河南高二高中数学期末考试带答案解析

河南高二高中数学期末考试
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.已知其中为虚数单位，则
2.已知为不相等的正实数，则三个数的大小顺序是
3..等比数列的各项均为正数，且，则
4..设则是的
充分但不必要条件必要但不充分条件
充分必要条件既不充分又不必要条件
5..函数导函数的图象如图所示,则下列说法正确的是:
函数的递增区间为
B．函数的递减区间为
函数在处取得极大值
函数在处取得极小值
6.已知变量满足约束条件，则目标函数的取值范围是
A．B．C．D．
7.由曲线及直线所围成的封闭图形的面积是（）
8.已知平行六面体中，∠，
∠=∠，则等于（）
9.．若点和点分别为椭圆的中心和左焦点，点为椭圆上的任意一点，
的取值范围为（）
10.已知正三棱锥的外接球的半径为,且满足,则正三棱锥的体积为
11.用三种不同的颜色填涂如图方格中的9个区域，要求每行每列的三个区域都不同色，则不同的填涂种数共有
12.学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项, 已知会唱歌的有2人,会跳舞的有5人,从中选2人,设为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数,,则文娱队的人数为
二、填空题
1..二项式的展开式中含项的系数是 (用数字作答)
2.有下列四个命题:
①命题“若，则互为倒数”的逆命题
②命题“面积相等的三角形全等”的否命题
③命题“，则方程”有实根的逆否命题
④命题“若，则” 的逆否命题
其中是真命题的是 (填上你认为正确的命题的序号)
3..随机变量的分布列为，
其中、、成等差数列，若，则=
4.是双曲线右支上一点，、分别是左、右焦点，是三角形的内心（三条内角平分线交点），若，则实数的值为
三、解答题
1.(本小题满分10分)
在中,角的对边分别是,
且,,又.
求(1)角;
(2)的值.
2.(本小题满分12分)
四个大小相同的小球分别标有数字1、1、2、2，把它们放在一个盒子中，从中任意摸
出两个小球，它们的标号分别为，记.
（1）求随机变量的分布列及数学期望；
（2）设“函数在区间（2，3）上有且只有一个零点”为事件，求事件
发生的概率.
3. (本小题满分12分)
已知四棱锥的底面为直角梯形,∥,∠,⊥底面,且,
是的中点.
(1)证明:平面⊥平面;
(2)求与所成角的余弦值;
(3)求二面角的余弦值.
4. (本小题满分12分)
已知等差数列满足：，，的前n项和为．
（Ⅰ）求通项公式及前n项和；
（Ⅱ）令=(n N*)，求数列的前n项和．
5.. (本小题满分12分)
已知函数.
(1)若函数在处取得极值,且曲线在点处的切线与直线平行,求和的值;
(2)若,试讨论函数的单调性.
6.(本小题满分12分)
已知点,是平面上一动点,且满足,
(1)求点的轨迹对应的方程;
(2)已知点在曲线上,过点作曲线的两条弦,且的斜率为满足,试判断动直线是否过定点,并证明你的结论.
河南高二高中数学期末考试答案及解析
一、选择题
1.已知其中为虚数单位，则
【答案】B
【解析】解：由得，所以。

2.已知为不相等的正实数，则三个数的大小顺序是
【答案】A
【解析】解：由基本不等式可得，，所以。

3..等比数列的各项均为正数，且，则
【答案】B
【解析】解：取特殊数列，则。

4..设则是的
充分但不必要条件必要但不充分条件
充分必要条件既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】解：，所以有可以推出，反之不成立。

5..函数导函数的图象如图所示,则下列说法正确的是:
函数的递增区间为
B．函数的递减区间为
函数在处取得极大值
函数在处取得极小值
【答案】D
【解析】解：由于导函数在上为正，在上位负，故的递增区间为，递减区间为。

