高一数学人教A版必修2导学案：3-3-1两条直线的交点坐

3．3.1 两条直线的交点坐标
1．了解两条直线的交点坐标是它们的方程组成的方程组的解．
2．会用方程组解的个数判定两条直线的位置关系．
两条直线的交点坐标
(1)求法：两个直线方程联立组成方程组，此方程组的解就是这两条直线的交点坐标，因此解方程组即可．
(2)应用：可以利用两条直线的__________判断两条直线的位置关系．
一般地，将直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的方程联立，得方程组
⎩⎪⎨⎪⎧
A 1x ＋
B 1y ＋
C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0. 当方程组________解时，l 1和l 2相交，方程组的解就是交点坐标；
当方程组____解时，l 1与l 2平行；
当方程组________解时，l 1与l 2重合．
若两个直线方程组成的方程组有解，则这两条直线不一定相交，还可能重合．
【做一做1】 直线x ＝1与直线y ＝2的交点坐标是( )
A ．(1,2)
B ．(2,1)
C ．(1,1)
D ．(2,2)
【做一做2】 直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，当l 1与l 2平行时，方程组⎩⎪⎨⎪⎧
A 1x ＋
B 1y ＋
C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0解的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2
D ．无数个
答案：(2)交点个数 有惟一 无 有无数组
【做一做1】 A
【做一做2】 A
1．利用直线方程的一般式，判断两条直线的位置关系
剖析：设l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.
利用直线平行或垂直时，斜率之间的关系，可以得到如下结论：
(1)l
1∥l 2A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2；l 1∥l 2⎩⎪⎨⎪⎧
A 1
B 2＝A 2B 1，A 1
C 2≠A 2C 1(或B 1C 2≠B 2C 1). (2)l 1与l 2相交A 1A 2≠B 1B 2；l 1与l 2相交A 1B 2≠A 2B 1.
(3)l 1与l 2重合A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2；l 1与l 2重合⎩⎪⎨⎪⎧ A 1B 2＝A 2B 1，B 1C 2＝B 2C 1，
A 1C 2＝A 2C 1.
(4)l 1⊥l 2A 1A 2＋B 1B 2＝0.
2．直线系方程
剖析：具有某一共同属性的一类直线的集合称为直线系，表示直线系的方程叫做直线系方程．直线系方程的特点是除含坐标变量x ，y 以外，还含有特定系数(也称参变量)．
(1)共点直线系方程：经过两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0，其中λ是待定系数．在这个方程中，无论λ取什么实数，都得不到A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，因此它不能表示直线l 2.
(2)平行直线系方程：与直线A x ＋B y ＋C ＝0平行的直线系方程是A x ＋B y ＋λ＝0(λ≠C)，λ是参变量．
(3)垂直直线系方程：与A x ＋B y ＋C ＝0(A ≠0，B ≠0)垂直的直线系方程是B x －A y ＋λ＝0.
(4)特殊平行线与过定点(x 0，y 0)的直线系方程：当斜率k 一定而m 变动时，y ＝kx ＋m 表示斜率为k 的平行直线系，y －y 0＝k (x －x 0)表示过定点(x 0，y 0)的直线系(不含直线x ＝x 0)．
在求直线方程时，可利用上述直线系方程设出方程，再利用已知条件求出待定系数 ，从而求出方程．
3．直线恒过定点问题
剖析：当直线的方程中含有未知参数时，随着参数的变化，直线也发生变化，这些直线组合在一起，构成直线系，它们通常具有相同的某一特征．如果直线系恒过定点，可用分离参数法和赋值法进行求解．如直线(2＋m)x －(1＋2m)y ＋(1＋5m)＝0，其中m ∈R ，我们可以将所给方程的左边分成两部分，一部分含m ，另一部分不含m ，即(2x －y ＋1)＋m(x －2y ＋
5)＝0，然后由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋1＝0，x －2y ＋5＝0，求得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1，y ＝3，这样就能得到不管m 如何变化，直线一定经过的定点(1,3)，这种方法称为分离参数法．也可根据m 的任意性，给m 取两个特殊值，如
令m ＝0，得2x －y ＋1＝0，令m ＝1，得3x －3y ＋6＝0，由方程组⎩
⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋1＝0，3x －3y ＋6＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1，y ＝3，得到直线恒过的定点(1,3)，这种方法称为赋值法．这两种方法的依据都是恒过的定点一定是其中两条直线的交点，解方程组即得交点坐标．
题型一：判断两条直线的位置关系
【例1】 判断直线l 1：x －2y ＋1＝0与直线l 2：2x －2y ＋3＝0的位置关系，如果相交，求出交点坐标．
反思：可以利用两个直线方程组成的方程组解的个数来判断两条直线的位置关系．当方
程组无解时，两条直线平行；当方程组仅有一解时，两条直线相交；当方程组有无数组解时，两条直线重合．
题型二：已知两条直线的位置关系求参数的值
【例2】 已知直线l 1：x ＋m y ＋6＝0和直线l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，试分别求实数m 的值：
(1)l 1⊥l 2 (2)l 1∥l 2 (3)l 1与l 2重合 (4)相交．
反思：直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，
当A 1B 2－A 2B 1＝0，C 1B 2－C 2B 1＝0，A 1C 2＝A 2C 1时，l 1与l 2重合；
当A 1B 2－A 2B 1＝0，C 1B 2－C 2B 1≠0时，l 1∥l 2；
当A 1A 2＋B 1B 2＝0时，l 1⊥l 2；
当A 1B 2－A 2B 1≠0时，l 1与l 2相交．
题型三：易错辨析
易错点 对两条直线平行的条件把握不准确
【例3】 直线l 1：3x ＋2＝0，直线l 2：4x －5＝0，则l 1与l 2的位置关系是( )
A ．平行
B ．相交
C ．重合
D ．异面
错解：直线l 1的方程中，A 1＝3，B 1＝0，C 1＝2，直线l 2的方程中，A 2＝4，B 2＝0，C 2＝－5，则A 1B 2－A 2B 1＝0，B 1C 2－B 2C 1＝0，于是l 1与l 2重合，故选C.
错因分析：错解中忽视了验证A 1C 2－A 2C 1的值是否等于0.
反思：当A 1B 2－A 2B 1＝0，A 1C 2－A 2C 1≠0时，l 1∥l 2；当A 1B 2－A 2B 1＝0，B 1C 2－B 2C 1≠0时，l 1∥l 2；当A 1B 2－A 2B 1＝0，B 1C 2－B 2C 1＝0，A 1C 2－A 2C 1＝0时，l 1与l 2重合．当然本题借助于图形来解最简单．
答案：【例1】 解：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧
x －2y ＋1＝0，2x －2y ＋3＝0，得x ＝－2，y ＝－12， 所以直线l 1与l 2相交，交点坐标是⎝
⎛⎭⎫－2，－12. 【例2】 解：(1)由题意得1×(m －2)＋m ×3＝0，解得m ＝12
. (2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧
1×3－(m －2)m ＝0，m ×2m －3×6≠0， 解得m ＝－1.
(3)由题意得⎩
⎪⎨⎪⎧ 1×3－(m －2)m ＝0，m ×2m －3×6＝0，解得m ＝3. (4)由题意得1×3－m (m －2)≠0，解得m ≠－1且m ≠3.
【例3】 A
1．直线2x ＋3y ＋8＝0和直线x －y －1＝0的交点坐标是( )
A ．(－2，－1)
B ．(－1，－2)
C ．(1,2)
D ．(2,1)
2．已知两条直线l 1：a x ＋3y －3＝0，l 2：4x ＋6y －1＝0.若l 1与l 2相交，则实数a 满足的条件是__________．
3．直线(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0与直线(a＋2)x＋(2a＋3)y＋2＝0不相交，则实数a＝__________.
4．判断直线l1：3x＋2y－2＝0与直线l2：x－2y－3＝0的位置关系．如果相交，求出交点坐标．
5．求经过两条直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线l的方程．
答案：1．B 2.a≠2 3.－2或－2 3
4．解：解方程组
3220,
230,
x y
x y
+-=
⎧
⎨
--=
⎩
得x＝
5
4
，y＝－
7
8
.
所以直线l1与l2相交，交点坐标为
57
,
48⎛⎫
-
⎪⎝⎭
.
5．解：由方程组
2330,
20,
x y
x y
--=
⎧
⎨
++=
⎩
解得
3
,
5
7
.
5
x
y
⎧
=-
⎪⎪
⎨
⎪=-
⎪⎩
∵所求直线l和直线3x＋y－1＝0平行，∴直线l的斜率k＝－3，根据点斜式可得
y－
7
5
⎛⎫
- ⎪
⎝⎭
＝－3
3
5
x
⎡⎤
⎛⎫
--
⎪
⎢⎥
⎝⎭
⎣⎦
，
即所求直线方程为15x＋5y＋16＝0.。