《试卷3份集锦》贵阳市某达标中学2020-2021年九年级上学期期末教学质量检测数学试题

九年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的共有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】B 【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的概念即可得出答案.
【详解】根据中心对称图形和轴对称图形的概念，可以判定既是中心对称图形又是轴对称图形的有第3第4个共2个.
故选B ．
考点：1.中心对称图形；2.轴对称图形.
2．已知关于X 的方程x 2 +bx+a=0有一个根是-a （a ≠0），则a-b 的值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．-1
D ．0 【答案】C
【解析】由一元二次方程的根与系数的关系x 1•x 2=
c a 、以及已知条件求出方程的另一根是-1，然后将-1代入原方程，求a-b 的值即可．
【详解】∵关于x 的方程x 2+bx+a=0的一个根是-a （a≠0），
∴x 1•（-a ）=a ，即x 1=-1，
把x 1=-1代入原方程，得：
1-b+a=0，
∴a-b=-1．
故选C ．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的解．解题关键是根据一元二次方程的根与系数的关系确定方程的一个根． 3．如图，正方形ABCD 的边长为2cm ，动点P ，Q 同时从点A 出发，在正方形的边上，分别按A D C →→，A B C →→的方向，都以1/cm s 的速度运动，到达点C 运动终止，连接PQ ，设运动时间为x s ，APQ ∆的面积为2
y cm ，则下列图象中能大致表示y 与x 的函数关系的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
【分析】根据题意结合图形，分情况讨论：①02x ≤≤时，根据12APQ S AQ AP ∆=⋅，列出函数关系式，从而得到函数图象；②24x ≤≤时，根据''''APQ CP Q ABQ AP D ABCD S S S S S ∆∆∆∆=---正方形列出函数关系式，从而得到函数图象，再结合四个选项即可得解．
【详解】①当02x ≤≤时，
∵正方形的边长为2cm ，
∴21122
APQ y S AQ AP x ∆==⋅=； ②当24x ≤≤时，
APQ y S ∆=
''''CP Q ABQ AP D ABCD S S S S ∆∆∆=---正方形
()()()21112242222222
x x x =⨯---⨯⨯--⨯⨯- 2122
x x =-+， 所以，y 与x 之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有A 选项图象符合， 故选A ．
【点睛】
本题考查了动点问题的函数图象，根据题意，分别求出两个时间段的函数关系式是解题的关键． 4．某公司2017年的营业额是100万元，2019年的营业额为121万元，设该公司年营业额的平均增长率为
x ,根据题意可列方程为( )
A ．()21001121x +=
B ．()2
1001121x -= C ．()21211100x +=
D ．()21211100x -= 【答案】A
【分析】根据题意2017年的营业额是100万元，设该公司年营业额的平均增长率为x , 则2018年的营业额是100(1+x)万元，2019年的营业额是100(1+x) ²万元，然后根据2019年的营业额列方程即可.
【详解】解：设年平均增长率为x , 则2018的产值为:()1
?001x + , 2019的产值为:()2
1?001x +．
那么可得方程:()21?001121x +=．
故选:A ．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的增长率问题的应用.
5．某商场降价销售一批名牌衬衫,已知所获利润y(元)与降价x(元)之间的关系是y=-2x 2+60x+800,则利润获得最多为( )
A ．15元
B ．400元
C ．800元
D ．1250元 【答案】D
【分析】将函数关系式转化为顶点式，然后利用开口方向和顶点坐标即可求出最多的利润.
【详解】解：y=-2x 2+60x+800=-2（x-15）2+1250
∵-2＜0
故当x=15时，y 有最大值，最大值为1250
即利润获得最多为1250元
故选:D.
【点睛】
此题考查的是利用二次函数求最值，掌握将二次函数的一般式转化为顶点式求最值是解决此题的关键. 6．如图，线段AB 是⊙O 的直径，弦CD 丄AB ，∠CAB=20°，则∠BOD 等于（ ）
A ．20°
B ．30°
C ．40°
D ．60°
【答案】C
【解析】试题分析：由线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，根据垂径定理的即可求得：BC BD
=，然后由圆周角定理可得∠BOD=2∠CAB=2×20°=40°．
故选C．
考点：圆周角定理；垂径定理．
7．如图，一个圆柱体在正方体上沿虚线从左向右平移，平移过程中不变的是（）
A．主视图B．左视图
C．俯视图D．主视图和俯视图
【答案】B
【解析】主视图是从正面观察得到的图形，左视图是从左侧面观察得到的图形，俯视图是从上面观察得到的图形，结合图形即可作出判断．
解：根据图形，可得：平移过程中不变的是的左视图，变化的是主视图和俯视图．
故选B．
8．一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的根是（）
A．x1＝1，x2＝2 B．x1＝﹣1，x2＝﹣2
C．x1＝2，x2＝12D．x1＝3x2＝13
【答案】C
【分析】利用一元二次方程的公式法求解可得．
【详解】解：∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1，
∴△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，
则x＝22
2
±
＝12，
即x1＝2，x2＝12，
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法，根据一元二次方程的特征，灵活选择解法是解题的关键．9．关于x的一元二次方程x2+kx﹣2＝0（k为实数）根的情况是（）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．不能确定
【答案】A
【分析】利用一元二次方程的根的判别式即可求
【详解】由根的判别式得，△=b 2-4ac=k 2+8＞0
故有两个不相等的实数根
故选A ．
【点睛】
此题主要考查一元二次方程的根的判别式，利用一元二次方程根的判别式（△=b 2-4ac ）可以判断方程的根的情况：一元二次方程的根与根的判别式有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0 时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0 时，方程无实数根，上述结论反过来也成立．
10．若关于x 的方程29(2)40x k x -++=有两个相等的根，则k 的值为（ ）
A ．10
B ．10或14
C ．-10或14
D ．10或-14
【答案】D
【分析】根据题意利用根的判别式，进行分析计算即可得出答案.
