2019-2020学年数学人教A版选修1-1同步检测：3.3.2函数的极值与导数Word版含解析

函数的极值与导数
填一填
1.若函数 y＝ f(x)在点 x＝ a 的函数值 f(a)比它在点 x＝ a 邻近其余点的函数值都小， f′ (a) ＝ 0，并且在点 x＝ a 邻近的左边 f ′ (x)<0，右边 f′ (x)>0. 近似地，函数 y＝ f(x)在点 x＝ b 的函
数值f(b)比它在点x＝ b 邻近其余点的函数值都大，f′ (b)＝ 0 ，并且在点x＝ b 邻近的左边f′ ( x)>0 ，右边 f′ (x)<0.
我们把点 a 叫做函数y＝ f(x)的极小值点，f( a)叫做函数 y＝ f( x)的极小值；点 b 叫做函数y ＝f( x)的极大值点， f(b)叫做函数 y＝f(x)的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和
极小值统称为极值．极值反应了函数在某一点邻近的大小状况，刻画的是函数的局部性质．2．函数的极值点是导数为零的点，导数为零的点不必定 (填“必定”或“不必定” ) 是函数的极值点．
3．一般地，求可导函数f(x)的极值的方法是：
解方程 f′ (x) ＝0.当 f′ (x0 )＝0 时：
(1)假如在 x0邻近的左边f′ (x)>0，右边 f′ (x)<0 ，那么 f(x0)是极大值；
(2)假如在 x0邻近的左边f′ (x)<0，右边 f′ (x)>0 ，那么 f(x0)是极小值；
(3)假如 f′ (x)在点 x0的左右双侧符号不变，则f(x0)不是极值 .
判一判
1.极大值必定比极小值大．(× )
分析：由函数的图象简单得出函数的极大值可能比极小值还小，故错误．
2．导数值为0 的点必定是函数的极值点．(× )
分析：导数值为0 的点不必定是函数的极值点，还要看在这一点左右导数的正负状况，
故错误．
π
3．函数 f(x)＝x＋ 2cos x 在 [0，π]上的极小值点为6.(× )
5π分析：因为 f(x)＝ x＋ 2cos x，所以 f′ (x)＝ 1－ 2sin x，令 f′ (x)＝0，得 x＝
π
5π5π6或 x＝6，由
ππ
f′ ( x)<0 可得6<x<6；由 f′ (x)>0 可得 0≤ x<6或π≥ x> 6，所以函数 f(x)＝ x＋ 2cos x 在区间π 5ππ5π
6，6上为减函数，在区间0，6和区间 6 ，π上均为增函数，所以函数f(x)＝ x＋ 2cos x 的5π
极小值点为6 .
4．函数 f(x)＝x3－3x 的极小值为 2.(× )
分析： f′ (x)＝ 3x2－ 3，令 f′ (x)＝ 0，得 x＝±1，当 x<－1或 x>1 时， f′ (x)>0 ，当－ 1< x<1时， f′ (x)<0 ，所以当 x＝ 1 时，函数 f(x)取极小值，且极小值是f(1) ＝ 13－ 3× 1＝－ 2.
