从中选出成活率高的品种进行推广，通过实验得知，3号果树幼苗成活率为89.6%，把实验数据绘制成下列两幅统计图（部分信息未给出）
（1）实验所用的2号果树幼苗的数量是______株；
（2）请求出3号果树幼苗的成活数，并把图2的统计图补充完整；
（3）你认为应选哪一种品种进行推广？请通过计算说明理由．
18．如图所示，甲乙两人准备了可以自由转动的转盘A、B，每个转盘被分成几个面积相等的扇形，并在每个扇形内标上数字．
（1）只转动A转盘，指针所指的数字是2的概率是多少？
（2）如果同时转动A、B两个转盘，将指针所指的数字相加，则和是非负数的概率是多少？并用树状图或表格说明理由．（如果指针指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向某一区域为止）．
19．为打造“书香校园”，某学校计划用不超过1900本科技类书籍和1620本人文类书籍，组建中、小型两类图书角共30个．已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本．
（1）问符合题意的组建方案有几种？请你帮学校设计出来；
（2）若组建一个中型图书角的费用是860元，组建一个小型图书角的费用是570元，试说明在（1）中哪种方案费用最低？最低费用是多少元？
20．如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=（x＞0）的图象交于P（n，2），与x
轴交于A（﹣4，0），与y轴交于C，PB⊥x轴于点B，且AC=BC．
（1）求一次函数、反比例函数的解析式；
（2）反比例函数图象有一点D，使得以B、C、P、D为顶点的四边形是菱形，求出点D的坐标．
21．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与边BC、AC分别交于D、E两点，DF⊥AC于F．
（1）求证：DF为⊙O的切线；
（2）求证：CD2=AB•EF．
22．如图，我校九年级一个学习小组进行测量小山高度的实践活动，部分同学在山脚点A 测得山腰上一点D的仰角为30°，并测得AD的长度为180米；另一部分同学在山顶点B测得山脚点A的俯角为45°，山腰点D的俯角为60°，请你帮助他们计算出小山BC的高度（结果保留根号）．
23．我市某美食城今年年初推出一种新型套餐，这种套餐每份的成本为40元，该美食城每天需为这种新型套餐支付固定费用（不含套餐成本）3000元．此种套餐经过一段时间的试销得知，若每份套餐售价不超过60元时，每天可销售200份；若每份售价超过60元时，每提高1元，每天的销售量就减少8份．为便于结算，每份套餐的售价x（元）取整数，且售价不低于成本价．设美食城销售此种新型套餐所获的日销售利润为w（元）．
（1）求w与x之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；
（2）该美食城既要获得最大的日销售利润，又要吸引顾客，尽可能提高日销售量，则每份套餐的售价应定为多少元？此时日销售利润为多少？
（3）今年五一节前，为答谢广大消费者，该美食城也决定从4月起的一段时间内，每销售出一份此种新型套餐就返回顾客现金a元（a为整数），该美食城在此种新型套餐每份的售价不超过62元的情况下，为使每天让利顾客后的日销售最大利润不低于600元，求a的最大值．
24．在直角坐标系中，点A（5，0），点B（4，3），点C（0，3），动点M从点O出发，以每秒1个单位长度向C点运动，动点N同时从点C出发，以每秒2个单位长度向B点运动，当点N运动到B点时，点M也随之停止运动，设运动时间为t（秒）
（1）求经过A、B、C三点的抛物线解析式．
（2）t为何值时，以A、M、N为顶点的三角形是直角三角形？
（3）当N经过抛物线的对称轴与BC交点时，此时抛物线的对称轴能将三角形AMN的面积分为1：2吗？请说明理由．
（4）按此速度运动下去，以A、M、N为顶点的三角形可以构成等腰直角三角形吗？若能，请说明理由，若不能，能否通过改变M点的速度使以A、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形，并求出改变后的速度和此时t的值．
2016年湖北省黄冈市中考数学模拟试卷（C）
参考答案与试题解析
一、选择题（共6小题，每小题3分，满分18分）
1．﹣的相反数是（）
A．B．﹣C．2 D．﹣2
【考点】相反数．
【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数叫相反数即可求解．
【解答】解：根据概念得：﹣的相反数是．