【详解】解：∵关于x 的方程29(2)40x k x -++=有两个相等的根， ∴[]2
224(2)49441400b ac k k k ∆=-=-+-⨯⨯=+-=，即有(10)(14)0k k -+=，
解得k = 10或-14.
故选：D.
【点睛】
本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 中，当0∆=时，方程有两个相等的两个实数根是解答此题的关键．
11．在同一坐标系内，一次函数y ax b =+与二次函数2y ax 8x b =++的图象可能是 A ． B ． C ．
D ．
【答案】C
【分析】x=0，求出两个函数图象在y 轴上相交于同一点，再根据抛物线开口方向向上确定出a ＞0，然后
确定出一次函数图象经过第一三象限，从而得解．
【详解】x=0时，两个函数的函数值y=b ，
所以，两个函数图象与y 轴相交于同一点，故B 、D 选项错误；
由A 、C 选项可知，抛物线开口方向向上，
所以，a ＞0，
所以，一次函数y=ax+b 经过第一三象限，
所以，A 选项错误，C 选项正确．
故选C ．
12．下列事件是必然事件的是（ ）
A ．若C 是()1A
B AB =的黄金分割点，则32A
C -=
B 2x >
C ．若a b ==a b >
D ．抛掷一枚骰子，奇数点向上的概率是
12
【答案】D 【分析】根据必然事件是肯定会发生的事件，对每个选项进行判断，即可得到答案.
【详解】解：A 、若C 是()1AB AB =的黄金分割点，则12AC =
；则A 为不可能事件；
B 2x ≥；则B 为随机事件；
C 、若a b ==a b <，则C 为不可能事件；
D 、抛掷一枚骰子，奇数点向上的概率是
12
；则D 为必然事件； 故选：D.
【点睛】 本题考查了必然事件的定义，解题的关键是熟练掌握定义.
二、填空题（本题包括8个小题）
13．某公司生产一种饮料是由A ，B 两种原料液按一定比例配成，其中A 原料液的原成本价为10元/千克，B 原料液的原成本价为5元/千克，按原售价销售可以获得50%的利润率，由于物价上涨，现在A 原料液每千克上涨20%，B 原料液每千克上涨40%，配制后的饮料成本增加了13
，公司为了拓展市场，打算再投入现在成本的25%做广告宣传，如果要保证该种饮料的利润率不变，则这种饮料现在的售价应比原来的售价高_____元/千克．
【答案】1
【分析】设配制比例为1：x ，则A 原液上涨后的成本是10（1+20%）元，B 原液上涨后的成本是5（1+40%）
x元，配制后的总成本是（10+5x）（1+1
3
），根据题意可得方程10（1+20%）+5（1+40%）x＝（10+5x）（1+
1
3
），
解可得配制比例，然后计算出原来每千克的成本和售价，然后表示出此时每千克成本和售价，即可算出此时售价与原售价之差．
【详解】解：设配制比例为1：x，由题意得：
10（1+20%）+5（1+40%）x＝（10+5x）（1+1
3），
解得x＝4，
则原来每千克成本为：10154
14
⨯+⨯
+
＝1（元），
原来每千克售价为：1×（1+50%）＝9（元），
此时每千克成本为：1×（1+1
3
）（1+25%）＝10（元），
此时每千克售价为：10×（1+50%）＝15（元），
则此时售价与原售价之差为：15﹣9＝1（元）．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，仔细阅读题目，找到关系式是解题的关键．
14．已知，点A(－4，y1)，B(1
2
，y2)在二次函数y＝－x2+2x+c的图象上，则y1与y2的大小关系为________．
【答案】<
【分析】由题意可先求二次函数y＝－x2+2x+c的对称轴为
2
1
22
b
x
a
，根据点A关于x=1的对称
点即可判断y1与y2的大小关系.
