高中数学第二章概率211离散型随机变量课件北师大版选修2
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(3)投一颗骰子出现的结果是 1 点，2 点，3 点，4 点，5 点， 6 点中的一个且出现哪个结果是随机的，因此是随机变量．
(4)属相是人出生时便确定的，不随年龄的变化而变化，不是 随机变量．
第12页
探究1 解答本类题目的关键在于分析变量是否满足随机试 验的结果，预先知道所有可能取的值，而不知道在一次试验中 哪一个结果发生，随机变量取哪一个值．
第33页
2．有以下三个随机变量，其中离散型随机变量的个数是
() ①某热线部门1分钟内接到咨询的次数ξ是一个随机变量；
②一个沿数轴进行随机运动的质点，它在数轴上的位置是
一个随机变量；
③某人射击一次中靶的环数ξ是一个随机变量．
A．1
B．2
C．3
D．0
第34页
答案 B 解析 ①③是离散型随机变量，②不是离散型随机变量， 因为其取值是无限的，不能一一列举出来．
X＝3表示(1，2)，(2，1)； X＝4表示(1，3)，(2，2)，(3，1)； … X＝12表示(6，6)．
第26页
Y 的可能取值为 2，4，6，8，10，12. Y＝2 表示(1，1)； Y＝4 表示(1，3)，(2，2)，(3，1)； … Y＝12 表示(6，6)．
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探究 3 随机变量把随机试验的结果映为实数．函数的值 域．
第23页
题型三 随机变量的取值及表示的事件 例3 写出下列各随机变量可能的取值，并说明随机变量所 取的值表示的随机试验的结果． (1)从一个装有编号为1号到10号的10个球的袋中，任取1 球，被取出的球的编号为X； (2)一个袋中装有10个红球，5个白球，从中任取4个球，其 中所含红球的个数为X； (3)投掷两枚骰子，所得点数之和为X，所得点数之和是偶数 Y.
第7页
3．随机变量的理解 随机变量从本质上讲就是以随机试验的每一个可能结果为 自变量的一个函数，即随机变量的取值实质上是试验结果所对 应的数，但这些数是预先知道的所有可能的值，而不知道究竟 是哪一个值，这便是“随机”的本源．
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课时学案
第9页
题型一 随机变量的概念 例1 指出下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变 量，并说明理由． (1)某人射击一次命中的环数； (2)任意掷一枚均匀硬币5次，出现正面向上的次数； (3)投一颗质地均匀的骰子出现的点数(最上面的数字)； (4)某个人的属相随年龄的变化．
ξ＝4⇒xy＝＝41，或xy＝＝14，或xy＝＝22.， 【答案】 D
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课后巩固
第31页
1．袋中有2个黑球，6个红球，从中任取两个，可以作为随 机变量的是( )
A．取到的球的个数 B．取到红球的个数 C．至少取到一个红球 D．至少取到一个红球的概率
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答案 B 解析 A项的取值不具有随机性，C项是一个事件而非随机 变量，D项中概率值是一个定值而非随机变量，只有B项满足要 求．
复习课件
高中数学第二章概率211离散型随机变量课件北师大版选修2
2021/4/17
高中数学第二章概率211离散型随机变量课件北师大版选修 2
第二章 随机变量及其分布
第2页
§1 离散型随机变量及其分布列
第一课时 离散型随机变量
第3页
1．随机变量 (1)定义：随着试验结果变化而变化的变量． (2)表示：随机变量常用字母X，Y，ξ，η表示． 2．离散型随机变量 离散型随机变量X的取值特点是：所有可能的取值都能一一 列举出来．
第40页
第41页
第15页
(3)郑州至武汉的电气化铁道线上，每隔50 m有一电线铁 塔，从郑州至武汉的电气化铁道线上将电线铁塔进行编号，而 其中某一电线铁塔的编号ξ；
(4)江西九江市长江水位监测站所测水位在(0，29]这一范围 内变化，该水位站所测水位ξ.
