圆的方程基础知识与典型例题

圆的方程
1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半
径。

2、圆的方程
（1）标准方程()()22
2
r b y a x =-+-，圆心
()b a ,，半径为r ；
（2）一般方程02
2=++++F Ey Dx y x
当042
2
>-+F E D 时，方程表示圆，此时圆心为⎪
⎭
⎫ ⎝
⎛--2,2
E D ，半径为
F E D r 42
122-+= 当0422=-+F E D 时，表示一个点； 当042
2<-+F E D 时，方程不表示任何图形。

（3）求圆方程的方法：
一般都采用待定系数法：先设后求。

确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程， 需求出a ，b ，r ；若利用一般方程，需要求出D ，E ，F ；
另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。

3、直线与圆的位置关系：
直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两种方法判断：
（1）设直线0:=++C By Ax l ，圆()()222:r b y a x C =-+-，圆心()b a C ,到l 的距离为
2
2B A C Bb Aa d +++=
，则有相离与C l r d ⇔>；相切与C l r d ⇔=；相交与C l r d ⇔<
（2）设直线0:=++C By Ax l ，圆()()22
2
:r b y a x C =-+-，先将方程联立消元，得到一个一元二次方程之后，令其中的判别式为∆，则有
相离与C l ⇔<∆0；相切与C l ⇔=∆0；相交与C l ⇔>∆0
注：如果圆心的位置在原点，可使用公式2
00r yy xx =+去解直线与圆相切的问题，其中()00,y x 表示切点坐标，r 表示半径。

4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d ）之间的大小比较来确定。

设圆()()
2
21211:r b y a x C =-+-， ()()
2
22222:R b y a x C =-+- 两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d ）之间的大小比较来确定。

当r R d +>时两圆外离 当r R d +=时两圆外切； 当r R d r R +<<-时两圆相交，连心线垂直平分公共弦
当r R d -=时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线； 当r R d -<时，两圆内含； 当0=d 时，为同心圆。

5、空间直角坐标系
（1）定义：如图，,,,,OBCD D A B C -是单位正方体.以A 为原点， 分别以OD,O ,A ,OB 的方向为正方向，建立三条数轴x 轴.y 轴.z 轴。

这时建立了一个空间直角坐标系Oxyz.
1）O 叫做坐标原点 2）x 轴，y 轴，z 轴叫做坐标轴. 3）过每两个坐标轴的平面叫做坐标面。

（2）右手表示法： 令右手大拇指、食指和中指相互垂直时，可能形成的位置。

大拇指指向为x 轴正方向，食指指向为y 轴正向，中指指向则为z 轴正向，这样也可以决定三轴间的相位置。

（3）任意点坐标表示：空间一点M 的坐标可以用有序实数组(,,)x y z 来表示，有序实数组(,,)x y z 叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作(,,)M x y z （x 叫做点M 的横坐标，y 叫做点M 的纵坐标，z 叫做点M 的竖坐标）
（4）空间两点距离坐标公式：2
12212212)()()(z z y y x x d -+-+-=
圆的方程题型归类
题型一：求圆的方程 1、 已知圆心和半径：
例1、以两点A(-3,-1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是（ ） A 、100)2()1(22=++-y x B 、100)2()1(2
2=-+-y x C 、25)2()1(22=-+-y x D 、25)2()1(2
2=+++y x
2、 过不在同一直线上三点： 例2、求过三点O （0，0）、M 1（1，1）、M 2（4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标。

练一练：过点(2,3)P --作圆2
2
:(4)(2)9C x y -+-=的两条切线，切点分别为,A B ；求：（1）经过圆心C ，切点,A B 这三点圆的方程；（2）直线AB 的方程；（3）线段AB 的长。