故选A．
2．下列计算正确的是（）
A．2a2+4a2=6a4B．（a+1）2=a2+1 C．（a2）3=a5 D．x7÷x5=x2
【考点】完全平方公式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法．
【分析】根据合并同类项对A进行判断；根据完全平方公式对B进行判断；根据幂的乘方法则对C进行判断；根据同底数幂的除法法则对D进行判断．
【解答】解：A、2a2+4a2=6a2，所以A选项不正确；
B、（a+1）2=a2+2a+1，所以B选项不正确；
C、（a2）5=a10，所以C选项不正确；
D、x7÷x5=x2，所以D选项正确．
故选D．
3．如图所示的几何体的左视图是（）
A． B．C． D．
【考点】简单几何体的三视图．
【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．【解答】解：从左往右看，易得一个长方形，正中有一条横向实线，
故选：C．
4．如图，AB是⊙O的弦，半径OA=2，∠AOB=120°，则弦AB的长是（）
A． B． C．D．
【考点】垂径定理；解直角三角形．
【分析】过O作弦AB的垂线，通过构建直角三角形求出弦AB的长．
【解答】解：过O作OC⊥AB于C．
在Rt△OAC中，OA=2，∠AOC=∠AOB=60°，
∴AC=OA•sin60°=，
因此AB=2AC=2．
故选B．
5．以﹣2和3为两根的一元二次方程是（）
A．x2+x﹣6=0 B．x2﹣x﹣6=0 C．x2+6x﹣1=0 D．x2﹣6x+1=0
【考点】根与系数的关系．
【分析】先加上﹣2与3的和、积，然后根据根与系数的关系写出满足条件的一元二次方程即可．
【解答】解：∵﹣2+3=1，﹣2×3=﹣6，
∴以﹣2和3为两根的一元二次方程可为x2﹣x﹣6=0．
故选B．
6．一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，若两车之间的
距离S关于客车行驶时间X的函数关系式当0≤x≤时，S=160x+600；当≤x≤6时，
S=160x﹣600；当6≤x≤10时，S=60x，设客车离甲地的距离为y1（km），出租车离甲地的距离为y2（km），y1，y2与x的函数关系图象可能是（）
A．B．
C．D．
【考点】一次函数的应用．
【分析】根据二者相向运动可排除D选项，再分析随时间变化，S关于x（时间）的函数关系式，找出两车的速度，由此即可得出结论．
【解答】解：∵一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，
∴两车相向运动，D图象不符合；
∵当0≤x≤时，S=160x+600；当≤x≤6时，S=160x﹣600；
∴两车速度和为160千米/小时．
又∵当6≤x≤10时，S=60x，
∴当x=6时，快车已经到达目的地，慢车的速度为160千米/小时，快车的速度为100千米/小时．
根据常识，客车速度慢，出租车速度快．
故选C．
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
7．函数y=中自变量x的取值范围是x≥．
【考点】函数自变量的取值范围．
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，2x﹣3≥0，
解得x≥．
故答案为：x≥．
8．据国家考试中心发布的信息，我国今年参加高考的考生数达1160万人，这个数据用科学记数法可表示为 1.16×107．
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将1160万用科学记数法表示为：1.16×107．
故答案为：1.16×107．
9．分解因式：a2﹣b2﹣2b﹣1=（a+b+1）（a﹣b﹣1）．
【考点】因式分解-分组分解法．
【分析】首先将后三项组合利用完全平方公式分解因式，进而利用平方差公式分解即可．【解答】解：a2﹣b2﹣2b﹣1
=a2﹣（b2+2b+1）
=a2﹣（b+1）2
=（a+b+1）（a﹣b﹣1）．
故答案为：（a+b+1）（a﹣b﹣1）．
10．（）﹣1﹣20160+|﹣4|﹣tan60°= 2+3 ．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
【分析】原式利用绝对值的代数意义，零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
【解答】解：原式=3﹣1+4﹣=2+3，
故答案为：2+3