第16页
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间，你们休息一下眼 看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动，久坐对身体不好
第17页
【思路】 根据离散型随机变量的特点：有限性与确定性 去判断．
【解析】 (1)从10个球中取3个球，所得的结果有以下几 种：
3个白球，2个白球和1个黑球，1个白球和2个黑球，3个黑 球，即其结果可以一一列出，符合离散型随机变量的定义，因 此是随机变量．
第18页
(2)实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离 散型的变量．
第5页
2．随机变量 (1)随机变量的定义． 在随机试验的结果与实数之间，自然地或人为地建立起一 种对应关系，使每一个可能的结果都对应着一个实数，那么随 机试验的结果就可以用取值为这些实数的一个变量来表示，这 个变量叫随机变量，随机变量常用希腊字母X、Y、ξ、η等表 示．
第6页
(2)离散型随机变量． 如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列 出，这样的随机变量叫做离散型随机变量． (3)若ξ是一个随机变量，a、b是常数，则η＝aξ＋b也是一个 随机变量．注意掌握这一点，对于某些问题的解决往往会有比 较直接的帮助． 一般地，若ξ是随机变量，f(x)是连续函数或单调函数，则 f(ξ)也是随机变量．也就是说，随机变量的某些函数也是随机变 量．
(3)是离散型随机变量．因为电线铁塔为有限个，其编号从1 开始可一一列出．
(4)不是离散型随机变量．因为水位在(0，29]这一范围内变 化，对水位值我们不能按一定次序一一列出．
第19页
【点评】 解答此类问题的关键是掌握离散型随机变量的 关键点是可以“一一罗列出”， 这就说明试验的结果是有限 的，这点是区别于非离散型随机变量的关键．
第20页
探究 2 离散型随机变量和连续型随机变量都是用来刻画随 机试验所出现的结果的，它们的区别是：对于离散型随机变量， 能将它的可能取值按次序一一列出，而连续型随机变量可取某一 区间内的一切值，我们无法对其中的值一一列举．
第21页
◎思考题2 判断下列变量是不是随机变量，如果是，判断 该随机变量是不是离散型随机变量．
第4页
1．试验与随机试验 凡是对现象的观察或为此而进行的实验，都称之为试验， 一个试验如果满足下述条件： (1)试验可以在相同的情形下重复进行； (2)试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个； (3)每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试 验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果． 它就被称为一个随机试验．
第35页
3．某人射击的命中率为 p(0<p<1)，他向一目标射击，射中
目标则停止射击，射击次数的取值是( )
A．1，2，3，…，n
B．1，2，3，…，n，…
C．0，1，2，…，n
D．0，1，2，…，n，…
答案 B
第36页
4．在一批产品中共12件，其中次品3件，每次从中任取一 件，在取得合格品之前取出的次品数ξ的所有可能取值是 ________．
第13页
◎思考题1 将一颗骰子掷两次，不能作为随机变量的是 ()
A．两次点数之和 B．两次点数差的绝对值 C．两次的最大点数 D．两次的点数 【答案】 D
第14页
题型二 离散型随机变量的判定 例2 指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理 由： (1)一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所 含白球的个数； (2)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸 之差；
答案 0，1，2，3 解析 可能第一次就取得合格品，也可能取完次品后才取得合 格品．
第37页
5．小王钱夹中只剩有50元、20元、10元、5元和1元的人民 币各一张．他决定随机抽出两张，用来买晚餐，用X表示这两张 金额之和．写出X的可能取值，并说明所取值表示的随机试验结 果．
第38页
解析 X 的可能取值为 6，11，15，21，25，30，51，55， 60，70.其中，X＝6，表示抽到的是 1 元和 5 元；
第24页
【解析】 (1)X的可能取值为1，2，3，…，10，X＝k(k＝ 1，2，…，10)表示取出编号为k号的球．
(2)X的可能取值为0，1，2，3，4，X＝k表示取出k个红 球，(4－k)个白球，其中k＝0，1，2，3，4.
