上海市杨浦区2012届高三上学期期末学科测试(文)

上海市杨浦区2012届高三上学期期末学科测试
数学（理）试卷 2011.12.
考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号． 2．本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟．
一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．计算：=⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+-∞→321n n lim n ．
2．不等式
02
1>+-x x
的解集是 ． 3．若全集U R =，函数13-=x y 的值域为集合A ，则=A C U .
4．若圆锥的母线长=l )(5cm ，高)(4cm h =，则这个圆锥的体积等于 ()
3cm .
5．在7
2()x x
-的二项展开式中，2x 的系数是 （结果用数字作答）.
6．若()x f y =是R 上的奇函数，且满足()()x f x f =+4，当()2,0∈x 时，()22x x f =
则()=2011
f . 7．若行列式
11
21
24=-x x ，则=x ． 8．在100件产品中有90件一等品，10件二等品，从中随机取出4件产品．则至少含1件
二 等品的概率是 .（结果精确到0.01）
9．某学校对学生进行该校大型活动的知晓情况分层抽样调查．若该校的高一学生、高二学生和高三学生分别有800人、1600人、1400人．若在高三学生中的
抽样人数是70，则在高二学生中的抽样人数应该是 ． 10.根据如图所示的某算法程序框图，则输出量y 与输入量x 之间满足的关系式是 ．
11.若直线1:=+by ax l 与圆1:22=+y x C 有两个不同的交点， 则点()b a P ,与圆C 的位置关系是 ． 12.已知0,0>>y x 且
11
2=+y
x ,若m m y x 222+>+恒成立,则实数m 的取值范围是 ．
13.设函数()
2()log 21x
f x =+的反函数为=y 1()-f x ，若关于x 的方程
1()()f x m f x -=+在[1,2]上有解，则实数m 的取值范围是 ．
14.若椭圆()1122
22>>=+b a b
y a x 内有圆122=+y x ，该圆的切线与椭圆交于B A ,两点，
且满足0=⋅OB OA （其中O 为坐标原点），则22169b a +的最小值是 ．
二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.
15．下列函数中，既是偶函数，又是在区间()∞+,0上单调递减的函数为 ( )．
()A . ()x
x f 10
=.
()B ()3
x
x f =.
()
C ()x
x f 1
lg
= ()D ()x x f c o s
=. 16．若等比数列{}n a 前n 项和为a S n n +-=2，则复数i
a i
z +=在复平面上对应的点位于 ( )．
()A 第一象限 . ()B 第二象限 . ()C 第三象限 . ()D 第四象限 .
17．若函数()⎩
⎨
⎧<+≥=.11log 2x c x x x x f ， 则“1-=c ”是“()x f y =在R 上单调增函数”的 ( )．
()A 充分非必要条件. ()B 必要非充分条件. ()C 充要条件.
()D 既非充分也非必要条件.
18．若21,F F 分别为双曲线22
:1927
x y C -=的左、右焦点，点A 在双曲线C 上，点M 的坐
标为(2，0)，AM 为21AF F ∠的平分线．则2AF 的值为 ( )．
()A 3 . ()B 6. ()C 9. ()D 27.
三．解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 . 19．（本题满分12分） 已知在正四棱锥P －ABCD 中（如图），高为1 )(cm ，其体积为4 )(3cm ， 求异面直线PA 与CD 所成角的大小.
A
B
C
P D
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分， 第2小题满分7分 ．
在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ， 已知()a c b m ,2-=，()C A n cos ,cos -= , 且n m ⊥. 1.求角A 的大小； 2. 若3=
a ，ABC ∆面积为
4
3
3，试判断ABC ∆的形状，并说明理由. 21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 若函数()x f y =，如果存在给定的实数对()b a ,，使得()()b x a f x a f =-⋅+ 恒成立，则称()x f y =为“Ω函数” .
1. 判断下列函数，是否为“Ω函数”，并说明理由； ①()3x x f = ② ()x x f 2=
2. 已知函数()x x f tan =是一个“Ω函数”，求出所有的有序实数对()b a ,.
22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3
小
题满分7分. 已知函数()3
23+=
x x x f ，数列{}n a 满足11=a ，()*
+∈=N n a f a n n ,1, 1. 求2a ，3a ，4a 的值； 2. 求证：数列⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧n a 1是等差数列； 3. 设数列{}n b 满足()21≥⋅=-n a a b n n n ，n n b b b S b +⋅⋅⋅++==211,3， 若2
2012
-<
m S n 对一切*∈N n 成立，求最小正整数m 的值. 23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分.
