高一数学 两角和与差的正切公式 教案

诚西郊市崇武区沿街学校(3)两角和与差
的正切公式
一、教学内容分析
推导两角和与差的正切公式是本节课的重点，它是余弦和正弦公式的重要应用.推导的难度并不大，学生可以独立完成.对公式的推导过程要求熟悉，这有利于梳理两角和与差公式间的互相联络，也有利于对公式特征的理解和形式的记忆，为之后的学习打下根底.
要使学生可以正确、纯熟、较灵敏的使用两角和与差的正切公式，在例题的设计中要覆盖对公式的正用、逆用以及变形使用，逆用和变形使用是本堂课的教学难点，但由此可进步学生的观察以及发散思维才能.
二、教学目的设计
〔1〕熟悉两角和与差正切公式的推导，知道公式成立的条件，理解公式的形式特征.
〔2〕初步理解公式的作用，可以正确运用公式及其常用变形进展计算、化简、证明.
〔3〕在公式的推导过程中,进一步形成转化的思想方法和逻辑思维的才能.
三、教学重点及难点
两角和与差的正切公式的推导和应用；
四、教学流程设计
五、教学过程设计
一、讲授新课
1、复习引入
〔1〕两角和与差的余弦公式
βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+①
βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-②
其中，①式可在②式中用β-交换β而得.
〔2〕两角和与差的正弦公式
βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+，
正弦公式可以通过诱导公式，将)sin(βα+转化为cos[()]2
παβ-+，继而应用余弦公式推得. 问题：如何用αtan 以及βtan 表示)tan(βα
+？ 2、公式推导
学生考虑、独立完成.
分子、分母分别除以βαcos cos 〔0cos cos ≠⋅βα〕
，并化简得 βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=
+③
考虑1、两角差的正切公式具有怎样的形式？ 考虑2、两角和与差的正余弦公式对任意角成立，两角和与差的正切公式也如此吗？提出你的理由. 学生答复
1、同理可得βαβ
αβαtan tan 1tan tan )tan(+-=-④；
或者者由变量交换的思想，用β-交换两角和公式中的β即可.
2、不是，使用③式前需要先保证αtan 、βtan 都有意义，且1tan tan ≠βα
.即α、β、βα+都不能取2π
π+k 〔Z k ∈〕.同理，④式中的α、β、βα-也不能取2π
π+k 〔Z k ∈〕.
这是使用两角和与差正切公式的条件.假设α、β中有取到2π
π+k 〔Z k ∈〕的角，又如何求
)tan(βα+或者者)tan(βα-呢？
学生答复
[说明]明确公式成立的条件，使学生的认识完好化.
3、强调特征
〔1〕等号的左边是复角的正切.右边为分式，分子是两单角的正切之和或者者差，分母是1减去两单角的正切之积.
〔2〕分子中和或者者差与等号左边一样，分母那么与等号左边相异.
[说明]学生掌握公式的特征，不仅从简单的比照而得，更要从推导过程中去理解.
4、例题解析
例1、 31tan =
α，2tan -=β，求以下三角比的值： 〔1〕)tan(βα+；〔2〕)cot(βα-
解答：〔1〕1)tan(-=+βα；〔2〕7
1)cot(=-βα [说明]教材中没有继续推导两角和与差的余切公式.在遇到此类问题时，常常通过三角比的倒数关系将余切转化为正切，或者者通过商数关系转化为正余弦来计算.
例2、运用两角和的正切公式，求
︒-︒+75tan 175tan 1的值. 解答：375tan 175tan 1-=︒
-︒+ [说明]方法一、可先计算)3045tan(75tan ︒+︒=
︒.方法二、将表达式中的1看作为︒45tan ，逆用两角和的正切公式先化简后求值.
方法二突现了“1〞在三角问题中的重要地位.
例3、化简)3tan(tan 3)3tan(tan απααπα
-+-+ 解答：3)3tan(tan 3)3tan(tan =-+-+απ
ααπα [说明]两角和与差正切公式的常用变式
)tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα-+=+；
)tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα+-=-.
例4、αtan 、βtan 是方程03522=-+x x
的两个根，求)tan(βα+ 及)tan(βα-.
解答：1)tan(-=+βα
；7)tan(=-βα或者者7-. [说明]两角和与差的正切公式其构造特征提供了使用韦达定理的条件，从而与二次方程产生联络.
三、稳固练习
例5、不查表计算︒15tan 解答：3215tan -=︒
例6、2)tan(-=-βα
，3tan =α，求βtan 的值. 解答：7
1tan =β 例7、证明以下三角恒等式：
〔1〕θ
θπθtan 1tan 1)4tan(-+=+〔2〕β
αβαβαβα2222tan tan 1tan tan )tan()tan(--=-+ 四、课堂小结 〔1〕应用已学知识推导了两角和与差的正切公式，知道了公式使用的条件以及特征.
〔2〕可以对所学的公式作正、逆双向使用，进展化简与求值.熟悉公式的常用变式以及知识拓展，从而对公式有进一步的理解.
五、课后作业
课本第59练习〔3〕1、2
习题A 组：2/〔5〕、〔6〕。