河北省衡水中学2021届高三数学上学期四调考试试题 理(含解析)

2021-2022度高三年级上学期四调考试
数学（理科）试卷
一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分，下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）
1.已知集合(){}
|10A x x x =-≤，(){}
|ln B x y x a ==-，若A B A =，则实数a 的取
值范围为（ ） A. (),0-∞
B. (],0-∞
C. ()1,+∞
D.
[)1,+∞
【答案】A 【解析】 【分析】
分别求出集合A 集合B 范围，根据A
B A =得到A 是B 子集，根据范围大小得到答案.
【详解】(){}
|1001A x x x x =-≤⇒≤≤
(){}|ln B x y x a x a ==-⇒>
A B A A B ⋂=⇒⊆
所以0a < 故答案选A
【点睛】本题考查了集合的包含关系求取值范围，属于简单题.
2.已知AB 是抛物线2
2y x =的一条焦点弦，4AB =，则AB 中点C 的横坐标是 ( )
A. 2
B.
32
C.
12
D.
52
【答案】B 【解析】 【分析】
先设A B ，两点的坐标，由抛物线的定义表示出弦长，再由题意，即可求出中点的横坐标. 【详解】设()()1122A ,B ,x y x y ，，C 的横坐标为0x ，则12
02
x x x +=
， 因为AB 是抛物线2
2y x =的一条焦点弦，所以121214AB x x p x x =++=++=，
所以123x x +=，故1203
22
x x x +==. 故选B
【点睛】本题主要考查抛物线的定义和抛物线的简单性质，只需熟记抛物线的焦点弦公式即可求解，属于基础题型.
3.如图，圆柱的轴截面ABCD 为正方形，E 为弧BC 的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为（ ）
3
5 30 6【答案】D 【解析】 【分析】
取BC 的中点H ，连接,,?EH AH ED ，则异面直线AE 与BC 所成角即为EAD ∠，再利用余
弦定理求cos EAD ∠得解.
【详解】取BC 的中点H ，连接,,90,EH AH EHA ∠= 设2,AB =则1,5,BH HE AH ===所以6,AE =
连接,6,ED ED =
因为//,BC AD
所以异面直线AE 与BC 所成角即为,EAD ∠
在EAD 中6cos ,6226
EAD ∠==⨯⨯ 故选:D
【点睛】本题主要考查异面直线所成角的计算，考查余弦定理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力. 4.已知α、β都为锐角，且21
7
sin α=2114cos β=，则α﹣β＝（ ）
A. 3
π
-
B.
3π C. 6
π-
D.
6
π 【答案】C 【解析】 【分析】
由同角三角函数的关系以及两角和与差的公式即可求解. 【详解】因为α、β都为锐角，且21
7
sin α=
、2114cos β=，
所以27
cos α=
，57sin β=，
由()21212757491
sin sin cos cos sin 982
αβαβαβ-=-==-=-， 且α、β都为锐角， 所以6
π
αβ-=-
故选：C
【点睛】本题主要考查同角三角函数的关系以及两角和与差的正弦公式，属于基础题. 5.设a R ∈，[0,2]b π∈.若对任意实数x 都有sin(3)=sin()3
x ax b π
-+，则满足条件的有
序实数对（a,b ）的对数为（ ）. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
试题分析：5sin(3)sin(32)sin(3)3
3
3
x x x π
π
ππ-=-
+=+
，，
又4sin(3)sin[(3)]sin(3)333x x x π
πππ-
=--=-+，4(,)(3,)3
a b π
=-， 注意到[0,2)b π∈，只有这两组．故选B ． 【考点】三角函数
【名师点睛】本题根据三角函数的图象和性质及三角函数的诱导公式，利用分类讨论的方法，确定得到,a b 的可能取值.本题主要考查考生的逻辑思维能力、基本运算求解能力、数形结合思想、分类讨论思想等. 【此处有视频，请去附件查看】
6.已知F 是双曲线2
2:
145
x y C 的一个焦点，
点P 在C 上，O 为坐标原点，若=OP OF ，则OPF △的面积为（ ）
A. 3
2
B. 52
C. 72
D. 92
【答案】B 【解析】 【分析】
设()00,P x y ，因为=OP OF 再结合双曲线方程可解出0y ，再利用三角形面积公式可求出结果.
