高考数学-14-2排列与组合课件-人教版

• 3．(2010·北京，4)8名学生和2位老师站成一排合影，2位 老师不相邻的排法种数为( )
• A．A88A92
B．A88C92
• C．A88A72
D．A88C72
• [解析] 不相邻问题用插空法，8名学生先排有A88种，产 生9个空，2位老师插空有A92种排法，所以最终有A88·A92种 排法．故选A.
• (3)排列与组合的共同点与区别：两者都是从n个不同元素 中取出m(m≤n)个元素，这是排列、组合的共同点．两者的 不同点是，排列与元素的顺序有关，组合与元素的顺序无关．
• 4．组合数的定义和组合数公式
• (1) 从 n 个 不 同 元 素 中 取 出 m(m≤n) 个 元 素 的
所有不同组合的个数 ，叫ห้องสมุดไป่ตู้从n个不同元素中取出m个元
n！ n－m！.
• 全排列数公式：Ann＝n(n－1)(n－2)…3·2·1＝n！.也叫做 n的阶乘．
• (3)记住下列几个阶乘：0！＝1,1！＝1,2！＝2,3！＝6,4！ ＝24,5！＝120,6！＝720,7！＝5040.
• 3．组合的定义
• (1)一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组 ，叫做从n个不同元素中取出m个元素的 一个组合． • (2)只要两个组合的 元素相同 ，不论元素的顺序如何， 都是 相同的组合．
(5)由于甲站在乙的左边(可不相邻)和甲站在乙的右边的 排法数相同，故共有A277＝2520 种排法．也可以就甲的站法 分为 6 类，所求排法数为 A55(6＋5＋4＋3＋2＋1)＝2520 种．
(6)甲站在中间，只有一种排法．把乙、丙看成一个整体， 当成一个元素，在甲的左、右两边各有两个位置让他们排， 故共有 C41A22A44＝192 种排法．
• 此外，对于分类较多、限制条件较多等情形可用间接法， “正难则反”是处理较复杂排列问题的一个重要策略．
• 3名男生4名女生排成一列，求满足下列不同要求下的排法 数． • (1)甲、乙两人不能排在一起； • (2)甲不在最左边，乙不在最右边； • (3)男生站在一起，女生也站在一起； • (4)男女生相间； • (5)甲必须站在乙的左边(可不相邻)；
• (2)分成3堆，每堆分别为2本，3本，4本；
• (3)分给甲2本，乙3本，丙4本；
• (4)分给甲、乙、丙3人，其中甲、乙各得2本，丙得5本；
• (5)分给甲、乙两人各1本，丙、丁两人各2本，戊3本；
[解] 不妨把 9 本书记为 A、B、C、D、E、F、G、H、K. (1)先从 9 本书中取 3 本作一堆，再从剩下的 6 本书中取 3 本作一堆，最后 3 本作一堆，共有 C93C63C33 种分堆方法，但这 里面有重复．若第一步取了 ABC，第二步取了 DEF，第三步取 了 GHK，记作(ABC，DEF，GHK)，那么 C93C63C33 种分法中还 包括了(ABC，GHK，DEF)，(DEF，ABC，GHK)，(DEF，GHK， ABC)，(GHK，ABC，DEF)，(GHK，DEF，ABC)，共 A33 种情 况，其实都只能作为同一种分法．故共有C93AC6333C33＝280 种分法．
• [点评与警示] 本题是一个分堆，分配问题，解决的关键 是要搞清事件是否与顺序有关，前者堆与堆之间只要元素个 数相同是不可区分的，而后者则即使两组元素个数相同，但 因组不同，仍然是可区分的．解决这类问题的方法是以位置 为主，或以元素为主，或先分堆后排列．注意平均分堆问题 要除以堆数的全排列数，不平均分堆则不需要除，避免产生 计数的重复或遗漏．
• (7)先在7个位置上任取4个位置排男生，有A74种排法，剩 下3个位置排女生，因要求“从矮到高”，只有一种排法， 故共有A74·1＝840种排法．
