安徽专升本2007年高数真题

绝密★安徽省2007年普通高等学校专升本招生考试
高等数学
注意事项：
1．本试卷共8页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上。

2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，满分30分。

每小
题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的
字母填在题后的括号内。

1．下列各结函数中表示同一函数的是 （ ） A ． )tan(arctan )()(x x g x x f ==与 B ．)1lg(2)()1lg()(2+=+=x x g x x f 与
C ．1
1)(1)(2--=+=x x x g x x f 与 D ．2
2)(2
2
)(+-=+-=
x x x g x x x f 与
2．设均存在，则及)]()([lim )]()([lim x g x f x g x f a
x a
x -+→→ ( ) A ．不存在存在，)(lim )([lim x g x f a
x a
x →→ B ．存在不存在，)(lim )(lim x g x f a
x a
x →→
C ．存在存在，)(lim )(lim x g x f a
x a
x →→ D ．不存在不存在，
)(lim )(lim x g x f a
x a x →→ 3．当的是无穷小量时，无穷小量x x x x -→320 ( )
A ．高阶无穷小
B ．等价无穷小
C ．低阶无穷小
D ．同阶无穷小 4．=+)(2
x
x
e d ( )
A ．dx x )12(+
B ．dx e x x
x
++2
)12( C ．dx e x
x
+2
D ．)()12(2
x
x
e d x ++
5．若函数)(,0)(0)(,)(x f y x f x f b a x f y =>''>'=则曲线且）内有在区间（在此区间内是
( ) A ．单减且是凹的 B ．单减且是凸的 C ．单增且是凹的 D ．单增且是凸的
6．设⎰=++=)(,11
)(x f C x
dx x xf 则 ( ) A ．
x x +1 B ．2)1(1x x +- C ．2
)1(1x +- D ．2)1(x x + 7．由直线x y x x x y 轴围成的图形绕轴及,1,1=+=轴旋转一周所得的旋转体积 为 ( )
A ．π3
7
B ．
3π C ．π3
4
D ．π38
8．设进行的是矩阵，由下列运算可以为矩阵，为43B 34⨯⨯A （ ）
A ．
B A + B ．T BA
C ．AB
D ．T
AB
9．四阶行列式第二行的元素依次为1,-2,5,3，对应的余子式的值依次为4，3，2，9，则该行列式的值为 （ ） A ．35 B ．7 C ．-7 D ．-35
10．设则有，若概率为互不相容的两个事件,0)(,0)(,>>B P A P B A （ ） A ．0)|(>A B P B ．)()|(A P B A P = C ．)()()(B P A P AB P ⋅= D ．0)|(=B A P
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，满分30分，把答案填在题中横线上。

11．由参数方程==⎩⎨⎧-=+=dx dy
x y y t
t y t x 则所确定的函数),(arctan )1ln(2_____________.
12．的值等于]ln )1[ln(lim n n n n -+∞
→________ .
13．微分方程2|0==-'=x x y e y y 满足初始条件的特解为___________. 14．设⎰⎰
==102
,),(x x I dy y x f dx I 改换积分次序后，___________.
15．幂级数=+∑∞
=R x n n n n
的收敛半径11
22__________.
16．设=∂∂+∂∂==++=y
u
x u y x y x u 时，，当1)1ln(32__________.
17．⎰
=++dx x 1
11_________.
18．矩阵_________231111211的值等于，则的秩为x x ⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛--.
19．设矩阵方程=⎪
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==X B A B XA 则其中,012001,9574,_________.
20．设随机变量ξ的分布列为,5,4,3,2,1,15
)(===ξk k
k P 则概率=>ξ)3(P .
三、计算题：本大题共9个小题，其中第21-27小题每题7分，
第28-29小题每题8分，共65分。

解答应写出文字说明，计算应写出必要的演算步骤。

21
．求极限⎰
⎰-→x x x dt
t t t dx
t 0
2/30
)sin
(lim
2.
22．求函数阶导数的n x y )1ln(-=.
23．计算不定积分⎰+-dx x x x
x ）（ln 212
.
24.计算定积分⎰-++1
1
22)1(dx x x .
25．判别无穷级数 +⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+12
9637
531963531633131的敛散性.
26．设函数.,,00
01sin )(22的值处可导，求常数在c b a x x c bx ax x x x x x f =⎪⎩
⎪⎨⎧
≤++>+=
27．计算二重积分⎰⎰≤+≤=+D
y x y x y x D dxdy e
}41|),{(,222
2其中.
28．求解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+-=-+-4
8733375221
24321
43214321x x x x x x x x x x x x .
29．设随机变量ξ密度函数为.,)(+∞<<-∞=-x Ae x p x
求：（1）常数A ;
（2）ξ落在（，∞）内的概率； （3）数学期望E ξ,方差D ξ
四、证明与应用题：本大题共3小题，第30-31题每题8分，第32题9分，共25分。

30．证明：当2
2)1(ln )1()1,0(x x x x <++∈时，
.
得 分
得 分 评卷人
得 分
31．设，为正整数满足阶方阵)(k O A A n k =
证明:1
)(---），并求（阶单位阵为可逆A E n E A E .
32．在第一象限内，求曲线上一点，1222=+y x 使在该点处的切线与曲线及两个坐轴所围成的面积最小，并求最小值.
绝密★启用前安徽省2008年普通高等学校专升本招生考试
高等数学
注意事项：
1．本试卷共8页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上。

