2018年高考试题：正余弦定理解三角形

2018年高考试题
训练一：2018年高考理科数学新课标Ⅰ卷第17题：在平面四边形ABCD 中，0
90=∠ADC ，045=∠A ，2=AB ，5=BD 。

（Ⅰ）求ADB ∠cos ；（Ⅱ）若22=DC ，求BC 。

本题解析：（Ⅰ）本题目是正弦定理已知两边和其中一边对角的经典题型。

如下图所示：
根据正弦定理得到：A AB ADB BD ADB
AB A BD sin sin sin sin ⋅=∠⋅⇒∠=5
25222sin sin =⨯
=⋅=∠⇒BD A AB ADB 。

根据三角函数同角之间的基本关系得到：ADB
ADB ∠-=∠22sin 1cos 25
232521=-=。

根据大边对大角得到：ADB
ADB A ADB BC AB ∠⇒<∠⇒<∠⇒<045为锐角5
23cos 0cos =∠⇒>∠⇒ADB ADB 。

（Ⅱ）本题目是标准的余弦定理已知两边和两边夹角的经典题型。

在BCD Rt ∆中：5=BD ，22=CD ，ADB
BDC ∠-=∠090)90cos(cos 0ADB BDC ∠-=∠⇒。

诱导公式：090终边在y 轴正半轴ADB ∠-⇒0
90是第一象限角cos ⇒在第一象限为正，090是090的奇数倍cos ⇒名称改为sin 名称。

52sin )90cos(cos 0=
∠=∠-=∠ADB ADB BDC 。

根据余弦定理得到：BDC
BD DC BD DC BC ∠⋅⋅⋅-+=cos 22225258335
25222258=⇒=-=⋅⋅⋅-+=BC 。

训练二：2018年高考文科数学新课标Ⅰ卷第16题：ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，
c ，已知C B a B c C b sin sin 4sin sin =+，8222=-+a c b ，则ABC ∆的面积为。

本题解析：本题目是边角转化与余弦定理综合题型。

边角转化：方程中每一项都有边，每一项中的边次数相加相等，可以把方程每一项的
边全部转化为对角正弦，保持次数不变。

C
B A B
C C B C B a B c C b sin sin sin 4sin sin sin sin sin sin 4sin sin =+⇒=+621sin sin 21sin sin sin 4sin sin 2π=⇒=⇒=⇒=⇒A A A C B A C B 或6
5π=A 根据余弦定理得到：A bc
bc bc a c b A ⇒>==-+=04282cos 222是锐角6π=⇒A ，3382
346cos 446cos 4cos ===⇒=⇒=ππbc bc bc A 。

3
322133821sin 21=⨯⨯==∆A bc S ABC 。

训练三：2018年高考数学新课标Ⅱ卷理科第6题文科第7题：在ABC ∆中，552cos
=C ，1=BC ，5=AC ，则=AB （
）A、24B、30C、29D、52本题解析：本题目是二倍角公式和余弦定理已知两边和夹角的综合经典题型。

根据三角函数二倍角公式得到：53151212cos 2)22cos(cos 2-=-⨯=-=⋅
=C C C 。

根据余弦定理得到：)
53
(512251cos 2222-⨯⨯⨯-+=⋅⋅⋅-+=C AC BC AC BC AB
2432626=⇒=+=AB 。

训练四：2018年高考数学新课标Ⅲ卷理科第9题文科第11题：ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边
分别为a ，b ，c ，若ABC ∆的面积为4
2
22c b a -+，则=C （）A、2πB、3πC、4πD、6
π本题解析：本题目是余弦定理四项式的经典题型。

C ab c b a c b a C ab S ABC sin 24
sin 21222222=-+⇒-+==∆。

根据余弦定理得到：C C ab
C ab C ab c b a C sin cos 2sin 2cos 2cos 222=⇒=⇒-+=4
1tan 1cos sin π=⇒=⇒=⇒C C C C 。

训练五：2018年高考理科数学北京卷第15题：在ABC ∆中，7=a ，8=b ，71cos -
=B 。

（Ⅰ）求A ∠；
（Ⅱ）求AC 边上的高。

本题解析：（Ⅰ）本题目是正弦定理已知两边和其中一边对角的经典题型。

根据三角函数同角之间的基本关系得到：49
484911cos 1sin 22=-=-=B B ，734sin 0sin =
⇒>B B 。

根据正弦定理得到：b
B a A B a A b B b A a sin sin sin sin sin sin =⇒=⇒=3
2383487347π=⇒==⨯
=A 或32π=A 。