在和处取得极小值，在处取得极大值。

6.已知变量满足约束条件，则目标函数的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】解：作出可行域，当目标函数过点(0,0)时取得最小值2，过点(0,3)时取得最大值8，所以目标函数的取值范围是。

7.由曲线及直线所围成的封闭图形的面积是（）
【答案】B
【解析】解：由得或，所以所求面积为。

8.已知平行六面体中，∠，
∠=∠，则等于（）
【答案】D
【解析】解：连接AC，在△ABC中，,由公式得，所以。

在△中，由余弦定理得=
9.．若点和点分别为椭圆的中心和左焦点，点为椭圆上的任意一点，
的取值范围为（）
【答案】A
【解析】解：已知O(0,0),F(-1,0),设，则
，
当时取得最大值6，当时取得最小值2.
10.已知正三棱锥的外接球的半径为,且满足,则正三棱锥的体积为
【答案】B
【解析】解：由可得四点共面且O点是△ABC的重心。

则有底面三角形的边长为，正四棱锥的体积。

11.用三种不同的颜色填涂如图方格中的9个区域，要求每行每列的三个区域都不同色，则不同的填涂种数共
有
【答案】B
【解析】解：先填正中间的方格，由中涂法，再添第二行第一个方格有2种涂法，再涂第一行第一列有2种涂法，其它各行各列都已经确定，故共有涂法×2×2=12种.
12.学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项, 已知会唱歌的有2人,会跳舞的有5人,从中选2人,设为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数,,则文娱队的人数为
【答案】C
【解析】解：根据会跳舞的有5人，可得文娱队的人数不小于5，排除A,B。

假设文娱队恰有5人，则既会唱歌又
会跳舞的有2人，从5人中选出2人有种选法，选出两人只会跳舞的有种选法，则有
，故文娱队的人数为5人。

二、填空题
1..二项式的展开式中含项的系数是 (用数字作答)
【答案】-160
【解析】解：设第r+1项中含项，则，由得，所以含项得系
数是
2.有下列四个命题:
①命题“若，则互为倒数”的逆命题
②命题“面积相等的三角形全等”的否命题
③命题“，则方程”有实根的逆否命题
④命题“若，则” 的逆否命题
其中是真命题的是 (填上你认为正确的命题的序号)
【答案】①②③
【解析】解：①“若xy=1，则x,y互为倒数”是正确，②“面积相等的三角形不一定全等”是正确的，③原命题为真，
则其逆否命题也为真，④原命题为假，因为,其逆否命题为假。

3..随机变量的分布列为，
其中、、成等差数列，若，则=
【答案】
【解析】解：由题意有解得
所以。

4.是双曲线右支上一点，、分别是左、右焦点，是三角形的内心（三条内角平分线交点），若，则实数的值为
【答案】2
【解析】解：设三角形的内切圆半径为r，则有，
由得。

所以即。

三、解答题
1.(本小题满分10分)
在中,角的对边分别是,
且,,又.
求(1)角;
(2)的值.
【答案】（1）； (2) .
【解析】根据结构与联想到和角公式求出，结合三角形三内角和为180°求出角C。

第二问利用三角形面积公式与余弦定理求出。

解：（1）由得:
即
∴,∴
(2) ∵
∴…………………………6分
又∵
∴∴
∴
∴.
2.(本小题满分12分)
四个大小相同的小球分别标有数字1、1、2、2，把它们放在一个盒子中，从中任意摸
出两个小球，它们的标号分别为，记.
（1）求随机变量的分布列及数学期望；
（2）设“函数在区间（2，3）上有且只有一个零点”为事件，求事件
发生的概率.
【答案】（1）的分布列为
E=2×+3×+4×=3
（2）。