已知ABC ∆的三个顶点在抛物线Γ:y x =2上运动， 1. 求Γ的焦点坐标；
2. 若点A 在坐标原点， 且2
π
=∠BAC ，点M 在BC 上，且 0=⋅BC AM ，
求点M 的轨迹方程；
3. 试研究: 是否存在一条边所在直线的斜率为2的正三角形ABC ，若存在，求出这个正三角形ABC 的边长，若不存在，说明理由.
参考答案及评分标准
一．填空题（本大题满分56分） 2011.12.31 1. 1-；2. 理()1,2-； 3. 理(]1,-∞-；4. π12；5. 理14-；6.2-；7.理0；
8.理0.35； 9. 80；10. ()⎩
⎨⎧≤>-=1,21,2x x x x f x
； 11.理 P 在圆外；12. 理()2,4-，；13. 理⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡53log ,31log 22 ； 14. 理49
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题
15. C ； 16. A ； 17. A ； 18.B ；
三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题
19. 【解】 设异面直线PA 与CD 所成角的大小θ， 底边长为a , 则依题意得
413
12
=⋅⋅a ……4分 故32=a ， 62=∴AC ()
7612
2==+
=∴PA ……7分
CD ∥AB ，故直线PA 与AB 所成角的大小θ为所求 ……9分
7
21cos =
∴θ
7
21
arccos
=θ ． ……12分 （其他解法,可根据上述【解】的评分标准给分） 20.理: （1）【解1】.
由n m ⊥ 得 0=⋅n m ，故()0cos cos 2=--C a A c b , ……2分 由正弦定理得()0cos sin cos sin sin 2=--C A A C B ……4分
()0sin cos sin 2=+-∴C A A B ……5分
3
,21cos ,0sin ,0π
π=∴=
≠<<A A B A ……7分 【解2】. 由()0cos cos 2=--C a A c b ，
余弦定理得()02222
22222=-+--+-ab c b a a bc a c b c b
整理得bc a c b =-+2
2
2
， 2
1
2cos 222=-+=∴bc a c b A
3
,21cos ,0ππ=∴=
<<A A A ． （其他解法,可根据【解1】的评分标准给分） （2）4
33sin 21==
∆A bc S ABC 即
34
3
33sin 21=∴=bc bc π ……10分
又A bc c b a cos 2222-+=, 622=+∴c b ……12分
故()302
==∴=-c b c b 所以，ABC ∆为等边三角形． ……14分
21. （1）【解】
①（理）若()3x x f =是“Ω函数”，则存在实数对()b a ,，使得()()b x a f x a f =-⋅+， 即()
b x a =-3
2
2时，对R x ∈恒成立 ……2分
而322b a x -=最多有两个解，矛盾，
因此()3x x f =不是“Ω函数” ……-3分 （2）解 函数()x x f tan =是一个“Ω函数”
设有序实数对()b a ,满足，则()()b x a x a =+⋅-tan tan 恒成立 当Z k k a ∈+
=,2
π
π时，()()x x a x a 2cot tan tan -=+⋅-，不是常数； ……8分
因此Z k k a ∈+
≠,2
π
π，当Z m m x ∈+
≠,2
π
π时，
则有b x
a x a x a x a x a x a =--=-+⨯+-2222tan tan 1tan tan tan tan 1tan tan tan tan 1tan tan ， ……10分
即()
0)(tan tan 1tan 222=-+-b a x a b 恒成立，
所以Z k b k a b a b a a b ∈⎪⎩⎪⎨⎧=±
=⇒⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=-⋅1
411tan 0tan 01tan 2
2
2ππ ……13分
当4
,,2
π
ππ
π±
=∈+
=k a Z m m x 时，()()()1cot tan tan =-=+⋅-a x a x a
满足()x x f tan =是一个“Ω函数”的实数对()Z k k b a ∈⎪⎭
⎫
⎝
⎛
±
=,1,4,π
π ……14分
22. 理:
（1）【解】由11=a ，()3231+=
=+n n n n a a a f a 得3
1
,73,53432===
a a a ……3分 （2）【解】由3231+=
+n n n a a a 得
3
2
111=-+n n a a ……8分 所以，⎭
⎬⎫⎩⎨⎧n a 1是首项为1，公差为32
的等差数列 ……9分
（3）【解】由（2）得
()1
23
,31213211+=+=-+=n a n n a n n ……-10分 当2≥n 时 ，⎪⎭
⎫
⎝⎛+--=
=-121121291n n a a b n n n ，当1=n 时，上式同样成立， ……12分
所以⎪⎭
⎫
⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+⋅⋅⋅+-+-=
+⋅⋅⋅++=12112912112151313112921n n n b b b S n n
因为2
2012
-<
m S n ，所以22012121129-<
⎪⎭⎫ ⎝⎛+-m n 对一切*∈N n 成立， ……14分 又
⎪⎭⎫ ⎝⎛+-121129n 随n 递增，且291211lim =⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+-∞→n n ，所以2201229-≤m ， 所以2021≥m ，2021min =∴m ……16分 23. 理:
(1) 【解】. 由y x =2得12=p 所以,焦点坐标为⎪⎭
⎫
⎝⎛
41,
0 ……3分
(2) 【解1】设点M 的坐标为()y x ,,BC 边所在的方程为b kx y +=(k 显然存在的),与抛物线y x =2交于()()2211,,,y x C y x B
则⎩⎨⎧=+=2
x
y b kx y 得02=--b kx x ,,21k x x =+b x x -=21 ……5分 又点C B ,在抛物线Γ上,故有2
2
2211,x y x y ==, 22
22121b x x y y ==∴ 022121=+-=+=⋅∴b b y y x x AC AB 1=b 或0=b (舍)
1+=∴kx y -------① ……7分
又AM 的斜率为
x y ,则有1-=⋅k x
y
,既y x k -=代入①
故M 点轨迹为)0(022≠=-+x y x y (注:没写0≠x 扣1分) ……9分 另解:由上式①过定点)1,0(P ,)1,(,),(y x MP y x AM --== 0=⋅∴MP AM , 所以, 0)1(=-+⋅-y y x x , 既)0(022≠=-+x y x y 【解2】设点M 的坐标为()y x ,,AB 方程为kx y =,由2
π
=
∠BAC 得AC 方程为
x k y 1-=,则⎩⎨⎧==2
x
y kx y 得()
2
,k k B , 同理可得⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,1k k C ∴BC 方程为))(11
(
222k x k
k k k k y -+
-
=-恒过定点)1,0(P , )1,(,),(y x MP y x AM --== 0=⋅∴MP AM , 所以, 0)1(=-+⋅-y y x x , 既)0(022≠=-+x y x y (注:没写0≠x 扣1分)
（其他解法,可根据【解1】的评分标准给分） (3) 【解1】
若存在AB 边所在直线的斜率为2的正三角形ABC ,设),(,),(22q q B p p A ,
(其中不妨设q p <), 则222=--p
q p
q , 2=+∴q p ------① ……11分
令a AB =,则()()
22
2
22a p q p q =-+-,即()()()
22
2
2
a p
q p q p q =-++-
将①代入得,()22
3a p q =-,
()q p a
p q <=
-∴ 3
-----------------② ……13分 线段AB 的中点为M ,由①, ②得M 的横坐标为
2
2
2=
+q p ,
M 的纵坐标为()()12
214222
2
22a p q p q q p +
=-++=+
……15分 又设()
2,1=d 由d MC ⊥得)23
(,2,223123a MC a a a MC =⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛±⋅=
⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛+±=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=∴21212,22222,221221,2222a a a a a a MC OM OC
点C 在抛物线y x =2上,则()
()2
212
166121a a a ±=+ ,即01852=±a a , 又因为0>a , 5
18
=∴a ……18分 【解2】
设),(,),(22q q B p p A ,),(2r r C
ABC ∆的三边所在直线CA BC AB ,,的斜率分别是
p r p
r p r r q r q r q q p q p q p +=--+=--+=--2
22222,, ------① ……12分
若AB 边所在直线的斜率为2,AB 边所在直线和x 轴的正方向所成角为
()0900,<<x α,则2tan =α,
所以(
)()
⎪⎩
⎪⎨⎧+=+-=+0
60tan 60
tan ααp r r q ……14分 即5
3
6,613260tan tan 160tan tan 613260tan tan 160tan tan 00
00=
-∴⎪⎪⎩
⎪
⎪
⎨⎧-+=-+=++-=+-=+p q p r r q αααα-----② 又2tan ==+αq p --------------③ ……16分
所以, ()()()()[]222
2221p q p q p q p q AB ++-=
-+-=
将②, ③代入上式得边长5
18
=
AB ……18分 （其他解法,可根据【解1】的评分标准给分）。