第25页
(3)若以(i，j)表示投掷甲、乙两枚骰子后骰子甲得i点且骰子 乙得j点，X的可能取值为2，3，4，…，12，则X＝2表示(1， 1)；
第10页
【解析】 (1)某人射击一次，可能命中的环数是 0 环，1 环，…，10 环结果中的一个而且出现哪一个结果是随机的，因此 是随机变量．
(2)任意掷一枚硬币 1 次，可能出现正面向上也可能出现反面 向上，因此投掷 5 次硬币，出现正面向上的次数可能是 0，1，2， 3，4，5，而且出现哪种结果是随机的，是随机变量．
(1)2013年世乒赛，从开幕到闭幕的总天数； (2)京广高速公路某收费站在一天内经过的车辆数； (3)北京市在国庆节这一天的温度数； (4)某小朋友在明天一天内的洗手次数．
第22页
【解析】 (1)从开幕到闭幕的总天数是一个常数，因而不 是随机变量．(2)(3)(4)中的变量都是随机变量．由于(2)(4)中的变 量是可以一一列出的，所以(2)(4)中的变量是离散型随机变 量．(3)中变量(温度数)可以是国庆节当天最低温度和最高温度组 成的温度区间内的任何一个数值，是不可以一一列出的，故不 是离散型随机变量．
X＝11，表示抽到的是 1 元和 10 元； X＝15，表示抽到的是 5 元和 10 元； X＝21，表示抽到的是 1 元和 20 元； X＝25，表示抽到的是 5 元和 20 元； X＝30，表示抽到的是 10 元和 20 元；
第39页
X＝51，表示抽到的是1元和50元； X＝55，表示抽到的是5元和50元； X＝60，表示抽到的是10元和50元； X＝70，表示抽到的是20元和50元．
第28页
◎思考题 3 抛掷两枚骰子，所得点数之积记为 ξ，那么 ξ ＝4 表示的随机试验结果是( )
A．2 枚都是 4 点 B．1 枚是 1 点，另 1 枚是 4 点 C．2 枚都是 2 点 D．1 枚是 1 点，另 1 枚是 4 点，或者 2 枚都是 2 点
第29页
【解析】 抛掷两枚骰子，其中一枚是x点，另一枚是y 点，其中x，y＝1，2，…，6，而ξ＝x×y，
(3)投一颗骰子出现的结果是 1 点，2 点，3 点，4 点，5 点， 6 点中的一个且出现哪个结果是随机的，因此是随机变量．
(4)属相是人出生时便确定的，不随年龄的变化而变化，不是 随机变量．
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探究1 解答本类题目的关键在于分析变量是否满足随机试 验的结果，预先知道所有可能取的值，而不知道在一次试验中 哪一个结果发生，随机变量取哪一个值．
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2．有以下三个随机变量，其中离散型随机变量的个数是
() ①某热线部门1分钟内接到咨询的次数ξ是一个随机变量；
②一个沿数轴进行随机运动的质点，它在数轴上的位置是
一个随机变量；
③某人射击一次中靶的环数ξ是一个随机变量．
A．1
B．2
C．3
D．0
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答案 B 解析 ①③是离散型随机变量，②不是离散型随机变量， 因为其取值是无限的，不能一一列举出来．
X＝3表示(1，2)，(2，1)； X＝4表示(1，3)，(2，2)，(3，1)； … X＝12表示(6，6)．
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Y 的可能取值为 2，4，6，8，10，12. Y＝2 表示(1，1)； Y＝4 表示(1，3)，(2，2)，(3，1)； … Y＝12 表示(6，6)．
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探究 3 随机变量把随机试验的结果映为实数．函数的值 域．
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题型三 随机变量的取值及表示的事件 例3 写出下列各随机变量可能的取值，并说明随机变量所 取的值表示的随机试验的结果． (1)从一个装有编号为1号到10号的10个球的袋中，任取1 球，被取出的球的编号为X； (2)一个袋中装有10个红球，5个白球，从中任取4个球，其 中所含红球的个数为X； (3)投掷两枚骰子，所得点数之和为X，所得点数之和是偶数 Y.
