江西省赣州厚德外国语学校2025届数学高三第一学期期末复习检测模拟试题含解析

江西省赣州厚德外国语学校2025届数学高三第一学期期末复习检测模拟试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是（ ）．
A ．收入最高值与收入最低值的比是3:1
B ．结余最高的月份是7月份
C ．1与2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同
D ．前6个月的平均收入为40万元 2．已知复数，则的共轭复数在复平面对应的点位于（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．已知双曲线22
22:10,0()x y C a b a b
-=>>的左、右顶点分别为12A A 、，点P 是双曲线C 上与12A A 、不重合的动点，
若123PA PA k k =， 则双曲线的离心率为( ) A 2
B 3
C ．4
D ．2
4．若非零实数a 、b 满足23a b =，则下列式子一定正确的是（ ） A ．b a > B ．b a < C ．b a <
D ．b a >
5．已知m ∈R ，复数113z i =+，22z m i =+，且12z z ⋅为实数，则m =（ ） A ．23
-
B ．
23
C ．3
D ．-3
6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A ．83π
1633
+
B ．4π1633
+
C ．
16343π
3
+
D ．43π
1633
+
7．若双曲线C ：2
21x y m
-=的一条渐近线方程为320x y +=，则m =（ ）
A ．
49
B ．
94
C ．
23
D ．
32
8．盒中装有形状、大小完全相同的5张“刮刮卡”，其中只有2张“刮刮卡”有奖，现甲从盒中随机取出2张，则至少有一张有奖的概率为( ) A ．
12
B ．
35
C ．
710
D ．
45
9．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，6353a a a +-=，则7S =（ ） A ．42
B ．21
C ．7
D ．3
10．集合{}|212P x N x =∈-<-<的子集的个数是（ ） A ．2
B ．3
C ．4
D ．8
11．已知函数()f x 的图象如图所示，则()f x 可以为（ ）
A ．3
()3x f x x =-
B ．e e ()x x
f x x --= C ．2()f x x x =-
D ．||
e ()x
f x x
=
12．已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 是C 的右支上一点，连接1PF 与y 轴交
于点M ，若1
2||FO OM =（O 为坐标原点），12PF PF ⊥，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A ．3y x =±
B ．3y x =±
C ．2y x =±
D ．2y x =±
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．如果椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点组成一正三角形，焦点在x 轴上，且a c -=, 那么椭圆
的方程是 ．
14．若曲线()ln x
f x ae x =-（其中常数0a ≠）在点(1,(1))f 处的切线的斜率为1，则a =________.
15．若实数,x y 满足不等式组023010y x y x y ≥⎧⎪
-+≥⎨⎪+-≤⎩
，则2z y x =-的最小值是___
16．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，
AB BC ⊥，且4AP AC ==，过A 点分别作AE PB ⊥于点E ，AF PC ⊥于点F ，连接EF ，则三棱锥P AEF -的
体积的最大值为__________．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2212x t
y t =⎧⎪
⎨=⎪⎩
（t 为参数）
，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 极坐标方程为cos 24πρθ⎛
⎫
-
= ⎪⎝
⎭
若直线l 交曲线C 于A ，B 两点，求线段AB 的长. 18．（12分）（1）已知数列{}n a 满足：121,a a λ==，且1121n n n n n a a a a a λ+--=-（λ为非零常数，*
2,n n N ≥∈），
求数列()*
12,n n a n n N a -⎧⎫≥∈⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和； （2）已知数列{}n b 满足：
（ⅰ）对任意的*
1,0n n n N b b +∈<≤；
（ⅱ）对任意的*
2,n n N ≥∈，()()*111*
2,21,,2,
n n n n q n k k N b b q n k k N μμ-+⎧=+∈⎪⋅=⎨=∈⎪⎩()120,0,0q q μ>>>，且2121b q q b =. ①若121,q q μ==，求数列{}n b 是等比数列的充要条件.
②求证：数列12569104342,,,,,,,,,m m b b b b b b b b --⋯⋯是等比数列，其中*m N ∈.
19．（12分）己知ΔABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .设23sin 3sin 3sin 42sin sin sin sin B C A
C B B C
+=+
（1）求tan A 的值；
（2）若2sin 3sin B C =，且Δ22ABC S =，求a 的值.
20．（12分）已知函数()3
2
f x ax bx =+，当1x =时，有极大值3；
（1）求a ，b 的值；
（2）求函数()f x 的极小值及单调区间.
