初中数学精品讲义：第九讲数学思想与方法

第九讲 数学思想方法
一、学习指引
1．知识要点：
数形结合思想；分类讨论思想；转化化归思想；方程与函数思想
2．方法指引：
（1）数形结合法：每个几何图形中蕴含着一定的数量关系，而数量关系常常又通过图形的直观性作出反映和描述，数与形之间可以相互转化，将问题化难为易，化抽象为具体. 数形结合的思想方法通过借数解形、以形助数，能使某些较复杂的数学问题迎刃而解．
（2）分类讨论法：在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况 予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．分 类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类 的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解．提高分析问题、解决问题的能力是十分 重要的．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．
分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分 讨论应逐级进行．
（3）转化化归思想：所谓化归思想就是化未知为已知、化繁为简、化难为易．如将分式 方程化为整式方程，将代数问题化为几何问题，将四边形问题转化为三角形问题等．实现 这种转化的方法有：待定系数法、配方法、整体代人法以及化动为静、由抽象到具体等．
（4）方程与函数思想：方程与函数是研究数量关系的重要工具，在处理某些问题时，往 往根据已知与未知之间的内在联系和相等关系建立方程（或方程组）或函数关系，这种通 过方程（组）或函数来沟通已知与未知，从而使问题获得解决的思想方法称之为方程与函 数思想．
二、典型例题
例1．（2009丽水）甲、乙两名运动员进行长跑训练，两人距终点的路程y （米）与跑步时间x （分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答问题：
(1) 他们在进行 ▲ 米的长跑训练，在0＜x ＜15的时
段内，速度较快的人是 ▲ ；
(2) 求甲距终点的路程y （米）和跑步时间 x （分）之间的函数关系式； (3) 当x =15时，两人相距多少米？在15＜x ＜20的时段内，求两人速度之差．
例2．我市英山县某茶厂种植 “春蕊牌”绿茶,由历年来市场销售行情知道,从每年的3
分)
月25日起的180天内,绿茶市场销售单价y(元)与上市时间t(天)的关系可以近似地用如图1-3-6中的一条折线表示.绿茶的种植除了与气候、种植技术有关外,其种植的成本单价z(元)与上市时间t(天)的关系可以近似地用如图1-3-7的抛物线表示.
图1-3-6 图1-3-7
(1)直接写出图1-3-6中表示的市场销售单价y(元)与上市时间t(天)(t>0)的函数关系式;
(2)求出图1-3-7中表示的种植成本单价z(元)与上市时间t(天)(t>0)的函数关系式;
(3)认定市场销售单价减去种植成本单价为纯收益单价,问何时上市的绿茶纯收益单价最大?
(说明:市场销售单价和种植成本单价的单位:元/500克)
例3．在平面直角坐标系内,已知点A(2,1),O为坐标原点.请你在坐标轴上确定点P,使得ΔAOP成为等腰三角形.在给出的坐标系中把所有这样的点P都找出来,画上实心点,并在旁边标上P1,P2,……,P k,(有k个就标到P K为止,不必写出画法) 求出坐标.
、
例4．（2006浙江湖州）如图，已知平面
例3图
直角坐标系，A 、B 两点的坐标分别为A （2，－3），B （4，－1）．
（1）若P （p ，0）是x 轴上的一个动点，则当p=____时，△PAB 的周长最短；
（2）若C （a ，0），D （a+3，0）是x 轴上的两个动点，则当a=____时，四边形ABDC 的周长最短；
（3）设M ，N 分别为x 轴和y 轴上的动点，请问：是否存在这样的点M （m ，0）、N （0，n ），使四边形ABMN 的周长最短？若存在，请求出m=____,n=___（不必写解答过程）；若不存在，请说明理由．
例5．（2009丽水）绿谷商场“家电下乡”指定型号冰箱、彩电的进价和售价如下表所示：
(1) 按国家政策，农民购买“家电下乡”产品可享受售价13%的政府补贴.农民田大伯到该商场购买了冰箱、彩电各一台，可以享受多少元的政府补贴？
(2)为满足农民需求,商场决定用不超过85 000元采购冰箱、彩电共40台, 且冰箱的数
量不少于彩电数量的6
5． ①请你帮助该商场设计相应的进货方案；
②哪种进货方案商场获得利润最大（利润=售价 进价），最大利润是多少？
例6．(2006湖南常德中考)把两块全等的直角三角板ABC 和DEF 叠放在一起,使三角板DEF
类别 冰箱 彩电
进价（元/台） 2 320 1 900 售价（元/台） 2 420 1 980
的锐角顶点D与三角板ABC的斜边中点O重合,其中∠ABC=∠DEF=90°，∠C=∠F=45°,AB=DE=4,把三角板ABC固定不动,让三角板DEF绕点O旋转,设射线DE与射线AB相交于点P,射线DF与线段BC相交于点Q.
(1)如图1-3-12(1),当射线DF经过点B,即点Q与点B重合时,易证△APD∽△CDQ.此时
AP·CQ=_________________.
(2)将三角板DEF由图1-3-12(1)所示的位置绕点O沿逆时针方向旋转,设旋转角为α.其
中0°<α<90°,问AP·CQ的值是否改变?说明你的理由.
(3)在(2)的条件下,设CQ=x,两块三角板重叠面积为y,求y与x的函数关系式.(图1-3-12中(2)(3)供解题用).
