2018年高考数学专题7.1不等式关系与不等式解法基本不等式及应用试题文

专题7.1 不等式关系与不等式解法、基本不等式及应用
【三年高考】
1. 【2017江苏，10】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费
用为4x 万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则的值是 ▲ . 【答案】30
【解析】总费用600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯，当且仅当900
x x
=
，即30x =时等号成立.
2. 【2017天津，文13】若a ，b ∈R ，0ab >，则4441
a b ab
++的最小值为 .
【答案】
【解析】
44224141144a b a b ab ab ab ab +++≥=+≥= ，两次等号成立的条件是2
2
214a b ab ab ⎧=⎪⎨=⎪⎩
解得：22a b ⎧
=⎪⎪⎨⎪=
⎪⎩
，或22a b ⎧=-⎪
⎪⎨⎪=-⎪⎩当且仅当21a b ==时取等号.
3. 【2017山东，文】若直线1(00)x y
a b a b
+=＞，＞ 过点（1,2）,则2a +b 的最小值为 . 【答案】 【解析】由直线
1(00)x y
a b a b
+=＞，＞ 过点（1,2）可得121a b +=,
所以
1242(2)()448b a a b a b a b a b +=++=++≥+.
4. 【2016高考上海文科】设x ∈R ，则不等式31x -<的解集为_______. 【答案】(2,4)
【解析】由题意得：131x -<-<，即24x <<，故解集为(2,4)
5. 【2015高考浙江，文6】有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：2
m ）分别为x ，y ，z ，且
x y z <<，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/2m ）分别为a ，b ，，且a b c <<．在不
同的方案中，最低的总费用（单位：元）是（ ）
A ．ax by cz ++
B ．az by cx ++
C ．ay bz cx ++
D ．ay bx cz ++ 【答案】B
6.【2015高考湖南，文7】若实数,a b 满足
12
ab a b
+=，则ab 的最小值为( ) A 2、2 C 、2、4 【答案】C 【解析】
12121220022,22ab a b ab ab a b a b a b ab
+=∴=+≥⨯=≥，＞，＞，，（当且仅当2b a =时取等号），所以ab 的最小值为22 C. 7.【2015高考重庆，文14】设,0,5a b a b ,1++3a b 的最大值为________.
【答案】23
【解析】由222ab a b ≤+两边同时加上22
a b +，得222()2()a b a b +≤+两边同时开方即得：
222()a b a b +≤+0,0a b >>且当且仅当a b =时取“=”），从而有
1++3a b 2(13)2932a b +++=⨯=13a b +=+,即73,22
a b ==
时，“=”成立），故填：23.
8.【2015高考天津，文12】已知0,0,8,a b ab >>= 则当a 的值为 时
()22log log 2a b ⋅取得最大值.
【答案】4
【解析】()()()()22
222222
log log 211log log 2log 2log 164,244a b a b ab +⎛⎫⋅≤=== ⎪⎝⎭
当
2a b =时取等号,结合0,0,8,a b ab >>=可得4, 2.a b ==
9.【2015高考上海，文16】 下列不等式中，与不等式
23
28
2
<+++x x x 解集相同的是（ ）. A. 2)32)(8(2<+++x x x B. )32(282++<+x x x C. 8
2
3212+<++x x x D.
2
1
8322>+++x x x
【答案】B
【2017考试大纲】
1.不等关系：了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式(组)的实际背景.
2.一元二次不等式；(1)会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.
