弹簧作用下物体之间相互分离的条件

弹簧作用下物体之间相互分离的条件
轻质弹簧作用下相互接触的两个物体（其中一个物体与弹簧的一端相连）分离的临界条件是：两个物体仍保持接触、且加速度相同，但没有弹力作用.据此易知弹簧可能处于原长、伸长或压缩状态.现逐一介绍. 1. 物体分离时，弹簧恢复原长
【例1】 如图1所示，一根原长为L 的轻质弹簧，下端固定在水平桌面上，上端固定一个质量为m 的物体A ，A 静止时弹簧的压缩量为ΔL 1，在A 上再放一个质量也是m 的物体B ，待A 、B 静止后，在B 上施加一个竖直向下的力F ，使弹簧再缩短ΔL 2(ΔL 2＞2ΔL 1).这时弹簧的弹性势能为E P .突然撤去力F ，则B 脱离A 向上飞出的瞬间，弹簧的长度应为____________，这时B 的速度为___________. 分析：确定A 、B 分离时弹簧的状态是解题关键. 因为A 、B 即将分离时有：AB N =0，且A B a a =， ①
B a g =，向下 ②
A A A
m g k x
a m ±⋅∆=
，向下 ③
弹簧伸长时取“+”，压缩时取“-” 图1
解①-③得：0x ∆=，即A 、B 分离时，弹簧恢复原长. （特殊地：当0A a =时，弹簧处于压缩状态，A 、B 尚未分离.）
解答：由上述分析知A 、B 分离时，弹簧恢复原长，弹簧的长度为L.
设A 、B 分离时的共同速度为v ，从撤去F 到A 、B 将要分离的过程中，由机械能守恒定律得：2
1212(2)2
P E v mg l l =+∆+∆（2m ）
解得122(2)P
E v g l l m
=
-∆+∆. 2. 物体分离时，弹簧处于压缩状态
【例2】如图2所示，物体A 静止在台秤的秤盘B 上，A 的质量为
10.5,A m kg =B 的质量为 1.5B m kg =，弹簧质量不计，劲度系数
800k =N/m.现给A 施加一个竖直向上的力F ，使它向上做匀加速直
线运动，已知力F 在开始的t =0.2s 内是变力，此后是恒力，求F 的最小值和最大值各是多少？
分析：确定A 、B 分离时弹簧的状态是解题关键.
因为A 、B 即将分离时有：AB N =0，且A B a a =， ① 图2
A A A F m g
a m -=
，向上 ② B B B
k x m g
a m ⋅∆-=
，向上③
解①-③得：B
A
Fm x km ∆=
，即A 、B 分离时，弹簧处于压缩状态. 特殊地：（1）当0B m =时，有0x ∆=，即A 、B 分离时，弹簧恢复原长.（2）当0B a =时，弹簧的压缩量为0x ∆=
B m g
k
，此前A 、B 已经分离.（因为物体分离时弹簧的压缩量B
A Fm x km ∆=
＞A B A m g m km ⋅=B m g k
=0x ∆）
解答：由题意知t =0.2s 时A 、B 分离，由上述分析知A 、B 分离时弹簧处于压缩状态，设F 刚作用时弹簧的压缩量为1x ，A 、B 即将分离时弹簧的压缩量为2x ，此时两者加速度均为a ，力F 的最小值和最大值分别设为min F 和max F ，则：
A 、
B 静止时，由平衡条件得：()10A B kx m m g -+=， ① F 刚作用时其值最小，由牛顿第二定律得：()nin A B F m m a =+, ② A 、B 即将分离时，F 最大，对A 和B 由牛顿第二定律得：
max ,A A F m g m a -= ③ 2B B kx m g m a -=， ④
又2
1212
x x at -=
, ⑤ 解①-⑤得：2
6/a m s =，72nin F =N, max 168F =N. ⑦
3. 物体分离时，弹簧处于伸长状态
【例3】如图3所示，劲度系数为k 的轻弹簧一端固定，另一端与滑块B 相连，B 静止在水平导轨上，弹簧处在原长状态.另一质量与B 相同的滑块A ，从导轨上的P 点以某一初速度向B 滑行，当A 滑过距离1l 时，
与B 相碰，碰撞时间极短，碰后A 、B 紧贴在一起运 图3
动，但互不粘连.已知最后A 恰好返回出发点P 并停止.滑块A 和B 与导轨的滑动摩擦因数分别为A μ和B μ，运动过程中弹簧最大压缩量为2l ，若A μ＞B μ，求A 从P 出发时的初速度0v .
分析：确定A 、B 分离时弹簧的状态是解题关键. 因为A 、B 即将分离时有：AB N =0，且A B a a =，①
A A a g μ=，向左 ②
B B B B
m g k x
a m μ±⋅∆=
，向左③
弹簧伸长时取“+”，压缩时取“-”
解①-③得：()A B B m g
x k
μμ±-∆=
，即物体分离时，弹簧可能处于三种状态：
（1） 若A μ＞B μ，物体分离时，弹簧处于伸长状态（特殊地：①0B μ=时，x ∆伸
=
A B m g k
μ，物体开始分离；②B a =0时，弹簧处于压缩状态，A 、B 没有分离）；
（2） 若A μ=B μ（含A μ=B μ=0），物体分离时，弹簧处于原长状态； （3） 若A μ＜B μ，物体分离时，弹簧处于压缩状态（特殊地：A μ=0时，B B m g
x k
μ∆=
，
此时0B a =， A 、B 开始分离）
解答：令A 、B 质量皆为m ，A 刚接触B 时速度为1v （碰前）， 由功能关系得：
12
1202
121mgl mv mv μ=-，① A 、B 碰撞过程中动量守恒，令碰后A 、B 共同运动的速度为.2v 则
212mv mv =，②
碰后A 、B 先一起向左运动，接着A 、B 一起被弹回，由上述分析知：若A μ＞B μ，物体分离时，弹簧处于伸长状态，伸长量()A B B m g
x k
μμ-∆=
，③
设A 、B 分离时的共同速度为3v ，在A 、B 碰后到分离之前的过程中，由功能关系得：
222232111(2)(2)()(2)222A B m v m v k x mg l x μμ⎡⎤-+∆=++∆⎢⎥⎣⎦
，④
A 、
B 分离后，A 单独向右滑到P 点停下，由功能关系得：
2
311()2
A mv mg l x μ=-∆，⑤ 解①-⑤得 2
202128()10()A B A A B mg v gl gl k
μμμμμ=++--. ⑥
综上所述，物体分离时，弹簧处于何种状态，不能一概而论，应具体问题具体分析.最简单的处理方法是：首先确定物体分离时未与弹簧相连的那个物体的加速度大小和方向，就可知道与弹簧相连的另一物体的加速度大小和方向，从而可以迅速地确定弹簧的状态.
完
练习题
1. 2018年河南高考试题第15题。