【详解】设点()00,P x y ，则22
00145
x y -=①．
又453OP OF ==+=，
22009x y ∴+=②．
由①②得2
025
9
y =
，
即053
y =
， 0115532232
OPF S OF y ∆∴=
=⨯⨯=， 故选B ．
【点睛】本题易错在忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅．
7.已知等差数列{}n a 的公差不为零，其前n 项和为n S ，若3S ，9S ，27S 成等比数列，则
9
3
S S =（） A. 3 B. 6
C. 9
D. 12
【答案】C 【解析】 【分析】
由题意，得2
9327S S S =⨯，利用等差数列的
求和公式，列出方程求得12d a =，即可求解9
3
S S 的值，得到答案.
【详解】由题意，知3S ，9S ，27S 成等比数列，所以2
9327S S S =⨯，
即2
19131279()3()27()222a a a a a a +++⎛⎫=
⨯ ⎪⎝⎭
， 整理得2521437821a a a =⨯，所以2
111(4)()(13)a d a d a d +=++，解得12d a =，
所以919135329()3()9223S a a a a a S a ++=÷=＝11
11
3(4)2793a d a a d a +==+， 故选C.
【点睛】本题主要考查了等比中项公式，以及等差数列的通项公式和前n 项和公式的应用，其中解答中熟练应用等差数列的通项公式和前n 项和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
8.在ABC ∆中，点P 满足3BP PC =，过点P 的直线与AB 、AC 所在的直线分别交于点
M 、N ，若AM AB λ=，()0,0AN AC μλμ=>>，则λμ+的最小值为（ ）
A.
2
1+ B.
3
12
+ C.
32
D.
52
【答案】B 【解析】 【分析】
由题意得出13
44
AP AB AC =
+，再由AM AB λ=，AN AC μ=，可得出1344AP AM AN λμ=
+，由三点共线得出13144λμ+=，将代数式λμ+与13
44λμ
+相乘，展开后利用基本不等式可求出λμ+的最小值. 【详解】如下图所示：
3BP PC =，即()
3AP AB AC AP -=-，13
44AP AB AC ∴=
+， AM AB λ=，()0,0AN AC μλμ=>>，1
AB AM λ
∴=
，1
AC AN μ
=
，
1344AP AM AN λμ∴=
+，M 、P 、N 三点共线，则13
144λμ
+=. ()13333
1211444444λμλμλμλμλμμλμλ⎛⎫∴+=++=++≥⋅=+ ⎪
⎝⎭
， 当且仅当3μλ=
时，等号成立，因此，λμ+3
1+，故选B.
【点睛】本题考查三点共线结论的应用，同时也考查了利用基本不等式求和式的最小值，解题时要充分利用三点共线得出定值条件，考查运算求解能力，属于中等题.
9.如图，点P 在正方体1111ABCD A B C D -的面对角线1BC 上运动，则下列四个结论：
①三棱锥1A D PC -的体积不变；
1//A P ②平面1ACD ； 1DP BC ⊥③；
④平面1PDB ⊥平面1ACD ．
其中正确的结论的个数是( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
【答案】C 【解析】 【
分析】
利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．
【详解】
对于①，由题意知11//AD BC ，从而1//BC 平面
1AD C ，
故BC 1上任意一点到平面1AD C 的距离均相等，
所以以P 为顶点，平面1AD C 为底面，则三棱锥1A D PC -的体积不变，故①正确；
对于②，连接1A B ，11A C ，111//AC AD 且相等，由于①知：11//AD BC ， 所以11//BA C 面1ACD ，从而由线面平行的定义可得，故②正确； 对于③，由于DC ⊥平面11BCB C ，所以1DC BC ⊥， 若1DP BC ⊥，则1BC ⊥平面DCP ，
1BC PC ⊥，则P 为中点，与P 为动点矛盾，故③错误；
对于④，连接1DB ，由1DB AC ⊥且11DB AD ⊥，
可得1DB ⊥面1ACD ，从而由面面垂直的判定知，故④正确． 故选C ．
【点睛】本题考查命题真假的判断，解题时要注意三棱锥体积求法中的等体积法、线面平行、垂直的判定，要注意使用转化的思想．
10.过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆截直线20x ay ++=所得弦长的最小值等于（ ）
A. B. D. 【答案】B 【解析】 【分析】
因为圆心在弦AC 的中垂线上，所以设圆心P 坐标为（a ，-2），再利用222r AP BP =+，求得1a =，确定圆的方程.又直线过定点Q ，则可以得到弦长最短时圆心与直线的定点Q 与弦垂直，然后利用勾股定理可求得弦长.
