高一数学《指数函数》学案

高一数学《指数函数》学案
高一数学《指数函数》学案
$2.2.2指数函数（一）的教学设计
教材分析:
$2.2.2“指数函数”是在学生系统地学习了函数概念及性质，掌握了指数与指数幂的运算性质的基础上展开研究的．作为重要的基本初等函数之一，指数函数既是函数近代定义及性质的第一次应用，也为今后研究其他函数提供了方法和模式，为后续的学习奠定基础．指数函数在知识体系中起了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，因此它也是对学生进行情感价值观教育的好素材，所以指数函数应重点研究．学情分析:
通过初中阶段的学习和高中对函数、指数的运算等知识的系统学习，学生对函数已经有了一定的认识，学生对用“描点法”描绘出函数图象的方法已基本掌握，已初步了解数形结合的思想．另外，学生对由特殊到一般再到特殊的数学活动过程已有一定的体会．
教学目标：
知识与技能：理解指数函数的概念和意义，能正确作出其图象，掌握指数函数的性质并能自觉、灵活地应
用其性质（单调性、中介值）比较大小．
过程与方法：
(1) 体会从特殊到一般再到特殊的研究问题的方法，培养学生观察、归纳、猜想、概括的能力，让学生了解
数学来源于生活又在生活中有广泛的应用；理解并掌握
探求函数性质的一般方法；
(2) 从数和形两方面理解指数函数的性质，体会数
形结合、分类讨论的数学思想方法，提高思维的灵活性，培养学生直观、严谨的思维品质．
情感、态度与价值观：
(1)体验从特殊到一般再到特殊的学习规律，认识事物之间的普遍联系与相互转化，培养学生用联系的观点
看问题，激发学生自主探究的精神，在探究过程中体验
合作学习的乐趣；
(2)让学生在数形结合中感悟数学的统一美、和谐美，进一步培养学生的学习兴趣．
教学重点：指数函数的图象和性质
教学难点：指数函数概念的引入及指数函数性质的应用教法研究:
本节课准备由实际问题引入指数函数的概念，这样
可以让学生知道指数函数的概念来源于客观实际，便于
学生接受并有利于培养学生用数学的意识.
利用函数图象来研究函数性质是函数中的一个非常重要的思想，本节课将是利用特殊的指数函数图象归纳总结指数函数的性质，这样便于学生研究其变化规律，理解其性质并掌握一般地探求函数性质的方法同时运用现代信息技术学习、探索和解决问题，帮助学生理解新知识
本节课使用的教学方法有：直观教学法、启发引导法、发现法
教学过程：
一、问题情境：
问题1：某种细胞分裂时，由一个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个，以此类推，一个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞个数y与x的函数关系式是什么？
问题2：一种放射性物质不断变化为其它物质，每经过一年剩余质量约是原来的，设该物质的初始质量为1，经过年后的剩余质量为，你能写出之间的函数关系式吗？
分析可知，函数的关系式分别是与
问题3：在问题1和2中，两个函数的自变量都是正整数，但在实际问题中自变量不一定都是正整数，比如在问题2中，我们除了关心1年、2年、3年后该物质的
剩余量外，还想知道3个月、一年半后该物质的剩余量，怎么办？
这就需要对函数的定义域进行扩充，结合指数概念
的的扩充，我们也可以将函数的定义域扩充至全体实数，这样就得到了一个新的函数──指数函数．
二、数学建构：
1]定义：
一般地，函数叫做指数函数，其中．
问题4：为什么规定？
问题5：你能举出指数函数的例子吗？
阅读材料（“放射性碳法”测定古物的年代）：
在动植物体内均含有微量的放射性，动植物死亡后，停止了新陈代谢，不在产生，且原有的会自动衰变.经过5740年（的半衰期），它的残余量为原来的一半.经过科学测定，若的原始含量为1，则经过x年后的残留
量为这种方法经常用来推算古物的年代.
练习1：判断下列函数是否为指数函数．
（1）（2）
（3）（4）
说明：指数函数的解析式y= 中，的系数是1.