3、 由一般方程求标准方程，配方：
例3、圆0sin 2cos 22
2
=+-+θθay ax y x 的圆心坐标为_______，半径为________。

4、 由参数方程求标准方程，消元：
例4、把圆的参数方程⎩
⎨⎧+-=+=θθsin 23cos 21y x 化成圆的标准方程是___________
5、 已知圆心所在直线且知道切线(或者外切圆、或者被割线所截得的弦长)，列方程组： 例5、求与,x y 轴均相切且过点(1,8)的圆的方程。

练一练：(1)已知圆C 和y 轴相切，圆心在直线03=-y x 上，且被直线x y =截得的弦长为7
2，求圆C 的方程
(2)设圆上的点(2,3)A 关于直线20x y +=的对称点仍在圆上，且与直线10x y -+=相交
的弦长为 6、 过已知两圆的交点，圆系方程：
例6、求过两圆2
2
640x y x ++-=和2
2
6280x y y ++-=的交点，且圆心在直线
40x y --=上的圆的方程。

练一练：(1)求过圆2
2
420x y x y +-+=与圆2
2
240x y y +--=的交点，且圆心在直线
2410x y +-=上的圆的方程。

7、 轨迹方程：
例7、若半径为1的动圆与圆2
2
4x y +=相切，则动圆圆心的轨迹方程是 。

练一练：(1)已知BC 是圆2522=+y x 的动弦，且6=BC ，则BC 的中点的轨迹方程是( )
A ．422=+y x
B ．922=+y x
C ．1622=+y x
D ．4=+y x
(2)已知定点A （0，2）及圆O ：22
4x y +=，过点A 作MA 切圆O 于点A ，M 为切线上的一个动点，MQ 切圆O 于Q 点，求△MAQ 的垂心H 的轨迹方程。

8、 杂项：例8、已知关于x,y 的方程C:0422
2=+--+m y x y x .当m 为何值时，方程C 表示圆。

题型二：求最值问题
1、 求2
2
x y +的最值、求ax by +的最值、求
y b
x a
--的最值 例1、已知圆C ：),(,1)2(2
2
y x P y x =++为圆上任意一点，求（1）1
2
--x y 的最大值和最小值，（2）x-2y 的最大值和最小值。

2、 求距离最值
例2、圆01222
2=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是（ ）
A 2
B 21+
C 2
2
1+
D 221+ 练一练：(1)设M 是圆22
(5)(3)9x y -+-=上的点，则M 点到直线3420x y +-=的最短距离是
(2)已知点M 在圆C1：226210x y x y ++-+=上，点N 在圆C2：
22
2410x y x y ++++=上，则|MN|的最大值为________。

题型三：求切线问题
1、 过圆外一点的切线，设法：设斜率为k 例1 过⊙:x 2+y 2=2外一点P(4,2)向圆引切线，（1）求过点P 的圆的切线方程； (2）若切点为P 1,P 2，求过切点P 1,P 2的直线方程。

练一练：(1)过点)0,4(-A 作圆9)8()7(22=+++y x 的切线，则切线方程为 (2)已知直线ax+by+c=0(abc ≠0)与圆x 2+y 2=1相切，则三条边长分别为c b a ,,的三角形( ) A. 是锐角三角形 B.是直角三角形 C.是钝角三角形 D.不存在 2、 过圆上一点的切线，结论有三：
例2、圆042
2=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为（ ）
A 023=-+
y x B 043=-+y x C 043=+-y x D 023=+-y x
3、 公切线条数问题
例3、若过点（1，2）总可以作两条直线和圆2
2
2
2150x y kx y k ++++-=相切，求实数
k 的取值范围。

题型四：求弦长问题 1、 代数法：几何法：
例4．已知直线:2830L mx y m ---=和圆22
:612200C x y x y +-++=；（1）m R ∈时，证明L 与C 总相交。