【详解】解：设圆心坐标P 为（a,-2），则r 2
＝()()()()2222
132422a a -++=-++，解
得a=1，所以P （1，-2）.又直线过定点Q （-2，0），当直线PQ 与弦垂直时，弦长最短，根
据圆内特征三角形可知弦长20x ay ++=被圆截得的
弦长为 故选B ．
11.如图，三棱柱111ABC A B C -的高为6，点D ，E 分别在线段11A C ，
1B C 上，111A C 3DC =，
11B C 4B = E.点A ，D ，E 所确定的平面把三棱柱切割成体积不相等的两部分，若底面ABC
的面积为6，则较大部分的体积为( )
A. 22
B. 23
C. 26
D. 27
【答案】B 【解析】 【分析】
延长AD 与CC 1的交点为P ，连接PE 与C 1B 1的交点为N ，延长PE 交B 1B 为M ，与面ABC 交于点Q ，得到截面为DNMA ，由题意得A 1D ＝2DC 1，由此能求出较大部分的体积． 【详解】如图，延长AD 与1CC 的交点为P ，连接PE 与11C B 的交点为N ， 延长PE 交1B B 为M ，与面ABC 交于点Q ， 得到截面为DNMA ，
111A C 3DC =，11B C 4B E =，M ∴，N 分别为11C B ，1B B 的中点，
下部分体积
11P AQC P DNC M ABQ AQC ABQ
DNC 11111
h
V V V V S h h S
h S 2332323
2
---⎛
⎫=--=⨯⨯+-⨯⨯-⨯⨯
= ⎪⎝
⎭下． 故选B ．
【点睛】本题考查几何体中两部分体积之比的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间不规则几何体体积的求解方法的培养．
12.设()()
2
2
D 22x x a e a
a =-+-++,其中 2.71828e ≈，则D 的最小值为( )
A. 2
B. 3
C. 21+
D. 31+
【答案】C 【解析】
分析：由2()(2)x x a e a -+-表示两点(,)x
C x e 与点(,2)A a a 的距离，而点A 在抛物线2
4y x =上，抛物线的焦点(1,0)F ，准线为1x =-，则D 表示A 与C 的距离和A 与准线的距离的和加上1，由抛物线的定义可得D 表示A 与C 的距离和加上1，画出图象，当
,,F A C 三点共线时，可求得最小值.
详解：由题意0a ≥，2()(2)2x D x a e a a =-+-++，
由2()(2)x x a e a -+-表示两点(,)x
C x e 与点(,2)A a a 的距离， 而点A 在抛物线2
4y x =上，抛物线的焦点(1,0)F ，准线为1x =-， 则D 表示A 与C 的距离和A 与准线的距离的和加上1， 由抛物线的定义可得D 表示A 与C 的距离和加上1，
由图象可知,,F A C 三点共线时，且QF 为曲线x
y e =的垂线，此时D 取得最小值， 即Q 为切点，设(,)m m e ，
由011
m m e e m -⋅=--，可得21m m e +=，
设()2m
g m m e
=+，则()g m 递增，且(0)1g =，可得切点(0,1)Q ，
即有112FQ +==，则D 的最小值为21+，故选C.
