江苏高考物理总复习第九章电磁感应专题突破2电磁感应中的动力学和能量问题教案选修

2021-4-29 20XX年复习资料
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班级：科目：
专题突破2 电磁感应中的动力学和能量问题
电磁感应中的动力学问题
1.两种状态及处理方法 状态 特征 处理方法 平衡态 加速度为零
根据平衡条件列式分析
非平衡态
加速度不为零 根据牛顿第二定律进行动态分析或结合功能关系进行分析
2.电学对象与力学对象的转换及关系
【例1】 (2018·盐城市第三次模拟)如图1所示，两根电阻不计、相距L 、足够长的平行金属直角导轨，一部分处在水平面内，另一部分处在竖直平面内。

导轨所在空间存在大小为
B 、方向竖直向下的匀强磁场。

金属棒ab 质量为2m ，电阻为R ；cd 质量为m ，电阻为2R ，
两棒与导轨间动摩擦因数均为μ，ab 棒在水平向左拉力作用下，由静止开始沿水平轨道做匀加速运动，同时cd 棒由静止释放，cd 棒速度从0达到最大的过程中拉力做功为W ，重力加速度为g 。

求：
图1
(1)cd 棒稳定状态时所受的摩擦力； (2)cd 棒速度最大时，ab 棒两端的电势差；
(3)cd 棒速度从0达到最大的过程中，ab 棒克服阻力做的功。

解析 (1)cd 棒最终保持静止状态，所受的合力为0
mg －F f 静＝0，F f 静＝mg ，方向：竖直向上
(2)cd 棒速度达到最大时，所受合力为0
mg －F f 滑＝0，F f 滑＝μF N ，F N ＝F 安＝BIL
ab 棒两端的电势差U ＝I ·2R ＝2mgR
μBL
(3)cd 棒速度从0达到最大的过程中，ab 棒克服阻力做的功为W 阻＝W 摩＋W 安
W －W 阻＝12
·2mv 2ab
电路中的感应电动势E ＝BLv ab 由闭合电路欧姆定律
I ＝BLv ab 3R
对cd 棒有μBIL ＝mg 联立解得v ab ＝
3Rmg
μB 2L 2
W 阻＝W －9R 2m 3g
2
μ2B 4L
4
答案 见解析
用“四步法”分析电磁感应中的动力学问题
解决电磁感应中的动力学问题的一般思路是“先电后力”，具体思路如下：
电磁感应中的能量问题
1.电磁感应中的能量转化
2.求解焦耳热Q 的三种方法
【例2】 (2018·江苏南通高三上学期第一次调研)如图2所示，光滑绝缘斜面倾角为θ，斜面上平行于底边的虚线MN 、PQ 间存在垂直于斜面向上，磁感应强度为B 的匀强磁场，MN 、
PQ 相距为L ，质量为m 、边长为d (d <L )的正方形金属线框abef 置于斜面上，线框电阻为R ，ab 边与磁场边界MN 平行，相距为L ，线框由静止释放后沿斜面下滑，ef 边离开磁场前已做
匀速运动，重力加速度为g ，求：
图2
(1)线框进入磁场过程中通过线框横截面的电荷量q ； (2)线框ef 边离开磁场区域时的速度v ； (3)线框穿过磁场区域产生的热量Q 。

解析 (1)线框进入磁场的过程产生的平均感应电动势
E －
＝
ΔΦ
Δt
通过回路的电荷量q ＝I －
Δt ＝E －
R
Δt 磁通量的变化量ΔΦ＝Bd 2
解得q ＝Bd 2
R
(2)线框中产生的感应电流I ＝Bdv R
受到的安培力F ＝IdB
由平衡条件可得mg sin θ－F ＝0 解得v ＝
mgR sin θ
B 2d 2
(3)由能量守恒定律有mg (2L ＋d )sin θ＝12
mv 2
＋Q
解得Q ＝mg (2L ＋d )sin θ－m 3g 2R 2sin 2θ
2B 4d
4
答案 (1)Bd 2R (2)mgR sin θB 2d 2 (3)mg (2L ＋d )sin θ－m 3g 2R 2sin 2θ
2B 4d
4
电磁感应中的“杆＋导轨”模型
1.模型构建
“杆＋导轨”模型是电磁感应问题高考命题的“基本道具”，也是高考的热点，考查的知识点多，题目的综合性强，物理情景变化空间大，是我们复习中的难点。