【详解】解：二次函数y=-x2+2x+c的对称轴为x=1，
∵a=-1＜0，
∴二次函数的值，在x=1左侧为增加，在x=1右侧减小，
∵-4＜1
2
＜1，
∴点A、点B均在对称轴的左侧，
∴y1＜y2
故答案为：＜.
【点睛】
本题主要考查的是二次函数的增减性，注意掌握当a＜0时，函数图象从左至右先增加后减小．
15．在一个不透明的口袋中，有大小、形状完全相同，颜色不同的球15个，从中摸出红球的概率为1
3
，
则袋中红球的个数为_____．【答案】5
【分析】等量关系为：红球数：总球数=
13
，把相关数值代入即可求解． 【详解】设红球有x 个，根据题意得：1153x =， 解得：x=1．
故答案为1．
【点睛】
用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
16．二中岗十字路口南北方向的红绿灯设置为：红灯30秒，绿灯60秒，黄灯3秒，小明由南向北经过路口遇到红灯的概率为______． 【答案】1031
【解析】∵该路口红灯30秒，绿灯60秒，黄灯3秒， ∴爸爸随机地由南往北开车经过该路口时遇到红灯的概率是
30103060331=++， 故答案为:1031
. 17．若,αβ分别是方程2360x x --=的两实根，则αβ+的值是__________.
【答案】3
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可得答案.
【详解】∵,αβ分别是方程2360x x --=的两实根，
∴αβ+=3，
故答案为：3
【点睛】
此题考查根与系数的关系，一元二次方程根与系数的关系：x 1+x 2=-
b a ，x 1x 2=
c a
；熟练掌握韦达定理是解题关键.
18．点（-2，5）关于原点对称的点的坐标是 _____________．
【答案】（2，－5）
【解析】点（-2，5）关于原点的对称点的点的坐标是（2，-5）.
故答案为（2，-5）.
点睛：在平面直角坐标系中，点P （x ，y ）关于原点的对称点的坐标是（-x ，-y ）.
三、解答题（本题包括8个小题）
19．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，∠EDF ＝90°，点E 在边AB 上且不与点A 重合，点F 在边BC 的延长线上，DE 交AC 于Q ，连接EF 交AC 于P
（1）求证：△ADE ≌△CDF ；
（2）求证：PE ＝PF ；
（3）当AE＝1时，求PQ的长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
17
2
10
【分析】（1）根据ASA证明即可．
（2）作FH∥AB交AC的延长线于H，由“AAS”可证△APE≌△HPF，可得PE＝PF；
（3）如图2，先根据平行线分线段成比例定理表示
1
4
AQ
QC
=，可得AQ的长，再计算AH的长，根据（2）
中的全等可得AP＝PH，由线段的差可得结论．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴DA＝DC，∠DAE＝∠BCD＝∠DCF＝∠ADC＝90°，∴∠ADE+∠EDC＝90°
∵∠EDF＝90°
∴∠EDC+∠CDF＝90°
∴∠ADE＝∠CDF
在△ADE和△CDF中，
∵
ADE CDF AD DC
EAD FCD ∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
∴△ADE≌△CDF（ASA）．
（2）证明：由（1）知：△ADE≌△CDF，∴AE＝CF，
作FH∥AB交AC的延长线于H．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB＝∠FCH＝45°，∵AB∥FH，
∴∠HFC＝∠ABC＝90°，∴∠FCH＝∠H＝45°，∴CF＝FH＝AE，
在△AEP和△HFP中，
∵
APE HPF
EAP H
AE FH
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△APE≌△HPF（AAS），∴PE＝PF；
（3）∵AE∥CD，
∴AQ AE QC CD
=，
∵AE＝1，CD＝4，
∴
1
4 AQ
QC
=，
∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝4，∠B＝90°，
∴AC＝
，
∴AQ＝1
5
AC
＝
5
，
∵AE＝FH＝CF＝1，
∴CH
，
∴AH＝AC+CH＝
＝
，
由（2）可知：△APE≌△HPF，∴AP＝PH，
∴AP＝1
2
AH
＝
2
，
∴PQ＝AP﹣AQ
＝
2
﹣
5
＝
10
．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键
是正确寻找全等三角形解决问题．
20．游乐园新建的一种新型水上滑道如图，其中线段PA 表示距离水面（x 轴）高度为5m 的平台（点P 在y 轴上）.滑道AB 可以看作反比例函数图象的一部分，滑道BCD 可以看作是二次函数图象的一部分，两滑道的连接点B 为二次函数BCD 的顶点，且点B 到水面的距离2BE m =，点B 到y 轴的距离是5m.当小明从上而下滑到点C 时，与水面的距离3m 2
CG =，与点B 的水平距离2m CF =.
