专题06 大题易丢分-2016-2017学年上学期期末考试高一数学备考黄金30题(解析版)

1.已知2{|440}A x x x =++=，22{|2(1)10}B x x a x a =+++-=，其中a R ∈.如果A B B =，求实
数a 的取值范围. 【答案】(,1)-∞-
2.计算：（1
（2
【解析】（1）1
2133
32
2
3
3
2
2
(10)
(3)(2)
(3)
--
-
---++-1092276=++-=-
（2）原式12
23
11
lg 5lg 2lg10
2log 3log 21222
-=+--⨯=+-=-
3.已知函数2lg(34)y x x +-+的定义域为M ． （1）求M ；
（2）当x M ∈时，求2()42x x f x +=+的最小值. 【答案】（1）[1,1)-；（2）
9
4
． 【解析】（1）2101340x
x x x +⎧≥⎪
-⎨⎪-+>⎩
11x ⇒-≤<[1,1)M ∴=-.
（2）22()(2)4244x x f x a a a =+⋅+-，令1
2[,2)2x t =∈
221
()4(2)4,[,2)2
g t t t t t ∴=+=+-∈
min min 1259()()4244
f x
g t g
∴===-=. 4.已知函数)0(22)(2<++-=a a ax ax x f ，若)(x f 在区间[2，3]上有最大值1． （1）求a 的值；
（2）若mx x f x g -=)()(在[2,4]上单调，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）1-（2）（∞-，),2[]6+∞-⋃-
5.已知函数2
()(lg 2)lg f x x a x b =+++满足(1)2f -=-，且对于任意的x R ∈，恒有()2f x x ≥成立． （1）求实数a ，b 的值； （2）解不等式()5f x x <+．
【答案】（1）10,100==b a ；（2）{}|41x x -<<. 【解析】（1）由(1)2f -=-，知lg lg 10b a -+=，① 于是可得
10a
b
=．② 又()2f x x ≥恒成立，即有2
lg lg 0x x a b +⋅+≥恒成立， 故2
(lg )4lg 0a b ∆=-≤，
将①式代入上式，得2
(lg )2lg 10b b -+≤，即2
(lg 1)0b -≤， 故lg 1b =，即10b =，代入②，得100a =．
（2）由（1）可知2()41f x x x =++，由()5f x x <+， 知2415x x x ++<+，
即2340x x +-<，解得41x -<<．
故不等式()5f x x <+的解集为{}|41x x -<<． 6.设函数2()21,[0,2]f x x ax a x =+--∈，a 为常数. （1）用()g a 表示()f x 的最小值，求()g a 的解析式；
（2）在（1）中，是否存在最小的整数m ，使得()0g a m -≤对于任意a R ∈均成立，若成立，求出m 的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）⎪⎩
⎪
⎨⎧-≤+<<----≥--=2,3302,10,1)(2a a a a a a a a g ；（2）m 的最小值为0
.
7.已知函数()21
ax b
f x x +=
+是定义在()1,1-上的奇函数，且1225
f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）确定函数()f x 的解析式；
（2）当()1,1x ∈-时判断函数()f x 的单调性，并证明； （3）解不等式()()210f x f x -+<. 【答案】（1）()21x f x x =
+；（2）增函数，证明见解析；（3）10,3⎛⎫
⎪⎝⎭
.
1211x x -<<<，
∴12120,10x x x x -<->. 又221110,10x x +>+>，
∴
()()()()
12122
21
2
1011x x x x x x --<++， 即()()120f x f x -<，∴()f x 函数为增函数. （3）
()()210f x f x -+<，
∴()()21f x f x -<-.
又()f x 是定义在()1,1-上的奇函数， ∴()()21f x f x -<-，
∴1211,
11,21,
x x x x -<-<⎧⎪
-<-<⎨⎪-<-⎩
∴103x <<，
∴不等式()()210f x f x -+<的解集为10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭
.
8.
已知sin α=5sin(
)
2tan()5cos()2
π
ααππα+++-的值
.