点睛：本题考查直线与抛物线的综合应用问题，解答中注意运用两点间的距离公式和抛物
线的定义，以及三点共线等知识综合运用，着重考查了转化与化归思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.
二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）
13.已知函数()2log ,042,0x
x x f x x ->⎧=⎨-≤⎩
，则18f f ⎛
⎫
⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
______. 【答案】-4 【解析】 【分析】
先求18f ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，再求18f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.
【详解】因为函数()2log ,0
42,0
x
x x f x x ->⎧=⎨
-≤⎩， 则2
11
log 388
f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭
()1348f f f ⎛⎫
⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.故答案为-4. 【点睛】本题考查了分段函数求值，属于简单题型.
14.已知1F ，2F 分别为椭圆22:1259
x y
C +=的左、右焦点，且点A 是椭圆C 上一点，点M
的坐标为(2,0)，若AM 为12F AF ∠的角平分线，则2AF =___________. 【答案】
52
【解析】 【分析】
由题意可知：A 在y 轴左侧，112
2
AF F M AF MF =
=3，根据椭圆的性质可知：|AF 1|+|AF 2|＝2a ＝
10，即可求得|AF 2|的值．
【详解】解：由题意可知：∠F 1AM ＝∠MAF 2，设A 在y 轴左侧，
∴11
22
AF F M
AF MF
==3，
由|AF1|+|AF2|＝2a＝10，
A在y轴右侧时，|AF2|
105
42
==，
故答案为：
5
2
．
【点睛】本题考查椭圆的几何性质及角平分线的性质，属于基本知识的考查．
15.如图（1），在等腰直角ABC
∆中，斜边4
AB=，D为AB的中点，将ACD
∆沿CD折叠得到如图（2）所示的三棱锥C A BD
'
-，若三棱锥C A BD
'
-的外接球的半径为5，则A DB
'
∠=_________.
图（1）图（2）
【答案】
2
3
π
【解析】
【分析】
5
分析即可解决．
【详解】解：球是三棱锥C﹣A'BD的外接球，所以球心O到各顶点的距离相等，如图．
根据题意，CD ⊥平面A 'BD ，
取CD 的中点E ，A 'B 的中点G ，连接CG ，DG ， 因为A 'D ＝BD ，CD ⊥平面A 'BD ， 所以A '和B 关于平面CDG 对称，
在平面CDG 内，作线段CD 的垂直平分线，则球心O 在线段CD 的垂直平分线上，设为图中的
O 点位置，过
O 作直线CD 的平行线，交平面A 'BD 于点F ，
则OF ⊥平面A 'BD ，且OF ＝DE ＝1， 因为A 'F 在平面A 'BD 内，所以OF ⊥A 'F ， 即三角形A 'OF 为直角三角形，且斜边OA '＝R 5=，
∴A 'F 2251R OF =
-=-=2，
所以，BF ＝2，
所以四边形A 'DBF 为菱形，
又知OD ＝R ，三角形ODE 为直角三角形， ∴OE 2251R DE =
-=-=2，
∴三角形A 'DF 为等边三角形， ∴∠A 'DF 3π
=
，
故∠A 'DB 23π
=，
故填：23
π．
【点睛】本题考查了三棱锥的外接球的问题，找到球心的位置是解决本题的关键．属于中档题．
16.设定义在D 上的函数()y h x =在点00(,())P x h x 处的切线方程为:()l y g x =，当0
x x ≠时，若
()()
0h x g x x x ->-在D 内恒成立，则称P 点为函数()y h x =的“类对称中心点”，则
函数2
2()ln 2x f x x e
=+的“类对称中心点”的坐标是________.