（1）求反比例函数的关系式及其自变量的取值范围；
（2）求整条滑道ABCD 的水平距离；
（3）若小明站在平台上相距y 轴1m 的点M 处，用水枪朝正前方向下“扫射”，水枪出水口N 距离平台3m 2
，喷出的水流成抛物线形，设这条抛物线的二次项系数为p ，若水流最终落在滑道BCD 上（包括B 、D 两点），直接写出p 的取值范围.
【答案】（1）10y x
=，25x ≤≤；（2）7m ；（3）91332128p -≤≤-. 【分析】（1）在题中，BE=2，B 到y 轴的距离是5，即反比例函数图象上一点的横坐标和纵坐标都已告知，则可求出比例系数k ；
（2）根据B ，C 的坐标求出二次函数解析式，得到点D 坐标，即OD 长度再减去AP 长度，可得滑道ABCD 的水平距离；
（3）由题意可知点N 为抛物线的顶点，设水流所成抛物线的表达式为213(1)2y p x =-+
，通过计算水流分别落到点B 和点D 可以得出p 的取值范围.
【详解】解：（1）∵2BE m =，点B 到y 轴的距离是5，
∴点B 的坐标为()5,2.
设反比例函数的关系式为k y x
=， 则25
k =，解得10k =. ∴反比例函数的关系式为10y x
=. ∵当5y =时，2x = ，即点A 的坐标为()2,5，
∴自变量x 的取值范围为25x ≤≤；
（2）由题意可知，二次函数图象的顶点为()5,2B ，点C 坐标为37,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 设二次函数的关系式为2(5)2y a x =-+，则23(75)22a -+=，解得18
a =-. ∴二次函数的关系式为221159(5)28848
y x x x =--+=-
+-. 当0y =时，解得129,1x x ==（舍去），
∴点D 的坐标为()9,0，则9OD =. ∴整条滑道ABCD 的水平距离为：927m OD PA -=-=；
（3）p 的取值范围为91332128
p -≤≤-. 由题意可知，点N 坐标为（31,52⎛
⎫+ ⎪⎝⎭，即131,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
，为抛物线的顶点. 设水流所成抛物线的表达式为213(1)2y p x =-+
. 当水流落在点()5,2B 时，由213(51)22p -+=，解得932
p =-； 当水流落在点()9,0D 时，由213(91)02p -+=，解得13128
p =-. ∴p 的取值范围为91332128
p -≤≤-. 【点睛】
此题主要考查了反比例函数和二次函数的基本性质和概念，以及用待定系数法求函数的解析式，难度较大． 错因分析 较难题. 失分原因是（1）没有掌握利用待定系数法求反比例函数解析式；（2）没有掌握二次函数的基本性质，利用二次函数的性质求得点D 的坐标；（3）没有掌握利用顶点式求二次函数的解析式，根据B ，D 两点的坐标进而求得p 的取值范围.
21．如图①，在ABO ∆中，OA OB =，C 是边AB 的中点，以点O 为圆心的圆经过点C ．
（1）求证：AB 与O 相切；
（2）在图①中，若OA 与
O 相交于点D ，OB 与O 相交于点E ，连接DE ，120AOB ∠=︒，6OD =，如图②，则DE =________．
【答案】（1）见解析；（2）63【分析】(1)连接OC,利用等腰三角形的三线合一性质证明即可.
(2)利用30°的特殊三角形的性质求出即可.
【详解】（1）证明：连接OC.
OA OB
=，C是边AB的中点，
OC AB
∴⊥.
又点C在O上，
AB
∴与O相切.
图①
（2）
∵∠AOB=120°,OA=OB,
∴∠A=30°,
又∵OD=6
∴OA=12
∴AC=63,AB=123
∵DE是三角形OAB的中位线,
∴DE=63.
图②
【点睛】
本题考查圆与三角形的结合,关键在于熟悉基础知识.
22．如图，直线l的解析式为y＝3
4
x，反比例函数y＝
x
k
（x＞0）的图象与l交于点N，且点N的横坐标
为1．
（1）求k 的值；
（2）点A 、点B 分别是直线l 、x 轴上的两点，且OA ＝OB ＝10，线段AB 与反比例函数图象交于点M ，连接OM ，求△BOM 的面积．
【答案】（1）27；（2）2
【分析】（1）把x ＝1代入y ＝34
x ，求得N 的坐标，然后根据待定系数法即可求得k 的值； （2）根据勾股定理求得A 的坐标，然后利用待定系数法求得直线AB 的解析式，再和反比例函数的解析式联立，求得M 的坐标，然后根据三角形面积公式即可求得△BOM 的面积．
【详解】解：（1）∵直线l 经过N 点，点N 的横坐标为1，
∴y ＝34×1＝92
， ∴N （1，92
）， ∵点N 在反比例函数y ＝
x k （x ＞0）的图象上， ∴k ＝1×92
＝27； （2）∵点A 在直线l 上，
∴设A （m ，
34m ）， ∵OA ＝10，
∴m 2+（34
m ）2＝102，解得m ＝8， ∴A （8，1），
∵OA ＝OB ＝10，
∴B （10，0），
设直线AB 的解析式为y ＝ax+b ，
∴
8m n6
10m n0
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，解得
3
30
m
n
=-
⎧
⎨
=
⎩
，
∴直线AB的解析式为y＝﹣3x+30，
解
330
27
y x
y
x
=-+
⎧
⎪
⎨
=
⎪⎩
得
1
27
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
或
9
3
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，
∴M（9，3），
∴△BOM的面积＝
1
103
2
⨯⨯＝2．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点，一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式和一次函数的解析式，求得A、M点的坐标是解题的关键.
