进位制之间的转换

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什么是权？
权:把一种记数系统中相应于每一位数字的基数的幂次成为该位数字 的权 如：十进制数按从低位到高位的次序,各位的权分别是： 100,101,102,103，根据权的定义可知，一个数的每位数字乘以其权所 得的乘积之和即为该数的真实值。
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常用数制对照表:
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十进制数制系统（Decimal notation,用D表示） 数码:0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 基数：10 运算规则：逢十进一 位权：10i
方法:与二进制与八进制转换相似,只不过是一位（十六）与四位（二进制）的转换，下面具体 讲解 （1） 二进制转换为十六进制 方法：取四合一法，即从二进制的小数点为分界点，向左（向右）每四位取成一位，接着将这 四位二进制按权相加，得到的数就是一位十六位二进制数，然后，按顺序进行排列，小数点的 位置不变，得到的数字就是我们所求的十六进制数。如果向左（向右）取四位后，取到最高 （最低）位时候，如果无法凑足四位，可以在小数点最左边（最右边），即整数的最高位（最 低位）添0，凑足四位。
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例:（11010111.0100111）2 = （327.234）8
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2） 将八进制转换为二进制
方法:取一分三法,即将一位八进制数分解成三位二进制数，用三位二进制按权相加去凑这位八 进制数，小数点位置照旧。 接着，将每位上转换成二进制数按顺序排列 最后，就得到了八进制转换成二进制的数字。
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试一试
例: （0.65）10 =( ? )2 要求精度为小数五位。
由此得：(0.65)10=(0.10100)2 综合得：(81.65)10=(1010001.10100)2
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例:（81）10=（？）2
得：（81）10 =（）2
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上面介绍的方法是十进制转换为二进制的方法,需要大家注意 的是:
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将十六进制转换为二进制
方法:取一分四法,即将一位十六进制数分解成四位二进制数，用四位二进制按权相加去 凑这位十六进制数，小数点位置照旧。
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四、八进制与十六进制的转换
方法:一般不能互相直接转换,一般是将八进制（或十六进制）转换为二进制，然后再将二进制 转换为十六进制（或八进制），小数点位置不变。那么相应的转换请参照上面二进制与八进制 的转换和二进制与十六进制的转
2.二进制数运算简便
• 二进制数的运算法则比其他进制简单
• 例如：加法 0+0=0 0+1=1+0=1 1+1=10
•
乘法 0*0=0 0*1=1*0=0 1*1=1
3.易于实现逻辑运算
• 采用二进制可以进行逻辑运算，使逻辑代数和逻辑电路成为计算机电路设计的数学基础。
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进位计数制的三个基本要素
• 一组用来表示某种数制的符号。
1） 十进制转换为二进制,需要分成整数和小数两个部分分别转换 2） 当转换整数时，用的除2取余法，而转换小数时候，用的是乘2取整法 3） 注意他们的读数方向
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（3） 二进制转换为十进制 不分整数和小数部分
方法:按权相加法,即将二进制每位上的数乘以权，然后相加之和即是十进制数。例 将二进制数101.101转换为十进制数。 得出结果：（101.101）2=(5.625)10
大家在做二进制转换成十进制需要注意的是
1） 要知道二进制每位的权值 2） 要能求出每位的值
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二、 二进制与八进制之间的转换
首先,我们需要了解一个数学关系，即23=8，24=16，而八进制和十六进制是用这 关系衍生而来的，即用三位二进制表示一位八进制，用四位二进制表示一位十六进制数。 接着，记住4个数字8、4、2、1（23=8、22=4、21=2、20=1）。现在我们来练习二进制与八 进制之间的转换。
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二进制数与十六进制数之间的转换 由于4位二进制数恰好有16个组合状态,即1位十六进制数与4位二进制数是一一对应的.所以,十 六进制数与二进制数的转换是十分简单的.