(2)通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系. (3)会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图. 3．基本不等式：2a b ab +≥0a >，0b >）
(1)了解基本不等式的证明过程. (2)会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 【三年高考命题回顾】
纵观前三年各地高考试题, 对不等式关系与不等式解法、基本不等式及应用的考查，主要考查不等式性质、不等关系、二次不等式解法、基本不等式及其应用，高考中一般会以小题形式形式考查，个别省市在大题中考查不等式的应用． 【2018年高考复习建议与高考命题预测】
由前三年的高考命题形式可以看出 , 不等式是中学数学的主体内容之一, 是进一步学习高等数学的基础知识和重要工具, 因而是数学高考命制能力题的重要版块. 在近年来的高考数学中,有关不等式的试题都占有较大的比重. 不仅考查有关不等式的基础知识、基本技能、基本思想方法,而且注重考查逻辑思维能力、运算能力以及分析问题和解决问题的能力. 在题型上, 选择题、填空题主要考查不等式的性质、解简单不等式、绝对值不等式、简单转化求参数范围、比较大小等;解答题主要考查基本不等式的应用、含参不等式的解法、求恒成立中的参数范围、证明不等式、最值型综合题以及实际应用题等. 试题常常是不等式的证明、解不等式、求参数范围于函数、数列、复数、三角、解析几何、立体几何、实际应用等问题之中,
知识覆盖面广、综合性强、思维力度大、能力要求高, 是高考数学思想、数学方法、考能力、考素质的主阵地. 从近几年数学试题得到启示：涉及不等式解法的题目，往往较为容易；对基本不等式的考查，较多的寓于综合题目之中.因此，在2017年复习备考中，要注意不等式性质运用的条件，以及与函数交汇考查单调性，对不等关系，要培养将实际问题抽象为不等关系的能力，从而利用数学的方法解决，对不等式解法主要是二次不等式的解法，往往与集合知识交汇考查，注意含参数的二次不等式的解法.对基本不等式及其应用，会涉及求函数的最值问题，或者将实际问题抽象出数学最优化问题，利用基本不等式求解．不等式几乎能与所有数学知识建立广泛的联系，通常以不等式与函数、三角、向量、数列、解析几何、数列的综合问题的形式出现，尤其是以导数或向量为背景的不等式，函数的综合题和有关不等式的证明或性质的代数逻辑推理题，问题多属于中档题甚至是难题，对不等式的知识，方法与技巧要求较高．预测2018年可能有一道选择或者填空出现，考查不等式的解法，或不等式的性质，或基本不等式，可能与导数结合出一道解答题．
【2018年高考考点定位】
高考对不等式关系与不等式解法、基本不等式及应用的考查有以下几种主要形式：一是考查不等式的性质；二是不等式关系；三是不等式解法；四是基本不等式及应用，其中经常与函数、方程等知识的相联系． 【考点1】不等式性质 【备考知识梳理】
1．不等式的基本性质：（1）a b b a >⇔< （2）,a b b c a c >>⇒> （3）
a b c a c b +<⇔<-， a b a c b c >⇔+>+ （4）000c ac bc
a b c ac bc c ac bc >⇒>⎧⎪
>=⇒=⎨⎪<⇒<⎩
2．不等式的运算性质：（１）加法法则：,a b c d a c b d >>⇒+>+ （２）减法法则：,a b c d a d b c >>⇒->-，（３）乘法法则：
0,00a b c d ac bd >>>>⇒>>
（４）除法法则：0,00a b
a b c d d c
>>>>⇒
>>，（５）乘方法则：00(,2)n n a b a b n N n >>⇒>>∈≥
（６）开方法则：00(,2)a b n N n >>>>∈≥
【规律方法技巧】
1．判断一个关于不等式的命题的真假时，先把要判断的命题与不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题的真假，当然判断的同时可能还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质．
2．特殊值法是判断命题真假时常用到的一个方法，在命题真假未定时，先用特殊值试试，可以得到一些对命题的感性认识，如正好找到一组特殊值使命题不成立，则该命题为假命题． 【考点针对训练】
1. 【贵州省遵义市2017届高三第一次联考】已知
11
0a b
<<，给出下列四个结论：①a b <②a b ab +<③a b >④2ab b <其中正确结论的序号是（ ）
A ．①②
B ．②③
C ．②④
D ．③④ 【答案】C 【解析】
211
00||||,0,b b a a b a b ab ab a b
<<⇒<<⇒<+<<>，因此选C. 2. 【重庆市第八中学2017届高三第二次适应性考试】已知下列四个关系：①
22a b ac bc >⇔>；②11a b a b >⇒
<；③0a b >>，0c d >>a b
d c
⇒>；④1a b >>，0c c c a b <⇒<．其中正确的有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】B
【解析】0c =时，①错误.0a b >>时②错误.根据不等式的性质知③正确.根据指数函数的单调性可知④正确.故有两个正确. 【考点2】不等关系 【备考知识梳理】
在日常生产生活中,不等关系更为普遍,利润的优化、方案的设计等方面都蕴含着不等关系，再比如几何中的两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边等等，用数学中的不等式表示这些不等关系，建立数学模型，利用数学知识解决现实生活的不等关系.