想想
1.怎样认识极值？
提示： (1)函数的极值是一个局部性的观点，是仅对某一点的左右双侧地区而言的，极值
点是区间内部的点而不是端点．
(2)函数 f( x)在某区间内有极值，那么函数
f( x)在该区间内必定不是单一函数，即在区间上
的单一函数没有极值．
2．怎样认识函数取极值的条件？
提示： (1) 可导函数的极值点是导函数为
0 的点，但导数为
0 的点不必定是极值点，
即 “ 函
数 y ＝ f(x)在一点的导数值为
0 是函数
y ＝f(x)在这点获得极值的必需条件，不是充足条件．
”
(2)可导函数
y ＝ f(x)在点
x 0 处获得极值的充要条件是
f ′ (x 0) ＝0，且在点 x 0 左边和右边的
f ′ ( x)的符号不一样．假如在x 0 的双侧 f ′ (x)的符号相同，那么 x 0 不是函数 y ＝ f(x)的极值点．
3．怎样认识函数的极值点？
提示： (1) 函数 y ＝f(x)在某区间内有极值，它的极值点的散布是有规律的，相邻的两个极
大值点之间必有一个极小值点，相同相邻两个极小值点之间必有一个极大值点． (2)当函数
y ＝f(x)在某区间上连续且有有限个极值点时，函数
y ＝ f(x)在该区间内的极大值
点与极小值点是交替出现的．
(3)从曲线的切线角度看， 曲线在极值点处的切线斜率为
0，并且曲线在极大值左边切线的
斜率为正，右边为负；曲线在极小值点的左边的斜率为负，右边为正．
思虑感悟：
练一练
1．已知 a 为函数 f(x) ＝ x 3－12x 的极大值点，则 a ＝ ()
A ．－ 4
B ．－ 2
C ．4
D ．2
分析： f ′ (x)＝3x 2－ 12＝ 3(x ＋ 2)(x － 2)，令 f ′ (x)＝ 0 得 x ＝－ 2 或 x ＝ 2，易得 f(x) 在 (－ ∞，
－ 2)上单一递加，在 (－2,2)上单一递减，故 f(x)的极大值点为－ 2，即 a ＝－ 2，应选 B. 答案：
B
2．设函数 f(x)＝ xe x ，则 ( ) A ． x ＝ 1 为 f(x)的极大值点 B ． x ＝ 1 为 f(x)的极小值点 C ． x ＝－ 1 为 f( x)的极大值点 D ． x ＝－ 1 为 f( x)的极小值点
分析：由题意得 f ′(x)＝ e x (x ＋ 1)，令 f ′ (x)>0，得 x>－ 1；令 f ′ (x)<0 ，得 x<－ 1，所以 f(x)
在(－∞ ，－ 1) 上单一递减，在 (－ 1，＋ ∞ )上单一递加，所以 x ＝－ 1 为 f(x)的极小值点．应选 D.
答案： D
x 2＋ a a ＝________. 3．若函数 在 x ＝1 处取极值，则
f(x)＝ x ＋ 1
2x x＋ 1 － x2＋a x2＋ 2x－ a 分析： f′ (x)＝
x＋ 1 2＝x＋1 2
.
∵f ′ (1)＝ 0，∴1＋ 2－a
＝ 0，∴a＝ 3.
4
答案： 3
4．已知函数 f(x)＝ 2xln x－ x2＋ 2ax，此中 a>0， g(x)是 f(x)的导函数，则函数g(x)的极大值为 ________．
2－2x 分析：由题可得 g(x)＝ f ′(x)＝2ln x＋ 2－ 2x＋2a(x>0)，则 g′(x)＝(x>0) ，易得函数
x
g(x) 在(0,1) 上单一递加；在 (1，＋∞ ) 上单一递减，所以函数g(x)的极大值为g(1)＝ 2a.
答案： 2a
知识点一函数极值的观点
1.对于函数的极值，以下说法正确的选项是()
A．导数为零的点必定是函数的极值点
B．函数的极小值必定小于它的极大值
C． f( x)在定义域内最多只好有一个极大值一个极小值
D．若 f(x)在区间 (a， b)内有极值，那么f( x)在 (a，b)内不是单一函数
分析：易知选项 A ， B， C 均不正确．对于 D ，不如设x0是 f(x)在区间 (a，b)内的极小值点，则在x0邻近，当x<x0时， f(x)>f(x0)，当 x>x0时， f(x)> f(x0) ，故在 x0邻近函数f(x)不但一，即 f(x)在区间 (a， b)内不是单一函数，应选 D.
答案： D
2．以下四个函数中，能在x＝ 0 处获得极值的是()
①y＝x3；② y＝ x2＋ 1；③ y＝ cos x－ 1；④ y＝
2x. A ．①② B ．②③
C．③④ D ．①③
分析：①④ 为单一函数，不存在极值．
答案： B
知识点二求函数的极值
3.函数 y＝ x3－ 3x2－ 9x(－ 2<x<2) 的极值状况是 ()
A ．极大值为 5，极小值为－ 27
B．极大值为 5，极小值为－ 11
C．极大值为 5，无极小值
D．极小值为－ 27，无极大值
分析： y′＝ 3x2－6x－ 9＝ 3(x＋ 1)(x－ 3)，
令 y′＝ 0，得 x＝－ 1 或 x＝ 3.