当α
为第二象限角时，cos α==， 原式15
sin cos 2
αα=
=-.
9.已知向量)0,1(),sin ,(cos ),sin ,(cos -===c b a ββαα （1）求向量c b +的长度的最大值； （2）设4
π
α=
，且)(c b a +⊥，求cos β的值。

【答案】（1）2（2）01或
【解析】（1）由已知得：)sin ,1(cos ββ-=+
βββcos 22)(sin )1(cos ||22-=+-=+c b ]1,1[cos -∈β ]2,0[||∈+∴c b ，即向量c b +的长度的最大值为2.
（2）
)2
2
,22(
4
=⇒=
π
α， 0)sin 1(cos 2
2
0)()(=+-⇒
=+∙⇒+⊥ββc b a c b a ββββββcos 1sin 1sin cos 0sin 1cos -=⇒=+⇒=+-∴
0)1(cos cos 2cos 1cos cos 21sin 222=-⇒-=+-=∴ββββββ
0cos 1cos ==∴ββ或.
10.已知函数)2
||,0,0)(sin()(π
ϕωϕω<
>>+=A x A x f 的图象（部分）如图所示.
（1）求函数)(x f 的解析式； （2）求函数)(x f 在区间]21
,21[-
上的最大值与最小值. 【答案】（1）)6
sin(2)(π
π+
=x x f （2）最大值是2，最小值是3-．
11.已知0<<, tan = -2απα （1）求cos α的值；
（2）求222sin sin cos cos αααα-+的值.
【答案】（1）（2）11
5
.
【解析】（1）因为0<<, tan = -2απα，
<<,2
π
απ所以cos α= (2)原式＝222222
2sin sin cos cos 2tan tan 111
sin cos tan 15
ααααααααα-+-+==++
12.已知(1,2)a =,)2,3(-=b ,当k 为何值时，
（1）ka b +与3a b -垂直？（2）ka +b 与3a -b 平行？ 【答案】(1) 19=k (2)3
1-
=k
13.某同学用“五点法”画函数()sin()f x k A x ωϕ=+（0ω>，||2
π
ϕ<）在某一个周期内的图象时，列
表并填入了部分数据，如下表：
（1）请将上表空格中所缺的数据填写在答题卡的相应位置上，并直接写出函数()f x 的解析式； （2）把函数()y f x =图象上所有点的横坐标缩短到原来的
13倍（纵坐标不变），再把所得图象向左平移4
π个单位，得到函数()y g x =的图象，求函数()g x 的单调递增区间． 【答案】（1）2
()3sin()3
6f x x π
=-（2）5,1212k k ππππ⎡⎤
-
++⎢⎥⎣⎦
，k Z ∈． 【解析】（1）
()3sin()36
f x x =-．
（2）把函数()y f x =的图象上所有点的横坐标缩短到原来的13倍（纵坐标不变），得到3sin(2)6
y x π
=-的图象，再把所得图象向左平移
4π个单位，得到3sin(2)3
y x π
=+的图象．
所以()3sin(2)3
g x x π
=+，由222,2
3
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
+≤+
≤
+∈，
得51212
k x k ππ
ππ-
+≤≤+，k Z ∈． 所以函数()g x 的单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤
-
++⎢⎥⎣⎦
，k Z ∈．
14.已知平面直角坐标系内三点A 、B 、C 在一条直线上，(2,)OA m =-，(,1)OB n =，(5,1)OC =-，且OA OB ⊥，其中O 为坐标原点． （1）求实数m ，n 的值；
（2）设OAC ∆的重心为G ，若存在实数λ，使OB OG λ=，试求AOC ∠的大小．
【答案】（1）63m n =⎧⎨=⎩或3
32
m n =⎧⎪⎨=⎪⎩，
（2）34AOC π
∠=
∴(2,3)OA =-，(5,1)OC =-
∴cos 13OA OC AOC OA OC
⋅∠=
=
=⋅，∴34AOC π
∠= （12分）
15.已知函数)3
sin(2)(π
ω-
=x x f （0ω>）的最小正周期为π．
（1）求函数)(x f 的单调增区间； （2）将函数)(x f 的图像向左平移再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图像．求()
y g x =在区间[0,10]π上零点的个数．
【答案】（1）函数)(x f 的单调增区间（2）()g x 在[]0,10π上有20个零点.