【答案】3
(,)2
e 【解析】 【分析】
由求导公式求出函数f （x ）的导数，由导数的几何意义和条件求出切线方程，再求出y ＝g （x ），设F （x ）＝f （x ）﹣g （x ），求出导数化简后利用分类讨论和导数与函数单调性的关系，判断出F （x ）的单调性和最值，从而可判断出()()0
f x
g x x x --的符号，再由“类对称中
心点”的定义确定“类对称中心点”的坐标．
【详解】解：由题意得，f ′（x ）21x e x =+，f （x 0）2
0022x lnx e
=+（x ＞0），
即函数y ＝f （x ）的定义域D ＝（0，+∞），
所以函数y ＝f （x ）在点P （x 0，f （x 0））处的切线方程l 方程为：
y ﹣（2
0022x lnx e
+）＝（0201x e x +）（x ﹣x 0），
则g （x ）＝（0201x e x +）（x ﹣x 0）+（20
022x lnx e
+），
设F （x ）＝f （x ）﹣g （x ）222x e =+lnx ﹣[（020
1x e x +）（x ﹣x 0）+（20
022x lnx e +）]，
则F （x 0）＝0，
所以F ′（x ）＝f ′x ）﹣g ′（x ）2
1x e x
=
+-（0201x e x +）02011x x e x x -=+- ()()00022001
11x x x x x x x e xx x e x ⎛⎫-=
-+=-- ⎪⎝⎭
当0＜x 0＜e 时，F （x ）在（x 0，2
e x ）上递减，
∴x ∈（x 0，2
0e x ）时，F （x ）＜F （x 0）＝0，此时
()()00f x g x x x --＜， 当x 0＞e 时，F （x ）在（2
e x ，x 0）上递减；
∴x ∈（2
0e x ，x 0）时，F （x ）＞F （x 0）＝0，此时
()()0
0f x g x x x --＜， ∴y ＝F （x ）在（0，e ）∪（e ，+∞）上不存在“类对称点”．
若x 0＝e ，()222
11()
x x e x e x e e xe -⎛⎫--= ⎪⎝⎭
＞0，则F （x ）在（0，+∞）上是增函数， 当x ＞x 0时，F （x ）＞F （x 0）＝0，当x ＜x 0时，F （x ）＜F （x 0）＝0， 故
()()0
0f x g x x x --＞，
即此时点P 是y ＝f （x ）的“类对称点”，
综上可得，y ＝F （x ）存在“类对称点”，e 是一个“类对称点”的横坐标，
又f （e ）223
22e lne e =+=，所以函数f （x ）的“类对称中心点”的坐标是32e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，
故答案为：32e ⎛⎫
⎪⎝⎭
，．
【点睛】本题考查利用导数求函数的单调增区间，求函数的最值问题、新定义的问题，考查了分类讨论思想和等价转化思想的合理运用，以及化简变形能力，此题是难题．
三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.在平面四边形ABCD 中，A C π∠+∠=，1AB =，3BC =，2CD DA ==. （1）求C ∠；
（2）若E 是BD 的中点，求CE . 【答案】（1）60C =；（2
）CE =【解析】 【分析】
（1）利用余弦定理进行化简，求出C ；（2）利用向量法求出CE ．
【详解】（1）由题设及余弦定理得：2222cos BD BC CD BC CD =+-⋅1312cos C C =-，
BD 2＝AB 2+DA 2﹣2AB •DA cos A ＝5+4cos C ，
所以cos C 1
2
=
， 60C ∴=；
（2）由1
()2
CE CD CB =
+，得2221(2)4CE CD CB CD CB =++⋅1119(49223)424=++⨯⨯⨯=所以192
CE =.
【点睛】本题考查余弦定理的应用，考查了向量数量积运算，属于中档题．
18. 如图，已知正三棱锥P-ABC 的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P 在平面ABC 内的正投影为点D ，D 在平面PAB 内的正投影为点E ，连结PE 并延长交AB 于点G.
（Ⅰ）证明：G 是AB 的中点；
（Ⅱ）在图中作出点E 在平面PAC 内的正投影F （说明作法及理由），并求四面体PDEF 的体积．
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）作图见解析，体积为4
3
. 【解析】
试题分析：证明.AB PG ⊥由PA PB =可得G 是AB 的中点.（Ⅱ）在平面PAB 内，过点E 作PB 的平行线交PA 于点F ，F 即为E 在平面PAC 内的正投影.根据正三棱锥的侧面是
直角三角形且6PA =，可得2,2 2.==DE PE 在等腰直角三角形EFP 中，可得
2.==EF PF 四面体PDEF 的体积114
222.323
V =⨯⨯⨯⨯=
试题解析：（Ⅰ）因为P 在平面ABC 内的正投影为D ，所以.AB PD ⊥
因为D 在平面PAB 内的正投影为E ，所以.AB DE ⊥ 所以AB ⊥平面PED ，故.AB PG ⊥
又由已知可得，PA PB =，从而G 是AB 的中点.
