元宝区第二中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学(1)

元宝区第二中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．已知函数f（x）=a x﹣1+log a x在区间[1，2]上的最大值和最小值之和为a，则实数a为（）
A．B．C．2 D．4
2．已知命题“如果﹣1≤a≤1，那么关于x的不等式（a2﹣4）x2+（a+2）x﹣1≥0的解集为∅”，它的逆命题、否命题、逆否命题及原命题中是假命题的共有（）
A．0个B．1个C．2个D．4个
3．袋内分别有红、白、黑球3，2，1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（）
A．至少有一个白球；都是白球
B．至少有一个白球；至少有一个红球
C．恰有一个白球；一个白球一个黑球
D．至少有一个白球；红、黑球各一个
4．已知直线x+y+a=0与圆x2+y2=1交于不同的两点A、B，O是坐标原点，且，那么实数a的取值范围是（）
A．B．C．
D．
5．定义某种运算S=a⊗b，运算原理如图所示，则式子+的值为（）
A．4 B．8 C．10 D．13
6．平面向量与的夹角为60°，=（2，0），||=1，则|+2|=（）
A．B．C．4 D．12
7． 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（ ） A ． 2 B ．4 C ．
34 D ．3
8
【命题意图】本题考查三视图的还原以及特殊几何体的体积度量，重点考查空间想象能力及对基本体积公式的运用，难度中等.
8． 已知函数21
1,[0,)22
()13,[,1]
2
x x f x x x ⎧+∈⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩，若存在常数使得方程()f x t =有两个不等的实根12,x x
（12x x <），那么12()x f x ∙的取值范围为（ ）
A ．3[,1)4 B
．1[,
86
C ．31[,)162
D ．3[,3)8
9． 如图，在△ABC 中，AB=6，
AC=4，A=45°，O 为△ABC 的外心，
则
•等于（ ）
A ．﹣2
B ．﹣1
C ．1
D ．2
10．sin （﹣510°）=（ ） A
．
B
．
C
．﹣ D
．﹣
11．执行如图所示的程序框图，则输出的S 等于（
）
A．19 B．42 C．47 D．89
12．下列说法正确的是（）
A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x≠1”
B．命题“∃x0∈R，x+x0﹣1＜0”的否定是“∀x∈R，x2+x﹣1＞0”
C．命题“若x=y，则sin x=sin y”的逆否命题为假命题
D．若“p或q”为真命题，则p，q中至少有一个为真命题
二、填空题
13．已知椭圆+=1（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为B，F为其左焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=θ，
且θ∈[，]，则该椭圆离心率e的取值范围为．
14．曲线C是平面内到直线l1：x=﹣1和直线l2：y=1的距离之积等于常数k2（k＞0）的点的轨迹．给出下列四个结论：
①曲线C过点（﹣1，1）；
②曲线C关于点（﹣1，1）对称；
③若点P在曲线C上，点A，B分别在直线l1，l2上，则|PA|+|PB|不小于2k；
④设p1为曲线C上任意一点，则点P1关于直线x=﹣1、点（﹣1，1）及直线y=1对称的点分别为P1、P2、P3，则四边形P0P1P2P3的面积为定值4k2．
其中，所有正确结论的序号是．
15．下列关于圆锥曲线的命题：其中真命题的序号．（写出所有真命题的序号）．
①设A，B为两个定点，若|PA|﹣|PB|=2，则动点P的轨迹为双曲线；
②设A，B为两个定点，若动点P满足|PA|=10﹣|PB|，且|AB|=6，则|PA|的最大值为8；