根据大边对大角得到：A B A b a ⇒<⇒<是锐角3
π=
⇒A 。

（Ⅱ）本题目是标准的新旧面积公式计算结果相等的经典题型。

2
1734)71(23cos sin cos sin )sin(sin ⨯+-⨯=
+=+=A B B A B A C
14
33143431434143=+-=+-=。

根据新三角形面积公式得到：3614
338721sin 21=⨯⨯⨯==∆C ab S ABC 。

根据旧三角形面积公式得到：h h h AC S ABC 482121=⨯⨯=⋅⋅=
∆。

面积相等得到：2
33436364==⇒=h h 。

训练六：2018年高考文科数学北京卷第14题：若ABC ∆的面积为)(4
3222b c a -+，且C ∠为钝角，则=∠B ；a
c 的取值范围是。

本题解析：本题目是标准的余弦定理四项式的经典题型。

B ac b c a b c a B ac S AB
C sin 3
32)(43sin 21222222=-+⇒-+==∆。

根据余弦定理得到：ac
B ac B ac b c a B 2sin 332cos 2cos 222=⇒-+=3
3tan 3cos sin sin 33cos π=⇒=⇒=⇒=⇒B B B B B B 。

本题目是已知一角求另外两角三角函数计算式的取值范围的经典题型。

根据正弦定理得到：A
C a c C c A a sin sin sin sin =⇒=。

A A A B B A B A C cos 23sin 21cos sin cos sin )sin(sin +=
+=+=。

A
A A A A A A A A A C a c tan 2321tan 23tan sin 2cos 3sin sin cos 23sin 21sin sin +=+=+=+==。

根据三角形内角和得到：A C C A
B -=⇒=+⇒=32323πππ，3
2,0(π∈A 。

C 为钝角)6,3(),2(32πππππ-∈⇒∈-=⇒A A C ，)6
,0()32,0(ππ∈⇒∈A A 。

当)6,0(π∈A 时：A y tan =单调递增3
32,0(tan 2)33,0(tan ∈⇒∈⇒A A ),2(tan 2321),23(tan 23+∞∈+⇒+∞∈⇒A
A 。

训练七：2018年高考数学天津卷理科第15题文科第16题：在ABC ∆中，内角A ，
B ，
C 所对的
边分别为a ，b ，c 。

已知)6
cos(sin π-
=B a A b 。

（Ⅰ）求角B 的大小；
（Ⅱ）设2=a ，3=c ，求b 和)2sin(B A -的值。

本题解析：（Ⅰ）本题目是边角转化的经典题型。

边角转化：方程中每一项都有边，每一项中边次数相加相等，可以把每一项中的边全部转化为对角的正弦，保持次数不变。

)6
cos(sin )6cos(sin sin sin 6cos(sin πππ-=⇒-=⇒-=B B B A A B B a A b B B B B B B sin 21cos 23sin 6sin sin 6cos
cos sin +=⇒+=⇒ππ3tan 3cos sin cos 3sin cos 23sin 21=⇒=⇒=⇒=⇒B B
B B B B B 3
π=⇒B 。

（Ⅱ）本题目是余弦定理已知两边和其夹角的经典题型。

根据余弦定理得到：21
32294cos 22
22⨯⨯⨯-+=-+=B ac c a b 77613=⇒=-=b 。

根据余弦定理得到：7727
6123724972cos 222==⨯⨯-+=-+=bc a c b A 。

根据三角函数同角之间的基本关系得到：49
2149281cos 1sin 22=-=-=A A ，7
21sin 0sin =⇒>A A 。

根据三角函数二倍角公式得到：7
727212cos sin 22sin ⨯⨯==A A A 7
3449374497214=⨯⨯=⨯⨯=。

7
149749214928sin cos 2cos 22==-=-=A A A 。

7123217342cos sin cos 2sin )2sin(⨯-⨯=
-=-A B B A B A 14
331431434=-=。

训练八：2018年高考数学浙江卷第13题：在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若7=a ，2=b ，060=A ，则=B sin ，=c 。

本题解析：本题目是正弦定理已知两边和其中一边对角的经典题型。

根据正弦定理得到：a
A b
B A b B a B b A a sin sin sin sin sin sin =⇒=⇒=7217
37232==⨯=。

根据三角函数同角之间的基本关系得到：49
2849211sin 1cos 22=-=-=B B 。

B A B a b ⇒<⇒<是锐角772cos 0cos =
⇒>⇒B B 。

2
172177223cos sin cos sin )sin(sin ⨯+⨯=
+=+=A B B A B A C 142131421212=+=。

根据正限定理得到：A
C a c C a A c C c A a sin sin sin sin sin sin =⇒=⇒=33
2143212
3142137=⨯=⨯=。