（Ⅱ）在平面PAB 内，过点E 作PB 的平行线交PA 于点F ，F 即为E 在平面PAC 内的正投影.
理由如下：由已知可得PB PA ⊥，PB PC ⊥，又EF
PB ,所以EF PA EF PC ⊥⊥，,
因此EF ⊥平面PAC ，即点F 为E 在平面PAC 内的正投影.
连结CG ，因为P 在平面ABC 内的正投影为D ，所以D 是正三角形ABC 的中心. 由（Ⅰ）知，G 是AB 的中点，所以D 在CG 上，故2
.3
=
CD CG 由题设可得PC ⊥平面PAB ，DE ⊥平面PAB ，所以DE PC ，因此
21
,.33
=
=PE PG DE PC 由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且6PA =，可得2, 2.==DE PE 在等腰直角三角形EFP 中，可得 2.==EF PF 所以四面体PDEF 的体积114
222.323
V =
⨯⨯⨯⨯= 【考点】线面位置关系及几何体体积的计算
【名师点睛】文科立体几何解答题主要考查线面位置关系的证明及几何体体积的计算,空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系,其中推理论证的关键是结合空间想象能力进行推理,注意防止步骤不完整或考虑不全致推理片面,该类题目
难度不大,以中档题为主.
【此处有视频，请去附件查看】
19.设椭圆
22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>的右顶点为A，上顶点为B
．已知椭圆的离心率为
3
，
AB=．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线:(0)
l y kx k
=<与椭圆交于P，Q两点，l与直线AB交于点M，且点P，M均在第四象限．若BPM
△的面积是BPQ面积的2倍，求k的值．
【答案】（1）
22
1
94
x y
+=；(2)
1
2
-．
【解析】
分析：（I）由题意结合几何关系可求得3,2
a b
==.则椭圆的方程为
22
1
94
x y
+=.
（II）设点P的坐标为()
11
,x y，点M的坐标为()
22
,x y，由题意可得
21
5
x x
=.
易知直线AB的方程为236
x y
+=，由方程组
236,
,
x y
y kx
+=
⎧
⎨
=
⎩
可得
2
6
32
x
k
=
+
.由方程组
22
1,
94
,
x y
y kx
⎧
+
⎪
=
⎨
⎪=
⎩
可得1x=.结合21
5
x x
=，可得
8
9
k=-，或
1
2
k=-.经检验k的值为
1
2
-.
详解：（I）设椭圆的焦距为2c，由已知得
2
2
5
9
c
a
=，又由222
a b c
=+，可得23
a b
=
．由||
AB==,从而3,2
a b
==．
所以，椭圆的方程为
22
1
94
x y
+=．
（II）设点P的坐标为11
(,)
x y，点M的坐标为
22
(,)
x y，由题意，
21
x x
>>，
点Q 的坐标为11(,)x y --．由BPM △的面积是BPQ 面积的2倍，可得||=2||PM PQ ， 从而21112[()]x x x x -=--，即215x x =． 易知直线AB 的方程为236x y +=，由方程组236,,x y y kx +=⎧⎨
=⎩
消去y ，可得26
32x k =+．由
方程组
22
1,94,
x y y kx ⎧+⎪=⎨⎪=⎩
消去y ，可得12
94x k =+．由215x x =，可得2945(32)k k +=+，两边平方，整理得2182580k k ++=，解得89k =-，或12
k =-． 当89k =-时，290x =-<，不合题意，舍去；当1
2k =-时，212x =，1125
x =，符合题意．
所以，k 的值为1
2
-
． 点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
20.如图，四边形ABCD 是平行四边形，平面AED ⊥平面ABCD ，//EF AB ，2AB =，
3DE =，1BC EF ==，6AE =，60BAD ︒∠=，G 为BC 的中点.