“杆＋导轨”模型又分为“单杆”和“双杆”模型(“单杆”模型为重点)；导轨放置方式可分为水平、竖直和倾斜；杆的运动状态可分为匀速、匀变速、非匀变速运动等。

2.模型分类及特点 (1)单杆水平式(导轨光滑) 物理模型
动态分析
设运动过程中某时刻棒的速度为v ，加速度为a ＝F m －B 2L 2v mR
，a 、v 同向，随v
的增加，a 减小，当a ＝0时，v 最大，I ＝
BLv
R
恒定 收尾状态 运动形式
匀速直线运动
力学特征 a ＝0，v 最大，v m ＝FR
B 2L
2
电学特征
I 恒定
(2)单杆倾斜式(导轨光滑)
物理模型
动态分析
棒释放后下滑，此时a ＝g sin α，速度v ↑
E ＝BLv ↑I
＝E R
↑
F ＝BIL ↑a ↓，当安培力F ＝mg sin α时，a ＝0，
v 最大
收尾状态
运动形式
匀速直线运动
力学特征 a ＝0，v 最大，v m ＝mgR sin α
B 2L 2
电学特征
I 恒定
[题源：人教版选修3－2·P 21·T 3]
设图4.5－5中的磁感应强度B ＝1 T ，平行导轨宽l ＝1 m ，金属棒PQ 以1 m/s 速度贴着导轨向右运动，R ＝1 Ω，其他电阻不计。

图4.5－5
(1)运动的导线会产生感应电动势，相当于电源。

用电池等符号画出这个装置的等效电路图。

(2)通过R 的电流方向如何？大小等于多少？ 解析 (1)等效电路如图所示。

(2)通过R 的电流方向从上到下。

根据导体切割磁感线产生感应电动势的公式E ＝Blv ，PQ 的电动势为E ＝1×1×1 V＝1 V 。

根据闭合电路欧姆定律，通过R 的电流I ＝E R ＝1
1
A ＝1 A 。

答案 (1)见解析图 (2)从上到下 1 A
拓展1 (2017·江苏单科，13)如图3所示，两条相距d 的平行金属导轨位于同一水平面内，其右端接一阻值为R 的电阻。

质量为m 的金属杆静置在导轨上，其左侧的矩形匀强磁场区域
MNPQ 的磁感应强度大小为B 、方向竖直向下。

当该磁场区域以速度v 0匀速地向右扫过金属
杆后，金属杆的速度变为v 。

导轨和金属杆的电阻不计，导轨光滑且足够长，杆在运动过程中始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触。

求：
图3
(1)MN 刚扫过金属杆时，杆中感应电流的大小I ； (2)MN 刚扫过金属杆时，杆的加速度大小a ； (3)PQ 刚要离开金属杆时，感应电流的功率P 。

解析 (1)感应电动势E ＝Bdv 0 感应电流I ＝E
R
解得I ＝
Bdv 0
R
(2)安培力F ＝BId
牛顿第二定律F ＝ma
解得a ＝B 2d 2v 0
mR
(3)金属杆切割磁感线的速度v ′＝v 0－v ，则 感应电动势E ＝Bd (v 0－v )
电功率P ＝E 2
R
解得P ＝B 2d 2（v 0－v ）2
R
答案 (1)Bdv 0R (2)B 2d 2v 0mR (3)B 2d 2（v 0－v ）2
R
拓展2 (2018·江苏单科，13)如图4所示，两条平行的光滑金属导轨所在平面与水平面的夹角为θ，间距为d 。

导轨处于匀强磁场中，磁感应强度大小为B ，方向与导轨平面垂直。

质量为m 的金属棒被固定在导轨上，距底端的距离为s ，导轨与外接电源相连，使金属棒通有电流。

金属棒被松开后，以加速度a 沿导轨匀加速下滑，金属棒中的电流始终保持恒定，重力加速度为g 。

求下滑到底端的过程中，金属棒
图4
(1)末速度的大小v ； (2)通过的电流大小I ； (3)通过的电荷量Q 。

解析 (1)匀加速直线运动v 2
＝2as 解得v ＝2as (2)安培力F 安＝IdB
金属棒所受合力F ＝mg sin θ－F 安 牛顿运动定律F ＝ma 解得I ＝
m （g sin θ－a ）
dB
(3)运动时间t ＝v a
，电荷量Q ＝It 解得Q ＝
2asm （g sin θ－a ）
dBa
答案 (1)2as (2)
m （g sin θ－a ）dB (3)2asm （g sin θ－a ）
dBa
1.(2018·江苏苏州市高三第一次模拟)如图5所示，两根平行金属导轨置于水平面内，导轨之间接有电阻R 。

