全国各地高考数学试题分类考点汇总 39 圆的方程直线与圆圆与圆的位置关系 含解析

考点39 圆的方程、直线与圆、圆与圆的位
置关系
一、选择题
1.（2012·广东高考文科·Ｔ8）在平面直角坐标系xOy中，直线
3x+4y-5=0与圆2x+2y=4相交A、B两点，则弦AB的长等于（）
【解题指南】解答本题要先利用点到直线的距离公式求出圆心到直线
AB=求解.
的距离，然后利用弦长公式||
d=,所以【解析】选B.由圆心(0,0)到直线3x+4y-5=0的距离为1
AB==
||
2.（2012·湖北高考文科·Ｔ5）过点P（1,1）的直线，将圆形区域{（x，y）|x2+y2≤4}分两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为（）
(A)x+y-2=0 (B)y-1=0 (C)x-y=0 （D）x+3y-4=0 【解题指南】本题考查的是直线与圆的位置关系的应用,解答本题的关键是结合图象,分析出临界位置.
【解析】选A.如图,
要使两部分的面积之差最大,即使阴影部分的面积最小,也就是弦长AB 最短.结合直线与圆的位置关系的性质知:当直线AB 与直线OP 垂直时, 弦长AB 最短 ,又1,1AB OP OP k k k •=-=, 1.AB k ∴=-所求直线方程为: 20y x +-=.
3.（2012·辽宁高考文科·Ｔ7）将圆
222410x y x y +--+=平分的直线是（ ）
（A ）10x y +-= （B ）30x y ++= （C ）10x y -+= （D ）30x y -+= 【解题指南】搞清楚平分圆的直线过圆心，求出圆心坐标，代入验证即可.
【解析】选C. 圆
222410
x y x y +--+=的圆心坐标为（1,2），验证得C.
4.（2012·陕西高考理科·Ｔ4）已知圆22
:40C x y x +-=，
l 是过点(3,0)P 的直线，则（ ）
(A) l 与C 相交 (B) l 与C 相切 (C) l 与C 相离 (D) 以上三个选项均有可能
【解题指南】首先确定点P 与圆C 的位置关系,然后再确定直线l 与圆的位置关系.
【解析】选A.圆C 的方程是2
2(2)
4
x y -+=，∴点P 到圆心C （2,0）的
距离12d =<，∴点P 在圆C 内部，∴直线l 与圆C 相交.
5.（2012·福建高考文科·Ｔ7）直线20x -=与圆
22
4x y +=相交于A,B 两点，则弦AB 的长度等于（ ）
（A ） （B ） （C （D ）1 【解题指南】利用弦心距和半径来求弦长．
【解析】选B.圆心为原点，到直线的距离为
1
d =
=，
||AB ===6.（2012·陕西高考文科·Ｔ6）与（2012·陕西高考理科·Ｔ4）相同
已知圆
22
:40C x y x +-=，l 是过点(3,0)P 的直线，则（ ） (A) l 与C 相交 (B) l 与C 相切 (C) l 与C 相离 (D) 以上三个选项均有可能
【解题指南】首先确定点P 与圆C 的位置关系,然后再确定直线l 与圆的位置关系.
【解析】选A.圆C 的方程是22(2)4x y -+=，∴点P 到圆心C （2,0）的距离是12d =<，∴点P 在圆C 内部，∴直线l 与圆C 相交. 7.（2012·天津高考理科·Ｔ8）设m,n R ∈，若直线(1)(1)20
m x n y 与圆
22(1)(1)1x y 相切，则m n 的取值范围是( )
(A)[11 (B)
-)∞⋃+∞（，1[1
(C) [22 (D)
-)∞⋃+∞（，2[2 【解题指南】根据点到直线的距离、基本不等式、一元二次不等式求解.
【解析】选D.因为直线与圆相切，所以d=r ，即
22
=11
(1)(1)mn m n m n ⇒=+++++，2
2()(),124m n m n mn m n ++≤∴++≤
，
令=m n t ,则2
440--22+22,)t t t --≥⇒∈
∞⋃+∞（，2][2，故选D. 8.（2012·山东高考文科·Ｔ9）圆22(2)4x y ++=与圆
22
(2)(1)9x y -+-=的位置关系为( )
(A)内切 (B)相交 (C)外切 (D)相离
【解题指南】本题考查圆与圆的位置关系，可以利用几何法来判断，即判断两圆的圆心距与两圆半径和、差的关系. 【解析】选B.圆2
2(2)
4x y ++=与圆22(2)(1)9x y -+-=的圆心距：
两圆半径和为5、差为1，所以5171<<，
所以两圆相交.
9.（2012·安徽高考文科·Ｔ9）若直线01-+-y x =0
与圆2)(2
2=+-y a x 有公共点，则实数a 的取值范围是( )
（A ） [-3 ，-1 ] （B ）[ -1 ， 3 ] （C ） [ -3 ，1 ] （D ）（- ∞ ，-3 ] U [1 ，+ ∞ ）
【解题指南】直线与圆有公共点，根据几何意义可得圆心到直线的距离小于或等于半径.