• [点评与警示] “站队问题”是排列中具有典型意义的问 题．在解答有关排列问题的应用题时，要遵循“先分类后分 步”、“先特殊后一般”、“先选元后排队”等原则．对受 条件限制的特殊元素或特殊位置，一般采用直接法，即特殊 者优先考虑，再考虑一般的元素和位置．对于必须相邻的元 素通常采用”捆绑“法，即可以把相邻元素看作一个整体再 与其他元素进行排列，注意相邻元素之间是否还要排列，即 “松绑”．对于元素不相邻的排列，通常采用“插空法”， 即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前 面已排好的元素之间的空档中或两端．
• (2)分为三步：第一步从9本书中选2本，有C92种选法，第 二步从余下的7本书中选3本，有C73种选法，最后余下的四 本 全 选 ， 有 C44 种 选 法 ， 由 分 步 乘 法 计 数 原 理 ， 共 有 C92C73C44＝1260种方法．
• (3)先从9本书中取2本给甲，再从余下的7本书中取3本给乙
(4)先排女生，有 A44 种排法，此时她们之间及两端共有 5 个空位让 3 名男生排，有 A53 种排法，从而共有 A44A53＝ 1440 种排法．
(5)解法一：先将 7 人进行全排列，其中甲、乙、丙在任 何三个位置上的全排列数 A33 种中只有一种合乎要求，故所
• 解法二：由于甲、乙、丙顺序一定，故只需在7个位置中 任选4个位置让其余4人进行排列即可，故所求不同的排列数 为A74＝840. • (6)先选3人排在甲、乙之间，有A53种排法，而甲、乙之间 有A22种排法．再把这5人看成一个整体，当成一个元素与剩 余2人进行全排列，有A33种排法．故共有A53·A22·A33＝720种 排法．
(7)个子最高的人站在正中间，只有一种方法．从剩下 6 人中任取 3 人去排最高个的左边，由于一个比一个矮，因而 有3A！63种方法，剩下的 3 人排在最高个的右边，只有 1 种方 法，所以共有3A！63＝20 种方法．
•
有9本不同的书．下列情况各共有多少种不同分法？
• (1)分成3堆，每堆3本；
• A．360
B．188
• C．216
D．96
• [解析] 本小题考查排列综合问题，基础题．
• 解法一：6位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生 相邻的排法有A33C32A42A22＝332种，其中男生甲站两端的有 A21A22C32A32A22＝144，符合条件的排法故共有188. • 解 法 二 ： 由 题 意 有 2A22·(C32·A22)·C21·C31 ＋ A22·(C32·A22)·A42＝188，选B. • [答案] B
• 有9本不同的书，下列情况各有多少种不同分法？ • (1)分给3个人，每人3本； • (2)分给甲、乙、丙3人，一人3本，一人4本，一人2本； • (3)分成3堆，其中有2堆各2本，另一堆5本； • (4)分成的本数分别为1,1,2,2,3的五堆； • (5)摆在3层书架上，每层3本．
[解] (1)在例 1 的基础上再分配，共有C93AC6333C33·A33＝ 1680 种方法．
• (6)若7人身高均不相同，要求正中间的个子最高，从中间 向两边看，一个比一个矮；
• (7)甲必须站在中间，并且乙、丙两位同学要站在一起．
• [解] (1)先排其余5人，有A55种排法，此五人之间及两端 有 6 个 位 置 让 甲 、 乙 去 排 ， 有 A62 种 排 法 ， 故 共 有 A55A62 ＝ 3600种排法．
素的 组合数
，用符号Cnm表示．
(2)组合数公式：Cnm＝AAmnmm ＝nn－1n－m2！…n－m＋1＝m！nn！ －m！. 5．组合数的性质 (1)Cnm＝Cnn－m；(2)Cn＋1m＝Cnm＋Cnm－1； (3)rCnr＝nCn－1r－1.