③方程2x2﹣5x+2=0的两根可分别作椭圆和双曲线的离心率；
④双曲线﹣=1与椭圆有相同的焦点．
16．某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用下面的条形图表示．根据条形图可得这50名学生这一天平均的课外阅读时间为小时．
17．直线l：（t为参数）与圆C：（θ为参数）相交所得的弦长的取值范围是．
18．已知平面上两点M（﹣5，0）和N（5，0），若直线上存在点P使|PM|﹣|PN|=6，则称该直线为“单曲型直线”，下列直线中：
①y=x+1 ②y=2 ③y=x ④y=2x+1
是“单曲型直线”的是．
三、解答题
19．某游乐场有A、B两种闯关游戏，甲、乙、丙、丁四人参加，其中甲乙两人各自独立进行游戏A，丙丁两
人各自独立进行游戏B．已知甲、乙两人各自闯关成功的概率均为，丙、丁两人各自闯关成功的概率均为．
（1）求游戏A被闯关成功的人数多于游戏B被闯关成功的人数的概率；
（2）记游戏A、B被闯关总人数为ξ，求ξ的分布列和期望．
20．求下列曲线的标准方程：
（1）与椭圆+=1有相同的焦点，直线y=x为一条渐近线．求双曲线C的方程．
（2）焦点在直线3x﹣4y﹣12=0 的抛物线的标准方程．
21．如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于E点，F，G分别为AD，BC的中点，AB=2，∠DAB=60°，沿对角线BD将△ABD折起，使得AC=．
（1）求证：平面ABD⊥平面BCD；
（2）求二面角F﹣DG﹣C的余弦值．
22．为了了解湖南各景点在大众中的熟知度，随机对15～65岁的人群抽样了n人，回答问题“湖南省有哪几个
（Ⅱ）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2，3，4组每组各抽取多少人？（Ⅲ）在（Ⅱ）抽取的6人中随机抽取2人，求所抽取的人中恰好没有第3组人的概率．
23．全集U=R，若集合A={x|3≤x＜10}，B={x|2＜x≤7}，（1）求A∪B，（∁U A）∩（∁U B）；
（2）若集合C={x|x＞a}，A⊆C，求a的取值范围．
24．已知m≥0，函数f（x）=2|x﹣1|﹣|2x+m|的最大值为3．（Ⅰ）求实数m的值；
（Ⅱ）若实数a，b，c满足a﹣2b+c=m，求a2+b2+c2的最小值．
元宝区第二中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题
1．【答案】A
【解析】解：分两类讨论，过程如下：
①当a＞1时，函数y=a x﹣1和y=log a x在[1，2]上都是增函数，
∴f（x）=a x﹣1+log a x在[1，2]上递增，
∴f（x）max+f（x）min=f（2）+f（1）=a+log a2+1=a，
∴log a2=﹣1，得a=，舍去；
②当0＜a＜1时，函数y=a x﹣1和y=log a x在[1，2]上都是减函数，
∴f（x）=a x﹣1+log a x在[1，2]上递减，
∴f（x）max+f（x）min=f（2）+f（1）=a+log a2+1=a，
∴log a2=﹣1，得a=，符合题意；
故选A．
2．【答案】C
【解析】解：若不等式（a2﹣4）x2+（a+2）x﹣1≥0的解集为∅”，
则根据题意需分两种情况：
①当a2﹣4=0时，即a=±2，
若a=2时，原不等式为4x﹣1≥0，解得x≥，故舍去，
若a=﹣2时，原不等式为﹣1≥0，无解，符合题意；
②当a2﹣4≠0时，即a≠±2，
∵（a2﹣4）x2+（a+2）x﹣1≥0的解集是空集，
∴，解得，
综上得，实数a的取值范围是．
则当﹣1≤a≤1时，命题为真命题，则命题的逆否命题为真命题，
反之不成立，即逆命题为假命题，否命题也为假命题，
故它的逆命题、否命题、逆否命题及原命题中是假命题的共有2个，
故选：C．
【点评】本题考查了二次不等式的解法，四种命题真假关系的应用，注意当二次项的系数含有参数时，必须进行讨论，考查了分类讨论思想．
3．【答案】D
【解析】解：从3个红球，2个白球，1个黑球中任取2个球的取法有：
2个红球，2个白球，1红1黑，1红1白，1黑1白共5类情况，