21．（12分）已知数列{}n a 为公差为d 的等差数列，0d >，44a =，且1a ，3a ，9a 依次成等比数列，2n a
n b =.
（1）求数列{}n b 的前n 项和n S ； （2）若1
2n
n n n b c S S +=
⋅，求数列{}n c 的前n 项和为n T .
22．（10分）如图，两座建筑物AB ，CD 的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是10m 和20m ，从建筑物AB 的顶部A 看建筑物CD 的视角∠CAD ＝60°．
（1）求BC 的长度；
（2）在线段BC 上取一点P （点P 与点B ，C 不重合），从点P 看这两座建筑物的视角分别为∠APB ＝α，∠DPC ＝β，问点P 在何处时，α+β最小？
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D 【解析】
由图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3:1，故A 项正确； 结余最高为7月份，为802060-=，故B 项正确；
1至2月份的收入的变化率为4至5月份的收入的变化率相同，故C 项正确；
前6个月的平均收入为1
(406030305060)456
+++++=万元，故D 项错误．
综上，故选D ． 2、C 【解析】
分析：根据复数的运算，求得复数，再利用复数的表示，即可得到复数对应的点，得到答案． 详解：由题意，复数
，则
所以复数在复平面内对应的点的坐标为
，位于复平面内的第三象限，故选C ．
点睛：本题主要考查了复数的四则运算及复数的表示，其中根据复数的四则运算求解复数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力． 3、D 【解析】
设()00,P x y ，()1,0A a -，()2,0A a ，根据12
3PA PA k k =可得2
22
33y x a =-①，再根据又22
00221x y a b
-=②，由①②可得(
)()
22
2222033b a x
a b a -=-，化简可得2c a =，即可求出离心率．
【详解】
解：设()00,P x y ，()1,0A a -，()2,0A a ， ∵123PA PA k k =，
∴
00
00·3y y x a x a
=+-，即22
20033y x a =-，①
又2200
221x y a b
-=，②， 由①②可得(
)()
22
2
2220
33b a x
a b a -=-，
∵0x a ≠±， ∴2230b a -=，
∴22223b a c a ==-， ∴2c a =， 即2e =， 故选：D ．
【点睛】
本题考查双曲线的方程和性质，考查了斜率的计算，离心率的求法，属于基础题和易错题． 4、C 【解析】
令23a b t ==，则0t >，1t ≠，将指数式化成对数式得a 、b 后，然后取绝对值作差比较可得． 【详解】
令23a b t ==，则0t >，1t ≠，2lg log lg 2t a t ∴==
，3lg log lg 3
t
b t ==， ()
lg lg lg lg 3lg 20lg 2lg 3lg 2lg 3
t t t a b -∴-=
-=>⋅，因此，a b >. 故选：C. 【点睛】
本题考查了利用作差法比较大小，同时也考查了指数式与对数式的转化，考查推理能力，属于中等题． 5、B 【解析】
把22z m i =-和 113z i =+代入12z z ⋅再由复数代数形式的乘法运算化简，利用虚部为0求得m 值． 【详解】
因为()()()()12132632z z i m i m m i ⋅=+-=++-为实数，所以320m -=，解得23
m =. 【点睛】
本题考查复数的概念，考查运算求解能力. 6、D 【解析】
结合三视图可知,该几何体的上半部分是半个圆锥,下半部分是一个底面边长为4,高为4的正三棱柱,分别求出体积即可. 【详解】
由三视图可知该几何体的上半部分是半个圆锥,下半部分是一个底面边长为4,高为4的正三棱柱,则上半部分的半个圆
锥的体积1
114π233
V =⨯⨯⨯=
,下半部分的正三棱柱的体积21442V =⨯⨯=故该几何体的体积
123
V V V =+=
+故选:D. 【点睛】
本题考查三视图,考查空间几何体的体积,考查空间想象能力与运算求解能力,属于中档题. 7、A 【解析】
根据双曲线的渐近线列方程，解方程求得m 的值. 【详解】
由题意知双曲线的渐近线方程为()0y x m
=>，320x y +=可化为32y x =-32=，解得49
m =. 故选：A 【点睛】
本小题主要考查双曲线的渐近线，属于基础题. 8、C 【解析】
先计算出总的基本事件的个数，再计算出两张都没获奖的个数，根据古典概型的概率，求出两张都没有奖的概率，由对立事件的概率关系，即可求解.
