名师教学设计《方程的根与函数的零点》完整教学教案

教学设计
课题名称：方程的根与函数的零点
学科年级：高中数学教材版本:
一、教学内容分析
本章在粗略估计零点存在域及零点个数上在导数大题中有很深的应用
二、教学目标
~~1.结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；
2.掌握零点存在的判定定理。

三、教学重难点
教学重点：零点的概念及零点存在的判定定理
教学难点：零点存在的判定定理的理解
四、学习者特征分析
学生对二次函数基本知识的掌握很薄弱，因此从二次函数的相关习题补充练习开始，逐步加入单调性、指、对运算比较大小等知识，逐步应用零点存在性定理帮助学生掌握该性质的使用。

五、教学过程
教师活动
一、预习反馈
1.一元二次方程加+bx+c=O (川。

) 的解法：判别式△=
当4—0,方程有两根，为X\.2 = ----------- ；
当A—0,方程有一根，为X。

=------------ ；
当4―0,方程无实根。

2.方程加+Z;x+c=()(〃工())的根与二次函数y=ax2+bx+c(a=0)的图象之间有什么关系
二、自学与探究
(一)自学提示整合教材知识，落实基本能力
探究一：函数零点与方程的根的关系
1.方程X2-2X-3=O的解为,函数y = x2—2x —3的图象与X轴有个交点，坐标
为；
2.方程X2-2X+1=0的解为,函数、=工2-2工+1的图象与X轴有个交点，坐标
为；
3.方程X2-2X +3=O的解为,函数y = x? - 2x + 3的图象与X轴有个交点，坐标
为O 预设学生活动设计意图学生通过回顾自主填答
练习1 ： ( 1 )函数y = %2—4x +
4
的零点为;
(2)函数y = log? (*-1) - 2 的
零点为O
小结：方程/(%) = 0有实数根
O函数y = /(X)的图象与R轴有交
点o函数y = /(x)有零点。

回顾旧知
让学生通过探究
了解方程有实数根、
函数图像与X轴有交
点和函数有零点三者
之间的联系和区别，
以及相互间的切换。

根据以上结论，可以得到：一元二次方程ax2+ bx + c = 0(a H 0)的根就是相应—■次函数y = ax1 + + c = 0 (a工0)的图象
与X轴交点的O
你能将结论进一步推广到函数y = /(x)吗
4.零点的概念:
反思：
函数y = /(x)的零点、方程/(x) = 0
的实数根、函数y = /(x)的图象与大轴交
点的横坐标，三者有什么关系
探究二：零点存在性定理
1.作出尸/一4工+ 3的图象，求/(0),/(1),/(2)的值，观察人0)和八2)的符号
在区间自cj±零点，/(Z?)/(c) 0;
讨论：⑴函数/(X)满足
v 0 ,那么函数/(X)在区
间(a,h)内是否一定存在零点请举
例说明。

通过探究进一步理解
如何使用零点存在定
理，理解其应用的关
键条件
y = /(X)的图象,
变式训练1函数y=l —l 的零点是
( )
A.(l,0)
D.不存在
答案C
解析 令y=x —1=(),得x=l,故函 数y=x —1的零点为1.
题型二判断函数零点所在区间 例2已知函数人的二%3-x —1仅有一 个正零点，则此零点所在的区间是()
A.(3,4)
B.(2,3)
C.(l,2)
D.((),l)
(3加工)=2厂】_3；
^+4%-12
⑷段)=一^
解(1)解方程«X )=X 2+7X +6=(),得
x= — 1或x=-6,所以函数的零点是一1,
-6.
(2)解方程 yu )=l —log2(x+3)=0,得
x= -1,所以函数的零点是一1.
(3)解方程五%)=2广|-3 = 0,
log26,所以函数的零点是log26.
元= 5、3 x 2
+4x-12 (4)
解万程 /(x)=——^=0,
=—6,
所以函数的零点为一6.
反思与感悟 求函数零点的两种方 法：(1)代数法：求方程«¥)= 0
的实数根； (2)
几何法：对于不能用求根公式的方程， 可以将它与函数)，=/(x)的图象联系起来，
并利用函数的性质找出零点. 1 .判断零点所在区间有两种方
法：一是利用零点存在定理，二是 利用函数图象.
2 .要正确理解和运用函数零点
的性质在函数零点所在区间的判断 中的应用，若图象在m ，加上连
续,且犬。