所以至少有一个白球，至多有一个白球不互斥；
至少有一个白球，至少有一个红球不互斥；
至少有一个白球，没有白球互斥且对立；
至少有一个白球，红球黑球各一个包括1红1白，1黑1白两类情况，为互斥而不对立事件，
故选：D
【点评】本题考查了互斥事件和对立事件，是基础的概念题．
4．【答案】A
【解析】解：设AB的中点为C，则
因为，
所以|OC|≥|AC|，
因为|OC|=，|AC|2=1﹣|OC|2，
所以2（）2≥1，
所以a≤﹣1或a≥1，
因为＜1，所以﹣＜a＜，
所以实数a的取值范围是，
故选：A．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，属于中档题．
5．【答案】C
【解析】解：模拟执行程序，可得，当a≥b时，则输出a（b+1），反之，则输出b（a+1），
∵2tan=2，lg=﹣1，
∴（2tan）⊗lg=（2tan）×（lg+1）=2×（﹣1+1）=0，
∵lne=1，（）﹣1=5，
∴lne ⊗（
）﹣1
=（）﹣1
×（lne+1）=5×（1+1）=10，
∴+=0+10=10．
故选：C ．
6． 【答案】B
【解析】解：由已知|a|=2，
|a+2b|2=a 2+4ab+4b 2=4+4×2×1×cos60°+4=12，
∴|a+2b|=．
故选：B ．
【点评】本题是对向量数量积的考查，根据两个向量的夹角和模之间的关系，根据和的模两边平方，注意要求的结果非负，舍去不合题意的即可．两个向量的数量积是一个数量，它的值是两个向量的模与两向量夹角余弦的乘积，结果可正、可负、可以为零，其符号由夹角的余弦值确定．
7． 【答案】B
8． 【答案】C 【解析】
试题分析：由图可知存在常数，使得方程()f x t =有两上不等的实根，则
314t <<，由1324x +=，可得14x =，
由2
13x =，可得3x =（负舍），即有12111,4223
x x ≤<≤≤，即221143x ≤≤，则
()212123133,162x f x x x ⎡⎫
=⋅∈⎪⎢⎣⎭
.故本题答案选C.
考点：数形结合．
【规律点睛】本题主要考查函数的图象与性质,及数形结合的数学思想方法.方程解的个数问题一般转化为两个常见的函数图象的交点个数问题来解决.要能熟练掌握几种基本函数图象,如二次函数,反比例函数,指数函数,对数函数,幂函数等.掌握平移变换,伸缩变换,对称变换,翻折变换,周期变换等常用的方法技巧来快速处理图象.
9． 【答案】A
【解析】解：结合向量数量积的几何意义及点O 在线段AB ，AC 上的射影为相应线段的中点，
可得，
，则
•
=
=16﹣18=
﹣2； 故选A ．
【点评】本题考查了向量数量积的几何意义和三角形外心的性质、向量的三角形法则，属于中档题
10．【答案】C
【解析】解：sin （﹣510°）=sin （﹣150°）=﹣sin150°=﹣sin30°=﹣， 故选：C ．
11．【答案】B
【解析】解：模拟执行程序框图，可得 k=1 S=1
满足条件k ＜5，S=3，k=2 满足条件k ＜5，S=8，k=3
满足条件k＜5，S=19，k=4
满足条件k＜5，S=42，k=5
不满足条件k＜5，退出循环，输出S的值为42．
故选：B．
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的S，k的值是解题的关键，属于基础题．
12．【答案】D
【解析】解：A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，因此不正确；
B．命题“∃x0∈R，x+x0﹣1＜0”的否定是“∀x∈R，x2+x﹣1≥0”，因此不正确；
C．命题“若x=y，则sin x=sin y”正确，其逆否命题为真命题，因此不正确；
D．命题“p或q”为真命题，则p，q中至少有一个为真命题，正确．
故选：D．
二、填空题
13．【答案】[，﹣1]．
【解析】解：设点A（acosα，bsinα），则B（﹣acosα，﹣bsinα）（0≤α≤）；
F（﹣c，0）；
∵AF⊥BF，
∴=0，
即（﹣c﹣acosα，﹣bsinα）（﹣c+acosα，bsinα）=0，
