2021-2022学年北师大版八年级数学下册《1-1等腰三角形》同步练习题(附答案)

2021-2022学年北师大版八年级数学下册《1-1等腰三角形》同步练习题（附答案）1．若等腰三角形的一边长为15，另一边长为8，则此三角形的周长是．
2．如图，在△ABC中，若AB＝AC，∠A＝40°，O点是△ABC的角平分线BD及高线CE 的交点，则∠DOC的度数为．
3．等腰三角形一腰上的高线与另一腰夹角为50°，则该三角形的顶角为．4．已知，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于E，交AC所在直线于P，若∠APE ＝54°，则∠B＝．
5．若等腰三角形的周长为26cm，一边为11cm，则腰长为．
6．一个等腰三角形有两边分别为5和8厘米，则周长是厘米．
7．如图，∠A＝36°，∠DBC＝36°，∠C＝72°，则图中等腰三角形有个．
8．已知△ABC的三条边长分别为3，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画条．9．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE相交于F．求证：AF平分∠BAC．
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，求△ABC各角的度数．
11．等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm两部分，求这个等腰三角形的底边长．
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E．求证：∠CBE ＝∠BAD．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E．已知△BCE的周长为8，AC﹣BC＝2，求AB与BC的长．
14．如图，AD是∠BAC平分线，点E在AB上，且AE＝AC，EF∥BC交AC于点F，AD 与CE交于点G，与EF交于点H．
（1）证明：AD垂直平分CE；
（2）若∠BCE＝40°，求∠EHD的度数．
15．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．求证：DE＝DF．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC，AD，AB于点E，O，F．
（1）求证：点O在AB的垂直平分线上；
（2）若∠CAD＝20°，求∠BOF的度数．
17．已知：如图所示，在锐角△ABC中，AD平分∠BAC，且BD＝CD．求证：△ABC是等腰三角形．
18．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，∠BAC和∠ACB的平分线相交于点D，∠ADC＝125°．求∠ACB和∠BAC的度数．
19．已知：点D是△ABC的边BC的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，且BF ＝CE．求证：△ABC是等腰三角形．
20．如图，∠1＝∠2，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，请判断△AEC的形状，并说明理由．
21．在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且DE＝DF．求证：△ABC是等腰三角形．
22．如图，在△ABC中，点E在AB上，点D在BC上，BD＝BE，∠BAD＝∠BCE，AD与CE相交于点F，试判断△AFC的形状，并说明理由．
参考答案
1．解：当15为等腰三角形的腰长时，8为底边，此时等腰三角形三边长分别为15，15，8，周长为15+15+8＝38；
当15为等腰三角形的底边时，腰长为8，此时等腰三角形三边长分别为15，8，8，∵8+8＞15，∴周长为15+8+8＝31，
综上这个等腰三角形的周长为38或31．
故答案为：38或31．
2．解：∵在△ABC中，若AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣40°）＝70°，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠DBC＝∠ABC＝35°．
∵CE是△ABC的高线，
∴∠BEC＝90°，
∴∠BCE＝90°﹣∠ABC＝20°，
∴∠DOC＝∠DBC+∠BCE＝35°+20°＝55°．
故答案为55°．
3．解：如图1，三角形是锐角三角时，∵∠ACD＝50°，
∴顶角∠A＝90°﹣50°＝40°；
如图2，三角形是钝角时，∵∠ACD＝50°，
∴顶角∠BAC＝50°+90°＝140°，
综上所述，顶角等于40°或140°．
故答案为：40°或140°．
4．解：分为两种情况：
①如图1，
∵PE是AB的垂直平分线，
∴AP＝BP，
∴∠A＝∠ABP，∠APE＝∠BPE＝54°，
∴∠A＝∠ABP＝36°，
∵∠A＝36°，AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC＝（180°﹣∠A）＝72°；
②如图2，
∵PE是AB的垂直平分线，
∴AP＝BP，
∴∠P AB＝∠ABP，∠APE＝∠BPE＝54°，
∴∠P AB＝∠ABP＝36°，
∴∠BAC＝144°，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC＝（180°﹣∠A）＝18°，
故答案为：72°或18°．
5．解：①当11cm为腰长时，则腰长为11cm，底边＝26﹣11﹣11＝4cm，因为11+4＞11，所以能构成三角形；
②当11cm为底边时，则腰长＝（26﹣11）÷2＝7.5cm，因为7.5+7.5＞11，所以能构成
三角形．
故答案为：7.5cm或11cm．
6．解：∵等腰三角形两边为5和8厘米
∴等腰三角形三边可能为5，5，8或5，8，8
∴周长可能为18或21厘米．
故填18或21．
7．解：∵∠C＝72°，∠DBC＝36°，∠A＝36°，