当－ 2< x<－ 1 时， y′ >0；
当－ 1< x<2 时， y′ <0.
所以当 x＝－ 1 时，函数有极大值，且极大值为5；无极小值．
答案： C
4．函数 f(x)＝－11
取极小值时， x 的值是 () 3
x3＋ x2＋ 2x
2
A．2 B．2，－ 1
C．－ 1 D．－3
分析：f′( x)＝－ x2＋ x＋ 2＝－ (x＋ 1)(x－ 2)，则知在区间 (－∞，－1) 和 (2，＋∞ )上，f′(x)<0 ，在区间 (－ 1,2)上， f′ (x)>0，故当 x＝－ 1 时， f(x)取极小值．
答案： C
5．已知函数f(x)＝ x4＋ 9x＋ 5，则 f(x)的图象在 (－ 1,3)内与 x 轴的交点的个数为________．分析：因为 f′ (x)＝ 4x3＋ 9，当 x∈ (－1,3)时， f′ (x)>0 ，所以 f(x)在 (－ 1,3)上单一递加．又f(－ 1)＝－ 3<0 ， f(0)＝ 5>0，所以 f( x)在 (－ 1,3)内与 x 轴只有一个交点．
答案： 1
知识点三已知函数极值求参数
6.若函数 y＝－ x3＋ 6x2＋ m 的极大值等于13，则实数 m 等于 ________．
分析： y′＝－ 3x2＋12x，由 y′＝0，得 x＝ 0 或 x＝ 4，易得出当 x＝ 4 时函数获得极大值，所以－ 43＋6× 42＋ m＝ 13，解得 m＝－ 19.
答案：－ 19
7．若函数 f(x)＝ 2x3－ 6x＋ k 在 R 上只有一个零点，求常数k 的取值范围．
分析： f(x)＝ 2x3－6x＋ k，
则 f ′ (x)＝ 6x2－ 6，
令 f ′ (x)＝ 0，得 x＝－ 1 或 x＝ 1，
可知 f(x)在 (－ 1,1)上是减函数，
f(x)在 (－∞，－ 1)和 (1，＋∞ )上是增函数，
f(x)的极大值为f(－ 1)＝ 4＋ k，
f(x)的极小值为f(1)＝－ 4＋ k.
要使函数f(x) 只有一个零点，
只要 4＋ k<0 或－ 4＋ k>0( 以下图 )，
即 k<－ 4 或 k>4.
∴k 的取值范围是(－∞，－ 4)∪ (4，＋∞ )．
8．已知函数f(x)＝ x3＋ ax2＋ bx＋a2在 x＝1 处取极值10，求 f(2) 的值．
分析： f′ (x)＝3x2＋ 2ax＋ b.
f 1 ＝ 10，a2＋ a＋b＋ 1＝ 10，
由题意，得即
f′ 1 ＝ 0，2a＋b＋ 3＝ 0，
a＝ 4，a＝－ 3，
解得或
b＝－ 11b＝ 3.
11
当 a＝ 4， b＝－ 11 时，令 f′ (x)＝ 0，得 x1＝ 1， x2＝－3 .
当 x 变化时， f′ (x)， f(x)的变化状况以下表：
11
11
11 1
(1，＋∞ )
x －∞，－ 3
－ 3
－ 3 ， 1
f ′ (x) ＋
0 －
0 ＋
f(x)
Z 极大值
]
极小值
Z
明显函数 f(x) 在 x ＝ 1 处取极小值，切合题意，此时
f(2)＝ 18.
当 a ＝－ 3，b ＝ 3 时， f ′ (x)＝ 3x 2－ 6x ＋ 3＝ 3(x － 1)2≥ 0，
∴f(x)没有极值，不切合题意．综上可知 f(2) ＝ 18.