【详解】
从5张“刮刮卡”中随机取出2张，共有2
510C =种情况，
2张均没有奖的情况有2
33C =（种），故所求概率为37
11010
-
=. 故选:C. 【点睛】
本题考查古典概型的概率、对立事件的概率关系，意在考查数学建模、数学计算能力，属于基础题. 9、B 【解析】
利用等差数列的性质求出4a 的值，然后利用等差数列求和公式以及等差中项的性质可求出7S 的值. 【详解】
由等差数列的性质可得6354553a a a a a a +-=+-=，
()174
7772732122
a a a S +⨯∴=
==⨯=. 故选：B. 【点睛】
本题考查等差数列基本性质的应用，同时也考查了等差数列求和，考查计算能力，属于基础题. 10、D 【解析】
先确定集合P 中元素的个数，再得子集个数． 【详解】
由题意{|13}{0,1,2}P x N x =∈-<<=，有三个元素，其子集有8个． 故选：D ． 【点睛】
本题考查子集的个数问题，含有n 个元素的集合其子集有2n 个，其中真子集有21n -个． 11、A 【解析】
根据图象可知，函数()f x 为奇函数，以及函数在()0,∞+上单调递增，且有一个零点，即可对选项逐个验证即可得出． 【详解】
首先对4个选项进行奇偶性判断，可知，e e ()x x
f x x
--=为偶函数，不符合题意，排除B ；
其次，在剩下的3个选项,对其在()0,∞+上的零点个数进行判断, ||
e ()x
f x x
=在()0,∞+上无零点, 不符合题意，排除
D ；然后,对剩下的2个选项,进行单调性判断, 2
()f x x x
=-在()0,∞+上单调递减, 不符合题意，排除C. 故选：A ． 【点睛】
本题主要考查图象的识别和函数性质的判断，意在考查学生的直观想象能力和逻辑推理能力，属于容易题． 12、C 【解析】
利用三角形1OMF ∆与2PF F ∆相似得122PF PF =，结合双曲线的定义求得,,a b c 的关系，从而求得双曲线的渐近线方程。

【详解】
设1(,0)F c -，2(,0)F c ，
由1
2||FO OM =，1OMF ∆与2PF F ∆相似， 所以
1
12
2||P F F P OM F O ==，即122PF PF =，
又因为122PF PF a -=， 所以14PF a =，22PF a =，
所以2224164c a a =+，即225c a =，224b a =， 所以双曲线C 的渐近线方程为2y x =±. 故选：C. 【点睛】
本题考查双曲线几何性质、渐近线方程求解，考查数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力。

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、
【解析】
由题意可设椭圆方程为：
∵短轴的一个端点与两焦点组成一正三角形，焦点在轴上 ∴tan 360b
c
︒== 又，
∴
，
∴椭圆的方程为22
1129x y +=，
故答案为22
1129
x y +=．
考点：椭圆的标准方程，解三角形以及解方程组的相关知识． 14、
2e
【解析】
利用导数的几何意义，由'
(1)1f =解方程即可. 【详解】
由已知，'
1()e x
f x a x
=-
，所以'1
(1)e 11f a =-=，解得2e a =.
故答案为：2
e
. 【点睛】
本题考查导数的几何意义，考查学生的基本运算能力，是一道基础题. 15、-1 【解析】
作出可行域，如图：
由2z y x =-得11y 22x z =
+,由图可知当直线经过A 点时目标函数取得最小值，A （1,0） 所以min Z =-1
故答案为-1
16、3
【解析】
由已知可得△AEF 、△PEF 均为直角三角形，且AF ＝，由基本不等式可得当AE ＝EF ＝2时，△AEF 的面积最大，然后由棱锥体积公式可求得体积最大值．
【详解】
由PA ⊥平面ABC ，得PA ⊥BC ，
又AB ⊥BC ，且PA ∩AB ＝A ，∴BC ⊥平面PAB ，则BC ⊥AE ，
又PB ⊥AE ，则AE ⊥平面PBC ，
于是AE ⊥EF ，且AE ⊥PC ，结合条件AF ⊥PC ，得PC ⊥平面AEF ，
∴△AEF 、△PEF 均为直角三角形，由已知得AF ＝，
而S △AEF ＝1124AE EF ⨯⨯≤（AE 2+EF 2）＝14
AF 2＝2， 当且仅当AE ＝EF =2时，取“＝”，此时△AEF 的面积最大，
三棱锥P ﹣AEF 的体积的最大值为：
V P ﹣AEF ＝13AEF PF S ⨯⨯＝1
23⨯．
故答案为
3
【点睛】 本题主要考查直线与平面垂直的判定，基本不等式的应用，同时考查了空间想象能力、计算能力和逻辑推理能力，属于中档题．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、16 【解析】
由cos cos cos sin sin 444πππ
ρθρθρθ⎛
⎫-=+= ⎪⎝⎭，化简得cos sin 2ρθρθ+=，由cos ,sin x y ρθρθ==，所
以直线l 的直角坐标方程为2x y +=，因为曲线C 的参数方程为2212x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩
，整理得28x y =，直线l 的方程与曲线C 的方程联立，228x y x y +=⎧⎨
=⎩，整理得28160x x +-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则1128,16x x x x +==-，根据弦长公式求解即可.