2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，满分30分。

每小
题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的
字母填在题后的括号内。

1．函数)1(log 322++-=x x y 的定义域为 （ ）
A ． ]3,0[
B ．]3,1[-
C ．]3,1(-
D ．),3[+∞ 2．设函数1
1)(1
1+-=x x
e e x
f ，则x =0是)(x f 的 ( )
A ．可去间断点
B ．跳跃间断点
C ．无穷间断点
D ．振荡间断点
3．当+
→0x 时，无穷小量dt t x f x ⎰
=
20
sin )(是无穷小量x 3的
（ ） A ．高阶无穷小量 B ．低阶无穷小量
C ．同阶但非等价无穷小量
D ．等价无穷小量
4．若函数13)(2
3
+-=x x x f 在区间]2,1[上 ( ) A ．单调增加且凹 B ．单调增加且凸 C ．单调减少且凹 D ．单调减少且是凸
5．已知,2)(0='x f 则=--+→h
h x f h x f x )
()(lim 000 ( )
A ．4
B ．41
C ．2
D ．2
1
6．设⎰
⎰
=
x x
dy y x f dx I ),(10
，交换积分次序得=I （ ）
A ．⎰
⎰y
y
dx y x f dy
),(10
B ．⎰⎰y
y
dx y x f dy 2),(1
C ．
⎰
⎰10
10
),(dx y x f dy D ⎰
⎰2),(1
y y
dx y x f dy
7．设==X C AXB B A n X C B A 则成立且有可逆阶矩阵，均为,,,,,, （ ）
A ．1
1
--CB A B ．11--CA B C ．C B A 11-- D ．1
1--B CA 8．设A 是二阶可逆矩阵，且已知⎪⎭
⎫
⎝⎛=-4321)2(1T A ，其中T A 为A 的转置矩阵，则A= ( )
A ．⎪⎭⎫
⎝⎛43212 B ．⎪⎭
⎫ ⎝⎛432121 C ．1
42312-⎪⎭⎫
⎝⎛ D ．1
423121-⎪⎭⎫ ⎝⎛ 9．将两个球随机地投入四盒子中，则后面两个盒子中没有球的概率为 ( )
A ．
31 B ．4
1
C ．61
D ．121
10．设随机变量X 服从正态分布),2(2
σN ,且4.0}42{=<<X P ,则概率}0{<X P 等于 ( )
A ．0.6
B ．0.3
C ．0.2
D ．0.1
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，满分30分，把答案填在题中横线上。

11．=+∞→)sin 1
2sin
(lim x x
x x x _____________.
12．曲线1ln =+y xy 在点M (1，1)处的切线方程是________ .
13．函数x x x f +=3
)(在[0，1]上满足拉格朗日中值定理的ξ= ． 14．=++⎰-1
12)cos 1|(|dx x x x x ___________.
15．设)(22
y x e z x -=，则全微分===|1
0y x dz __________.
16．级数∑∞
=⋅1
3n n
n
n x 收敛域为__________. 17．矩阵⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+22102012t t t t ，且A 的秩为2，则常数t =__________.
18．矩阵⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=723312211A ，则=|2|T AA _________.
19．设随机变量X 服从二项分布B(20，p ),且数学期望E (2X +1)=9,则p =_________.
20．已知6.0)(,2.0)(==B A P A P , 则)|(A B P = ．
三、解答题：本大题共11个小题，其中第21-26小题每题7分，第27-29小题每题8分，第30-31小题每题12分，共90
分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

21
．已知1)](1
1[lim 2=+-++∞→b ax x x x ,求常数
a ,
b .
22．设函数2)(sin x x y =,求y '．
23．求不定积分⎰+dx x 22
sin 1）（.
24.计算⎰∞+e dx x
x 12|
ln |.
25．求微分方程x
y x y dx dy -=2)(满足条件1|1==x y 的特解.
26．设.
),ln(y z
y x z x y x z ∂∂
+∂∂-=求
27．求二重积分
⎰⎰≤≤≤+=+D x y x y x y x D dxdy y x }0,2|),{(,2222其中积分区域.
28．已知线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=++=+a x x x x x x x x 3
213212137533
2,问a 取何值时该线性方程组有解?在有解时
求出线性方程组的通解.
29．已知4321,,,αααα为n 维向量,且秩(321,,ααα)=2, 秩(432,,ααα)=3.证明:
（1）1α能由32,αα线性表示;
（2）4α不能由321,,ααα线性表示.
30．已知连续型随机变量X 的分布函数为 ⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-+-≤=1
,1.11,
)1(1,0)(2x x x C x x F 求: (1) 常数C ; (2) X 的概率密度)(x f ;(3)概率P {X > E (X )}．
?
,
)2(
. ;
)1(
.1
,
,0
3
,
1
,
3
.
31
2 1
2 2
1
12
2
2
1
取得最大值为何值
问当
体积
轴旋转而成的旋转体的
绕
体积
轴旋转而成的旋转体的
绕
试求
其中
所围成的平面区域
和直线
是由抛物线
所围成的平面区域
及
和直线
是由抛物线设
V
V
a
V y
D
V
x D
a
a
x
y
x
y
D
y
x
a
x
x
y
D
+
<
<
=
=
=
=
=
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=。