金属棒ab 与两导轨垂直并保持良好接触，整个装置放在匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向下(方向不变)。

现使磁感应强度随时间均匀减小，ab 始终保持静止。

下列说法正确的是( )
图5
A.ab 中的感应电流方向由b 到a
B.电阻R 的热功率逐渐变小
C.ab 所受的安培力保持不变
D.ab 所受的静摩擦力逐渐变小
解析 磁感应强度均匀减小，磁通量减小，根据楞次定律得，ab 中的感应电流方向由a 到b ，故A 项错误；由于磁感应强度均匀减小，根据法拉第电磁感应定律E ＝S ΔB
Δt 得，感应电动势
恒定，则ab 中的感应电流不变，由P ＝I 2
R 知热功率不变，故B 项错误；根据安培力公式F ＝BIL 知，电流不变，B 均匀减小，则安培力减小，故C 项错误；导体棒水平方向受安培力和静摩擦力处于平衡，f ＝F ，安培力减小，则静摩擦力减小，故D 项正确。

答案 D
2.如图6所示，水平放置的光滑平行金属导轨上有一质量为m 的金属棒ab ，导轨的一端连接电阻R ，其他电阻均不计，磁感应强度为B 的匀强磁场垂直于导轨平面向下，ab 在一水平恒力F 作用下由静止开始向右运动的过程中( )
图6
A.随着ab 运动速度的增大，其加速度也增大
B.外力F 对ab 做的功等于电路中产生的电能
C.外力F 做功的功率始终等于电路中的电功率
D.克服安培力做的功一定等于电路中产生的电能
解析 由牛顿第二定律可得F －B 2l 2v
R ＝ma ，棒向右做加速度减小的加速运动，选项A 错误；
由于在达到最终速度前F >B 2l 2v
R
，力F 做的功等于电路中获得的电能与金属棒的动能之和，
则F 的功率大于克服安培力做功的功率，即大于电路中的电功率，电路中获得的电能等于克服安培力所做的功，选项B 、C 错误，D 正确。

答案 D
3.(多选)两根足够长的光滑导轨竖直放置，间距为L ，底端接阻值为R 的电阻。

将质量为m 的金属棒悬挂在一个固定的轻弹簧下端，金属棒和导轨接触良好，导轨所在平面与磁感应强度为B 的匀强磁场垂直，如图7所示。

除电阻R 外其余电阻不计。

现将金属棒从弹簧原长位置由静止释放。

则( )
图7
A.释放瞬间金属棒的加速度等于重力加速度g
B.金属棒向下运动时，流过电阻R 的电流方向为a →b
C.金属棒的速度为v 时，所受的安培力大小为F ＝B 2L 2v R
D.电阻R 上产生的总热量等于金属棒重力势能的减少量
解析 金属棒刚释放时，弹簧处于原长，弹力为零，又因此时速度为零，没有感应电流，金属棒不受安培力作用，只受到重力作用，其加速度应等于重力加速度，选项A 正确；金属棒向下运动时，由右手定则可知，流过电阻R 的电流方向为b →a ，选项B 错误；金属棒速度
为v 时，安培力大小为F ＝BIL ，又I ＝BLv R ，解得F ＝B 2L 2v
R
，选项C 正确；金属棒下落过程
中，由能量守恒定律知，金属棒减少的重力势能转化为弹簧的弹性势能、金属棒的动能(速度不为零时)以及电阻R 上产生的热量，选项D 错误。

答案 AC
4.(2010·江苏单科)如图8所示，两足够长的光滑金属导轨竖直放置，相距为L ，一理想电流表与两导轨相连，匀强磁场与导轨平面垂直。

一质量为m 、有效电阻为R 的导体棒在距磁场上边界h 处静止释放。

导体棒进入磁场后，流经电流表的电流逐渐减小，最终稳定为I 。

整个运动过程中，导体棒与导轨接触良好，且始终保持水平，不计导轨的电阻。

求：
图8
(1)磁感应强度的大小B ；
(2)电流稳定后，导体棒运动速度的大小v ； (3)流经电流表电流的最大值I m 。

解析 (1)电流稳定后，导体棒做匀速运动， 则有BIL ＝mg ，解得B ＝mg IL。

(2)感应电动势E ＝BLv ，感应电流I ＝E R
，
解得v ＝I 2R
mg。

(3)由题意得导体棒刚进入磁场时的速度最大，设为v m ， 由机械能守恒定律得12mv 2
m ＝mgh ，
感应电动势最大值E m ＝BLv m ， 感应电流最大值I m ＝E m R
， 解得I m ＝
mg 2gh
IR。

