高中数学 212 椭圆的简单性质二教案 北师大选修1-1 教案

第二章 圆锥曲线与方程2.1.2 椭圆的简单性质
教学过程： 一、复习引入：
1．椭圆定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距离）的动点的轨迹
2．标准方程：12222=+b y a x ，122
22=+b
x a y （0>>b a ）
3．问题：
（1）椭圆曲线的几何意义是什么？
（2）“范围”是方程中变量的取值范围，是曲线所在的位置的范围，椭圆的标准方程中的y x ,取值范围是什么？其图形位置是怎样的？
（3）标准形式的方程所表示的椭圆，其对称性是怎样的？
（4）椭圆的顶点是怎样的点？椭圆的长轴与短轴是怎样定义的？长轴长、短轴长各是多少？c b a ,,的几何意义各是什么？
（5）椭圆的离心率是怎样定义的？用什么来表示？它的范围如何？在这个范围内，它的变化对椭圆有什么影响？
（6）画椭圆草图的方法是怎样的？ 二、讲解新课：
由椭圆方程122
22
=+b
y
a x (0>>
b a )
研究椭圆的性质.(利
用方程研究,说明结论与由图形观察一致) (1)范围:
从标准方程得出122≤a x ,122
≤b
y ,即
有
a x a ≤≤-,
b y b ≤≤-，可知椭圆落在b y a x ±=±=,组成的矩形中．
(2)对称性:
把方程中的x 换成x -方程不变，图象关于y 轴对称．y 换成y -方程不变，图象关于x 轴对称．把y x ,同时换成y x --,方程也不变，图象关于原点对称．
如果曲线具有关于x 轴对称，关于y 轴对称和关于原点对称中的任意两种，则它一定具有第三种对称
原点叫椭圆的对称中心，简称中心．x 轴、y 轴叫椭圆的对称轴．从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，
对称的截距
（3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点
在椭圆122
22=+b y a x 的方程里，令0=y 得a x ±=，因此椭圆和x 轴有两个交点)0,(),0,(2a A a A -，它
们是椭圆122
22=+b
y a x 的顶点
令0=x ，得b y ±=，因此椭圆和y 轴有两个交),0(),,0(2b B b B -，它们也是椭圆122
22=+b
y a x 的
顶点 因此椭圆共有四个顶点： )0,(),0,(2a A a A -，),0(),,0(2b B b B -
加两焦点)0,(),0,(21c F c F -共有六个特殊点.
21A A 叫椭圆的长轴，21B B 叫椭圆的短轴．长分别为b a 2,2
b a ,分别为椭圆的长半轴长和短半轴长.椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点.
至此我们从椭圆的方程中直接可以看出它的范围, 对称性, 顶点．因而只需少量描点就可以较正确的作图了． (4)离心率:
发现长轴相等，短轴不同，扁圆程度不同
这种扁平性质由什么来决定呢？
概念：椭圆焦距与长轴长之比
定义式：a
c
e =
⇒2)(1a b e -=
范围：10<<e
考察椭圆形状与e 的关系：
0,0→→c e ，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认
为圆为椭圆在0=e 时的特例
段21F F ，
,,1a c e →→椭圆变扁，直至成为极限位置线
此时也可认为圆为椭圆在1=e 时的特例
三、讲解范例：
例1 求椭圆40025162
2
=+y x 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形． 解：把已知方程化成标准方程
Q
B 2
B 1A 2
A 1
P F 2F 1
P ′
P ″
x
O
y
B 2
B 1
A 2
A 1
x O
y
1
4
522
22=+y x
所以，345,4,522=-===c b a ，
因此，椭圆的长轴的长和短轴的长分别为82,102==b a ，离心率5
3
==
a c e ，两个焦点分别为)0,3(),0,3(21F F -，椭圆的四个顶点是)0,5(),0,5(2A A -，4,0(),4,0(2B B -
将已知方程变形为22554x y -±=，根据2255
4x y -=，在50≤≤x 的范围内算出几个点的坐标),(y x ：
例2 在同一坐标系中画出下列椭圆的简图：
（1）
116
252
2=+y x （2）
19
252
2=+y x
答：简图如下：
例3 分别在两个坐标系中，画出以下椭圆的简图：
（1）14
92
2=+y x （2）
136
492
2=+y x
答：简图如下：
四、课堂练习：
1．已知椭圆的一个焦点将长轴分为3:2两段，求其离心率
解：由题意，)(:)(c a c a -+=3:2,即
2
3
11=
-+e e ,解得 5-=e 2．如图，求椭圆122
22=+b
y a x ,(0>>b a )内接正方形ABCD 的面积
解 由椭圆和正方形的中心对称性知，正方形BFOE 的面积是所求
正方形面积的1/4,且B 点横纵坐标相等，故设B （t t ,),
代入椭圆方程
求得22222
b a b a t +=,即正方形ABCD 2
22
2b a +五、小结 ：这节课学习了用方程讨论曲线几何性质的
思想方法；学习了椭圆的几何性质：对称性、顶点、范围、离心率；学习了椭圆的
描点法画图及徒手画椭圆草图的方法
六、课后作业： 七、板书设计（略）
八、课后记：。