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进位制间的转换
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主要内容
1什么是进位计数制？ 2几种常用进位计数制及其转换。
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在我们生活中有哪些进位制数？
时间: 1min=60s（六十进制） 1天=24小时（二十四进制）
货币： 1元=10角（十进制） 长度： 1米=10分米（十进制） 日常： 1打火柴=12包火柴（十二进制）
1双鞋=2只鞋（二进制）
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例如:把(1001.01)2转换为十进制数。 解:（1001.01）2 =1×23+0×22+0×21+1×20+0×2-1+1×2-2 =8+0+0+1+0.5+0.25 =9.75
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.十进制数转换为二进制数,十六进制数(除2/16取余法) 整数转换.一个十进制整数转换为二进制整数通常采用除二取余法,即用2连续除十进制数,直到商 为0,逆序排列余数即可得到――简称除二取余法．
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例:将十进制数796.703125转换为八进制数
解:先将这个数字分为整数部分796和小数部分0.703125 整数部分
小数部分
因此,得到结果十进制796.703125转换八进制为1434.55 上面的方法大家可以验证一下，你可以先将十进制转换，然后在转换为八进制，这样看得到的结果 是否一样
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十进制转换为八进制
整数 除8取余法 部分
即每次将整数部分除以8， 余数为该位权上的数，而商 继续除以8，余数又为上一 个位权上的数，这个步骤一 直持续下去，直到商为0为 止，最后读数时候，从最后 一个余数起，一直到最前面 的一个余数。
小数 乘8取整法
部分
即将小数部分乘以8，然后取 整数部分，剩下的小数部分继续 乘以8，然后取整数部分，剩下的 小数部分又乘以8，一直取到小数 部分为零为止。如果永远不能为 零，就同十进制数的四舍五入一 样，暂取个名字叫3舍4入。
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五、八进制与十进制的转换
（1）八进制转换为十进制 方法:按权相加法,即将八进制每位上的数乘以位权，然后相加之和即是十进制数。 例：①将八进制数67.35转换为十进制
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（2）十进制转换为八进制
十进制转换成八进制有两种方法: 1）间接法：先将十进制转换成二进制,然后将二进制又转换成八进制 2）直接法：前面我们讲过，八进制是由二进制衍生而来的，因此我们可以采用与十进制转换 为二进制相类似的方法，还是整数部分的转换和小数部分的转换，下面来具体讲解一下：
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到底什么是进位计数制？？
进位计数制:把数码按照先后顺序排列成 数位,由低到高位计数，且满进位。是 人们利用符号进行计数的科学方法。
在计算机中常用的数制有：十进制，二进制和十六进制。
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思考一下为什么计算机内部采用二进制？
1.易于用器件实现
• 二进制只有0和1两个状态，电子元件就可以用对立的两个状态来表示，可用自然界存在的两 种对立的物理状态表示。
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二进制与八进制间的转换 从小数点开始,将二进制数的整数和小数部分每三位分为一组，不足三位的分别在整数的最高位 前和小数的最低位后加“0”补足，然后每组用等值的八进制码替代，即得目的数。
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二进制与十六进制间的转换 从小数点开始,将二进制数的整数和小数部分每四位分为一组，不足四位的分别在整数的最高位 前和小数的最低位后加“0”补足，然后每组用等值的十六进制码替代，即得目的数。
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“十进制转k进制”的算法步骤:
• 给定十进制正整 数a，确定转化后 的进位k；
第1步
第2步
• 求出a除以k所得 的余数、商，并 分别赋值给r、a；
• 若a≠0，则重复 第2步, 直到a=0；
第3步
第4步
• 将依次得到的余 数从右往左排列 起来，则得到k进 位数.