故c2﹣a2cos2α﹣b2sin2α=0，
cos2α==2﹣，
故cosα=，
而|AF|=，
|AB|==2c，
而sinθ=
==，
∵θ∈[，]，
∴sinθ∈[，]，
∴≤≤，
∴≤+≤，
∴，
即，
解得，≤e≤﹣1；
故答案为：[，﹣1]．
【点评】本题考查了圆锥曲线与直线的位置关系的应用及平面向量的应用，同时考查了三角函数的应用．14．【答案】②③④．
【解析】解：由题意设动点坐标为（x，y），则利用题意及点到直线间的距离公式的得：|x+1||y﹣1|=k2，
对于①，将（﹣1，1）代入验证，此方程不过此点，所以①错；
对于②，把方程中的x被﹣2﹣x代换，y被2﹣y 代换，方程不变，故此曲线关于（﹣1，1）对称．②正确；
对于③，由题意知点P在曲线C上，点A，B分别在直线l1，l2上，则|PA|≥|x+1|，|PB|≥|y﹣1|
∴|PA|+|PB|≥2=2k，③正确；
对于④，由题意知点P在曲线C上，根据对称性，
则四边形P0P1P2P3的面积=2|x+1|×2|y﹣1|=4|x+1||y﹣1|=4k2．所以④正确．
故答案为：②③④．
【点评】此题重点考查了利用直接法求出动点的轨迹方程，并化简，利用方程判断曲线的对称性，属于基础题．
15．【答案】②③．
【解析】解：①根据双曲线的定义可知，满足|PA|﹣|PB|=2的动点P不一定是双曲线，这与AB的距离有关系，所以①错误．
②由|PA|=10﹣|PB|，得|PA|+|PB|=10＞|AB|，所以动点P的轨迹为以A，B为焦点的图象，且2a=10，2c=6，所以a=5，c=3，根据椭圆的性质可知，|PA|的最大值为a+c=5+3=8，所以②正确．
③方程2x2﹣5x+2=0的两个根为x=2或x=，所以方程2x2﹣5x+2=0的两根可分别作椭圆和双曲线的离心率，所以③正确．
④由双曲线的方程可知，双曲线的焦点在x轴上，而椭圆的焦点在y轴上，所以它们的焦点不可能相同，所以④错误．
故正确的命题为②③．
故答案为：②③．
【点评】本题主要考查圆锥曲线的定义和性质，要求熟练掌握圆锥曲线的定义，方程和性质．
16．【答案】0.9
【解析】解：由题意，=0.9，
故答案为：0.9
17．【答案】[4，16]．
【解析】解：直线l：（t为参数），
化为普通方程是=，
即y=tanα•x+1；
圆C的参数方程（θ为参数），
化为普通方程是（x﹣2）2+（y﹣1）2=64；
画出图形，如图所示；
∵直线过定点（0，1），
∴直线被圆截得的弦长的最大值是2r=16，
最小值是2=2×=2×=4
∴弦长的取值范围是[4，16]．
故答案为：[4，16]．
【点评】本题考查了直线与圆的参数方程的应用问题，解题时先把参数方程化为普通方程，再画出图形，数形结合，容易解答本题．
18．【答案】①②．
【解析】解：∵|PM|﹣|PN|=6∴点P在以M、N为焦点的双曲线的右支上，即，（x＞0）．
对于①，联立，消y得7x2﹣18x﹣153=0，
∵△=（﹣18）2﹣4×7×（﹣153）＞0，∴y=x+1是“单曲型直线”．
对于②，联立，消y得x2=，∴y=2是“单曲型直线”．
对于③，联立，整理得144=0，不成立．∴不是“单曲型直线”．
对于④，联立，消y得20x2+36x+153=0，
∵△=362﹣4×20×153＜0∴y=2x+1不是“单曲型直线”．
故符合题意的有①②．
故答案为：①②．
【点评】本题考查“单曲型直线”的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线定义的合理运用．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）．
（2）ξ可取0，1，2，3，4，
P（ξ=0）=（1﹣）2（1﹣）2=；
P（ξ=1）=（）（1﹣）（）2+（1﹣）2=；
P（ξ=2）
=++=
；
P（ξ=3）==；
P（ξ=4）==．
∴ξ的分布列为：
0 1 2 3 4
Eξ=0×+1×+2×+3×+4×=．
【点评】本题主要考查n次独立重复实验中恰好发生k次的概率，等可能事件的概率，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．