基础达标
一、选择题
1．函数 f(x)的定义域为 R ，导函数 f ′ (x)的图象如图，则函数 f( x)( )
A ．无极大值点，有四个极小值点
B ．有三个极大值点，两个极小值点
C ．有两个极大值点，两个极小值点
D ．有四个极大值点，无极小值点
分析： 设函数图象与 x 轴的交点从左到右挨次为
a ，
b ，
c ，
d ；函数的单一性以下：
(－ ∞，
a)增， (a ， b)减， ( b ，c)增， (c ， d)减， (d ，＋ ∞ )增，所以在 x ＝ a ，x ＝ c 处获得极大值，在
x
＝ b ， x ＝d 处获得极小值，所以有两个极大值点，两个极小值点，故
C 正确．
答案： C
2．已知函数 f(x)， x ∈ R ，且在 x ＝ 1 处， f(x)存在极小值，则 ( )
A ．当 x ∈ ( －∞， 1)时， f ′ (x)>0；当 x ∈ (1，＋∞ )时， f ′(x)<0
B ．当 x ∈ (－∞， 1)时， f ′ (x)>0 ；当 x ∈ (1，＋∞ )时， f ′ (x)>0
C ．当 x ∈ (－∞， 1)时， f ′ (x)<0 ；当 x ∈ (1，＋∞ )时， f ′ (x)>0
D ．当 x ∈ ( －∞， 1)时， f ′ (x)<0；当 x ∈ (1，＋∞ )时， f ′(x)<0
分析： ∵ f(x)在 x ＝ 1 处存在极小值， ∴ x<1 时， f ′(x)<0 ，x>1 时， f ′ (x)>0. 应选 C.
答案： C
1
3．函数 f(x)＝x ＋ x 在 x>0 时有() A ．极小值 B ．极大值
C ．既有极大值又有极小值
D ．极值不存在
分析： ∵ f ′ (x)＝ 1－ x 1
2，由 f ′ (x)>0 ，
2019-2020学年数学人教A 版选修1-1同步检测：3.3.2函数的极值与导数Word 版含解析
得 x>1 或 x<－1，又 ∵ x>0， ∴ x>1.
f ′ x <0， 由
得 0< x<1，即在 (0,1)内 f ′ (x)<0，
x>0.
在(1 ，＋ ∞ )内 f ′ (x)>0，
∴f(x)在 (0，＋ ∞ )上有极小值．应选 A.
答案： A
4．函数 f(x)的定义域为 区间 (a ， b)内有极小值点 (
A ．1 个
B ．2 个
C ．3 个
D ．4 个
(a ，b)，导函数
)
f ′ (x)在 (a ，b)内的图象以下图，则函数
f(x) 在开
分析： f(x)的极小值点左边有
f ′(x)<0 ，极小值点右边有
f ′ (x)>0 ，所以由 f ′ (x)的图象知
只有 1 个极小值点．应选
A.
答案： A
5．已知函数 f(x)＝ ax 3＋ bx 2＋ 1 在 x ＝ 1 处获得极大值 3，则 f(x)的极小值为 ( )
A ．－ 1
B ．0
C ．1
D ．2
分析： 由题意知 f(1) ＝ a ＋ b ＋ 1＝3，即 a ＋b ＝ 2.① 因为 f ′( x)＝ 3ax 2＋ 2bx ， f ′ (1)＝ 0， 所以 3a ＋ 2b ＝ 0.②
由①② 得 a ＝－ 4， b ＝6.
所以 f ′( x)＝－ 12x 2＋ 12x ＝ 0， 解得 x ＝ 0 或 x ＝ 1.
易知在 x ＝ 0 处 f(x)取极小值 1.应选 C. 答案： C
6．函数 f(x)＝x 3－3bx ＋ 3b 在(0,1) 内有且只有一个极小值，则 (
)
A ． 0<b<1
B ．b<1
1
C ． b>0
D ． b<2
分析： f ′ (x)＝3x 2
－ 3b ，要使 f(x)在 (0,1)内有极小值，则
f ′ 0 <0 － 3b<0 f ′ 1 >0
，即
，
3－ 3b>0
解得 0<b<1.应选 A.