（2）m 取何值时，L 被C 截得弦长最短，求此弦长。

练一练：(1) 求直线:360l x y --=被圆C ：22
240x y x y +--=截得的弦AB 的长。

(2)若直线2=-y x 被圆4)(2
2=+-y a x 所截得的弦长为22,则实数a 的值为（ ） A 1-或3 B 1或3 C 2-或6 D 0或4
(3)若一直线过M )2
3
,3(--且被圆2522=+y x 截得的弦长为8，则这条直线的方程是（ ）A ．3-=x B ．3-=x 或2
3
-=y C ．01543=++y x D ．01543=++y x 或3-=x 题型五：位置关系问题 1、 点与圆
例1、对于任意实数k ，直线(32)20k x ky +--=与圆22
2220x y x y +---=的位置关系是_________ 2、 直线与圆
例2、若圆2
2
2
2220x y x y k +-++-=上有且仅有两点到直线43110x y +-=的距离等于1，则正数k 的取值范围为___________。

练一练：(1)由点P(0,1)引圆x 2+y 2=4的割线l ，交圆于A,B 两点，使ΔAOB 的面积为2
7（O 为原点），求直线l 的方程。

(2)直线y x m =-+与圆2
2
1x y +=在第一象限内有两个不同交点，则m 的取值范围是 （ ）
()A 0m <<()B 1m <<()C 1m ≤≤()D m <<(3)过直线x －2y+4=0和圆x 2+y 2+2x －4y+1=0的交点，且面积最小的圆的面积。

3、圆与圆（公共弦所在直线方程）
例3、已知两圆04026,010102
222=--++=--+y x y x y x y x ，求（1）它们的公共弦所在直线的方程；（2）公共弦长
练一练：(1)两圆229x y +=和22
8690x y x y +-++=的位置关系是（ ） A 相离 B 相交 C 内切 D 外切
(2)圆C 1：04
1
222=+
+++y x y x 与C 2：0sin 2sin 2222=+--+θθy x y x 圆外切，
则θ为( ) A.6π- B. 67π C. )(62Z k k ∈-ππ D. 6
2π
π-k 或)(672Z k k ∈+ππ
题型六：对称问题 1、 关于点对称
例1、 圆2
2
(2)5x y ++=关于原点(0,0)P 对称的圆的方程为 ( )
A 22
(2)5x y -+=B 22
(2)5x y +-=C 22
(2)(2)5x y +++=D 22
(2)5x y ++=
2、 关于直线对称
例2、圆2
2
2690x y x y +--+=关于直线250x y ++=对称的圆的方程是 （ ）
()A 22(7)(1)1x y +++= ()B 22(7)(2)1x y +++= ()C 22(6)(2)1x y +++=
()D 22(6)(2)1x y ++-=
题型七：半圆与直线的交点问题
例1．若直线y=x+b 与曲线y=21x -恰有一个公共点，则（ ） A b=2或b=-2B ．b=2或b=-1 C ．1<b ≤
2或b=-1 D ．–1≤b<1或b=2
题型八：
例1、 曲线C:cos 1sin x y =⎧⎨
=-+⎩θ
θ
(θ是参数) 若曲线C 与直线x +y +a =0有公共点，则实数a
的取值范围是__________.
练一练：(1)已知x,y 满足x 2+y 2=4，恒有3x+4y+c ≥0成立，则c 取值的范围?
(2)若过定点)0,1(-M 且斜率为k 的直线与圆0542
2=-++y x x 在第一象限内的部分有交点，则k 的取值范围是（ ） A 50<
<k B 05<<-k C 130<<k D 50<<k
(3)动圆222
(42)24410x y m x my m m +-+-+++=的圆心的轨迹方程是
(4)圆C ：02
2=++++F
Ey Dx y x 的外有一点00(,)P x y ，由点P 向圆引切线的长______ (5)方程1x -= ）
A 一个圆
B 两个半圆
C 两个圆
D 半圆
(6)已知直线x+2y-3=0交圆x 2+y 2+x-6y+F=0于点P,Q 两点，问F 为何值时，OP ⊥OQ 。