【规律方法技巧】
区分不等关系与不等式的异同，不等关系强调的是关系，可用符号,><≠≥≤，
,,表示，而不等式则是表现两者的不等关系，可用,a a b b b b b ><≠≥≤，a ,a ,a 等式子表示，不等关系是通过不等式表现．
【考点针对训练】
1. 【福建省2017届高三毕业班总复习过关测试】若
()7,340P a a Q a a a =++=+++≥，则,P Q 的大小关系为( )
A. . P Q >
B. P Q =
C. P Q <
D. 由的取值确定 【答案】C
2. 【河南省郑州市第一中学2017届高三期中】设25log 3
log 4
ln311,,333a b c ⎛⎫
⎛⎫=== ⎪
⎪
⎝⎭
⎝⎭
，
则,,a b c 的大小关系是（ ）
A ．c a b >>
B ．a b c >>
C ．c b a >>
D ．a c b >> 【答案】C 【解析】
252
5
log 3
log 4
11log log ln33
4
112
553
3
111113
,3
,3,log 2log 5,log log log 33334
a b c ⎛⎫
⎛⎫=====>∴<< ⎪ ⎪
⎝⎭
⎝⎭
，
5211
log log ln3
342511ln 30log log ,3033,43
∴>>>∴>>>∴c b a >>,故选C.
【考点3】一元二次不等式解法 【备考知识梳理】
对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根为12x x 、且12x x ≤，设ac b 42
-=∆，它的
解按照0>∆，0=∆，0<∆可分三种情况，相应地，二次函数2
y ax bx c =++(0)a >的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式
20ax bx c ++>(0)a >或20ax bx c ++<(0)a >的解集. 24b ac ∆=-
0>∆ 0=∆ 0<∆
二次函数
c
bx ax y ++=2（0>a ）的图象
20(0)ax bx c a ++=>的根
有两相异实根
)(,2121x x x x <
有两相等实根
a
b
x x 221-==
无实根
的解集)0(02>>++a c bx ax
{}2
1
x x x x x ><或
⎭⎬⎫⎩
⎨⎧-≠a b x x 2
R
的解集
)0(02><++a c bx ax
{}21
x x x
x <<
∅
∅
【规律方法技巧】
1．解一元二次不等式首先要看二次项系数a 是否为正；若为负，则将其变为正数； 2．若相应方程有实数根，求根时注意灵活运用因式分解和配方法；
3．写不等式的解集时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论； 4．根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系；
5．若所给不等式最高项系数含有字母，还需要讨论最高项的系数. 【考点针对训练】
1. 【安徽师范大学附属中学2017届高三期中】已知不等式250ax x b -+>的解集为
{|32}x x -<<,则不等式250bx x a -+>的解集为 .
【答案】1
1{|}32
x x x <->或 【解析】根据题意可得
51,6,5,30b
a b a a
=-=-∴=-=，所以250bx x a -+>可化为()()261031210x x x x -->⇔+->，所以不等式的解集为11
{|}32
x x x <->或．
2. 【江苏省苏北三市2017届三模】已知对于任意的()(),15,x ∈-∞⋃+∞，都有
()2220x a x a --+>，则实数的取值范围是____．
【答案】(]
1,5 (或15a <≤)
【解析】利用一元二次方程根的分布去解决，设()()2
22f x x a x a =--+ ，当
()2
4240a a ∆=--<时，即14a << 时， ()0f x > 对x R ∈ 恒成立；当1a =时，
()10f -= ，不合题意；当4a =时， ()20f = 符合题意；当0∆< 时，()()01251050
a f f ∆<<-<≥≥⎧⎪⎪
⎨
⎪⎪⎩ ，
，即： 45a <≤ ，综上所述：实数的取值范围是(]1,5. 【考点4】基本不等式及应用 【备考知识梳理】
1、 如果,R a b ∈，那么22
2a b ab +≥（当且仅当a b =时取等号“=”）
推论：22
ab 2
a b +≤（,R a b ∈）
2、 如果0a >，0b >,
则a b +≥（当且仅当a b =时取等号“=”）.
推论：2
ab ()2a b +≤（0a >，0b >）；222()22
a b a b ++≥ 3
、
2
0,0)112a b a b a b
+≤>>+ 【规律方法技巧】
1.利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．
2. 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等. ① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；
② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值.
若使用基本不等式时，等号取不到，可以通过“对勾函数”，利用单调性求最值.