23．如图①，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点E在AC上（且不与点A，C重合），在△ABC的外部作△CED，使∠CED=90°，DE=CE，连接AD，分别以AB，AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．
（1）请直接写出线段AF，AE的数量关系；
（2）将△CED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，如图②，连接AE，请判断线段AF，AE的数量关系，并证明你的结论；
（3）在图②的基础上，将△CED绕点C继续逆时针旋转，请判断（2）问中的结论是否发生变化？若不变，结合图③写出证明过程；若变化，请说明理由．
【答案】2AE；（2）2AE，证明详见解析；（3）结论不变，2AE，理由详见解析. 【分析】（1）如图①中，结论：2AE，只要证明△AEF是等腰直角三角形即可．（2）如图②中，结论：2AE，连接EF，DF交BC于K，先证明△EKF≌△EDA再证明△AEF是等腰直角三角形即可．（3）如图③中，结论不变，2AE，连接EF，延长FD交AC于K，先证明△EDF≌△ECA，再证明△AEF是等腰直角三角形即可．
【详解】解：（1）如图①中，结论：2．
理由：∵四边形ABFD 是平行四边形，
∴AB=DF ，
∵AB=AC ，
∴AC=DF ，
∵DE=EC ，
∴AE=EF ，
∵∠DEC=∠AEF=90°，
∴△AEF 是等腰直角三角形，
∴
AE ．
（2）如图②中，结论：
AE ．
理由：连接EF ，DF 交BC 于K ．
∵四边形ABFD 是平行四边形，
∴AB ∥DF ，
∴∠DKE=∠ABC=45°，
∴EKF=180°﹣∠DKE=135°，
∵∠ADE=180°﹣∠EDC=180°﹣45°=135°，
∴∠EKF=∠ADE ，
∵∠DKC=∠C ，
∴DK=DC ，
∵DF=AB=AC ，
∴KF=AD ，
在△EKF 和△EDA 中，
{EK DK
EKF ADE KF AD
=∠=∠=，
∴△EKF ≌△EDA ，
∴EF=EA ，∠KEF=∠AED ，
∴∠FEA=∠BED=90°，
∴△AEF 是等腰直角三角形，
∴
AE ．
（3）如图③中，结论不变，
AE ．
理由：连接EF ，延长FD 交AC 于K ．
∵∠EDF=180°﹣∠KDC ﹣∠EDC=135°﹣∠KDC ，
∠ACE=（90°﹣∠KDC ）+∠DCE=135°﹣∠KDC ，
∴∠EDF=∠ACE ，
∵DF=AB ，AB=AC ，
∴DF=AC
在△EDF 和△ECA 中，
DF AC EDF ACE DE CE =∠=⎪∠⎧⎪⎨⎩
=，
∴△EDF ≌△ECA ，
∴EF=EA ，∠FED=∠AEC ，
∴∠FEA=∠DEC=90°，
∴△AEF 是等腰直角三角形，
∴AF=2
AE ．
【点睛】
本题考查四边形综合题，综合性较强．
24．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=10cm ，P 为BC 的中点，动点Q 从点P 出发，沿射线PC 方向以3cm/s 的速度运动，以P 为圆心，PQ 长为半径作圆．设点Q 运动的时间为t 秒． （1）当t=2.5s 时，判断直线AB 与⊙P 的位置关系，并说明理由．
（2）已知⊙O 为Rt △ABC 的外接圆，若⊙P 与⊙O 相切，求t 的值．
【答案】（1）相切，证明见解析；（2）t 为53s 或33
s 【分析】（1）直线AB 与⊙P 关系，要考虑圆心到直线AB 的距离与⊙P 的半径的大小关系，作PH ⊥AB 于H 点，PH 为圆心P 到AB 的距离，在Rt △PHB 中，由勾股定理PH ，当t=2.5s 时，求出PQ 的长，比较PH 、PQ 大小即可，
（2）OP 为两圆的连心线，圆P 与圆O 内切r O -r P =OP, 圆O 与圆P 内切，r P -r O =OP 即可．
【详解】（1）直线AB 与⊙P 相切．理由：作PH ⊥AB 于H 点，
∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=10，
∴AB=2AC=20，BC=103， ∵P 为BC 的中点 ∴BP=53
∴PH=12BP=53， 当t=2.5s 时，PQ=5533=2⨯
， ∴PH=PQ=53 ∴直线AB 与⊙P 相切 ， （2）连结OP ，
∵O 为AB 的中点，P 为BC 的中点，
∴OP=12
AC=5， ∵⊙O 为Rt △ABC 的外接圆，
∴AB 为⊙O 的直径，
∴⊙O 的半径OB=10 ，
∵⊙P 与⊙O 相切 ，
∴ PQ-OB=OP 或OB-PQ=OP 即3t-10=5或10-3t =5，
∴ t=53或t= 53， 故当t 为53s 或
53s 时，⊙P 与⊙O 相切．
【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系，圆与圆相切时求运动时间t 问题，关键点到直线的距离与半径是否相等，会求点到直线的距离，会用t 表示半径与点到直线的距离，抓住两圆相切分清情况，由圆心在圆O 内，没有外切，只有内切，要会分类讨论，掌握圆P 与圆O 内切r O -r P =OP, 圆O 与圆P 内切，r P -r O =OP ． 25．计算：2212cos 60sin 45--︒-︒+