【解析】先根据题意找到随机变量的取值，然后求其概率与期望；第2问以方程得根的分布为背景考查随机事件的概率。

解：（1）根据题意随机变量的取值为2、3、4.
∴；∴；
∴.
∴的分布列为
E=2×+3×+4×=3
（2）∵函数在区间（2，3）上有且只有一个零点，
∴
∴
∴.
∴，
所以事件发生的概率为
3.(本小题满分12分)
已知四棱锥的底面为直角梯形,∥,∠,⊥底面,且,是的中点.
(1)证明:平面⊥平面;
(2)求与所成角的余弦值;
(3)求二面角的余弦值.
【答案】 (1)见解析；(2)与所成角的余弦值为.
(3)二面角的余弦值为。

【解析】第一问主要考查空间几何体中线，面位置关系的证明！掌握好线面位置关系的判定定理与性质定理注意线线，线面，面面之间的转化有利于证明题的解决。

第二三问主要是线线角与二面角的求法。

掌握利用向量求空间角的方法。

解：(1)∵⊥底面，
∴⊥
又∠
∴⊥
而平面，平面，
且
∴⊥平面，…………2分
又∥
∴⊥平面，…………3分
又平面，
∴平面⊥平面. …………………………4分
(2)由(1)知可以为原点,建立如图空间直角坐标系,
∵,是的中点,
∴, ………………5分
∴…………………………6分
∴,
∴与所成角的余弦值为. …………………………8分
(3)∵
记平面的法向量为
则即,令则,
∴…………………………9分
同理可得平面的法向量为…………………………10分
∴…………………………11分
又易知二面角的平面角为钝角,
∴二面角的余弦值为…………………………12分
4.(本小题满分12分)
已知等差数列满足：，，的前n项和为．
（Ⅰ）求通项公式及前n项和；
（Ⅱ）令=(n N*)，求数列的前n项和．
【答案】（Ⅰ）；==；（Ⅱ）=。

【解析】本题主要考查数列中的基本量的运算（知三求二）与裂项相消法求数列的前n项和。

裂项的方法一般是，解出A,B就可以，若是公差为d的等差数列，则有。

解：（Ⅰ）设等差数列的公差为d，由已知可得，
解得，……………2分
所以；………4分==………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
所以===……10分
所以==
即数列的前n项和=……12分
5.. (本小题满分12分)
已知函数.
(1)若函数在处取得极值,且曲线在点处的切线与直线平行,求和的值;
(2)若,试讨论函数的单调性.
【答案】（1）；（2）当时，函数在上是增函数；
当时，函数在上为减函数，在上是增函数.
【解析】第一问考查函数的切线与直线平行。

在求函数切线时，要注意“过某点的切线”与“在某点的切线”的区别。

第二问考查利用函数的导数讨论含参数的函数的单调性问题。

注意不是函数递增的充要条件。

解：（1）∵
∴…………………………2分
由题意的得…………………………4分
即解得………………………6分
（2）时，
∴…………………………8分
∵
∴当时，在定义域内恒成立，函数单调递增，………10分
当时，由得，
由得，
综上：当时，函数在上是增函数；
当时，函数在上为减函数，
在上是增函数. …………………………12分
6.(本小题满分12分)
已知点,是平面上一动点,且满足,
(1)求点的轨迹对应的方程;
(2)已知点在曲线上,过点作曲线的两条弦,且的斜率为满足,试判断动直线是否过定点,并证明你的结论.
【答案】 (1)即为对应的方程；(2)直线恒过定点.
【解析】第一问是平面向量与解析几何得结合，体现了向量运算的工具作用。

熟练向量的运算对于解决这类问题很有帮助。

第二问考查直线与圆锥曲线的位置关系，解题的思路一般是将直线方程代入曲线方程消去一个未知数，然
后利用韦达定理处理。

解：(1)由可知…………………………1分
设,则,…………2分代入得:
化简得:即为对应的方程, …………………………5分
(2)将代入得∴…………………………6分
设直线的方程为:
代入消得:…………………………7分
记
则…………………………8分
∵∴且
∴
∴
∴…………………………10分
当时代入得:过定点
当时代入得:过,不合题意,舍去.
综上可知直线恒过定点.…………………………12分。