)次〃)〈0,则兀0在3, b)
上必有零点,若犬〃)贸力)>0,则於) 在伍，b)上不一定没有零点.
判断函数零点个数的方法：(1) 对于一般函数的零点个数的判断问 题，可以先确定零点存在，然后借 助于函数的单调性判断零点的个
数；(2)由 fix)=g(x)—〃(x)=0,得 g(x)
= /2(x),在同一直角坐标系下作出y\ = gtr)和J2 = 〃(x)的图象,利用图象
判定方程根的个数；(3)解方程，解 得方程根的个数即为函数零点的个 数.
答案C
解析V/0)=-l<0, /l)=-l<0, y(2)=5>0, /3)=23>0, y(4)=59>0.
・・・-1)负2)<0,此零点一定在(1,2)内.
反思与感悟 1.判断零点所在区间有两种方法：一是利用零点存在定理，二是利用函数图象.
2.要正确理解和运用函数零点的性质在函数零点所在区间的判断中的应用，若4犬)图象在［〃，句上连续,且犬〃)十功<0, 则|的在3")上必有零点，若大〃)贸〃)〉(), 则危)在3,份上不一定没有零点.
变式训练2函数«v) = e'+jv—2的零点所在的一个区间是()
A.(—2, -1)
B.(-
1,0) C.((),l)
D.(l,2
)
答案C
解析・・・-0)=析+ 0 —2= — 1 <0, /l) = e' + l-2=e-l>0, AX0)-Xl)<0,
・,.於)在(0,1)内有零点.
题型三判断函数零点的个数
例3判断函数犬%)=111%+/ —3的零点的个数.
解方法一函数对应的方程为In x +x2-3=0,所以原函数零点的个数即为函数y=lnx与y=3—f的图象交点个数.
在同一直角坐
标系下，作出两函
数的图象（如图）.
由图象知，函数y=3—%2与y=\n x 的图象只有一个交点.从而方程In x+x2- 3 = （）有一个根，
即函数y=\n x+x2—3有一个零点.
方法二由于<l) = ln 1 + 12-3=-2
<0,
.2）=2 2+22-3=ln 2+1 >0,
所以yu）・y（2）vo,
又ZU）= ln x+x2—3的图象在（1,2）上是不间断的，
所以7U）在（1,2）上必有零点，
又火x）在（0, +8）上是递增的，所以零点只有一个.
反思与感悟判断函数零点个数的方法：（1）对于一般函数的零点个数的判断问题，可以先确定零点存在，然后借助于函数的单调性判断零点的个数；（2）由fix）= g（x）—〃（X）= O,得g（x）= 〃。

），在同一直角坐标系下作出yi =虱工）和>2=〃。

）的图象，利用图象判定方程根的个数；（3）解方程，解得方程根的个数即为函数零点的个数.
变式训练3函数於） = ln x-x+2的
零点个数为（）
D.不能确定
答案B
解析如图所示，分别作出），=lnx, y=x-2的图象，可知两函数有两个交点, 即犬x）有两个零点.
六、教学评价设计
环节N ： ［教学环节 ~~ 1 ~
莉 1:~ 学习目标 ~~"
学习内容 LZZZ 环节设计依据 （学习目标/学生认知水平/教学资源特点） 1 1 「时间分配
1 （预设/生成） 1 环节过渡 二 _____ __ 学生观点 _____ 1 课堂作业 参与人数与表情 1 学生板演 堂习程 课学过 七、板书设计
12。