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5．“十进制转k进制”的程序框图:
整数部分
• 除2取余法
• 即每次将整数部分除以2，余数为该位权上的数，而商继续除以2，余 数又为上一个位权上的数，这个步骤一直持续下去，直到商为0为止， 最后读数时候，从最后一个余数读起，一直到最前面的一个余数。
小数部分
• 乘2取整法
• 即将小数部分乘以2，然后取整数部分，剩下的小数部分继续乘以2， 然后取整数部分，剩下的小数部分又乘以2，一直取到小数部分为零 为止。
开始 输入n,k
b=“ ”
mod(a,k)->r:int(a/k)->a b=string(r)&b N a=0 Y 输出b 结束
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小数部分的转换
乘基取整法:小数乘以目标数制的基数,第一次相乘结果的整数部分为目的数的最高位，将其小数部 分再乘基数依次记下整数部分，反复进行下去，直到小数部分为“0”，或满足要求的精度为止。
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（1） 二进制转换为八进制
方法:取三合一法,即从二进制的小数点为分界点，向左（向右）每三位取成一位， 接着将这三位二进制按权相加，得到的数就是一位八位二进制数， 然后，按顺序进行排列，小数点的位置不变，得到的数字就是我们所求的八进制数。 如果向左（向右）取三位后，取到最高（最低）位时候， 如果无法凑足三位，可以在小数点最左边（最右边），即整数的最高位（最低位）添0，凑足 三位。
数码 • 如：二进制中的0，1
• 数值所用的数码的个数。
基数 • 如：基数为10，有0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十个不同的数码，逢十进一
• 数码在不同位置上的权值。R进制数中，整数部分第i位的位权为Ri-1，小数部分第j位
位权
的位权为R-j
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什么是基数？
基数指一种进制中组成的基本数字,也就是不能再拆分的数字。例如十进制是0-9，二进制是0和 1，八进制是0-7，十六进制是0-9，A-F(大小写均可)。或者可以简单的这样记忆，假设是n进制 的话，基数就是[0,n-1]的数字，基数的个数和进制值相同，十进制有十个基数，依次类推。 在数学上表示一个数字是几进制，通常使用如下格式:[数值]进制数，例如[10]2 表示二进制数值 10。
以上的方法就是二进制与八进制的互换,大家在做题的时候需要注意的是
1） 他们之间的互换是以一位与三位转换，这个有别于二进制与十进制转换 2） 大家在做添0和去0的时候要注意，是在小数点最左边或者小数点的最右边（即整数的最高 位和小数的最低位）才能添0或者去0，否则将产生错误
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例:
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三、 二进制与十六进制的转换
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十六进制数制系统（Hexadecimal,用H表示）
数码:0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、 B、 C、D、 E、 F 十进制：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15
基数： 16 运算规则：逢十六进一 位权：16i
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一、 十进制与二进制之间的转换来自六、十六进制与十进制的转换
十六进制与八进制有很多相似之处,大家可以参照上面八进制与十进制的转换自己试试这两个进 制之间的转换。 通过上面对各种进制之间的转换，我们可以将前面的转换图重新完善一下:
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除K取余法
整数部分的转换 除基取余法:用目标数制的基数去除十进制数,第一次相除所得余数为目的数的最低位 K0，将所 得商再除以基数，反复执行上述过程，直到商为“0”，所得余数为目的数的最高位。
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二进制数制系统（Binary notation,用B表示）
数码:0和1 基数：2 运算规则：逢二进一：（1+1）2=（10）2 位权：2i
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为什么又提出八进制十六进制？？
用于缩短二进制 的数字长度
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八进制数制系统（Octal notation,用O表示）
数码:0、1、2、3、4、5、6、7 基数：8 运算规则：逢八进一,即(7+1)O=(10)B 位权：8i
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例: (111011.10101)2=(3B.A8)16
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(1)十六进制数转换成二进制数,只要将每一位十六进制数用对应的4位二进制数替代即可――简 称位分四位.
例:将(4AF8B)16转换为二进制数. 解: 4 A F 8 B
0100 1010 1111 1000 1011 所以(4AF8B)16=(10001011)2