11．若a 2+b 2=6，ab=2，则a +b= ．
【考点】完全平方公式．
【分析】先求出（a +b ）2，再得出（a +b ）即可；
【解答】解：∵a 2+b 2=6，ab=2，
∴（a +b ）2=a 2+b 2+2ab=6+4=10，
∴a +b=±，
故答案为．
12．如图，在⊙O 中，AB 为直径，C 、D 为⊙O 上两点，若∠C=25°，则∠ABD= 65° ．
【考点】圆周角定理．
【分析】由已知可求得∠A 的度数，再根据圆周角定理及三角形内角和定理即可求得∠ABD 的度数．
【解答】解：连接AD ．
∵∠C=25°（已知），
∴∠C=∠A=25°；
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角），
∴∠ABD=90°﹣25°=65°．
故答案是：65°．
13．如图，在矩形ABCD 中，AD=4，DC=3，将△ADC 按逆时针方向绕点A 旋转到△AEF
（点A 、B 、E 在同一直线上），连接CF ，则CF= 5 ．
【考点】勾股定理；旋转的性质．
【分析】由于△ADC按逆时针方向绕点A旋转到△AEF，显然△ADC≌△AEF，则有∠EAF=∠DAC，AF=AC，那么∠EAF+∠EAC=∠DAC+∠EAC，即∠FAC=∠BAD=90°．在Rt△ACD 中，利用勾股定理可求AC，同理在Rt△FAC中，利用勾股定理可求CF．
【解答】解：∵△ADC按逆时针方向绕点A旋转到△AEF，
∴△ADC≌△AEF，
∴∠EAF=∠DAC，AF=AC，
∴∠EAF+∠EAC=∠DAC+∠EAC，
∴∠FAC=∠BAD，
又∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ADC=90°，
∴∠FAC=90°，
又∵在Rt△ADC中，AC===5，
∴在Rt△FAC中，CF===5．
14．已知等边△ABC边长为2，放置在如图的水平桌面上，将△ABC水平向右作无滑动翻
滚，使△ABC首次落回开始的位置，则等边△ABC的中心O经过的路径长为π．
【考点】轨迹；等边三角形的性质．
【分析】作出图形，根据等边三角形的性质求出三角形的顶点到中心的长度，并求出每一次翻滚的角的度数，然后求出△ABC翻滚一周的角度，最后根据弧长的计算公式列式进行计算即可求解．
【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB于D，则CD一定经过点O，
∵CD=BC=，
∴OC=CD=，
根据等边三角形的性质，∠BCD=∠ACB=×60°=30°，
∴每一次翻滚中心O旋转的角度为：180°﹣2×30°=120°，
等边三角形翻滚3次翻滚一周，
∴点O旋转的角度为：120°×3=360°，
∴中心O经过的路径长是：2π•OC=2π×=π，
故答案为：π．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．解方程：．
【考点】解分式方程．
【分析】∵x2﹣4=（x+2）（x﹣2），
∴最简公分母为（x+2）（x﹣2）．方程两边都乘最简公分母，把分式方程转换为整式方程求解．结果要检验．
【解答】解：方程两边都乘（x+2）（x﹣2），得：
x（x+2）+2=（x+2）（x﹣2），
即x2+2x+2=x2﹣4，
移项、合并同类项得2x=﹣6，
系数化为1得x=﹣3．
经检验：x=﹣3是原方程的解．
16．如图，已知，▱ABCD中，AE=CF，M、N分别是DE、BF的中点．
求证：四边形MFNE是平行四边形．
【考点】平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．
【分析】平行四边形的判定方法有多种，选择哪一种解答应先分析题目中给的哪一方面的条件多些，本题所给的条件为M、N分别是DE、BF的中点，根据条件在图形中的位置，可选择利用“一组对边平行且相等的四边形为平行四边形”来解决．
【解答】证明：由平行四边形可知，AD=CB，∠DAE=∠FCB，
又∵AE=CF，
∴△DAE≌△BCF，
∴DE=BF，∠AED=∠CFB
又∵M、N分别是DE、BF的中点，
∴ME=DE，NF=BF，
∴ME=NF
又∵由AB∥DC，得∠AED=∠EDC
∴∠EDC=∠BFC，
∴ME∥NF，
∴四边形MFNE为平行四边形．
17．某生态示范园要对1号、2号、3号、4号四个品种共500株果树幼苗进行成活实验，从中选出成活率高的品种进行推广，通过实验得知，3号果树幼苗成活率为89.6%，把实验数据绘制成下列两幅统计图（部分信息未给出）
（1）实验所用的2号果树幼苗的数量是100株；