答案： A
7．已知 f(x)＝x 3＋ax 2 ＋(a ＋ 6)x ＋ 1 有极大值和极小值，则 a 的取值范围为 (
)
A ．－ 1<a<2
B ．－ 3< a<2
C ． a<－ 1 或 a>2
D ． a<－ 3 或 a>6 分析： ∵ f ′ (x)＝ 3x 2＋ 2ax ＋a ＋ 6，
∴f ′ (x)的图象是张口向上的抛物线，只有当
＝4a 2－ 12(a ＋ 6)>0 时，图象与 x 轴的左交
点双侧 f ′(x)的值分别大于零、小于零，右交点左右双侧 f ′ (x)的值分别小于零、大于零．所
以才会有极大值和极小值．
∴4a 2 －12(a ＋ 6)>0 得 a>6 或 a<－3.应选 D.
答案： D 二、填空题
8．函数 f(x)＝3x 2＋ ln x － 2x 的极值点的个数是 ________个．
分析： f ′ (x)＝ 6x ＋1
－ 2＝ 6x 2－ 2x ＋ 1 －2x ＋ 1＝ 0，该方程无解，因 x
，由 f ′ (x)＝ 0 可得 6x 2
x
此函数 f(x)＝ 3x 2＋ ln x － 2x 无极值点．
答案： 0
9．已知函数 f(x)＝ 2ln x － x 2，则函数 f(x)的极大值为 ________．
分析： 因为 f(x)＝ 2ln x － x 2，
所以 f ′( x)＝ 2 1＋ x 1－ x x (x>0) ．
当 0< x<1 时， f ′ (x)>0 ， f(x)单一递加；当 x>1 时， f ′ (x)<0 ， f(x) 单一递减．
故当 x ＝ 1 时， f(x)取极大值 f(1) ＝－ 1. 答案： －1
10．函数 f(x) ＝ax 3＋ bx 在 x ＝1 处有极值－ 2，则 a 、 b 的值分别为 ________、 ________. 分析： 因为 f ′ (x)＝ 3ax 2＋ b ，
所以 f ′(1) ＝ 3a ＋ b ＝ 0. ①
又 x ＝ 1 时有极值－ 2，所以 a ＋ b ＝－ 2. ②
由①② 解得 a ＝ 1， b ＝－ 3. 答案： 1
－3
11．设 a ∈ R ，若函数 y ＝e x ＋ ax ，x ∈ R 有大于零的极值点，则
a 的取值范围是 ________．
分析： 因为 y ＝ e x ＋ ax ，x ∈ R ，所以 y ′＝ e x ＋ a ，由题意知， e x ＋ a ＝ 0 有大于 0 的实根，
可得 a ＝－ e x ，因为 x>0 ，所以 e x >1，所以 a<－ 1.
答案： (－∞，－ 1)
12．函数 f(x)＝ x 3－ 3a 2x ＋ a(a>0) 的极大值为正数，极小值为负数，则
a 的取值范围是
________．
分析： ∵ f ′ (x)＝ 3x 2－ 3a 2 (a>0)，∴ f ′ (x)>0 时得： x>a 或 x<－ a ，f ′ (x)<0 时，得－ a<x<a.
∴当 x ＝ a 时， f(x)有极小值， x ＝－ a 时， f(x)有极大值．
a 3－ 3a 3＋ a<0，
2
－ a 3＋ 3a 3＋ a>0 ，解得 a> 由题意得：
2 .
a>0
答案：
2
，＋∞
2
三、解答题
13． 求以下函数的极值． (1)f(x)＝ x 3－ 12x ；
－
x .
(2)f(x)＝ xe
分析： (1) 函数 f(x)的定义域为 R . f ′ (x)＝ 3x 2－ 12＝3(x ＋2)( x － 2)． 令 f ′ (x)＝ 0，得 x ＝－ 2 或 x ＝ 2.
当 x 变化时， f ′ (x)， f(x)的变化状况以下表：
x (－∞，－ 2)
－2 (－ 2,2)
2 (2 ，＋∞ )
f ′ (x) ＋
0 －
0 ＋
f(x)
Z 极大值
] 极小值
Z
从表中能够看出，当
x ＝－ 2 时，函数 f(x)有极大值，且 f( － 2)＝(－2) 3
－ 12× (－ 2)＝ 16；
当 x ＝ 2 时，函数 f( x)有极小值， 且 f(2)＝ 23－ 12×2＝－ 16. (2)f ′ (x)＝(1 －x)e
－x
.令 f ′ (x)＝ 0，解得 x ＝ 1.
