2019高考数学(理)冲刺大题提分(讲义+练习)大题精做12函数与导数：存在、恒成立与最值问题(理)

[2019广州一模]已知函数f x 二xe x Inx • x . (1) 若a ，求f x 的单调区间；
(2) 当a ：：：0时，记f x 的最小值为m ，求证m _1 .
【答案】(1)函数f x 的单调递减区间为
0,1，单调递增区间为 1,； ; (2)见解析.
【解析】(1)当a = _e 时，f x =xe x -e Inx • x , f x 的定义域是 0,；,
当 0 ::: x ：：：1 时，f x ：：：0 ；当 x 1 时，f x\ -0 . 所以函数f x 的单调递减区间为
0,1，单调递增区间为
1,；.
（2）证明：由（1）得f x 的定义域是0, = , f x =乞」xe x a ,
x 令g x =xe x a ，则= x 1 e x 0 , g x 在0,匚上单调递增，
因为 a ：： 0，所以 g 0 =a :：
0, g ：i -a 二-ae ' a 「a a =0 , 故存在 X 。

• 0, -a ，使得 g X D =X o
e x ° • a =0 .
x ■ 1
当 x ：=【O,X o 时，g x <0, f x
xe x a <0 , f x 单调递减；
x
当 x ：=【x o ,亠」时，g x] >0 , f x
xe x a\ >0 , f x 单调递增;
x 故 x =x ）时，f x 取得最小值，即 m
x
o
i=x °
e xo ■ a Inx
o ■ xo
,
由 X o e x a =0，得 m =X o e x aln xe xo 二-a aln ：；：-a , 令 x--a 0 , h x =x -xl nx , 贝U h '（x ）=1 -（1 +|nx ） = -Inx ,
大题精做十二
函数与导数：存在、恒成立与最值问题
x = x 1 e x -e l 1 1
\x
,
x
当 x ：=;0,1 时，h x =Tnx 0 , h x =x 「xlnx 单调递增,
当 x i l,—］时，h x =-1 nx ：：：0 , h x =x -xlnx 单调递减, 故 x =1，即 a = -1 时，h x =x -xln x 取最大值 1, m _1.
模拟精II 做
(2)求证：当x ・0,；时,
x
In^
1
3. [2019东莞期末]已知函数f x 二 Inx b ，函数 g x 二 xf x 厂 2x * 1 2
(1)求函数f x 的单调区间;
(2)设x , X 2为：：：X 2是函数g x 的两个极值点，若 13 3
求g 捲？-g X 2的最小值.
1【答案】(1 )见解析；(2) 0,1 1.
【解析】(1) f x =e x -a ,
当a乞0时，「x二e x -a 0，所以函数f x在R上单调递增；
当a 0时，令f x =0，解得x = In a，
当x三[•「,1 na时，「X ：：：0,故函数f x在-：：,l na上单调递减；
当x • In a,；时，「x V ,故函数f x在In a,；上单调递增.
(2)由(1)知，当a乞0时，函数f x在R上单调递增，没有最小值，故 a 0 .
2
f x min二f Ina 二a—al na-1—2a ~ a T ,
整理得aln a 2a -2a _0 ,即卩In a 2a -2 _0 .
令g a ]=lna，2a-2(a 0)，易知g a在0,匚上单调递增，且g 1 i=0 ;
所以In a，2a-2^0的解集为0,1】，所以a，0,1 1.
2.【答案】(1 )见解析；(2)见解析.
【解析】(1)当m =1 时，f x =x • 1 -e x, f x =1 -e x，令f x =1-e x=0，则x = 0 .
当x ：：： 0 时，f x 20 ；当x 0 时，f x 0 ,
•••函数f x的单调递增区间是-：：,0 ;单调递减区间是0,；.
(2)由(1)知，当m =1 时，f x max =f 01=0,
•••当x ■ 0,二时，x • 1 — e x：：：0，即e x x 1 ,
x x
当0,；时，要证-，只需证e x -1 xe',
x 2
x
令 F x =e x -xe2 _1 =e x _x e -1 ,
1
0£，—143
3. 【答案】(1)函数f x的增区间为0,e ; f x的减区间为e, ；; (2) In12 .
【解析】(1)由题意知，f x的定义域为0,；
，当f x ：：： 0时，解得x e ；当「x 0时，0
所以函数f x的增区间为0,e ； f x的减区间为e,-
2 2 1 4x2+bx +1
(2)因为g x 二xf x ］亠2x 二Inx 2x bx，从而g x =— 4x b 二 -------------------- ,
x
2 2 169
令g x =0，得4x bx 1 二0 ,由于△二b -16 16 0 ,
3
b 1
设方程两根分别为x , x2，由韦达定理可知，x1 x^ —, xx = -，
4 4
2 2 X1 2 2
g X1 - g X2 = Inx1 亠2x1 亠bx1 - InX2 亠2x2 亠bx2 =ln 一2 X1 -X2
i亠b X1 -X2
X2
Xi 因为0 ：：：儿::X2，所以t = 一•
X2 小又V，所以
b、13巧
X1 X2 ：
4 12
4xx2
1 2 一169, 4 . t 48
__ X F x j；*—e
■ X X -X e In、e
由e x x 1，可得
x
2 x
e21
2
F x 0恒成立，即F x在0「：上单调递增，••• F x F 0 =0 .
X 即e x -1 ■ xe2,
X
.e -1 x In
x 2
:::x ：：
e .
二In 生2 x f -x；-4 X i X2 X i -X2 二In 生1儿x2 x2 X
2 2 x i x2 ：in—1
X2 2也
生_X
X1
h tp1—0，所以ht在°,占单调递减，h t _h 12 =罟门12，故g x -g X2的最小值是罟-1n12 .
1. [2019青海联考]已知函数f x =e x -ax -1 .
(1) 讨论函数f x的单调性；
(2) 当f x有最小值，且最小值不小于2a2 - a -1时，求a的取值范围.
x
2. ［2019咸阳模拟］设函数f x =x，1-me , m R .
(1)当m =1时，求f x的单调区间;
1 f 1 )
设，则灾2"冲商-蓟-朴。