【详解】
由cos cos cos sin sin 444πππ
ρθρθρθ⎛
⎫-=+= ⎪⎝⎭，化简得cos sin 2ρθρθ+=， 又因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以直线l 的直角坐标方程为2x y +=，
因为曲线C 的参数方程为2212x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩
，消去t ，整理得28x y =， 将直线l 的方程与曲线C 的方程联立，228x y x y
+=⎧⎨=⎩，消去y ，整理得28160x x +-=， 设()()1122,,,A x y B x y ，则1128,16x x x x +==-，
所以
AB ===
将1128,16x x x x +==-，代入上式，整理得16AB =.
【点睛】
本题考查参数方程，极坐标方程的应用，结合弦长公式的运用，属于中档题.
18、（1）
(1)2
n n λ+；（2）①1121b q q q ====；②证明见解析. 【解析】
（1）由条件可得11n n n n a a a a λ+--=，结合等差数列的定义和通项公式、求和公式，即可得到所求； （2）①若1μ=，可令12q q q ==，运用已知条件和等比数列的性质，即可得到所求充要条件；
②当2k m =，441412m m m b b q μ-+=，4241432m m m b b q μ---=，由等比数列的定义和不等式的性质，化简变形，即可得到所求
结论．
【详解】
解：（1）11a =，2a λ=，且2111(n
n n n n a a a a a λλ+--=-为非零常数，2n ，*)n N ∈，
可得11
n n n n a a a a λ+--=， 可得数列1{
}n n a a -的首项为λ，公差为λ的等差数列， 可得1(1)n n a n a λ-=-，前n 项和为(1)2
n n λ+； （2）①若1μ=，可令12q q q ==，11n n n b b q -+=，
且21b q b =，即21b b q =，231q b b =，32
421
q q b b b ==，251b b q =， 对任意的*n N ∈，10n n b b +<，可得123450b b b b b <，
可得1q ，11b ，
数列{}n b 是等比数列，则2
213b b b =，2435b b b =， 可得11b q ==，111n n b b -+=，即23411b b b b ====，
又131n n b b ++=，即有13n n b b -+=，即1n b =，
数列{}n b 是等比数列的充要条件为1121b q q q ====；
②证明：对任意的2n ，*n N ∈，*111*2,21()·(0,2()
n n n n q n k k N b b q n k k N μμμ-+⎧=+∈=>⎨=∈⎩，10q >，20)q >， 当2k m =，441412m m m b b q μ-+=，4241432m m m b b q μ---=， 可得241243
m m b q b +-=，即43{}m b -以1b 为首项、22q 为公比的等比数列； 同理可得42{}m b -以2b 为首项、21q 为公比的等比数列；
对任意的*n N ∈，10n n b b +<，可得434241m m m b b b --+，
即有22222122112m m m b q b q b q --，
所以对*m N ∀∈，221221()1m b q b q -，222121221()1m b q b q q -， 可得21122(1)0q b m lg lg q b -+，12221
2(1)20q b m lg lg lgq q b -+-， 即12q q 且21q q ，则12q q =，可令120q q q ==，
故数列1b ，2b ，5b ，6b ，9b ，10b ，⋯，43m b -，42m b -，⋯
是以1b 为首项，0q 为公比的等比数列，其中*m N ∈．
【点睛】
本题考查新定义的理解和运用，考查等差数列和等比数列的定义和通项公式的运用，考查分类讨论思想方法和推理、运算能力，属于难题．
19、（1（2）【解析】
（1）由正弦定理将23sin 3sin 3sin sin sin sin sin B C A C B B C
+=+2
333b c a c b bc +=+
即222333b c a +=+，由余弦定理求得cos A ， 再由平方关系得sin A 再求解.