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3．随机变量的理解 随机变量从本质上讲就是以随机试验的每一个可能结果为 自变量的一个函数，即随机变量的取值实质上是试验结果所对 应的数，但这些数是预先知道的所有可能的值，而不知道究竟 是哪一个值，这便是“随机”的本源．
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课时学案
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题型一 随机变量的概念 例1 指出下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变 量，并说明理由． (1)某人射击一次命中的环数； (2)任意掷一枚均匀硬币5次，出现正面向上的次数； (3)投一颗质地均匀的骰子出现的点数(最上面的数字)； (4)某个人的属相随年龄的变化．
ξ＝4⇒xy＝＝41，或xy＝＝14，或xy＝＝22.， 【答案】 D
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课后巩固
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1．袋中有2个黑球，6个红球，从中任取两个，可以作为随 机变量的是( )
A．取到的球的个数 B．取到红球的个数 C．至少取到一个红球 D．至少取到一个红球的概率
第32页
答案 B 解析 A项的取值不具有随机性，C项是一个事件而非随机 变量，D项中概率值是一个定值而非随机变量，只有B项满足要 求．
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高中数学第二章概率211离散型随机变量课件北师大版选修2
2021/4/17
高中数学第二章概率211离散型随机变量课件北师大版选修 2
第二章 随机变量及其分布
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§1 离散型随机变量及其分布列
第一课时 离散型随机变量
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1．随机变量 (1)定义：随着试验结果变化而变化的变量． (2)表示：随机变量常用字母X，Y，ξ，η表示． 2．离散型随机变量 离散型随机变量X的取值特点是：所有可能的取值都能一一 列举出来．
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(3)郑州至武汉的电气化铁道线上，每隔50 m有一电线铁 塔，从郑州至武汉的电气化铁道线上将电线铁塔进行编号，而 其中某一电线铁塔的编号ξ；
(4)江西九江市长江水位监测站所测水位在(0，29]这一范围 内变化，该水位站所测水位ξ.
第16页
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间，你们休息一下眼 看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动，久坐对身体不好
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【思路】 根据离散型随机变量的特点：有限性与确定性 去判断．
【解析】 (1)从10个球中取3个球，所得的结果有以下几 种：
3个白球，2个白球和1个黑球，1个白球和2个黑球，3个黑 球，即其结果可以一一列出，符合离散型随机变量的定义，因 此是随机变量．
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(2)实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离 散型的变量．
第5页
2．随机变量 (1)随机变量的定义． 在随机试验的结果与实数之间，自然地或人为地建立起一 种对应关系，使每一个可能的结果都对应着一个实数，那么随 机试验的结果就可以用取值为这些实数的一个变量来表示，这 个变量叫随机变量，随机变量常用希腊字母X、Y、ξ、η等表 示．
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(2)离散型随机变量． 如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列 出，这样的随机变量叫做离散型随机变量． (3)若ξ是一个随机变量，a、b是常数，则η＝aξ＋b也是一个 随机变量．注意掌握这一点，对于某些问题的解决往往会有比 较直接的帮助． 一般地，若ξ是随机变量，f(x)是连续函数或单调函数，则 f(ξ)也是随机变量．也就是说，随机变量的某些函数也是随机变 量．
(3)是离散型随机变量．因为电线铁塔为有限个，其编号从1 开始可一一列出．
(4)不是离散型随机变量．因为水位在(0，29]这一范围内变 化，对水位值我们不能按一定次序一一列出．
第19页
【点评】 解答此类问题的关键是掌握离散型随机变量的 关键点是可以“一一罗列出”， 这就说明试验的结果是有限 的，这点是区别于非离散型随机变量的关键．
第20页
探究 2 离散型随机变量和连续型随机变量都是用来刻画随 机试验所出现的结果的，它们的区别是：对于离散型随机变量， 能将它的可能取值按次序一一列出，而连续型随机变量可取某一 区间内的一切值，我们无法对其中的值一一列举．