第九讲数学思想方法同步练习
活动基地 班级 姓名
【基础巩固】
1．不等式组114
x x ->⎧⎨≤⎩的解集在数轴上，如图表示应是 （ ）
2．若等腰三角形的一个内角为50则其他两个内角为 （ ）
A ．500 ，80o
B ．650， 650
C ．500 ，650
D ．500，800或 650，650
3．一次函数y=kx ＋b 的图象经过点A （0，－2）和B （－3，6）两点，那么该函数的表达式是 （ ）
8.2 6 .23A y x B y x =-+=-- 8.8 6 .23
C y x
D y x =--=-- 4．设一个三角形的三边长为3，l －2m ，8，则m 的取值范围是 （ ）
A ．0＜m ＜12 B. －5＜m － 2 C ．－2＜m ＜5 D ．－72
＜m ＜－l 5．如果表示a 、b 为两个实数的点在数轴上的位置如图3－l －8所示，那么化简
2||()a b a b -++的结果等于 （ ）
A ．2a
B ．2b
C ．－2a
D ．－2b
6．如图3－3－8所示，阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为 （ ）
A ．8
B ．64
C ．16
D ．32
7．某村办工厂今年前5个月生产某种产品的总量 （件）关于时间t （月）的图象如图3－3－9所示，则该厂对这种产品来说 （ ）
A ．1月至3月每月生产总量逐月增加，4、5两月生产总量逐月减少；
B ．1月至3月每月生产总量逐月增加，4、5两月生产总量与3月持平；
C.1月至3月每月生产总量逐月增加，4、5两月均停止生产；
D.1月至 3月每月生产总量不变，4、5两月均停止生产．
8．若||3,||2,,( )a b a b a b ==>+=且则
A ．5或－1
B ．－5或1;
C ．5或1
D ．－5或－1
9．若解方程x x x x m x x 11122+=++-+产生增根,则m 的值是( ) A.-1或-2 B.-1或2 C.1或2 D.1或-2
10．水池有2个进水口，1个出水口，每个进水口进水量与时间的关系如图甲所示，出水口出水量与时间的关系如图乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量与时间的关系如图丙所示．
下列论断：①0点到1点，打开两个进水口，关闭出水口；②1点到3点，同时关闭两个进水口和-个出水口；③3点到4点，关门两个进水口，打开出水口；④5点到6点．同时打开两个进水口和一个出水口．其中，可能正确的论断是 ( )
A. ①③
B. ①④
C. ②③
D.②④
11．若一次函数(2)y m x m =-+的图象经过第一、二、四象限时，m 的取值范围是_______.
12．已知直线y 1=2x －1和y 2=－x －1的图象如图3－3－24所示，根据图象填空． ⑴ 当x______时，y 1＞y 2；当x______时，y 1=y 2；当x______时，y 1＜y 2.
⑵ 方程组211y x y x =-⎧⎨=--⎩
的解是_____________． 13． 已知二次函数21(0)y ax bx c a =++≠与一次函数 y 2=kx+ m （k ≠0）的图象相交于点 A （－2，4），B （8，2）（如图 3－3－25所示），则能使y 1＞y 2成立的x 的取值范围是________．
1436，则斜边上的高为 （结果保留根号）．
15．将自然数按以下规律排列，则2008所在的位置是第 行第 列．
16.如图 3－1－2，梯形 ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD ，对角线AC 、
BD 相交于O 点，且AC ⊥BD ，AD=3,BC=5，求AC 的长．
17.某公司推销一种产品，设x （件）是推销产品的数量，y （元）是推销费，图3－3－1已表示了公司每月付给推销员推销费的两种方案，看图解答下列问题：
（1）求y 1与y 2的函数解析式；
（2）解释图中表示的两种方案是如何付推销费的？
（3）果你是推销员，应如何选择付费方案？
18.如图3－1－1，反比例函数y=－8x
与一次函数y=－x+2的图象交于A 、B 两点．
（1）求 A 、B 两点的坐标；
（2）求△AOB 的面积．
【能力拓展】
19．如图，已知直角坐标系内的梯形AOBC （O 为原点），AC ∥OB ，OC ⊥BC ，AC ，OB 的长是
关于x 的方程x 2－(k+2)x+5=0的两个根，且S △AOC ：S △BOC =1：5．
（1）填空：0C=________，k=________；
（2）求经过O ，C ，B 三点的抛物线的另一个交点为D ，动点P ，
Q 分别从O ，D 同时出发，都以每秒1个单位的速度运动，其中
点P 沿OB 由O →B 运动，点Q 沿DC 由D →C 运动，过点Q 作QM
⊥CD 交BC 于点M ，连结PM ，设动点运动时间为t 秒，请你探
索：当t 为何值时，△PMB 是直角三角形．
第19题图
20.在四边形ABCD 中，对角线AC 平分∠DAB ．如图(1)，当∠DAB
＝120°，∠B ＝∠D ＝90°时，易证：AB ＋AD ＝AC ． (1) 如图(2)，当∠DAB ＝120°，∠B 与∠D 互补时，线段AB 、AD 、
AC 有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明； (2) 如图(3)，当∠DAB ＝90°，∠B 与∠D 互补时，线段AB 、AD 、
AC 又有怎样的数量关系？写出你的猜想，不需证明.
第20题图 A B C D 图1 A B C D 图(2) A B C D 图(3)。