16.已知函数()sin(3)(0,0)f x A x A ϕϕπ=+><<在12
x π
=时取得最大值4．
(1)求()f x 的最小正周期； (2)求()f x 的解析式； (3)若[,0]4
x π
∈-
,求()f x 的值域.
【答案】(1)
23
π;(2)()4sin(3)4f x x π
=+;(3)[4,-.
【解析】（1）3
22π
ω
π
=
=
T (2)()412
f x x π
=
在时取得最大值,432,()12
2
A k k Z π
π
ϕπ∴=⨯
+=
+∈且
2,(),0()4sin(3)4
44
k k Z f x x π
π
π
ϕπϕπϕ=
+∈<<∴=
∴=+即又
（3）[,0]4
x π
∈-
时，3[,]4
24
x π
ππ
+
∈-
1sin(3)4x π-≤+≤
44sin(3)4x π
-≤+≤
()f x 的值域为[4,-.
17.已知函数()sin(),f x A x x R ωϕ=+∈（其中的图象与x 轴的相邻两个交点之
)2,6
(
π
Q
(1)求()f x 的解析式； (2)，求()f x 的值域. 【答案】(1)),6
2sin(2)(π
+
=x x f （2）
[]1,2.-
18.已知函数cos 2(0)6y a b x b π=-+>⎛⎫
⎪⎝
⎭
的最大值为3，最小值为1-. （1）求b a ,的值； （2）当求⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡∈ππ65,4x 时，函数)3sin(4)(π-=bx a x g 的值域.
【答案】（1）1,2a b ==；（2）函数()4sin(2)3g x x π
=-
在5,46x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
的值域为[4]-.
4
sin sin(2)sin 1332x πππ=≤-≤=，所以4sin(2)43
x π-≤-≤
所以函数()4sin(2)3g x x π
=-的值域为[4]-.
19.已知函数1
()sin(),23f x x x R π=+∈。

（1）求函数()f x 的单调递减区间；
（2）求函数()f x 在区间[]0,π上的最大值及最小值；
（3）将函数1
sin()23y x π=+的图象作怎样的变换可得到sin y x =的图象？
【答案】（1）调递减区间为：)](3
74,34[Z k k k ∈++πππ
π （2）最大值()13f π=，最小值1()2
f π=； （3）法一：将1sin()23y x π=+的图象的横坐标变为原来的12，再向右平移3
π个单位． 法二：将1sin()23y x π=+的图象向右平移23π个单位，再将横坐标变为原来的12．
当2z π
=，即3x π
=时，()f x 有最大值()13f π
=， 当56z π
=，即x π=时，()f x 有最小值1
()2f π=； （8分）
（3）法一：将1sin()23y x π
=+的图象的横坐标变为原来的1
2，再向右平移3π
个单位.（12分） 法二：将1
sin()23y x π
=+的图象向右平移23π个单位，再将横坐标变为原来的1
2.（12分）
20.设G 为ABC ∆的重心，过G 作直线l 分别交线段,AB AC (不与端点重合)于Q P ,．若
,AP AB AQ AC λμ==．
（1）求1
1
λμ+的值；
（2）求,的取值范围．
【答案】(1) 113λμ+=；(2)
【解析】(1))连结AG 并延长交BC 于M,则M 是BC 的中点，设c AC b AB ==,，则
)(21
)(21
+=+=，
)(31
+== ①
又,AP AB b AQ AC c λλμμ===⋅=⋅， ②
b c u AP AQ PQ λ-=-=∴
，b b c b AP AG PG )31
()(31
+-=-+=-=λλ
Q G P ,, 三点共线，故存在实数t ，使t =，11()33
b c t c t b λμλ∴-+=-
于是λμ⋅的取值范围是
高考一轮复习：。