)0
2019tan 30︒ 【答案】1
【分析】先计算特殊的三角函数值和去绝对值，再从左至右计算即可.
【详解】解：原式=
2
2
1212
122⎛⎫⎛⎫-⋅-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 112221
=--=
【点睛】
本题考查的是实数与特殊角的三角函数值的混合运算，能够熟知特殊角的三角函数值是解题的关键. 26．已知如图所示，A ，B ，C 是⊙O 上三点，∠AOB=120°，C 是AB 的中点，试判断四边形OACB 形状，并说明理由．
【答案】AOBC 是菱形，理由见解析.
【分析】连接OC ，根据等边三角形的判定及圆周角定理进行分析即可．
【详解】AOBC 是菱形，理由如下：
连接OC ，
∵C 是AB 的中点
∴∠AOC=∠BOC=12
×120°=60°， ∵CO=BO （⊙O 的半径），
∴△OBC 是等边三角形，
∴OB=BC ，
同理△OCA 是等边三角形，
∴OA=AC ，
又∵OA=OB ，
∴OA=AC=BC=BO ，
∴AOBC 是菱形．
【点睛】
本题利用了等边三角形的判定和性质，圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都
等于这条弧所对的圆心角的一半．
27．如图是数值转换机的示意图，小明按照其对应关系画出了y与x的函数图象（如图）：
（1）分别写出当0≤x≤4与x＞4时，y与x的函数关系式：
（2）求出所输出的y的值中最小一个数值；
（3）写出当x满足什么范围时，输出的y的值满足3≤y≤1．
【答案】（1）当时，y=3
4
x+3；当时y=(x-1)2+2
（2）最小值2 （3）0≤x≤5或7≤x≤2
【解析】（1）当0≤x≤4时，函数关系式为y=3
4
x+3；当x＞4时，函数关系式为y=（x﹣1）2+2；
（2）根据一次函数与二次函数的性质，分别求出自变量在其取值范围内的最小值，然后比较即可；
（3）由题意，可得不等式
3
33
4
3
36
4
x
x
⎧
+≥
⎪⎪
⎨
⎪+≤
⎪⎩
和
2
2
(6)23
(6)26
x
x
⎧-+≥
⎨
-+≤
⎩
，解答出x的值即可．
【详解】解：（1）由图可知，
当0≤x≤4时，y=3
4
x+3；
当x＞4时，y=（x﹣1）2+2；
（2）当0≤x≤4时，y=3
4
x+3，此时y随x的增大而增大，
∴当x=0时，y=3
4
x+3有最小值，为y=3；
当x＞4时，y=（x﹣1）2+2，y在顶点处取最小值，即当x=1时，y=（x﹣1）2+2的最小值为y=2；
∴所输出的y的值中最小一个数值为2；
（3）由题意得，当0≤x≤4时33343364
x x ⎧+≥⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩， 解得，0≤x≤4；
当x ＞4时，
22(6)23(6)26
x x ⎧-+≥⎨-+≤⎩， 解得，4≤x≤5或7≤x≤2；
综上，x 的取值范围是：0≤x≤5或7≤x≤2．
九年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．如图，在△OAB中，顶点O（0，0），A（﹣3，4），B（3，4），将△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，则第2019次旋转结束时，点D的坐标为（）
A．（3，﹣10）B．（10，3）C．（﹣10，﹣3）D．（10，﹣3）
【答案】C
【分析】先求出AB=1，再利用正方形的性质确定D（-3，10），由于2019=4×504+3，所以旋转结束时，相当于△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转3次，由此求出点D坐标即可．
【详解】∵A(﹣3，4)，B(3，4)，
∴AB=3+3=1．
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=AB=1，
∴D(﹣3，10)．
∵2019=4×504+3，
∴每4次一个循环，第2019次旋转结束时，相当于△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转
''''的位置．
3次，每次旋转90︒，刚好旋转到如图O A B C D
∴点D的坐标为(﹣10，﹣3)．
故选：C．
【点睛】
本题考查了坐标与图形变化-旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后
的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，10°，90°，180°．
2．已知ab cd =，则下列各式不成立的是（ ）
A ．a d c b =
B ．a c d b =
C ．a c d b c b ++=
D ．1111
a d c
b ++=++ 【答案】D
【分析】利用比例的性质进行逐一变形，比较是否与题目一致，即可得出答案.
