2024年中考数学一轮复习考点精讲课件—特殊四边形：正方形与梯形

∴∠ = 30°, ∠ ′ = 30°
∵ ⊥ 轴， ′ ⊥ 轴∴△ ≌△ ′ ∴ ′ = = 1, = = 3
即点 ′
3, 1 故选：D
考点一 正方形的性质与判定
题型05 与正方形有关的折叠问题
【例5】（2023·山西朔州·校联考模拟预测）如图，在正方形中， = 2，将其沿翻折，使∠�� = 120°，
故答案为：15°．
考点一 正方形的性质与判定
题型02 根据正方形的性质求线段长
【例2】（2023·广东清远·统考模拟预测）如图，边长分别为2和6的正方形和并排放在一起，连接
并延长交于点T，交于点P．则 =（
A． 2
B．2 2
C．1
）
D．2
解：如图，∵四边形和均为正方形，
在Rt△AFD中，
根据勾股定理，得 7 +
2
+ 2 = 132 ，
解得1 ＝﹣12（舍去），2 ＝5，
∴DH＝17．
故答案为：17．
考点一 正方形的性质与判定
题型12 根据正方形的性质与判定求面积
【例12】（2023·重庆九龙坡·重庆市育才中学校联考二模）如图，在正方形中，O为、的交点，△
时针旋转，每次旋转60°，则第2023次旋转结束时，点C所到位置的坐标为（
A． 3, −1
B． −1, − 3
C． −1, 3
【详解】解：∵正方形绕点O逆时针旋转，每次旋转60°
D．
）
3, 1
∴正方形绕点O逆时针旋转6次回到原位置
∵2023 = 337 × 6 + 1
∴第2023次旋转结束时，点C所到位置的坐标，与第1次旋转结束时，点C所到位置的坐标相同
③a、b都为平行四边形的判定定理，故不能判定该四边形是正方形，故错误，不符合题意；
∴正确的有①②；
故选C．
考点一 正方形的性质与判定
题型10 根据正方形的性质与判定求角度
【例10】（2021·北京海淀·统考二模）如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，则∠与∠
的大小关系为：∠
， ⊥ 交延长线于点．
(1)若为的中点，求证： = 2；
(2)求证： = ．
【详解】（1）证明：∵为的中点，
∴ = 2．
∵四边形是正方形，
（2）证明：∵四边形和四边形都是正方形，
∴ ∥ ， = ，
∴ ∠ = ∠ = 90°，∠ = 90° = ∠， = ，
∴ ∠ = 180° − ∠ − ∠ = 60°，


1
在Rt △ 中，cos∠ = ，即cos60° = 2− = 2，
2
2
解得 = 3，经检验 = 3是原方程的解，
2
2
∴原方程的解为 = 3，∴ = 3，
2
故答案为：3．
．
考点一 正方形的性质与判定
如图：绕点O逆时针60°得到 ′ ，作 ⊥ 轴， ′ ⊥ 轴
∵∠ ′ = 60°, ∠ = 90°, = ∴∠ ′ = 30°, = ′
∵点A的坐标为 1, 3 ∴ = 1, = 3, = 2 + 2 = 2 = 2
∵ Δ是等边三角形，
∴ = = = ，∠ = ∠ = 60°，
∴ ∠ = ∠ = 30°，
∵ = = = ，
∴ ∠ = ∠ = ∠ = ∠ = 75°，
∴ ∠ = 90° − 75° = 15°．
5）正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；
6）正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形.
【补充】正方形对角线与边的夹角为45°.
考点一 正方形的性质与判定
正方形的判定：
1）平行四边形+一组邻边相等+一个角为直角；
2）矩形+一组邻边相等；
3）矩形+对角线互相垂直；
4）菱形+一个角是直角；
顶点恰好落在线段上的点处，点的对应点为点．则线段的长为
【详解】解：设 = ，
∵正方形中， = 2，∴ = 2 − ， ∥ ，
∵ ∠ = 120°，∴ ∠ = 60°，
∵四边形是四边形折叠得到，
∴ ∠ = ∠�� = 60°， = = 2 − ，
30°，那么菱形 ′ ′ 与正方形的面积之比是（
3
4
【详解】解：过′ 作′
A．1
B．
C．
3
2
D．
）
3
4
⊥ 于，如图所示：设正方形边长为，
∵ ∠′ = 30°，∴ ∠′ = 90° − 30° = 60°，
1
1
在Rt △ ′ 中，′ = ，∠′ = 60°，则 = 2 ′ = 2 ，
5）菱形+对角线相等.
【解题技巧】判定一个四边形是正方形通常先证明它是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直；或者
先证明它是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等；还可以先判定四边形是平行四边形，再证明它有一个
角为直角和一组邻边相等．
A
D
正方形的面积公式：面积=2 ＝对角线乘积的一半=2S△ABC=4S△AOB.
正方形的周长公式：周长= 4a
O
B
a
C
考点一 正方形的性质与判定
题型01 根据正方形的性质求角度
【例1】（2022·湖北武汉·校考模拟预测）如图，点是正方形中的一点，连接、、、，若△
为等边三角形时，则∠ =
．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴ = ，∠ = ∠ = ∠ = ∠ = 90°，
2024年中考数学一轮复习考点精讲课件—特殊四边形：正方形与梯形
主讲人：XXX
考点一 正方形的性质与判定
正方形的定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.
正方形的性质：
1）正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质.
2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等.
3）正方形对边平行且相等.
4）正方形的对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角；
∴∠AEC=90°，
∴菱形AECD是正方形，
∴∠BAC=∠DAC，
故答案为：=．
考点一 正方形的性质与判定
题型11 根据正方形的性质与判定求线段长
【例11】（2022·天津东丽·统考二模）如图，点E为正方形ABCD外一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕A点逆时针
方向旋转90°得到△ADF，DF的延长线交BE于H点，若BH＝7，BC＝13，则DH＝
∴ = ，
∴ = ．
考点一 正方形的性质与判定
题型08 添加一个条件使四边形是正方形
【例8】（2022·广西河池·校联考二模）一个四边形顺次添加下列中的三个条件便得到正方形：
a.两组对边分别相等
b.一组对边平行且相等
c.一组邻边相等
顺次添加的条件：①a→c→d②b→d→c③a→b→c 则正确的是：（
．
【详解】解：∵将Rt△ABE绕A点逆时针方向旋转90°得到△ADF，∠AEB＝90°，
∴AF＝AE，BE=DF，∠DFA＝∠E＝∠AFH＝90°，∠EAF＝90°，
∴四边形AEHF为正方形，∴AF＝EH，设EH＝x，
∵BH＝7，∴BE＝7+x，AF＝EF＝x，
在正方形ABCD中，AD＝BC＝13，
2 ．
【详解】解：∵正方形的对角线、相交于点，
∴OA=OB，∠AOB=90°，∠OAB=∠OBC=45°，
又∵点又是正方形1 1 1 的一个顶点，∴∠A1OC1=90°，
∴∠AOE+∠EOB=∠EOB+∠BOF=90°，∴∠AOE =∠FOB，
∠ = ∠
在△ AOE 和△ BOF 中，
∠（填“＞”，“＝”或“＜”）．
【详解】解：如图，连接CE、CD，
AE= 12 + 22 = 5，
同理求得EC=CD=DA= 12 + 22 = 5，AC= 12 + 32 = 10，
∴AE=EC=CD=DA，
∴四边形AECD是菱形，
∵( 5)2 +( 5)2 = ( 10)2 ，
∴ 2 + 2 = 2 ，
题型06 求正方形重叠部分面积
【例6】（2021·辽宁抚顺·统考三模）如图，正方形的对角线、相交于点，点又是正方形1 1 1 的
一个顶点，而且这两个正方形的边长相等．设两个正方形重合部分的面积为1 ，正方形的面积为2 ，通过探索，
我们发现：无论正方形1 1 1 绕点怎样转动，始终有1 =
= ，
∴∠ = ∠，∠ = ∠��， = 2．
∴△ ∽△ ．