（1）求证：平面BED ⊥平面AED ； （2）求直线EF 与平面BED 所成角的正弦值. 【答案】（1）见解析；（25
【解析】 【分析】
（1）根据余弦定理求出BD 3=，继而得到BD ⊥AD ，再根据面面垂直的判定定理即可证明； （2）先判断出直线EF 与平面BED 所成的角即为直线AB 与平面BED 所形成的角，再根据余弦定理和解直角三角形即可求出答案．
【详解】（1）证明：在ABD ∆中，1AD =，2AB =，60BAD ︒∠=，由余弦定理可得
3BD =，进而90ADB ︒∠=，即BD AD ⊥，又∵平面AED ⊥平面ABCD ，
BD ⊂平面ABCD ，平面AED 平面ABCD AD =，∴BD ⊥平面AED ，
∵BD ⊂平面BED ，∴平面BED ⊥平面AED .
（2）∵//EF AB ，∴直线EF 与平面BED 所成的角即为直线AB 与平面BED 所形成的角，
过点A 作AH DE ⊥于点H ，连接BH ，又平面BED
平面AED ED =，
由（1）知AH ⊥平面BED ，∴直线AB 与平面BED 所成的角为ABH ∠， 在ADE ∆，1AD =，3DE =，6AE =
，由余弦定理得2
cos 3
ADE ∠=
， ∴5sin 3ADE ∠=
，∴53AH AD =⋅，在Rt AHB ∆中，5sin 6
AH ABH AB ∠==， ∴直线EF 与平面BED 所成角的正弦值
5
6
.
【点睛】本题考查了平面与平面的垂直，直线与平面所成的角，考查了空间想象能力，运算能力和推理论证能力，属于中档题．
21.设抛物线Γ的方程为2
2y px =，其中常数0p >，F 是抛物线Γ的焦点.
（1）设A 是点F 关于顶点O 的对称点，P 是抛物线Γ上的动点，求
||
||
PA PF 的最大值；
（2）设2p =，1l ，2l 是两条互相垂直，且均经过点F 的
直线，1l 与抛物线Γ交于点A ，B ，
2l 与抛物线Γ交于点C ，D ，若点G 满足4FG FA FB FC FD =+++，求点G 的轨迹方程.
【答案】（1
；（2）23y x =- 【解析】 【分析】
（1）求得A 的坐标，设出过A 的直线为y ＝k （x 2
p
+），k ＝tan α，联立抛物线方程，运用判别式为0，求得倾斜角，可得所求最大值；
（2）求得F （1，0），设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），D （x 4，y 4），G （x ，y ），设
l 1：y ＝k （x ﹣1），联立抛物线方程，运用韦达定理，以及两直线垂直的条件：斜率之积为
﹣1，结合向量的坐标表示，以及消元，可得所求轨迹方程． 【详解】（1）A 是点(
,0)2p F 关于顶点O 的对称点，可得(,0)2
p
A -， 设过A 的直线为()2
p
y k x =+，tan k α=，
联立抛物线方程可得22
22
2
(2)04
k p k x k p p x +-+=， 由直线和抛物线相切可得2242
(2)0k p p k p ∆=--=，解得1k =±， 可取1k =，可得切线的倾斜角为45°，
由抛物线的定义可得||11
||sin(90)cos PA PF αα︒
==-，而α的最小值为45°， ||
||
PA PF
； （2）由2
4y x =，可得(1,0)F ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ，()G x y ,，
设1:(1)l y k x =-，联立抛物线24y x =，可得222
2
(24)0k x k x k -++=，
即有122
42x x k
+=+
，12124
()2y y k x x k k +=+-=， 由两直线垂直的条件，可将k 换为1
k
-，可得23424x x k +=+，344y y k +=-，
点G 满足4FG FA FB FC FD =+++，可得
123412344(1,)(4,)x y x x x x y y y y -=+++-+++，
即为2
12342
4
444x x x x x k k =+++=+
+，1234
444y y y y y k k =+++=-+， 可得222
211()23y k k x k k
=-=+-=-，则G 的轨迹方程为23y x =-.