（2）请求出3号果树幼苗的成活数，并把图2的统计图补充完整；
（3）你认为应选哪一种品种进行推广？请通过计算说明理由．
【考点】扇形统计图；条形统计图．
【分析】（1）根据扇形统计图求得2号所占的百分比，再进一步计算其株数；
（2）根据扇形统计图求得3号幼苗的株数，再根据其成活率是89.6%，进行计算其成活数，再进一步补全条形统计图；
（3）通过计算每一种的成活率，进行比较其大小．
【解答】解：（1）500×（1﹣25%×2﹣30%）=100（株）；
（2）500×25%×89.6%=112（株），
补全统计图如图；
（3）1号果树幼苗成活率为：×100%=90%，
2号果树幼苗成活率为×100%=85%，
4号果树幼苗成活率为×100%=93.6%，
∵93.6%＞90%＞89.6%＞85%，
∴应选择4号品种进行推广．
18．如图所示，甲乙两人准备了可以自由转动的转盘A、B，每个转盘被分成几个面积相等的扇形，并在每个扇形内标上数字．
（1）只转动A转盘，指针所指的数字是2的概率是多少？
（2）如果同时转动A、B两个转盘，将指针所指的数字相加，则和是非负数的概率是多少？并用树状图或表格说明理由．（如果指针指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向某一区域为止）．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】（1）看2的个数占表格中数的总个数的多少即可；
（2）列举出所有情况，看和是非负数的情况占总情况的多少即可．
【解答】解：（1）数的总个数为4，2有2个，指针指向2的概率是=；
（2）
或表格法：
A转盘
1 2 3 ﹣1
和
B转盘
1 0 1 1 ﹣2
﹣2 ﹣1 0 0 ﹣3
﹣3 ﹣2 ﹣1 ﹣1 ﹣4
因为共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，其中和是非负数的结果有5种，所以和
是非负数的概率是．
19．为打造“书香校园”，某学校计划用不超过1900本科技类书籍和1620本人文类书籍，组建中、小型两类图书角共30个．已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本．
（1）问符合题意的组建方案有几种？请你帮学校设计出来；
（2）若组建一个中型图书角的费用是860元，组建一个小型图书角的费用是570元，试说明在（1）中哪种方案费用最低？最低费用是多少元？
【考点】一元一次不等式组的应用．
【分析】（1）设组建中型图书角x个，则组建小型图书角为（30﹣x）个．
根据不等关系：①科技类书籍不超过1900本；②人文类书籍不超过1620本．列不等式组，进行求解；
（2）此题有两种方法：方法一：因为总个数是不变的，所以费用少的越多，总费用越少；方法二：分别计算（1）中方案的价钱，再进一步比较．
【解答】解：（1）设组建中型图书角x个，则组建小型图书角为（30﹣x）个．
由题意，得
，
解这个不等式组，得
18≤x≤20．
由于x只能取整数，
∴x的取值是18，19，20．
当x=18时，30﹣x=12；
当x=19时，30﹣x=11；
当x=20时，30﹣x=10．
故有三种组建方案：
方案一，组建中型图书角18个，小型图书角12个；
方案二，组建中型图书角19个，小型图书角11个；
方案三，组建中型图书角20个，小型图书角10个．
（2）方法一：假设总费用为w，
∴w=860x+570（30﹣x），
=290x+17100，
∵w随x的增大而增大，
∴当x取最小值18时，总费用最低，最低费用是290×18+17100=22320元．
∴组建中型图书角18个，小型图书角12个，总费用最低，最低费用是22320元．
方法二：①方案一的费用是：860×18+570×12=22320（元）；
②方案二的费用是：860×19+570×11=22610（元）；
③方案三的费用是：860×20+570×10=22900（元）．
故方案一费用最低，最低费用是22320元．
20．如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=（x＞0）的图象交于P（n，2），与x
轴交于A（﹣4，0），与y轴交于C，PB⊥x轴于点B，且AC=BC．
（1）求一次函数、反比例函数的解析式；
（2）反比例函数图象有一点D，使得以B、C、P、D为顶点的四边形是菱形，求出点D的坐标．
【考点】反比例函数综合题．
【分析】（1）先根据题意得出P点坐标，再将A、P两点的坐标代入y=kx+b求出kb的值，