∴∠ABD＝180°﹣72°﹣36°﹣36°＝36°＝∠A，
∴AD＝BD，△ADB是等腰三角形，
∵根据三角形内角和定理知∠BDC＝180°﹣72°﹣36°＝72°＝∠C，
∴BD＝BC，△BDC是等腰三角形，
∵∠C＝∠ABC＝72°，
∴AB＝AC，△ABC是等腰三角形．
故图中共3个等腰三角形．
故答案为：3．
8．解：如图所示：
当BC1＝AC1，AC＝CC2，AB＝BC3，AC4＝CC4，AB＝AC5，AB＝AC6，BC7＝CC7时，都能得到符合题意的等腰三角形．
故答案为：7．
9．证明：∵AB＝AC（已知），
∴∠ABC＝∠ACB（等边对等角）．
∵BD、CE分别是高，
∴BD⊥AC，CE⊥AB（高的定义）．
∴∠CEB＝∠BDC＝90°．
∴∠ECB＝90°﹣∠ABC，∠DBC＝90°﹣∠ACB．
∴∠ECB＝∠DBC（等量代换）．
∴FB＝FC（等角对等边），
在△ABF和△ACF中，
，
∴△ABF≌△ACF（SSS），
∴∠BAF＝∠CAF（全等三角形对应角相等），
∴AF平分∠BAC．
10．解：设∠A＝x．
∵AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A＝x；
∵BD＝BC，
∴∠BCD＝∠BDC＝∠ABD+∠A＝2x；
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠BCD＝2x，
∴∠DBC＝x；
∵x+2x+2x＝180°，
∴x＝36°，
∴∠A＝36°，∠ABC＝∠ACB＝72°．
11．解：如图，AB＝AC，BD为腰AC上的中线，设AD＝DC＝x，BC＝y，根据题意得或，
解得或，
当x＝4，y＝17时，等腰三角形的三边为8，8，17，显然不符合三角形的三边关系，舍去；
当x＝7，y＝5时，等腰三角形的三边为14，14，5，
答：这个等腰三角形的底边长是5．
12．证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，
∵BE⊥AC，
∴∠BEC＝∠ADC＝90°．，
∴∠CBE＝90°﹣∠C，∠CAD＝90°﹣∠C，
∴∠CBE＝∠CAD．，
∴∠CBE＝∠BAD．
13．解：∵△BCE的周长为8，
∴BE+EC+BC＝8．
∵AE＝BE，
∴AE+EC+BC＝8，
即AC+BC＝8，
∵AC﹣BC＝2，
∴AC＝5，BC＝3，
∵AB＝AC，
∴AB＝5．
14．（1）证明：∵AE＝AC，AD是∠BAC平分线，∴AD垂直平分CE；
（2）解：由（1）可知点D为CE垂直平分线上的点，∴CD＝DE，
∴∠DCE＝∠DEC．
∵EF∥BC，
∴∠DCE＝∠CEF＝∠DEC，
∴EG平分∠DEF．
∵EG⊥AD，
∴△DEH是等腰三角形，且ED＝EH，
∴∠EDH＝∠EHD，
∵∠BCE＝40°，
∴∠DEH＝2∠BCE＝80°，
∴∠EHD＝（180°﹣80°）＝50°．
15．证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°，
在△BDE和△CDF中，
，
∴△BDE≌△CDF（AAS），
∴DE＝DF．
16．（1）证明：∵AB＝AC，点D是BC的中点，∴AD⊥BC，
∵AD是BC的垂直平分线，
∴BO＝CO，
∵OE是AC的垂直平分线，
∴AO＝CO，
∴BO＝AO，
∴点O在AB的垂直平分线上；
（2）解：∵AB＝AC，点D是BC的中点，
∴AD平分∠BAC，
∵∠CAD＝20°，
∴∠BAD＝∠CAD＝20°，∠CAB＝40°，
∵OE⊥AC，
∴∠EF A＝90°﹣40°＝50°，
∵AO＝CO，
∴∠OBA＝∠BAD＝20°，
∴∠BOF＝∠EF A﹣∠OBA＝50°﹣20°＝30°．17．证明：如图，延长AD至E，使AD＝DE，连接BE，，在△ACD和△EBD中，
，
∴△ACD≌△EBD（SAS），
∴BE＝AC，∠DAC＝∠DEB，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠BAD＝∠BED，
∴AB＝BE，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形．
18．解：∵AB＝AC，AE平分∠BAC，
∴AE⊥BC（等腰三角形三线合一），
∵∠ADC＝125°，
∴∠CDE＝55°，
∴∠DCE＝90°﹣∠CDE＝35°，
又∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB＝2∠DCE＝70°．
又∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝70°，
∴∠BAC＝180﹣（∠B+∠ACB）＝40°．
19．证明：∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
∵DE⊥AC，DF⊥AB，
∴△BDF与△CDE为直角三角形，
在Rt△BDF和Rt△CDE中，
，
∴Rt△BFD≌Rt△CED（HL），
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形．
20．解：△AEC是等腰三角形．
理由如下：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠3＝∠2+∠3，即∠BAC＝∠DAE，
又∵AB＝AD，∠B＝∠D，
∴△ABC≌△ADE（ASA），
∴AC＝AE．
即△AEC是等腰三角形．
21．证明：∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠CFD＝90°，
∵BD＝CD，DE＝DF，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形．
22．解：△AFC是等腰三角形．理由如下：
在△BAD与△BCE中，
∵∠B＝∠B（公共角），∠BAD＝∠BCE，BD＝BE，
∴△BAD≌△BCE（AAS），
∴BA＝BC，∠BAD＝∠BCE，
∴∠BAC＝∠BCA，
∴∠BAC﹣∠BAD＝∠BCA﹣∠BCE，即∠F AC＝∠FCA．∴AF＝CF，
∴△AFC是等腰三角形．。