（23sin B C =，得
b =1sin 2
ABC S bc A ∆==. 【详解】
（1）由正弦定理，得2
333b c a c b bc
+=+，
即222
333b c a +=+，则222cos 2b c a A bc +-==， 而22sin cos 1A A +=，又(0,)A π∈，解得1sin 3A =
，
故sin tan cos A A A ==.
（23sin B C =，则
b =
因为ABC S ∆=，故1sin 2
bc A =
故211
23
=，
解得c =
故6b =，
则a ===【点睛】
本题考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式，考查运算求解能力以及化归与转化思想，属于中档题.
20、（1）6,9a b =-=；
（2）极小值为0，递减区间为：()(),0,1,-∞+∞，递增区间为()0,1.
【解析】
（1）由题意得到关于实数,a b 的方程组，求解方程组，即可求得,a b 的值；
（2）结合（1）中,a b 的值得出函数的解析式，即可利用导数求得函数的单调区间和极小值.
【详解】
（1）由题意，函数()32f x ax bx =+，则()2
32f x ax bx '=+， 由当1x =时，有极大值3，则(1)320(1)3f a b f a b =+=⎧⎨=+='⎩
，解得6,9a b =-=. （2）由（1）可得函数的解析式为()32
69f x x x =-+， 则()2
181818(1)f x x x x x '=-+=--， 令()0f x '>，即18(1)0x x -->，解得01x <<，
令()0f x '<，即18(1)0x x --<，解得0x <或1x >，
所以函数的单调减区间为(,0),(1,)-∞+∞，递增区间为(0,1)，
当0x =时，函数取得极小值，极小值为(0)0f =.当1x =时，有极大值3.
【点睛】
本题主要考查了函数的极值的概念，以及利用导数求解函数的单调区间和极值，其中解答中熟记函数的极值的概念，以及函数的导数与原函数的关系，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
21、（1）122n n S +=-（2）211222
n +-- 【解析】
（1）利用等差数列的通项公式以及等比中项求出公差1d =，从而求出2
2n a n n b ==，再利用等比数列的前n 项和公
式即可求解.
（2）由（1）求出n c ，再利用裂项求和法即可求解.
【详解】
（1）44a =，且1a ，3a ，9a 依次成等比数列，2319a a a ∴=，
即：()()()244345d d d -=-+，0d >，1d ∴=，
n a n ∴=，22n a n n b ∴==，
()
12122212n n n S +-∴==--；
（2）111111211n n n n n n n n n n n n n b b S S c S S S S S S S S ++++++-====-⋅⋅⋅， 21223
1111111111111222n n n n
n S S S S S S S S S +++∴=
-+-+
+-=-=--. 【点睛】
本题考查了等差数列、等比数列的通项公式、等比数列的前n 项和公式、裂项求和法，需熟记公式，属于基础题.
22、（1）；（2）当BP 为t =
时，α+β
取得最小值．
【解析】
（1）作AE ⊥CD ，垂足为E ，则CE ＝10，DE ＝10，设BC ＝x ，根据()2
tan CAD tan CAE
∠=∠得到2200x -
-=，解得答案.
（2）设
BP ＝t ，则(0CP t t =＜＜，故(
)10t tan αβ++=
设()f t
=，求导得到函数单调性，得到最值.
【详解】
（1）作AE ⊥CD ，垂足为E ，则CE ＝10，DE ＝10，设BC ＝x ， 则(
)22
20
22100
11tan CAE x tan
CAD tan CAE tan CAE x ∠∠=∠=
==-∠- 2
200x
--=，解之得，x =x =（舍）， （2）设BP
＝t
，则(
0CP t t =
＜＜
， ()101t tan t αβ+===-
设()2103103200t f t t t +=-+-，()()222203500'103200t t f t t t +-=
-+-，
令f '（t ）＝0，因为0103t ＜＜，得202103t =-，
当(
)0202103t ∈-，时，f '（t ）＜0，f （t ）是减函数； 当()
202103103t ∈-，时，f '（t ）＞0，f （t ）是增函数， 所以，当202103t =-时，f （t ）取得最小值，即tan （α+β）取得最小值， 因为21032000t t -+-＜恒成立，所以f （t ）＜0，
所以tan （α+β）＜0，2παβπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭
，， 因为y ＝tanx 在2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，上是增函数，所以当202103t =-时，α+β取得最小值．
【点睛】
本题考查了三角恒等变换，利用导数求最值，意在考查学生的计算能力和应用能力.。