【考点针对训练】
1. 【山东省滨州市2016-2017学年高三期中】设正实数，y 满足4x y xy +=，则x y +的最小值是 ． 【答案】9
2. 【天津市耀华中学2017届高三一模】已知a b >，二次三项式2
20ax x b ++≥对于一切
实数恒成立，又0R x ∃∈，使20
020ax x b ++=，则22
a b a b
+-的最小值为__________．
【答案】23
【解析】不等式恒成立，则0a >且440ab =-≤，即1ab ≥，又存在0x R ∈，使
20020ax x b ++=成立，可得0=，所以1ab =， 1a >．可得
22
2
4231
101a a b a a a b a a a a
+
++==>---，所以2
2
22242
4
2224322
22
221111244
21111222
a a a a a a a a a
a a a a a a
a a ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫++-++-+
+ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫+⎝
⎭⎝⎭⎝⎭=== ⎪-⎛⎫⎛⎫⎝⎭+-+-+- ⎪ ⎪⎝⎭
⎝
⎭．令
22
1
2a t a +
=>，则()()()2
2
43242414
2444822t t a t a a t t -+-+⎛⎫+=
=-++≥+= ⎪---⎝⎭
． 22a b a b +-的最小值为822=．故本题应填22．
【应试技巧点拨】
1．使用均值不等式求最值时，注意在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一
边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误. 2．基本不等式及其变式中的条件要准确把握．
如222a b ab +≥(,a b R ∈)，a b +≥,a b R +∈)等．
3.利用基本不等式求函数或代数式的最大值、最小值时，注意观察其是否具有“和为定值”“积为定值”的结构特点．在具体题目中，一般很少直接考查基本不等式的应用，而是需要将式子进行变形，寻求其中的内在关系，然后利用基本不等式得出最值．即应用基本不等式，应注意“一正、二定、三相等”，缺一不可.灵活的通过“拆、凑、代（换）”，创造应用不等式的条件，是解答此类问题的技巧;忽视等号成立的条件，是常见错误之一. 3.求解含参不等式恒成立问题的关键是过好双关：第一关是转化关，即通过分离参数，先转化为f (a )≥g (x )(或f (a )≤g (x ))对∀x ∈D 恒成立，再转化为f (a )≥g (x )max (或f (a )≤g (x )min )；第二关是求最值关，即求函数g (x )在区间D 上的最大值(或最小值)问题．
4.应用导数证明不等式，解题格式明确、规范，基本思路清晰，能使问题解决的领域更宽广.解题过程中，注意处处应用转化与化归思想，化生为熟、化难为易、化繁为简，是解决问题的基本方法.
5．对于判断不等式恒成立问题，一般采用举反例排除法．解答本题时能够对四个选项逐个利用赋值的方式进行排除，确认成立的不等式．
1. 【重庆市第八中学2017届高三第二次适应性考试】已知0a >，0b >且22ab a b =+，则8a b +的最小值为（ ）
A ．
B ．
C ．10
D ．
27
2
【答案】B
【解析】22ab a b =+两边除以2ab 得
1112a b
+=，所以()1188554922b a a b a b a b ⎛⎫
++=++≥+= ⎪
⎝⎭
. 2. 【河南省豫北名校联盟2017届高三精英对抗赛】已知在正项等比数列{}n a 中，存在两项m a ，
n a 14a =，且6542a a a =+，则
14
m n
+的最小值是（ ） A ．32 B ．2 C.73 D ．256
【答案】A
【解析】由6542a a a =+得5432q q q =+解得2q =，再由14m n a a a =得24162m n q +-==，所以6m n +=，所以
()141141413
596662
n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥⋅= ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭. 3. 【贵州省遵义市2017届高三第一次联考】已知
11
0a b
<<，给出下列四个结论：①a b <②a b ab +<③a b >④2ab b <其中正确结论的序号是（ ）
A ．①②
B ．②③
C ．②④
D ．③④ 【答案】C 【解析】
211
00||||,0,b b a a b a b ab ab a b
<<⇒<<⇒<+<<>，因此选C. 4. 【河北省武邑2017届高三三调】已知
11110,1,,log ,log b
ab b a b a b x y z a a b a ⎛⎫⎛⎫
>>+==-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,则（ ）
A ．x z y <<
B ． x y z << C.z y x << D ．x y z =< 【答案】B
5. 【贵州省遵义市第四中学2016届高三第四次月考】已知直线():
10,0x y
l a b a b
+=>>在两坐标轴上的截距之和为4，则该直线与两坐标轴围成的三角形的面积的最大值是 （ ） A. 22 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】直线():
10,0x y
l a b a b
+=>>在两坐标轴上的截距之和为4，所以4a b +=，即1
42422
ab ab ab ≥⇒≤⇒≤ ，则该直线与两坐标轴围成的三角形的面积的最大值是 .
