高考数学高三模拟试卷试题压轴押题下学期一模调研交流数学理试题

高考数学高三模拟试卷试题压轴押题下学期一模调研交流数学（理）试题
本试卷共4页，21题，满分150分，测试用时120分钟．
参考公式：锥体的体积公式Sh V 3
1
=
，其中S 是锥体的底面积，办是锥体的高． 如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P(A)+P(B )．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若全集U=R ，集合A={x|l<x≤3}，B={x|2≤x≤4}，C={x|3<x≤4}，则 A ．A=(CuB)∩C B. B=(CuA)∩C C. C=(CuA)∩B D. C=A∩B 2．复数i
i
z +-=
22（i 是虚数单位）的虚部是 A ．
i 54 B ．i 54- C ．54
D ．5
4-
3．函数)0(11log )(2
=/-+=x x
x x f 的图象在 A. 一、三象限 B ．二、四象限 C. 一、二象限 D. 三、四象限
4．己知{an}（n ∈N*）为等差数列，其公差为2，且a7是a3与a9的等比中项，则{an}的首项a1=
A ．14
B ．16
C ．18
D ．20
5．已知命题p:“sinαa=sinβ，且cosα=cosβ”，命题q:“α=β”。

则命题p 是 命题q 的
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件 C ．充要条件 D.既不充分与不必要条件
6．如图1，正方体ABCDA'B'C'D'中，M 、E 是AB 的 三等分点，G 、N 是CD 的三等分点，F 、H 分别是BC 、 MN 的中点，则四棱锥A'EFGH 的侧视图为
7．将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数1、2、3、4、5、6的正方体玩具）先后抛掷2次，记第一次出现的点数为m ，记第二次出现的点数为n ，向量
),1,1(),2,2(=--=b n m a 则a 和b 共线的概率为
A ．
181 B ．121 C ．91 D ．12
5
8．定义A*B 、B*C 、C*D 、D*A 的运算结果分别对应下图中的(1)、(2)、(3)、
(4)，那么下图中的(M)、(N)所对应的运算结果可能是
[来源:
学+科+网]
A. B*D 、 A*D
B. B*D 、 A*C
C. B*C 、 A*D
D. C*D 、 A*D
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题(9～13题) 9．dx x e x ⎰-+1
1)2(＝．
10．已知),2
3
,
21(),1,3(21=-=e e 若,,)3(2122e t e k b e t e a ⋅+⋅-=⋅-+=若b a ⊥，则实数k 和t 满足的一个关系式是，t t k 2
+的最小值为____．．
11．在△ABC 中，若A=75°，B=45°，AB =6， 则AC=
12.已知点A(l ，1)和圆C:,4)7()5(2
2
=-+-y x 从点A 发出的一束光线经过x 轴反射到圆周C 的最短路程是__ ．
13.如图2所示的程序框图，其输出结果为 .
（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）如图3，圆O 是△ABC 的
外接圆，过点C 的切线交AB 的延长线于点D ，
72=CD ，AB=BC=3，则AC=．
15．（坐标系与参数方程选做题）已知在极坐标系下，点)3
2,
3(),3,1(π
πB A ，O 是 极点，则△AOB 的面积等于
三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）
己知函数b x b x x x f -+⋅=ωωω2
cos 2cos sin 2)(（其中b>0，ω>0）的最大值为2，直线x=x1、x=x2是y=f(x)图象的任意两条对称轴，且|xlx2|的最小值为2
π (1)求b ，ω的值； (2)若32)(=
a f ，求)46
5sin(a -π
的值．
17．（本小题满分14分）
为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的体重（单位：千克）情况，
将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图4），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，其中第2小组的频数为12。

(1)求该校报考飞行员的总人数；
(2)以这所学校的样本数据来估计全省的总体[来源:Z*xx*][来源:学.科.网Z.X.X.K] 数据，若从全省报考飞行员的同学中任选三人， 设X 表示体重超过60千克的学生人数，求X 的 分布列和数学期望。

18．（本小题满分14分） ．
如图5，长方体ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD 是正方形，AA1=2AB=2，E 是DD1上的一点． (1)求证：AC ⊥B1D;
(2)若B1D ⊥平面ACE ，求三棱锥ACDE 的体积； (3)在(2)的条件下，求二面角DAEC 的平面角的 余弦值．
[来源:Z+xx+]
19．（本小题满分12分）
设双曲线C1的渐近线为x y 3±=，焦点在x 轴上且实轴长为1．若曲线C2上 的点到双曲线C1的两个焦点的距离之和等于22，并且曲线C3：py x 22
=(p>0 是常数）的焦点F 在曲线C2上。

(1)求满足条件的曲线C2和曲线C3的方程；
(2)过点F 的直线l 交曲线C3于点A 、B （A 在y 轴左侧），若B F AF
3
1=，求 直线l 的倾斜角。