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◎思考题2 判断下列变量是不是随机变量，如果是，判断 该随机变量是不是离散型随机变量．
第4页
1．试验与随机试验 凡是对现象的观察或为此而进行的实验，都称之为试验， 一个试验如果满足下述条件： (1)试验可以在相同的情形下重复进行； (2)试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个； (3)每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试 验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果． 它就被称为一个随机试验．
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3．某人射击的命中率为 p(0<p<1)，他向一目标射击，射中
目标则停止射击，射击次数的取值是( )
A．1，2，3，…，n
B．1，2，3，…，n，…
C．0，1，2，…，n
D．0，1，2，…，n，…
答案 B
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4．在一批产品中共12件，其中次品3件，每次从中任取一 件，在取得合格品之前取出的次品数ξ的所有可能取值是 ________．
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◎思考题1 将一颗骰子掷两次，不能作为随机变量的是 ()
A．两次点数之和 B．两次点数差的绝对值 C．两次的最大点数 D．两次的点数 【答案】 D
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题型二 离散型随机变量的判定 例2 指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理 由： (1)一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所 含白球的个数； (2)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸 之差；
答案 0，1，2，3 解析 可能第一次就取得合格品，也可能取完次品后才取得合 格品．
第37页
5．小王钱夹中只剩有50元、20元、10元、5元和1元的人民 币各一张．他决定随机抽出两张，用来买晚餐，用X表示这两张 金额之和．写出X的可能取值，并说明所取值表示的随机试验结 果．
第38页
解析 X 的可能取值为 6，11，15，21，25，30，51，55， 60，70.其中，X＝6，表示抽到的是 1 元和 5 元；
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【解析】 (1)X的可能取值为1，2，3，…，10，X＝k(k＝ 1，2，…，10)表示取出编号为k号的球．
(2)X的可能取值为0，1，2，3，4，X＝k表示取出k个红 球，(4－k)个白球，其中k＝0，1，2，3，4.
第25页
(3)若以(i，j)表示投掷甲、乙两枚骰子后骰子甲得i点且骰子 乙得j点，X的可能取值为2，3，4，…，12，则X＝2表示(1， 1)；
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【解析】 (1)某人射击一次，可能命中的环数是 0 环，1 环，…，10 环结果中的一个而且出现哪一个结果是随机的，因此 是随机变量．
(2)任意掷一枚硬币 1 次，可能出现正面向上也可能出现反面 向上，因此投掷 5 次硬币，出现正面向上的次数可能是 0，1，2， 3，4，5，而且出现哪种结果是随机的，是随机变量．
(1)2013年世乒赛，从开幕到闭幕的总天数； (2)京广高速公路某收费站在一天内经过的车辆数； (3)北京市在国庆节这一天的温度数； (4)某小朋友在明天一天内的洗手次数．
第22页
【解析】 (1)从开幕到闭幕的总天数是一个常数，因而不 是随机变量．(2)(3)(4)中的变量都是随机变量．由于(2)(4)中的变 量是可以一一列出的，所以(2)(4)中的变量是离散型随机变 量．(3)中变量(温度数)可以是国庆节当天最低温度和最高温度组 成的温度区间内的任何一个数值，是不可以一一列出的，故不 是离散型随机变量．
X＝11，表示抽到的是 1 元和 10 元； X＝15，表示抽到的是 5 元和 10 元； X＝21，表示抽到的是 1 元和 20 元； X＝25，表示抽到的是 5 元和 20 元； X＝30，表示抽到的是 10 元和 20 元；
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X＝51，表示抽到的是1元和50元； X＝55，表示抽到的是5元和50元； X＝60，表示抽到的是10元和50元； X＝70，表示抽到的是20元和50元．
第28页
◎思考题 3 抛掷两枚骰子，所得点数之积记为 ξ，那么 ξ ＝4 表示的随机试验结果是( )
A．2 枚都是 4 点 B．1 枚是 1 点，另 1 枚是 4 点 C．2 枚都是 2 点 D．1 枚是 1 点，另 1 枚是 4 点，或者 2 枚都是 2 点
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【解析】 抛掷两枚骰子，其中一枚是x点，另一枚是y 点，其中x，y＝1，2，…，6，而ξ＝x×y，