答案 (1)mg IL (2)I 2R mg (3)mg 2gh
IR
活页作业 (时间：40分钟)
1.(2018·泰州中学模拟)如图1所示，MN 、PQ 是两根足够长的光滑平行金属导轨，导轨间距为d ，导轨所在平面与水平面成θ角，M 、P 间接阻值为R 的电阻。

匀强磁场的方向与导轨所在平面垂直，磁感应强度大小为B 。

质量为m 、阻值为r 的金属棒放在两导轨上，在平行于导轨的拉力作用下，以速度v 匀速向上运动。

已知金属棒与导轨始终垂直并且保持良好接触，重力加速度为g 。

求：
图1
(1)金属棒产生的感应电动势E ；
(2)通过电阻R 的电流I ；
(3)拉力F 的大小。

解析 (1)根据法拉第电磁感应定律得E ＝Bdv
(2)根据闭合电路欧姆定律得I ＝E R ＋r ＝Bdv R ＋r (3)导体棒的受力情况如图所示，根据牛顿第二定律有F －F 安－mg sin
θ＝0，又因为F 安＝BId ＝B 2d 2v R ＋r ，所以F ＝mg sin θ＋B 2d 2v R ＋r
答案 (1)Bdv (2)Bdv R ＋r (3)mg sin θ＋B 2d 2v R ＋r
2.(2018·常州市高三第一次模拟)如图2所示，有一倾斜光滑平行金属导轨，导轨平面与水平面的夹角θ＝30°，导轨间距L ＝0.5 m ，电阻不计，在两导轨间接有R ＝3 Ω的电阻。

在导轨中间加一垂直轨道平面向上的宽度为d ＝0.4 m 的匀强磁场，B ＝2 T 。

一质量为m ＝0.08 kg ，电阻为r ＝2 Ω的导体棒从距磁场上边缘
d ＝0.4 m 处由静止释放，运动过程中始终与导轨保持垂直且接触良好，取g ＝ 10 m/s 2。

求：
图2
(1)导体棒进入磁场上边缘的速度大小v ；
(2)导体棒通过磁场区域的过程中，通过导体棒的电荷量q ；
(3)导体棒通过磁场区域的过程中，电阻R 上产生的焦耳热Q 。

解析 (1)mgd sin 30°＝12
mv 2，解得v ＝2 m/s (2)E ＝ΔΦΔt
I ＝E R ＋r
q ＝I Δt ＝ΔΦR ＋r ＝BLd R ＋r
＝0.08 C (3)E ＝BLv ＝2 V
I ＝E R ＋r
＝0.4 A F ＝BIL ＝0.4 N
F ′＝mg sin 30°＝0.4 N 所以金属棒进入磁场后做匀速运动
Q ＝R R ＋r
mgd sin 30°＝0.096 J 答案 (1)2 m/s (2)0.08 C (3)0.096 J
3.(2018·南京市高三学情调研)如图3所示，电阻不计、间距为l ＝1.0 m 的光滑平行金属导轨，水平放置于磁感应强度B ＝1.0 T 、方向竖直向下的匀强磁场中，导轨左端接一定值电阻R ＝1.5 Ω，质量为m ＝1.0 kg 、电阻为r ＝0.5 Ω的金属棒MN 置于导轨上，始终垂直导轨且接触良好。

当MN 受到垂直于棒的水平外力
F ＝2.0 N 的作用，由静止开始运动，经过位移x ＝1.55 m ，到达PQ 处(图中未画出)，此时速度为v ＝2.0 m/s 。

