M型辅助线作法

M 型辅助线作法
知识储备：
1.平行线的性质：
性质1：两直线平行，同位角相等； 性质2：两直线平行，内错角相等； 性质3：两直线平行，同旁内角互补.
2.平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

例题讲解：
例1、如图，∠B ＝∠1，∠D ＝∠2. 求证AB ∥CD .
分析：本题比较简单，利用判定2内错角相等，两直线平行，可得到AB ∥EF ，EF ∥CD ，再利用平行公理的推论，可证明EF ∥CD ，过程如下：
证明：∵∠B =∠1 ∴AB ∥EF
∵∠D =∠2 ∴EF ∥CD
∵AB ∥EF ，EF ∥CD
∴EF ∥CD
本题只是作为一个铺垫，从最基本的知识点出发，给学生一个台阶，便于理解下面关于辅助线的来历。

例2、如图，AB ∥CD ，∠B ＝30°，∠D ＝25°. 求∠BED 的度数.
分析：这道题目与例题1相比少了一条平行的线，由此我们可以想到只要做出一条辅助线，便可以解决问题，过程如下：
辅助线构造方法一：作平行线
解：过点E 作EF ∥AB ∴ ∠BEF =∠B =30° ∵ AB ∥CD ，EF ∥AB ∴ CD ∥EF
∴ ∠DEF =∠D =25°
∴ ∠BED = ∠BEF + ∠DEF =55°
我们可以过点C 向右边作CF ∥AB ，那是否可以向左边作呢？当然是可以的，由此可以得到第二种解法。

A
A
F
辅助线构造方法一：作平行线
解：过点E 作EF ∥AB ∴ ∠BEF +∠B =180° ∴ ∠BEF =180°-∠B=150°
∵ AB ∥CD ，EF ∥AB
∴ CD ∥EF
∴ ∠DEF +∠D =180°
∴ ∠DEF =180°-∠D=155° ∴ ∠BED =360°-∠BEF- ∠DEF =55°
仔细思考这道题目，可不可以不作平行线呢？已知AB ∥CD ，我们可以延长BE 交CD 于点F ，由此可以得到第三种解法。

辅助线构造方法二：延长线段
解：延长BE 交CD 于点F ∵ AB ∥CD
∴ ∠DFE=∠B =30° ∴ ∠DEF =180°- ∠DFE -∠D=125° ∴ ∠BED =180°-∠DEF =55°
到这里我还是再想，还有没有别的方法呢？第一、二种方法是作平行线，第三种方法是延长，对比之后，还可以连结BD ，由此可以得到第三
种解法。

辅助线构造方法三：连接线段
解：连接BD ∵ AB ∥CD
∴ ∠ABD+∠BDC =180° ∵ ∠ABE =30°，∠CDE =25° ∴ ∠EBD+∠EDB =125° ∴ ∠BED =180°- (∠EBD+∠EDB ) =55°
辅助线构造方法四：作垂线
解：过点E 作EF ⊥CD ，垂足为点F ，交AB 于点G ∴ ∠DFE =90° ∵ ∠CDE =25° ∴ ∠DEF =180°- ∠DFE - ∠CDE =65° ∵ AB ∥CD ° ∴ ∠BGE =180°- ∠D FE =90° ∵ ∠ABE =30° ∴ ∠BEG =180°- ∠B GE - ∠ABE =60° ∴ ∠AEC =180°- ∠DEF - ∠BEG =55°
构造垂线的方法不止这一种，我们还可以构造如下的垂线：
F
C
C
F
G
过点E 作EF ⊥BE ，交AB 于点G ，交CD 于点F .
过点B 作BF ⊥DE ，垂足为点F ，交CD 于点G .
以上提供M 型的几种种辅助线作法，还有其它的做法，这里就不一一讲述，留给同学们下课之后自己探讨。

练习1：如图，AB ∥CD ，求证：∠BED =∠B +∠D .
练习2：如图，AB ∥CD ，求证：∠B ，∠D ，∠BED 有什么数量关系？说明理由.
分析此题目可以发现就是由我们讲过的M 型的一种变式，只是把点E 从内部拉出来，作法基本上类似。

练习3：如图，AB ∥CD ，∠B ＝130°，∠D ＝160°. 求∠BED 的度数.
G
F
C
A
E
C
A
E C。