有些函数貌似指数函数，实际上却不是，如y= +k (a0且a 1，k Z)；
有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，如y= (a0,且a 1)，因为它可以化为y= ，其中 0，且 1
2]通过图象探究指数函数的性质及其简单应用：利
用几何画板及其他多媒体软件和学生一起完成
问题6:我们研究函数的性质，通常都研究哪些性质？一般如何去研究？
函数的定义域，值域，单调性，奇偶性等；
利用函数图象研究函数的性质
问题7:作函数图象的一般步骤是什么？
列表，描点，作图
探究活动1:用列表描点法作出，的图像（借助几
何画板演示），观察、比较这两个函数的图像，我们可以得到这两个函数哪些共同的性质？请同学们仔细观察.
引导学生分析图象并总结此时指数函数的性质（底数大于1）：
（1）定义域？R
（2）值域？函数的值域为
（3）过哪个定点？恒过点，即
（4）单调性？时，为上的增函数
（5）何时函数值大于1？小于1？当时，；当时，问题8:：是否所有的指数函数都是这样的性质？你
能找出与刚才的函数性质不一样的指数函数吗？
（引导学生自我分析和反思，培养学生的反思能力和解决问题的能力）.
根据学生的发现，再总结当底数小于1时指数函数的相关性质并作比较.
问题9:到现在，你能自制一份表格，比较及两种不同情况下的图象和性质吗？
（学生完成表格的设计，教师适当引导）
图
象
性
质
（1）定义域：R
值域：
（1）定义域：R
值域：
(2)是R上的增函数(2)是R上的减函数
（3）过（0，1），
即x＝0时，y＝1（3）过（0，1），
即x＝0时，y＝1
（4）当x0时，y1;
当x0时，y1. （4）当x0时，0y1;
当x0时，y1.
问题10:在画图过程中，你还发现了指数函数图象
间的其他关系吗？
比如与的图象间具有怎样的关系？可否得出进一
步的一般性的结论？
结论：图像关于轴对称
三、数学运用：
例1、比较下列各组数中两个值的
分析：充分利用指数函数的单调性来研究，注意对
底数的判定以及“第三者”的介入（充当中间角色）.
（解题过程板书，强调规范）
探究活动2: 两个指数函数的自变量相等时，如何
比较函数值的大小？比如之间的大小关系？
如右图，作一条直线分别与、图像交与、两点，则，结合图象很容易发现：．
你还能举出一个这样的例子吗？（引导学生分析得出结论既与底数和1的关系有关，又与自变量和0的关系有关）
那么两个指数函数的函数值相等时，自变量大小又
该如何比较？
练习2：若，试比较、的大小．
若，试比较、的大小．
你还能举出这样的例子吗？
例2（1）已知，求实数x的取值范围；
（2）已知，求实数x的取值范围.
分析：充分利用单调性解指数不等式，注意化为同底.
探究活动3: 探究下列函数的图象与指数函数的图象的关系.
（1）；（2）
思考探究：（1）与，且，图象之间有何关系？
（2）受该结论启发，课后思考研究函数与，图象之间的关系.
四、回顾反思（由学生总结提炼本节课知识与方法及数学思想）：本节课学习了哪些知识，指数函数的概念、图象和性质你掌握了吗?
2.指数函数的性质是怎么被我们大家发现的，有哪些应用？在应用的时候，我们应该考虑哪些性质?
3.重视归纳概括、数形结合、分类讨论等数学思想方法.
五、课后作业：
1.阅读课本有关内容，搜集指数函数在实际生活中的应用实例；
2.课本52页第1-5题；54-55页1-4题，8、9题：
3.思考题:
（1）研究函数的定义域.
（2）与，图象之间的关系？
板书设计：
板书内容：课题、指数函数的概念、指数函数的性质及（仅是标题，具体性质不板书）、例1及例2部分内容规范解题格式的书写、回顾反思等.
教后反思：
针对课堂教学实际反思教法和学法，进一步完善本设计。