故可得出一次函数的解析式，把点P（4，2）代入反比例函数y=即可得出m的值，进而
得出结论；
（2）根据PB为菱形的对角线与PC为菱形的对角线两种情况进行讨论即可．
【解答】解：（1）∵AC=BC，CO⊥AB，A（﹣4，0），
∴O为AB的中点，即OA=OB=4，
∴P（4，2），B（4，0），
将A（﹣4，0）与P（4，2）代入y=kx+b得：，
解得：k=，b=1，
∴一次函数解析式为y=x+1，
将P（4，2）代入反比例解析式得：m=8，即反比例解析式为y=．
（2）如图所示，
当PB为菱形的对角线时，
∵四边形BCPD为菱形，
∴PB垂直且平分CD，
∵PB⊥x轴，P（4，2），
∴点D（8，1）．
当PC为菱形的对角线时，PB∥CD，
此时点D在y轴上，不可能在反比例函数的图象上，故此种情形不存在．
综上所述，点D（8，1）．
21．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与边BC、AC分别交于D、E两点，DF⊥AC于F．
（1）求证：DF为⊙O的切线；
（2）求证：CD2=AB•EF．
【考点】相似三角形的判定与性质；切线的判定．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质，于是可判断OD∥AC，由于DF⊥AC，所以OD⊥DF，然后根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）连接DE，根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，等量代换得到∠DEF=∠C，求得
DE=DC，推出CF=EF，通过△CDF∽△CAD，得到，即可得到结论．
【解答】证明：（1）连接OD，AD，
∵AB=AC，AB为⊙O的直径，
∴AD⊥BC，BD=CD，
∵AO=BO，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC于F，
∴OD⊥DF，
∴DF为⊙O的切线；
（2）连接DE，则∠B=∠DEF，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠DEF=∠C，
∴DE=DC，
∴CF=EF，
在Rt△ADC中，DF⊥AC，
∴∠CFD=∠ADC=90°，
∵∠C=∠C，
∴△CDF∽△CAD，
∴，
∴CD2=CF•CA
即CD2=AB•EF．
22．如图，我校九年级一个学习小组进行测量小山高度的实践活动，部分同学在山脚点A 测得山腰上一点D的仰角为30°，并测得AD的长度为180米；另一部分同学在山顶点B测得山脚点A的俯角为45°，山腰点D的俯角为60°，请你帮助他们计算出小山BC的高度（结果保留根号）．
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
【分析】首先根据题意分析图形；过点D作DE⊥AC于点E，作DF⊥BC于点F；构造本题涉及到的两个直角三角形，根据图形分别求解可得DE与BF的值，再利用BC=DE+BF，进而可求出答案．
【解答】解：过点D作DE⊥AC于点E，作DF⊥BC于点F，
则DE∥FC，DF∥EC，
∵∠DEC=90°，
∴四边形DECF是矩形，
∴DE=FC，
∵∠HBA=∠BAC=45°，
∴∠BAD=∠BAC﹣∠DAE=45°﹣30°=15°．
又∵∠ABD=∠HBD﹣∠HBA=60°﹣45°=15°，
∴△ADB是等腰三角形，
∴AD=BD=180（米），
在Rt△AED中，sin∠DAE=sin30°=，
∴DE=180•sin30°=180×=90（米），
∴FC=90米．
在Rt△BDF中，∠BDF=∠HBD=60°，sin∠BDF=sin60°=，
∴BF=180•sin60°=180×=90，
∴BC=BF+FC=90（+1）（米），
答：小山的高度BC为90（+1）米．
23．我市某美食城今年年初推出一种新型套餐，这种套餐每份的成本为40元，该美食城每天需为这种新型套餐支付固定费用（不含套餐成本）3000元．此种套餐经过一段时间的试销得知，若每份套餐售价不超过60元时，每天可销售200份；若每份售价超过60元时，每提高1元，每天的销售量就减少8份．为便于结算，每份套餐的售价x（元）取整数，且售价不低于成本价．设美食城销售此种新型套餐所获的日销售利润为w（元）．
（1）求w与x之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；