20．【答案】
【解析】解：（1）由椭圆+=1，得a2=8，b2=4，
∴c2=a2﹣b2=4，则焦点坐标为F（2，0），
∵直线y=x为双曲线的一条渐近线，
∴设双曲线方程为（λ＞0），
即，则λ+3λ=4，λ=1．
∴双曲线方程为：；
（2）由3x﹣4y﹣12=0，得，
∴直线在两坐标轴上的截距分别为（4，0），（0，﹣3），
∴分别以（4，0），（0，﹣3）为焦点的抛物线方程为：
y2=16x或x2=﹣12y．
【点评】本题考查椭圆方程和抛物线方程的求法，对于（1）的求解，设出以直线为一条渐近线的双曲线方程是关键，是中档题．
21．【答案】
【解析】（1）证明；在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，∴△ABD，△CBD为等边三角形，
∵E是BD的中点，∴AE⊥BD，AE=CE=，
∵AC=，∴AE2+CE2=AC2，
∴AE⊥EC，∴AE⊥平面BCD，
又∵AE⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面BCD；
（2）解：由（1）可知建立以E为原点，EC为x轴，ED为y轴，EA为z轴的空间直角坐标系E﹣xyz，
则D（0，1，0），C（，0，0），F（0，，）G（﹣，1，），
平面CDG的一个法向量=（0，0，1），
设平面FDG的法向量=（x，y，z），=（0，﹣，），=（﹣，1，）
∴，即，令z=1，得x=3，y=，
故平面FDG的一个法向量=（3，，1），
∴cos==，
∴二面角F﹣DG﹣C的余弦值为﹣．
【点评】本题考查平面垂直，考查平面与平面所成的角，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由频率表中第4组数据可知，第4组总人数为，
再结合频率分布直方图可知n=，
∴a=100×0.01×10×0.5=5，b=100×0.03×10×0.9=27，
；
（Ⅱ）因为第2，3，4组回答正确的人数共有54人，
∴利用分层抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为：第2组：人；第3组：人；
第4组：人
（Ⅲ）设第2组2人为：A1，A2；第3组3人为：B1，B2，B3；第4组1人为：C1．
则从6人中随机抽取2人的所有可能的结果为：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，C1），
（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，C1），（B1，B2），（B1，B3），（B1，C1），（B2，B3），（B2，C1），（B3，C1）共15个基本事件，
其中恰好没有第3组人共3个基本事件，
∴所抽取的人中恰好没有第3组人的概率是：．
【点评】本题考查了频率分布表与频率分布直方图，考查了古典概型的概率计算，解题的关键是读懂频率分布直方图．
23．【答案】
【解析】解：（1）∵A={x|3≤x＜10}，B={x|2＜x≤7}，
∴A∩B=[3，7]；A∪B=（2，10）；（C U A）∩（C U B）=（﹣∞，3）∪[10，+∞）；
（2）∵集合C={x|x＞a}，
∴若A⊆C，则a＜3，即a的取值范围是{a|a＜3}．
24．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）f（x）=2|x﹣1|﹣|2x+m|=|2x﹣2|﹣|2x+m|≤|（2x﹣2）﹣（2x+m）|=|m+2|
∵m≥0，∴f（x）≤|m+2|=m+2，当x=1时取等号，
∴f（x）max=m+2，又f（x）的最大值为3，∴m+2=3，即m=1．
（Ⅱ）根据柯西不等式得：（a2+b2+c2）[12+（﹣2）2+12]≥（a﹣2b+c）2，
∵a﹣2b+c=m=1，∴，
当，即时取等号，∴a2+b2+c2的最小值为．
【点评】本题考查绝对值不等式、柯西不等式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。