∴ =


1
= 2，

即 = 2．
∴∠ = ∠，
∵∠ = ∠，∠ = 90° = ∠， = ，
∴△ ≌△ AAS ，
1
∴ = 2 ，
由勾股定理得： = 2 + 2 = 4 2，
∴ = 2 2，
故选：B．
考点一 正方形的性质与判定
题型03 根据正方形的性质求面积
【例3】（2023·河南省直辖县级单位·统考二模）四边形不具有稳定性．四条边长都确定的四边形，当内角的大小发
生变化时，其形状也随之改变．如图，改变正方形的内角，使正方形变为菱形 ′ ′ ，如果∠′ =
A．仅①
B．仅③
C．①②
d.一个角是直角
）
D．②③
【详解】解：①由两组对边分别相等可得该四边形是平行四边形，添加一组邻边相等可得
该四边形是菱形，再添加一个角是直角则可得该四边形是正方形；正确，故符合题意；
②由一组对边平行且相等可得该四边形是平行四边形，添加一个角是直角可得该四边形是
矩形，再添加一组邻边相等则可得该四边形是正方形；正确，故符合题意；
，
=
∠ = ∠
∴△ AOE≌△ BOF（ASA）
，
1
∴S1=S 四边形 EOFB=S△ EOB+S△ BOF= S△ EOB+S△ AOE=S△ AOB=4 2 ．
1
故答案为 ．
4
考点一 正方形的性质与判定
题型07利用正方形的性质证明
【例7】（2024·福建三明·统考一模）如图，四边形和四边形都是正方形，点在射线上，交于点
∵ ⋅ = 6，∴ 3 + 3 − = 9 − 2 = 6，解得 2 = 3，
∴ ′ = 3 =
3
，
2
∴ 正方形 = 2 = 2 ，菱形 = ⋅ ′ = ×
∴菱形 ′ ′ 与正方形ABCD的面积之比是
3 2

2
2
=
3

2
=
3 2
，
2
3
，故选：C．
2
考点一 正方形的性质与判定
题型04 根据正方形的性质求坐标
【例4】（2023·河南安阳·统考模拟预测）如图．四边形为正方形，点A的坐标为 1, 3 ，将正方形绕点O逆
过点O作 ⊥ , ⊥ ，垂足分别为N，M，且M是与延长线的交点，
∴四边形是正方形，
2
∵ = 3 2，∴ 2 = 2 2 = 3 2 ，解得 = = 3，
∵
=
，∴△ ≌△ HL ，∴ = = ，
=
∴ = + = 3 + ， = − = 3 − ，
为直角三角形，∠ = 90°， = 3 2，若 ⋅ = 6，则正方形的面积为（
A．20
B．22
C．24
D．26
【详解】∵正方形中，O为、的交点， ∠ = 90°，
∴∠ = ∠ = 90°，∠ = ∠ = 45°，
∴点, , , 四点共圆，∴∠ = ∠ = ∠ = ∠ = 45°，
∴∠ = ∠ = 45°, ∠ = 90°, ∥ ，
∴∠ = ∠ = 45°, ∠ = ∠ = 45°, ∠ + ∠ = 90°，
∴∠ = ∠ = 45°, ∠ = 90°；
∴ = Р = 6 − 2 = 4, ⊥ ，