（2）该美食城既要获得最大的日销售利润，又要吸引顾客，尽可能提高日销售量，则每份套餐的售价应定为多少元？此时日销售利润为多少？
（3）今年五一节前，为答谢广大消费者，该美食城也决定从4月起的一段时间内，每销售出一份此种新型套餐就返回顾客现金a元（a为整数），该美食城在此种新型套餐每份的售价不超过62元的情况下，为使每天让利顾客后的日销售最大利润不低于600元，求a的最大值．
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）根据日纯收入=每天的销售额﹣套餐成本﹣每天固定支出就可以求出售价不超过10元时，w与x的函数关系式；
（2）分别求出当40≤x≤60时，的最大利润和当60≤x≤85时，的最大利润，再结合题意选择方案
（3）设每天让利顾客后的日销售利润为W′元，当40≤x≤60时，求得a≤2；当60≤x≤62
时，求得a≤，于是得到结论．
【解答】解：（1）当40≤x≤60时，W=200（x﹣40）﹣3000=200x﹣11000，；
当x＞60时，W=（x﹣40）[200﹣8（x﹣60）]﹣3000=﹣8x2+1000x﹣30200，
此时200﹣8（x﹣60）≥0，解得x≤85；
∴w=，
（2）当40≤x≤60时，W=200x﹣11000，
∵W随x的增大而增大，∴x=60时，W的最大值为1000；
当60≤x≤85时，W=﹣8x2+1000x﹣30200=﹣8（x﹣）2+1050，
∵x为整数，
∴x=62或63时，w取最大值，最大值为1048，
又日销售量200﹣8（x﹣60）=﹣8x+680取最大值，
∴x=62，
答：每份套餐的售价应定为62元，此时日销售利润为1048元；
（3）设每天让利顾客后的日销售利润为W′元，
当40≤x≤60时，W′=200x﹣11000﹣200a，此时x=60时，W′=1000﹣200a≥600，解得a≤2；
当60≤x≤62时，W′=﹣8x2+1000x﹣30200﹣a（﹣8x+680）
=﹣8x2+x﹣30200﹣680a，
∵抛物线的开口向下，抛物线的对称轴x=＞62，
∴当x=62时，W′取最大值，最大值为1048﹣184a≥600，a≤，
又a为整数，∴a的最大值为2．
24．在直角坐标系中，点A（5，0），点B（4，3），点C（0，3），动点M从点O出发，以每秒1个单位长度向C点运动，动点N同时从点C出发，以每秒2个单位长度向B点运动，当点N运动到B点时，点M也随之停止运动，设运动时间为t（秒）
（1）求经过A、B、C三点的抛物线解析式．
（2）t为何值时，以A、M、N为顶点的三角形是直角三角形？
（3）当N经过抛物线的对称轴与BC交点时，此时抛物线的对称轴能将三角形AMN的面积分为1：2吗？请说明理由．
（4）按此速度运动下去，以A、M、N为顶点的三角形可以构成等腰直角三角形吗？若能，请说明理由，若不能，能否通过改变M点的速度使以A、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形，并求出改变后的速度和此时t的值．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）分∠NMA=90°和∠ANM=90°两种情况，用三角形相似得到的比例式列出方程求解，即可；
（3）先求出对称轴x=2，此时N（2，3），M（0，1）得到，求出面积的比，
即可；
（4）先判断t=1时，不能构成等腰直角三角形，设出速度，由等腰直角三角形的性质，得出△MCN≌△NHA，从而求出速度和时间．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，
根据题意得，，
∴，
∴y=﹣x2+x+3，
（2）当∠NMA=90°时，
∴△AOM∽△MCN，
∴，
∴t=﹣7（舍），
当∠ANM=90°，
过点AH⊥CB，
∴△NHA∽△MCN，
∴，
∴t=1或t=（舍），
∴t=1时，以A，M，N为顶点的三角形是直角三角形；
（3）∵y=﹣x2+x+3，
∴对称轴x=2，此时N（2，3），M（0，1）
设抛物线的对称轴于AM交于P，与AO角于Q，
∴，
∴，
∴抛物线的对称轴不能将△ANM的面积分成；
（4）由（2）有，t=1时，以A，M，N为顶点的三角形是直角三角形；
∴MN=2，AN=3，
∴按此速度运动下去，以A、M、N为顶点的三角形不能构成等腰直角三角形，
设M点的速度为每秒k个单位，若△AMN为等腰直角三角形，
∴△MCN≌△NHA，
∴2t=3，
∴t=，
∵3﹣kt=3，
∴k=，
当点Q的速度为每秒个单位时，△AMN为所以直角三角形，此时t=．
2016年9月21日
初中数学试卷
金戈铁骑制作。