正方形格点阵中多边形面积的计算公式

正方形格点阵中多边形面积的计算公式，出现在各种形状的格点阵中的直线形的面积问题，以及借助构造格点阵求解的几何问题．通过恰当地分割与拼补进行计算的面积问题．
1．如图6-1，每一个小方格的面积都是
：正方形格点阵中多边形面积公式：
为图形内格点数，L为图形周界上格点数．
，则用粗线围成图形的面积为：
②=2÷2=1，③=2÷2=1，④=2÷2=1，⑤=2÷2=l，⑥=2÷2=1，还有三个小正方形，所
1.5+l+1+1+1+1+3=9.5，而整个格点阵所围成的图形的面
16-9.5=6.5平方厘米．
2．如图6-2，如果每一个小三角形的面积是1平方厘米，那么四边形ABCD的面积是多少平方厘米?
【分析与解】方法一：正三角形方形格点阵中多边形面积公式：(2N+L-2)x单位正三角形面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数．
有N=9，L=4，所以用粗线围成的图形的面积为：(9×2+4-2)×1=20(平方厘米)．
方法二：如下图，我们先数出粗实线内完整的小正三角形有10个，而将不完整的小正三角形分成4部分计算，其中①部分对应的平行四边形面积为4，所以①部分的面积为2，②、③、④部分对应的平行四边形面积分别为2，8，6，所以②、③、④部分的面积分别为1，4，3．所以粗实线内图形的面积为lO+2+1+4+3=20(平方厘米)．
3.如果图6-3是常见的一副七巧板的图，图6-4是用这副七巧板的7块板拼成的小房子图，那么，第2块板的面积等于整幅图的面积的几分之几?第4块板与第7块板面积的和等于整幅图的面积的几分之几?
【分析与解】
设整个七巧板组成的正方形的边长为
块板面积和为整幅图面积
：如右图，我们将图6-5分成若干个大小、形状完全相同的小
，而由27块小正三角形组成了图中最大的正三
，所以每块为
1
120
，那么原来的正三角形由
中的三角形分成A、B、
两种正三角形的面积依次为“1
9
”、“
1
81
种正三角形的个数依次为1，3
．所以有“1”对应27
40
，而原来的正三角形即为三角形
5．如图6-6，正六边形ABCDEF的面积是6
分成大小、形状相同的三角形，
包含有9个小正三角形．
6．把同一个三角形的三条边分别五等分、七等分，适当连接这些分点，便得到了若
【分析与解】在图个小正三角形，而阴影部分含有个小正三角形，所以每个小正三角形的面积为所以原正三角形的面积为5×25=612.5(平方分米
而在图6-8中，原正三角形被分成块，所以阴影部分的面7．图6-9是5×5的方格纸，小方格的面积是
个点可以组成一个七边形，适当的切去正方形
个角可以得到一个六边形，切去
3×0.5=23.5(
，将原题中图形分为12个完全一样的小等腰三角形．
其中阴影部分占
S
ABC
=9×9÷2=40，所以阴影部分的面积为40.5÷9×6=27(平方厘米
方法二：
DG=DF-FG=9-3=6(S
HIG =
1
4
×
有BF=AD=DG=6(
方法三：如图(C)，为了方便叙述，将图中某些交点标上字母．
易知三角形BIE、CGF、AIH
先求出等腰直角三角形AHI再用已知的等腰三角形ABC的面积与其作差，即为需求阴影部分的面积．
S
ABC =
DEF
S=
1
2
×EF
CGF
S=
1
2
×CF×FG=
因为CF=FG=3，所以
ACD S DGH S =1
4
A I H S =DGH S =9，S ABC -CGF S -AIH S =812 -9
2
-9=27(
即阴影部分的面积为
ADFO 的面积，再将其减去两个三角形AOD 、ODF 的面积和． AOD S =14S 矩形ODF S =12×DF×(AEO S =12×AE×(EFD S =12×ED×DF=有S 阴影=(AOD
S +ODF
S
)-AEO
S
-EFD
S
=60+15-12-24=39(
10．如图6-12，大正方形的边长为10将小正方形每边三等分，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连，那么图中阴影
如下图，我们将大正方形中的所有图形分成个，其中阴影部分含有
厘米的正方形，梯形16平方厘米，则梯形
个三角形的面积分别记为①、②、③、④．
同底等高，所以有EBD
S =ABD
S
，即③+②=①+②．B O D
S
-AOE
S
=16，有(①+②)-(③+④)
ABD S
=
1
2
×8×8=32，所以③+④=(①+②)所以有S 梯形
中，两条对角线将其分成四个部分，记它们的面积为“上”、2．
12．如图6-14，ABCD 是长方形，长AD 等于HC=BC-BH=7.2-3=4.2，所以CDH S =12×CD×HC=
S 阴影=S 平行四边形-CDH
S =36-10.5=25.5(
13．如图6-15，已知一个四边形的两条边的长度和三个角，那么这个四边形的面积是多少?
延长交于E ，有∠EDC=45°，∠°，所以△ABE 也是等腰直角三角形，有ABE S =12×AB×EA EDC S =12×EC×DC=ABCD S 四边形=ABE S -EDC S =492-9
2
=20．
14．图6-16是边长为1的正方形和一个梯形拼成的“火炬”．梯形的上底长A 为上底的中点，B 为下底的中点，线段AB 恰好是梯形的高，将前者与后者做差所得到的值即为所AFH S
=
12×AH 0.5+1)-（1
2
×1）=0.375
AFH S
-AHED S 梯形平方米．
AJI S +AKC S +AIF S +ACD S
=0.75×0.5÷2+O .75×O .5÷2+l×O .5÷2+1
15．从一块正方形木板锯下宽为12米的一个木条以后，
为宽，有长与宽的差为1
2
，所以图(c)中心的小正方形边长为
×4+1
2
×
1
2
=
529
36
=
23
6
×
23
6
，所以AK长为。