6. 【福建省莆田2017届高三二模】若实数、、c R +
∈，且2
256ab ac bc a +++=-，则
2a b c ++的最小值为（ ）
A. 51-
B. 51+
C. 252+
D. 252- 【答案】D
【解析】因为2
256ab ac bc a +++=-，所以2ab a ac bc +++ ()()a a b c a b =+++
()()a c a b =++ (
)
2
62551=-=
- ，所以
()()()()22
a b c a c a b a c a b ++=+++≥++=252-，当且仅当()()a c a b +=+时，
等号成立. 故选D.
7. 【湖南省岳阳2018届高三第一次月考】如右图所示，已知点()y f x =是)
3,2m ⎡∈⎣
的
重心，过点6
C π
=
作直线与31S ∆=+两边分别交于
22223sin sin sin sin sin sin A B C A B C =+-两点，且22223sin ab C a b c =+-，则2ab 的
最小值为（ ）
A. 2
B. 2223sin 2a b c C ab +-=
C. 3sin cos C C =
D. 3
tan 3
C =
【答案】C 【解析】因为
三点共线，所以
，因为
是
重心，所以，，
所以，化简得，解得题目所给图像可知.
由基本不等式得
，即
.当且
仅当，即时，等号成立，故最小值为.
8. 【天津市耀华中学2017届高三二模】已知,,x y z 为正实数，则
222
xy yz
x y z +++的最大值为（ ）
A.
235 B. 45 C. 2
2
D. 23
【答案】C
【解析】由题意可得： 2
22211
2,222
x y xy z y yz +
≥+≥，结合不等式的性质有： ()2222x y z xy yz ++≥+，当且仅当2
2x z y ==
时等号成立，即222
22
xy yz x y z +≤++， 222
xy yz x y z +++的最小值为2
2
.本题选择C 选项. 9. 【陕西省黄陵中学2017届考前模拟】两圆222240x y ax a +++-=和
2224140x y by b +--+=恰有三条公切线，若a R ∈， b R ∈，且0ab ≠，则
22
11
a b +的最小值为( ) A.
49 B. 10
9
C. D. 【答案】C
【解析】因为两圆的圆心和半径分别为()()1122,0,2,0,2,1C a r C b r -==，所以由题设可知
两圆相外切，则1212C C r r =+，故2
2
49a b +=，即22
4199
a b +=，所以22222222221141114454
199999999
a b b a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，应选答案C 。

10. 【湖南省长沙市2017届高三5月模拟】设正实数,,x y z 满足2
2
340x xy y z -+-=，则当
xy
z 取得最大值时， 212x y z
+-的最大值为（ ） A. 0 B. 1 C. 9
4
D. 3 【答案】B
【解析】据已知不等式得2234z x xy y z =-+-
，故
，即2x y =时取得最大值，此时2
2z y =且，当1y =时取得最大值1. 11. 【2016届河南省新乡卫辉一中高考押题一】若一组数据2，4，6，8的中位数、方差分别为,m n ，且()10,0ma nb a b +=>>，则
11
a b
+的最小值为（ ） A
．6+ B
．4+
．9+．20 【答案】D
【解析】由题意得1
5,(9119)54
m n ==
+++=
，所以111155()(55)101020a b a b a b a b b a +=++=++≥+=，当且仅当a b =时取等号，选D.