【点睛】本题考查抛物线的定义和方程、性质，考查直线和抛物线的位置关系，注意联立直线方程和抛物线方程，运用判别式和韦达定理，考查向量的坐标表示，以及化简运算能力，属于中档题．
22.设,a b ∈R ，||1a ≤.已知函数3
2
()63(4)f x x x a a x b =---+，()()x
g x e f x =.
（Ⅰ）求()f x 的单调区间；
（Ⅱ）已知函数()y g x =和x
y e =的图象在公共点（x 0，y 0）处有相同的切线，
（i ）求证：()f x 在0x x =处的导数等于0；
（ii ）若关于x 的
不等式()e x g x ≤在区间00[1,1]x x -+上恒成立，求b 的取值范围. 【答案】（I ）单调递增区间为(,)a -∞，(4,)a -+∞，单调递减区间为(,4)a a -.（II ）（i ）见解析.（ii ）[7,1]-. 【解析】
试题分析：求导数后因式分解根据1a ≤，得出4a a <-，根据导数的符号判断函数的单
调性，给出单调区间，对()g x 求导，根据函数()y g x =和x
y e =的图象在公共点（x 0，y 0）
处有相同的切线，解得0()0f x '=，根据()f x 的单调性可知()()1f f x a ≤=在[1,1]a a -+上恒成立，关于x 的不等式()e x g x ≤在区间00[1,1]x x -+上恒成立，得出
32()63(4)1f a a a a a a b =---+=，得32261b a a =-+，11a -≤≤，
求出()f a 的范围，得出b 的范围.
试题解析：（I ）由()()3
2
634f x x x a a x b =---+，可得
()()()()()2'3123434f x x x a a x a x a =---=---，
令()'0f x =，解得x a =，或4x a =-.由1a ≤，得4a a <-. 当x 变化时，()'f x ，()f x 的变化情况如下表：
所以，()f x 的单调递增区间为(),a -∞，()4,a -+∞，单调递减区间为(),4a a -.
（II ）（i ）因为()()()()''x
g x e f x f x =+，由题意知()()0
000'x x g x e g x e ⎧=⎪⎨=⎪⎩
，
所以()()
()()0000
000'x x x x f x e e e f x f x e ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得()()001'0f x f x ⎧=⎪
⎨=⎪⎩. 所以，()f x 在0x x =处的导数等于0.
（ii ）因为()x
g x e ≤，[]
001,1x x x ∈-+，由0x e >，可得()1f x ≤.
又因为()01f x =，()0'0f x =，故0x 为()f x 的极大值点，由（I ）知0x a =. 另一方面，由于1a ≤，故14a a +<-，
由（I ）知()f x 在()1,a a -内单调递增，在(),1a a +内单调递减，
故当0x a =时，()()1f x f a ≤=在[]
1,1a a -+上恒成立，从而()x
g x e ≤在
[]001,1x x -+上恒成立.
由()()3
2
6341f a a a a a a b =---+=，得32261b a a =-+，11a -≤≤.
令()3
2
261t x x x =-+，[]
1,1x ∈-，所以()2'612t x x x =-，
令()'0t x =，解得2x =（舍去），或0x =.
因为()17t -=-，()13t =-，()01t =，故()t x 的值域为[]
7,1-. 所以，b
取值范围是[]
7,1-.
【考点】导数的应用
【名师点睛】利用导数工具研究函数是历年高考题中的难点问题，利用导数判断函数的单调
性，求函数的极值或最值，利用导数的几何意义研究曲线的切线方程以及利用导数研究函数的零点和值域也是常见考法，本题把恒成立问题转化为函数值域问题很巧妙，问题转化为借助导数研究函数在某区间上的取值范围去解决，方法灵活思维巧妙，匠心独运.。