【详解】A ：因为
a d c
b =所以ab=cd ，故A 正确； B ：因为a
c
d b
=所以ab=cd ，故B 正确； C ：因为a c d b c b
++=所以(a+c)b=(d+b)c ，化简得ab =cd ，故选项C 正确； D ：因为1111
a d c
b ++=++所以(a+1)(b+1)=(d+1)(c+1)，化简得ab+a+b=cd+d+
c ，故选项D 错误； 故答案选择D.
【点睛】
本题考查的是比例的性质，难度不大，需要熟练掌握相关基础知识，重点需要熟练掌握去括号法则.
3．已知关于x 的一元二次方程()2
2110x m x m +++-=的两个根分别是1x ，2x ，且满足22123x x +=，则m 的值是（ ）
A ．0
B ．2-
C ．0或12-
D ．2-或0 【答案】C
【分析】首先根据一元二次方程根与系数关系得到两根之和和两根之积，然后把x 12+x 22转换为（x 1+x 2）2-2x 1x 2，然后利用前面的等式即可得到关于m 的方程，解方程即可求出结果．
【详解】解：∵x 1、x 2是一元二次方程x 2-mx+2m-1=0的两个实数根，
∴x 1+x 2=-（2m+1），x 1x 2=m-1，
∵x 12+x 22=（x 1+x 2）2-2x 1x 2=3，
∴[-（2m+1）]2-2（m-1）=3，
解得：m 1=0，m 2=12
-， 又∵方程x 2-mx+2m-1=0有两个实数根，
∴△=（2m+1）2-4（m-1）≥0，
∴当m=0时，△=5>0，当m=12-
时，△=6>0 ∴m 1=0，m 2=12
-
都符合题意. 故选：C.
【点睛】
本题考查一元二次方程根与系数的关系、完全平方公式，解题关键是熟练掌握一元二次方程ax 2+bx+c=0
（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x 1，x 2，则x 1+x 2=-b a ，x 1•x 2=c a
. 4．若关于x 的方程kx 2﹣2x ﹣1＝0有实数根，则实数k 的取值范围是（ ）
A ．k ＞﹣1
B ．k ＜1且k≠0
C ．k≥﹣1且k≠0
D ．k≥﹣1 【答案】C
【分析】根据根的判别式（240b ac =-≥△ ）即可求出答案．
【详解】由题意可知：440k +≥△＝
∴1k ≥-
∵0k ≠
∴1k ≥- 且0k ≠ ，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了根的判别式的应用，因为存在实数根，所以根的判别式成立，以此求出实数k 的取值范围． 5．下列各数中是无理数的是（ ）
A ．0
B ．12
C
D ．0.5 【答案】C
【分析】根据无理数的定义，分别进行判断，即可得到答案．
0，12
，0.5是有理数； 故选：C ．
【点睛】
本题考查了无理数的定义，解题的关键是熟记无理数的定义进行解题．
6
有意义的条件是（ ） A ．2x ≠-
B ．2x >-
C ．2x ≥-
D ．0x ≠
【答案】B
【分析】根据二次根式和分式成立的条件得到关于x 的不等式，求解即可．
【详解】解：由题意得20x +≥，
解得2x -＞．
故选：B
【点睛】
本题考查了代数式有意义的条件，一般情况下，若代数式有意义，则分式的分母不等于1，二次根式被开
方数大于等于1．
7．正方形的边长为4，若边长增加x ，那么面积增加y ，则y 关于x 的函数表达式为( )
A ．216y x =+
B ．2(4)y x =+
C ．28y x x =+
D ．2164y x =-
【答案】C
【分析】加的面积=新正方形的面积-原正方形的面积，把相关数值代入化简即可．
【详解】解：∵新正方形的边长为x+4，原正方形的边长为4，
∴新正方形的面积为（x+4）2，原正方形的面积为16，
∴y=（x+4）2-16=x 2+8x ，
故选：C ．
【点睛】
本题考查列二次函数关系式；得到增加的面积的等量关系是解决本题的关键．
8．如图，//DE BC ，则下列比例式错误的是（ ）
A ．AD DE BD BC =
B ．AD AE BD E
C = C ．AB AC B
D EC = D ．AD A
E AB AC
= 【答案】A
【分析】由题意根据平行线分线段成比例定理写出相应的比例式，即可得出答案．
【详解】解：∵DE ∥BC ， ∴AD AE BD EC =，AB AC BD EC
=，AD AE AB AC =， ∴A 错误；
故选：A ．
【点睛】
本题考查平行线分线段成比例定理，熟练平行线分线段成比例定理，关键是找准对应关系，避免错选其他答案．
9．如图，正方形ABCD 的边长为4，点P 、Q 分别是CD 、AD 的中点，动点E 从点A 向点B 运动，到点B 时停止运动；同时，动点F 从点P 出发，沿P→D→Q 运动，点E 、F 的运动速度相同．设点E 的运动路程为x ，△AEF 的面积为y ，能大致刻画y 与x 的函数关系的图象是（ ）
A．B．C． D．【答案】A
【详解】当F在PD上运动时，△AEF的面积为y=1
2