12. 【2016江西师大附中高三上学期期末】不等式2
2
20x axy y -+≥对于任意]2,1[∈x 及
]3,1[∈y 恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A ．≤22
B ．≥22
C ．≤311
D ．≤
29
【答案】A
【解析】因为y 不为，所以对原不等式两边同时除以2
y ，能够得到01)(22
≥+-y
x
a
y
x
，令y
x t =
，则不等式变为0122
≥+-at t ，其中由y x ,得范围决定，可知]2,31[∈t ，这样就将原
不等式恒成立转化为0122≥+-at t 在]2,3
1
[∈t 时恒成立，由0122
≥+-at t 可得
t t a t t a 12122+≤⇒+≤，当22=t 时，t t 12+取得最小值22，且此时]2,3
1[22∈=t ，
所以有≤22，故本题的正确选项为A ．
13. 【2016届湖南省郴州市高三第四次教学质量检测】已知函数()f x 的定义域为R ，对任意12x x <，有()()1212f x f x x x -<-,且()34f -=-，则不等式
1122
log 31log 311x
x f ⎛⎫->-- ⎪⎝⎭的解集为（ ） A ．()2,+∞ B ．(),2-∞ C ．()()0,11,2 D ．()(),00,2-∞
【答案】D
【解析】由对任意12x x <，有()()1212f x f x x x -<-，得()()1122f x x f x x -<-．令
()()g x f x x =-，则()g x 为R 上的增函数．因为()34f -=-，所以()31g -=-，所以
1122log 31log 311x x f ⎛⎫->-- ⎪⎝⎭等价于12log 31(3)x g g ⎛⎫
->- ⎪⎝⎭，所以12
log 313x ->-，解得2x <且0x ≠，故选D ．
14. 【2016届江西省上高二中高三全真模拟】已知函数22,0,()ln(1),0
x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩，若
()1f x ax ≥-，则a 的取值范围是 ．
【答案】[]4,0-
15. 【2016年江西南昌高三模拟】已知抛物线C:x 2
=4y 的焦点为F ，过点F 且斜率为1的直线与抛物线相交于M ，N 两点．设直线l 是抛物线C 的切线，且l ∥MN ，P 为l 上一点，则PM PN ⋅的最小值为 . 【答案】14-
【解析】过焦点)1,0(F 且斜率为1的直线1+=x y 与抛物线y x 42
=相交于
),(),,(2211y x N y x M ，联立⎩⎨⎧=+=y
x x y 412，得0442=--x x ，则4,42121-==+x x x x ；设直
线与抛物线42x y =相切于点),(00y x Q ,因为MN l //,所以120=x
，则)1,2(Q ，直线的方程为
21-=-x y ，即1-=x y ，设点)1,(-a a P ，则
)2)(2())(()1)(1())((21212121+-+-+--=+-+-+--=⋅a x a x a x a x a y a y a x a x PN PM 1414)3(24122442))(22(22222121-≥--=+-=+-++--=a a a a a x x a x x ．
【一年原创真预测】
1. 若1x y >>，01a b <<<，则下列各式中一定成立的是（ ）
A ．a b
x y > B ．a b x y < C ．x y
a b <
D ．x y
a b >
【答案】C
【解析】因为1x y >>，10a >>，所以x y a a <.易知幂函数()y
f x x =在(0,)+∞上单调递
增，又01a b <<<，所以y y a b <，所以x y
a b <，选C.
【入选理由】本题考查指数函数、对数函数的图象与性质，意在考查学生分析问题、解决问题的能力.本题是不等式的一个应用，难度不大，故选此题.
2. 设0a b c >>>，若不等式log 2017log 2017log 2017a b a b
c
c
d +≥对所有满足题设的
,,a b c 均成立，则实数d 的最大值为____________．
【答案】
【解析】lg 2017lg 2017lg 2017
log 2017log 2017log 2017lg lg lg a b a b c c d d a b a b c c
+≥⇒
+≥，因为0,a b c >>>所以lg 0,lg 0,lg 0,a b a b c c >>>设lg ,lg a b x y b c ==，则lg a
x y c
=+，因此
11()()d x y x y ≤++
的最小值，而11()()224y x x y x y x y ++=++≥+，当且仅当
x y =时取等号，从而4d ≤，即实数d 的最大值为.
【入选理由】本题考查对数运算、基本不等式求最值等基础知识，意在考查运用等价转化思想分析问题、解决问题的能力、基本运算能力及推理能力．本题是基本不等式问题，难度不大，故选此题.
3. 对任意的π
(0,)2θ∈，不等式2214
|21|sin cos x θθ
+≥-恒成立，则实数的取值范围是____________. 【答案】[4,5]-
【解析】因为
2222
2222221414cos 4sin ()(sin cos )559sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθ+=++=++≥+=当且仅当2222
cos 4sin ,sin cos θθθθ=即22
21cos ,sin 33θθ==时取等号，所以|21|945x x -≤⇒-≤≤
【入选理由】本题考查不等式恒成立，含绝对值不等式解法等基础知识，意在考查分析能力及基本运算能力．本题是基本不等式的一个灵活应用，难度不大，故选此题. 4. 已知21
,,26x y x y x y
+∈+++=R ，则2x y +的最大值为_____________． 【答案】
【入选理由】本题考查基本不等式，一元二次不等式解集等基础知识，意在考查运用等价转化思想分析问题、解决问题的能力、基本运算能力及推理能力．本题是基本不等式，一元二次不等式解集有机结合在一起，难度不大，故选此题.。