• 1．(2009·四川卷理)3位男生和3位女生共6位同学站成一排 ，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻， 则不同排法的种数是( )
• [答案] A
• 3名男生4名女生排成一列．求满足下列不同要求下的 排法数． • (1)甲、乙两人排在两头； • (2)甲、乙两人必须排在一起； • (3)男生必须排在一起； • (4)男生互不相邻；
• (5)甲、乙、丙三人自左而右的顺序保持不变；
• (6)甲、乙两人之间恰有3人；
• (7)若7人高矮互不相同，要求从左到右，女生从矮到高排 列．
• 1．排列的定义
• (1)一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照 一定的顺序 排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素 的 一个排列．
• (2)两个排列相同，当且仅当两个排列的 元素完全相同 ， 且元素的 排列顺序也相同．
• (3)n个不同元素 全部取出 个元素的一个全排列．
的一个排列，叫做n
• [解] (1)先排甲、乙两人，共有A22种排法，其余5人有A55 种排法，故共有A22A55＝240种排法． • (2)将甲、乙两人看成一个元素，与其余5人一起进行全排 列，有A66种排法，又甲、乙两人之间有A22种排法，故共有 A66A22＝1440种排法．
(3)将 3 名男生看成一个整体，当成一个元素，与 4 名女 生先进行全排列，有 A55 种排法，而男生之间有 A33 种排法．故 共有 A55A33＝720 种排法．
• 综上所述，共有A51·A51A55＋A66＝3720种排法． • 解法三：7个人的全排列，有A77种排法，其中甲在最左边 时有A66种排法，乙在最右边时有A66种排法，这两种情形都 包含了甲在最左边，乙在最右边的情形，此时有A55种排法 ，故共有A77－2A66＋A55＝3720种排法．
• (3)分别将3名男生，4名女生看成一个元素，其排法有A22 种排法，而男生间的排法有A33种，女生间的排法有A44种， 故共有A22A33A44＝288种排法． • (4)3名男生、4名女生要求男女生相间排列，是指“女男 女男女男女”，故共有A33A44＝144种排法．
• 2．排列数的定义和排列数公式
• (1) 排 列 数 ： 从 n 个 不 同 元 素 中 取 出 m(m≤n) 个 元 素 的 所有不同排列的个数 叫做从n个不同元素中取出m个元素 的 排列数 ，用符号Anm表示．
(2) 排 列 数 公 式 ： Anm ＝ n(n － 1)(n － 2)…(n － m ＋ 1) ＝
• 2．(2011·惠州二模)从4名男生和3名女生中选出4人参加迎 新座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，不同的选法 共有
•( )
• A．140种
B．120种
• C．35种
D．34种
• [解析] 由题意，可分为三种情况：1男3女，2男2女，3男 1女，其选法分别为C41C33，C42C32，C43C31，故共有C41C33 ＋C42C32＋C43C31＝34种选法，故选D. • [答案] D
(3)由例 2(1)可知共有C92CA7222·C55＝378 种分法． (4)由例 2(1)可知共有C91C28！1C272！C52C33＝3780 种分法． (5)即 9 本书放在 9 个位置上，共有 A99＝362880 种方法．
另解：从 9 本书中任选 3 本书给第 1 个人，有 C93 种给 法，再由剩下的 6 本书中选 3 本给第 2 个人，有 C63 种给法， 最后 3 本书给第 3 个人，有 C33 种给法，故共有 C93C63C33＝ 1680 种给法．
(2)由于甲、乙、丙是不同的三个人，因此在例 2(2)的基 础上，还应考虑再分配问题．故共有 C92C73C44A33＝7560 种 方法．
• (2)解法一：先排最左边，让除了甲之外的6人中的一人去 排，有A61种排法，其余6个位置的全排列有A66种排法，其中 乙排在最右边时的排法有A51·A55种，故共有A61·A66－A51·A55 ＝3720种排法．
• 解法二：由于甲不在最左边，因此分为两类：第一类是甲 排在第二、三、四、五、六个位置时，有A51种排法，此时 乙有A51种排法，剩下的5人有A55种排法；第二类是甲排在最 右边时，其余6人有A66种排法．
，最后剩下的4本书全给丙，故共有C92C73C44＝1260种给法 ．本题实质上与问题(2)一致．
• (4)分步可得：共有C92C72C55＝756种分法．
• (5)甲先选，有C91种方法，乙再选，有C81种方法，丙再选 ，有C72种方法，丁再选，有C52种，剩下的3本给戊，所以共 有C91C81C72C52C33＝15120种分法．