求：
图3
(1)金属棒在PQ 处所受磁场作用力大小；
(2)金属棒在PQ 处的加速度大小；
(3)金属棒在运动中回路总共产生的热能。

解析 (1)速度为v ＝2.0 m/s 时，回路电动势E ＝Blv
产生的电流I ＝E
R ＋r
由此得磁场对金属棒的作用力F A ＝BIl ＝B 2l 2v R ＋r
＝1.0 N (2)由牛顿第二定律有F －F A ＝ma
解得a ＝F －F A m
＝1.0 m/s 2 (3)设安培力做功为W ，由运动中的能量关系
Fx ＋W ＝1
2
mv 2
解得W ＝12
mv 2－Fx ＝－1.1 J 棒克服安培力所做的功，即回路中总共产生的热能为1.1 J
答案 (1)1.0 N (2)1.0 m/s 2
(3)1.1 J
4.(2018·盐城市高三第三次模拟)如图4所示，在竖直平面内，水平且平行的Ⅰ、Ⅱ虚线间距为L ，其间有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B 。

一长为2L 、宽为L 矩形线框质量为m ，电阻为R 。

开始时，线框下边缘正好与虚线Ⅱ重合，由静止释放，线框上边缘进入磁场后线框一直做减速运动，经过一段时间后，线框上边缘经过虚线Ⅱ瞬间加速度恰为0。

重力加速度为g ，不计空气阻力。

求矩形线框穿过磁场过程中：
图4 (1)上边缘经过虚线Ⅱ瞬间，线框中的电流；
(2)磁通量变化率的最大值；
(3)线框中产生的焦耳热。

解析 (1) BIL ＝mg
得I ＝mg BL
(2) 线框上边刚进磁场时磁通量的变化率最大
ΔΦΔt ＝BLv 1 mgL ＝12
mv 2
1
得ΔΦΔt
＝BL 2gL (3) 设线框上边缘通过虚线Ⅱ瞬间线框速度为v 2，则 BLv 2＝IR
设线框穿过磁场过程中克服安培力做的功为W ，根据动能定理
mgL －W ＝1
2mv 2
2－12
mv 21 解得W ＝2mgL －m 3g 2R 2
2B 4L
4
答案 (1)mg BL (2)BL 2gL (3)2mgL －m 3g 2R 2
2B 4L
4 5.(2018·镇江市高三第一次模拟)如图5所示，两根足够长的平行金属导轨固定在倾角θ＝30°的斜面上，其电阻不计，间距为0.4 m 。

导轨所在空间被分成区域Ⅰ和Ⅱ，两区域的边界为MN ，区域Ⅰ和Ⅱ中的匀强磁场B 的方向分别垂直斜面向下和垂直斜面向上，磁感应强度大小均为0.
5 T 。

将质量为0.1 kg 、电阻为0.1 Ω的导体棒ab 放在导轨上的区域Ⅰ中，ab 刚好不下滑。

再在区域Ⅱ中将质量为0.4 kg 、电阻为0.1 Ω的光滑导体棒cd 从导轨上由静止开始下滑。

cd 棒始终处于区域Ⅱ中，两棒与导轨垂直且与导轨接触良好，g 取10 m/s 2。

图5
(1)求ab 棒所受最大静摩擦力，并判断cd 棒下滑时ab 棒中电流的方向；
(2)ab 棒刚要向上滑动时，cd 棒的速度大小v ；
(3)若从cd 棒开始下滑到ab 棒刚要向上滑动的过程中，装置中产生的总热量为2.6 J ，求此过程中cd 棒下滑的距离x 。

解析 (1) ab 刚好不下滑时，ab 所受摩擦力为最大静摩擦力
有f max ＝m 1g sin θ
则f max ＝0.5 N
由右手定则可知此时ab 中电流方向由a 流向b .
(2) 设ab 棒刚好要上滑时，cd 棒的感应电动势为E ，由法拉第电磁感应定律有 E ＝Blv
设电路中的感应电流为I ，由闭合电路欧姆定律有
I ＝E R 1＋R 2
设ab 棒所受安培力为F 安，有F 安＝BIl
此时ab 棒受到的最大静摩擦力方向沿斜面向下，
由平衡条件有F 安＝m 1g sin θ＋f max
代入数据解得v ＝5 m/s 。

(3) 设cd 棒的运动过程中电路中产生的总热量为Q 总，由能量守恒有
m 2gx sin θ＝Q 总＋12
m 2v 2
解得x ＝3.8 m 。

答案(1) 0.5 N 由a流向b(2) 5 m/s (3) 3.8 m
结束语
同学们，相信梦想是价值的源泉，相信成功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念。

加油~~。