当 x 变化时， f ′ (x)， f(x)的变化状况以下表：
x (－∞， 1)
1 (1，＋∞ )
f ′(x) ＋ 0 －
f(x)
Z 极大值 ]
1
函数 f(x)在 x ＝ 1 处获得极大值 f(1) ，且 f(1) ＝ e . 14．已知函数 f(x)＝ x(x ＋ a)－ ln x ，此中 a 为常数． (1)当 a ＝－ 1 时，求 f(x)的极值；
1
，1 内的单一函数，务实数
a 的取值范围．
(2)若 f(x)是区间 2
分析： (1) 当 a ＝－ 1 时， f ′ (x)＝ 2x － 1－1
＝ 2x 2
－ x － 1 2x ＋ 1 x －1 ( x>0) ， x ＝
x x
所以 f(x)在区间 (0,1) 上单一递减，在 (1，＋ ∞ )上单一递加，
于是 f(x)有极小值 f(1) ＝ 0，无极大值．
1 1 (2)易知 f ′ (x)＝ 2x ＋ a － x 在区间 2
， 1 上单一递加，
1
1
又由题意可得 f ′(x)＝ 2x ＋ a － x ＝0 在 2， 1 上无解．
1
即 f ′ 2 ≥ 0 或 f ′ (1) ≤ 0，
解得 a ≥ 1 或 a ≤ － 1，
即 a 的取值范围为 (－ ∞ ，－ 1]∪ [1，＋ ∞).
能力提高
15.设函数 f(x) ＝x 3
－ 9
x 2＋ 6x － a.
2
(1)对于随意实数 x ， f ′ (x)≥ m 恒建立，求 m 的最大值； (2)若方程 f(x)＝ 0 有且仅有一个实根，求 a 的取值范围． 分析： (1)f ′ (x)＝ 3x 2－ 9x ＋ 6.
因为 x ∈ (－ ∞ ，＋ ∞ )， f ′ (x)≥ m ， 即 3x 2－9x ＋ (6－ m)≥ 0 恒建立，
3
所以
＝ 81－ 12(6－m)≤ 0，解得 m ≤ － 4，
3
即 m 的最大值为－ 4.
(2)因为当 x<1 时， f ′ (x)>0；
当 1< x<2 时， f ′ (x)<0 ；
当 x>2 时， f′ (x)>0.
5
所以当 x＝ 1 时， f(x)取极大值f(1) ＝2－ a；
当 x＝ 2 时， f(x)取极小值 f(2)＝ 2－a，
故当 f(2)>0 或 f(1)<0 时， f(x)＝ 0 仅有一个实根．
解得a<2
5或 a>2.
16．已知函数f(x)＝ (x－ a)2(x－ b)(a， b∈ R， a<b)．
(1)当 a＝ 1， b＝ 2 时，求曲线y＝ f(x)在点 (2 ，f(2)) 处的切线方程；
(2)设 x1， x2是 f(x)的两个极值点，x3是 f(x)的一个零点，且x3≠ x1， x3≠ x2.
证明：存在实数x4，使得 x1，x2， x3，x4按某种次序摆列后组成等差数列，并求x4.分析： (1) 当 a＝ 1， b＝ 2 时， f(x)＝ (x－ 1)2(x－ 2)，
因为 f′( x)＝ (x－ 1)(3x－ 5)，
故 f ′ (2)＝ 1，又 f(2) ＝ 0，
所以 f(x)在点 (2,0)处的切线方程为y＝ x－ 2.
(2)证明：因为 f′ (x)＝ 3(x－ a) x－a＋ 2b，
3
因为 a<b，故 a<a＋ 2b
3
，
所以 f(x)的两个极值点为x＝ a， x＝a＋ 2b
3.
不如设 x1＝ a， x2＝a＋ 2b
3
，
因为 x3≠ x1， x3≠ x2，且 x3是 f(x)的零点，故 x3＝ b.
a＋ 2b a＋ 2b
又因为3－ a＝ 2 b－3，
1a＋ 2b2a＋ b
x4＝2a＋3＝3，
2a＋b a＋ 2b
此时 a，
3，
3
， b 挨次成等差数列，x4知足题意，且x4＝
2a＋ b
所以存在实数
3
.。