微专题十二 与圆的切线有关的计算与证明

微专题十二 与圆的切线有关的计算与证明
[见学用《高分作业》PA48]
类型一 与切线的性质有关的计算或证明
【经典母题】
如图Z12－1，⊙O 的切线PC 交直径AB 的延长线于点P ，C 为切点，若∠P ＝30°，⊙O 的半径为1，则PB 的长为__1__．
图Z12－1 经典母题答图
【解析】 如答图，连结OC .
∵PC 为⊙O 的切线，∴∠PCO ＝90°，
在Rt △OCP 中，∵OC ＝1，∠P ＝30°，
∴OP ＝2OC ＝2，
∴PB ＝OP －OB ＝2－1＝1. 【思想方法】 (1)已知圆的切线，可得切线垂直于过切点的半径；(2)已知圆的切线，常作过切点的半径，得到切线与半径垂直．
【中考变形】
[2018·黄冈]如图Z12－2，AD 是⊙O 的直径，AB 为⊙O 的弦，OP ⊥AD ，OP 与AB 的延长线交于点P ，过B 点的切线交OP 于点C .
(1)求证：∠CBP ＝∠D ；
(2)若OA ＝2，AB ＝1，求线段BP 的长．
图Z12－2 中考变形答图
解：(1)证明：如答图，连结OB ，
∵AD 是⊙O 的直径，∴∠ABD ＝90°，
∴∠A ＋∠D ＝90°，
∵BC 为切线，∴OB ⊥BC ，
∴∠OBC ＝90°，∴∠OBA ＋∠CBP ＝90°，
而OA ＝OB ，∴∠A ＝∠OBA ，∴∠CBP ＝∠D ；
(2)∵OP ⊥AD ，∴∠POA ＝90°，
∴∠P ＋∠A ＝90°，∵∠D ＋∠A ＝90°，
∴∠P ＝∠D ，∴△AOP ∽△ABD ，
∴AP AD ＝AO AB ，即1＋BP 4＝21，
∴BP ＝7.
【中考预测】
[2018·白银]如图Z12－3，点O 是△ABC 的边AB 上一点，⊙O 与边AC 相切于点E ，与边BC ，AB 分别相交于点D ，F ，且DE ＝EF .
(1)求证：∠C ＝90°；
(2)当BC ＝3，sin A ＝35时，求AF 的长．
图Z12－3 中考预测答图
解：(1)证明：如答图，连结OE ，BE ，
∵DE ＝EF ，∴DE ︵＝EF ︵，
∴∠OBE ＝∠DBE ，
∵OE ＝OB ，∴∠OEB ＝∠OBE ，
∴∠OEB ＝∠DBE ，∴OE ∥BC ，
∵⊙O 与边AC 相切于点E ，∴OE ⊥AC ，
∴BC ⊥AC ，∴∠C ＝90°；
(2)在△ABC ，∠C ＝90°，BC ＝3，sin A ＝35，
∴AB ＝5，设⊙O 的半径为r ，则AO ＝5－r ，
在Rt △AOE 中，sin A ＝OE OA ＝r 5－r
＝35， ∴r ＝158，∴AF ＝5－2×158＝54.
类型之二 与切线的判定有关的计算或证明
【经典母题】
已知：如图Z12－4，A 是⊙O 外一点，AO 的延长线交⊙O 于点C ，点B 在圆上，且AB ＝BC ，∠A ＝30°，求证：直线AB 是⊙O 的切线．
图Z12－4 经典母题答图
证明：如答图，连结OB ，
∵OB ＝OC ，AB ＝BC ，∠A ＝30°，
∴∠OBC ＝∠C ＝∠A ＝30°，
∴∠AOB ＝∠C ＋∠OBC ＝60°.
∵∠ABO ＝180°－(∠AOB ＋∠A )＝180°－(60°＋30°)＝90°，
∴AB ⊥OB ，又∵OB 为⊙O 半径，∴AB 是⊙O 的切线． 【思想方法】 证明圆的切线常用两种方法“作半径，证垂直”或者“作垂直，证半径”．
【中考变形】
1．[2018·南充]如图Z12－5，C 是⊙O 上一点，点P 在直径AB 的延长线上，⊙O 的半径为3，PB ＝2，PC ＝4.
(1)求证：PC 是⊙O 的切线；
(2)求tan ∠CAB 的值．
图Z12－5 中考变形1答图
解：(1)证明：如答图，连结OC，BC，
∵⊙O的半径为3，PB＝2，
∴OC＝OB＝3，OP＝OB＋PB＝5，
∵PC＝4，∴OC2＋PC2＝OP2，
∴△OCP是直角三角形，∴OC⊥PC，
∴PC是⊙O的切线；
(2)∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，
∴∠ACO＋∠OCB＝90°，
∵OC⊥PC，∴∠BCP＋∠OCB＝90°，
∴∠BCP＝∠ACO，
∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∴∠A＝∠BCP，在△PBC和△PCA中，
∠BCP＝∠A，∠P＝∠P，∴△PBC∽△PCA，
∴BC
AC＝
PB
PC＝
2
4＝
1
2，∴tan∠CAB＝
BC
AC＝
1
2.
2．[2018·郴州]如图Z12－6，已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB＝AD，AE是⊙O的弦，∠AEC＝30°.
(1)求证：直线AD是⊙O的切线；
(2)若AE⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为4，求AE的长．
图Z12－6 中考变形2答图
解：(1)证明：如答图，连结AO，
∵∠AEC＝30°，∴∠ABC＝30°，
∵AB＝AD，∴∠D＝∠ABC＝30°，
根据三角形的内角和定理得，∠BAD＝120°，
∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠ABC＝30°，
∴∠OAD＝∠BAD－∠OAB＝90°，
∴OA⊥AD，
∵点A在⊙O上，∴直线AD是⊙O的切线；
(2)∵∠AEC＝30°，∴∠AOC＝60°，
∵BC⊥AE于M，∴AE＝2AM，∠OMA＝90°，
在Rt△AOM中，AM＝OA·sin∠AOM＝4×sin60°＝23，
∴AE＝2AM＝4 3.
【中考预测】
如图Z12－7，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠A＝2∠BCD，点E 在AB的延长线上，∠AED＝∠ABC.
(1)求证：DE与⊙O相切；
(2)若BF＝2，DF＝10，求⊙O的半径．
图Z12－7 中考预测答图
解：(1)证明：如答图，连结OD.
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，
∴∠A＋∠ABC＝90°，
∵∠BOD＝2∠BCD，∠A＝2∠BCD，
∴∠BOD＝∠A，
∵∠AED＝∠ABC，∴∠BOD＋∠AED＝90°，
∴∠ODE＝90°，即OD⊥DE，
∴DE与⊙O相切；
(2)如答图，连结BD，过点D作DH⊥BF于点H.
∵DE与⊙O相切，
∴∠ACD＋∠BCD＝∠ODB＋∠BDE＝90°，
∵∠ACD＝∠OBD，∠OBD＝∠ODB，∴∠BDE＝∠BCD，
∵∠AED＝∠ABC，∴∠AFC＝∠DBF，∵∠AFC＝∠DFB，
∴△ACF与△FDB都是等腰三角形，
∴FH＝BH＝1
2BF＝1，
∴HD＝DF2－FH2＝3，
在Rt△ODH中，OH2＋DH2＝OD2，即(OD－1)2＋32＝OD2，∴OD＝5.即⊙O的半径是5.。