AE•AD=2x（0≤x≤2），
当F在DQ上运动时，△AEF的面积为y=1
2
AE•AF=[]
1
4-(2)
2
x x-=2
1
-+3
2
x x（2＜x≤4），
图象为：
故选A．
10．在一个不透明的袋中装着3个红球和1个黄球，它们只有颜色上的区别，随机从袋中摸出1个球，恰好是红球的概率为()
A．1
2
B．
3
4
C．
1
3
D．
2
3
【答案】B
【分析】直接利用概率公式求解；
【详解】解：从袋中摸出一个球是红球的概率
33 314 ==
+
；
故选B．
【点睛】
考查了概率的公式，解题的关键是牢记概率的的求法．
11．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣3，0），其对称轴为直线x＝﹣1
2
，结合图象分
析下列结论：①abc＞0；②3a+c＞0；③当x＜0时，y随x的增大而增大：④若m，n（m＜n）为方程a
（x+3）（x﹣2）+3＝0的两个根，则m＜﹣3且n＞2；⑤
24
4
b ac
a
-
＜0，其中正确的结论有（）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】C
【分析】根据题意和函数图象中的数据，利用二次函数的性质可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【详解】∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠1)与x轴交于点(﹣3，1)，其对称轴为直线x
1
2 =-，
∴抛物线y=ax2+bx+c(a≠1)与x轴交于点(﹣3，1)和(2，1)，且
1 22
b
a
-=-，
∴a=b，
由图象知：a＜1，c＞1，b＜1，
∴abc＞1，故结论①正确；
∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠1)与x轴交于点(﹣3，1)，∴9a﹣3b+c=1．
∵a=b，
∴c=﹣6a，
∴3a+c=﹣3a＞1，
故结论②正确；
∵当x
1
2
<-时，y随x的增大而增大；当
1
2
-<x＜1时，y随x的增大而减小，
故结论③错误；
∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠1)与x轴交于点(﹣3，1)和(2，1)，
∴y=ax2+bx+c=a(x+3)(x﹣2)．
∵m，n(m＜n)为方程a(x+3)(x﹣2)+3=1的两个根，
∴m，n(m＜n)为方程a(x+3)(x﹣2)=﹣3的两个根，
∴m，n(m＜n)为函数y=a(x+3)(x﹣2)与直线y=﹣3的两个交点的横坐标，结合图象得：m＜﹣3且n＞2，
故结论④成立；
∵当x
1
2
=-时，y
2
4
4
ac b
a
-
=＞1，
∴244b ac a
-＜1． 故结论⑤正确．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠1)，二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a ＞1时，抛物线向上开口；当a ＜1时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时(即ab ＞1)，对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时(即ab ＜1)，对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点位置：抛物线与y 轴交于(1，c)；抛物线与x 轴交点个数由△决定：△=b 2﹣4ac ＞1时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2﹣4ac=1时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2﹣4ac ＜1时，抛物线与x 轴没有交点．
12．下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中不属于中心对称图形的是（ ） A ． B ． C ． D ．
【答案】A
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析即可．
【详解】解：A 、不是中心对称图形，故此选项正确；
B 、是中心对称图形，故此选项错误；
C 、是中心对称图形，故此选项错误；
D 、是中心对称图形，故此选项错误；
故选A ．
【点睛】
此题主要考查了中心对称图形的定义，判断中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
二、填空题（本题包括8个小题）
13．小明向如图所示的ABC ∆区域内投掷飞镖，阴影部分时ABC ∆的内切圆，已知15AB =，9AC =，12BC =，如果小明投掷飞镖一次，则飞镖落在阴影部分的概率为____________．。