【解析】选C .圆
22
()2x a y -+=的圆心(,0)C a 到直线10x y -+=的距离为d
则
1221231
2
a d r a a +≤=⇔
≤⇔+≤⇔-≤≤
二、填空题
10.（2012·江西高考文科·Ｔ14）过直线x+y-=0上点P 作圆x 2+y 2=1
的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P 的坐标是__________. 【解析】设P （x ，y ），则由已知可得PO （0为原点）与切线的夹角
为0
30，则|PO|=2，由224
22x y x y ⎧+=⎪⎨
+=⎪
⎩可得22x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩. 【答案】(
)2,2
11.（2012·天津高考文科·Ｔ12）
设m,n R ∈，若直线:+10l mx ny 与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，且l 与圆2
2
4x
y 相交所得弦的长为2，O 为坐标原点，则△AOB
面积的最小值为__________.
【解题指南】圆心到直线的距离、半径、半弦长构造直角三角形，得出m,n 的等式关系结合不等式求解.
【解析】如图所示，在Rt △A OB ''中，OA 2A B 1'=''=，，
2
2222
1
4=1+,2||,3
1
6,3||
m n mn m n S mn ∴+=
≥+∴
≥∴≥（）.
【答案】3
12. （2012·浙江高考文科·Ｔ17）与（2012·浙江高考理科·Ｔ16）相同
定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离，已知曲线C 1：y=x 2+a 到直线l :y=x 的距离等于曲线C 2：x 2+(y+4)2=2到直线l :y=x 的距离，则实数a=_______.
【解析】曲线C2：x2+(y+4)2=2到直线l:y=x
的距离为
r
-==，
对于y=x2+a，21
y x
==，故切点为
11
(,)
24
a
+，切点为11
(,)
24
a
+到直线l:y=x
=，解得97-
44
a=或．由
2
y x
y x a
=
⎧
⎨
=+
⎩
消去y 得20
x x a
-+=，由140
a
∆=-<可得
1
4
a>，故
9
4
a=.
【答案】9
4
13.（2012·北京高考文科·Ｔ9）直线y=x被圆x2+（y-2）2=4截得弦长为__________.
【解题指南】利用圆心到直线的距离、半弦长与半径构成直角三角形，求弦长.
【解析】如图所示，|CO|=2，圆心C（0，2）到直线y=x
的距离
||
CM==
2||
OM==
【答案】
14.（2012·江苏高考·Ｔ12）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为228150
x y x
+-+=，若直线2
y kx
=-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是
.
x
x
【解题指南】从圆与圆的位置关系、点到直线的距离以及直线与圆的位置关系角度处理.
【解析】方法一：设直线上一点(,2)-t kt
，则圆心距满足
2≤对∈t R 有解.即22(1)(48)160+-++≤k t k t 有解，所以
有
224
(48)416(1)003+-⨯+≥∴≤≤
k k k .
方法二：由题意，圆心C 到直线的距离不大于2
，
4203
=
≤∴≤≤
d k .
【答案】4
3
三、解答题
15.（2012·湖南高考理科·Ｔ21）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的点均在圆C 2：（x-5）2＋y 2=9外，且对C 1上任意一点M ，M 到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C 2上点的距离的最小值. （Ⅰ）求曲线C 1的方程；
（Ⅱ）设P(x 0,y 0)（y 0≠±3）为圆C 2外一点，过P 作圆C 2的两条切线，分别与曲线C 1相交于点A ，B 和C ，D.证明：当P 在直线x=﹣4上运动时，四点A ，B ，C ，D 的纵坐标之积为定值. 【解析】（Ⅰ）解法1 ：设M 的坐标为(,)x y ，由已知得
23x +=，
易知圆2C 上的点位于直线2x =-的右侧.于是20x +>，所以
5x =+.
化简得曲线1C 的方程为220y x =.
解法2 ：由题设知，曲线1C 上任意一点M 到圆心2C (5,0)的距离等于它到直线5x =-的距离，因此，曲线1C 是以(5,0)为焦点，直线5x =-为准线的抛物线，故其方程为220y x =.
（Ⅱ）当点P 在直线4x =-上运动时，P 的坐标为0(4,)y -，又03y ≠±，则过P 且与圆2C 相切的直线的斜率k 存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为0(4),y y k x -=+0即kx-y+y +4k=0.于是
3.=
整理得
22
00721890.k y k y ++-= ①
设过P 所作的两条切线,PA PC 的斜率分别为12,k k ，则12,k k 是方程①的两个实根，故
001218.724
y y
k k +=-
=- ② 由1012
40,
20,k x y y k y x -++=⎧⎨=⎩
得21012020(4)0.k y y y k -++= ③ 设四点A,B,C,D 的纵坐标分别为1234,,,y y y y ，则12,y y 是方程③的两个实根，所以
01121
20(4)
.y k y y k +⋅=
④ 同理可得
02342
20(4)
.y k y y k +⋅=
⑤ 于是由④，⑤两式得
010*******
400(4)(4)
y k y k y y y y k k ++=
2
01201212
4004()16y k k y k k k k ⎡⎤+++⎣⎦
=
22001212
400(16)6 400-+=y y k k k k .
所以，当P 在直线4x =-上运动时，四点A ，B ，C ，D 的纵坐标之积为定值6 400.。