20．（本小题满分14分）
a2、a5是方程027122=+-x x 的两根，数列{an}是递增的等差数列，数列{bn}的前n 项和为Sn ，且*)(2
1
1N n b S n n ∈-
= (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)记Cn =an·bn ，求数列{cn}的前n 项和Tn ．
21（本小题满分14分）(注：本题第(2)(3)两问只需要解答一问，两问都答只计第(2)问得分）
已知函数f(x)=ax+xln|x+b|是奇函数，且图像在点(e ，f(g))处的切线斜率 为3（为自然对数的底数）． (1)求实数a 、b 的值； (2)若k ∈Z ，且1
)
(-<
x x f k
对任意x>l 恒成立，求k 的最大值；
(3)当m>n>l （m ，n ∈Z ）时，证明：m
n n m mn nm )()(>
理科数学参考答案
一、选择题 CDAD ACBB
二、填空题 9．ee1 lO.t(t23)2k=0（3分），2（2分） 11．62
12.8 13．
7
6 14.273 15．433
三、解答题（以下解答供参考，等价或有效解答都要相应给分） 16．解：(1))2sin(12cos 2sin )(2ϕωωω++=+=x b x b x x f ……2分，
ππ
=⨯
=22T ……3分， ω
πωπ==22T ，所以ω=1……4分，
解212=+b 得3±=b ……5分， 因为b>0，所以3=b ……6分
(2))3
2sin(2)(π
+
=x x f ……7分， 由32)(=
a f 得3
1
)32sin(=+πα……8分， )3
2(2cos )]32(223sin[)465sin(
π
απαπαπ+-=+-=-（或设32παβ+=，则32πβα-=
βπαπ223465-=-，从而)2cos )46
5sin(βαπ
-=-……10分 1)3
2(sin 22-+=π
α…11分，
9
7
-=……12分．
17．解：(1)设报考飞行员的人数为n ，前三小组的频率分别为pl 、p2、p3，则
⎪⎩⎪
⎨⎧=⨯++++==1
5)0125.00375.0(323
211
312p p p p p p p ……3分，解得⎪⎩⎪⎨⎧===375.025.0125
.0321p p p ……4分 因为n
p 12
25.02=
=……3分，所以n=48……6分 (2)由(1)可得，一个报考学生体重超过60公斤的概率为
8
55)0125.00375.0(3=
⨯++=p p ……8分，所以)85
,3(~X ……9分
所以3,2,1,0,)8
3()8
5()(33===-k C k X p k
k
k
……11分
随机变量X 的分布列为：
……13分
则)8
15853:(815512125351222525121351512270=⨯==⨯+⨯+⨯+⨯
=EX EX 或…14分 18．证明与求解：（方法一）(1)连接AC ，则AC ⊥BD……1分，
因为BB1⊥面ABCD ，所以，BB1⊥AC……2分，
因为BBl∩BD=B ，所以AC ⊥平面BB1D……3分，所以AC ⊥B1D……4分。

(2)连接A1D ，与(1)类似可知A1D ⊥AE……6分， 从而
21,1==DE AA AD AD DE ……7分，所以12
1
12112131=⨯⨯⨯⨯=-CDE A V ……8分 (3)设A1D∩AE=F ，AC∩BD=O ，B1D∩OE=G ，连接FG ，
则AE ⊥FG……9分， ∠DFG 是二面角DAEC 的平面角……10分， 由等面积关系知3
2
=
⨯=
OE DE DO DG ……11分， 5
2=⨯=
AE DE DA DF ……l2分，由(2)知65
sin ,2==∠=∠DF DG DFG DGF π……13分，
6
6
cos =
∠DFG ……14分。

（方法二）以D 为原点，DA 、DC 、DD1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角 坐标系……1分。

(1)依题意，D(O ，O ，O)，A(l ，O ，0)，C(O ，l ，O)，B1(l ，l ，2)……3分， 所以)2,1,1(),0,1,1(1=-=DB ……4分， 所以D B AC AC L DB DB 111,,0.⊥-=…5分。

(2)设E （O ，0，a ），则),0,1(a AE -=……6分，因为B1D ⊥平面ACE ，
⊂AE 平面ACE ，所以B1D ⊥AE……7分，所以01=⋅AE DB ，所以1+2a=0，
21=
a ……8分，所以12
112112131=⨯⨯⨯⨯=-CDE A V ……9分
(3)平面ADE 的一个法向量为)0,1,0(1==DC n ……10分，平面ACE 的一个法向量为
)2,1,1(1=DB ……12分， 由图知，二面角DAEC 的平面角的余弦值为
666
1|
|.||.cos 1111==
=
DB n DB n θ……14分。

19．解：(1)双曲线Cl 满足：⎪⎩⎪⎨⎧==.12,3111
a a
b ……1分， 解得⎪⎪⎩⎪
⎪⎨
⎧
⋅==2
3,2
1
1
1b a ……2分[来源:ZXXK] 则121211=+=
b a C ，于是曲线C1的焦点F1(1，O )、F2(1，0)……3分，
曲线C2是以F1、F2为焦点的椭圆，设其方程为)0(122222
222>>=+b a b y a x ……4分，
解⎪⎩⎪⎨⎧=-=.1,22222222b a a 得⎩⎨⎧==.
1,222b a ，即12:222=+y x C ……5分，[来源:] 依题意，曲线)0(2:2
3>=p py x C 的焦点为F(O ，1)……6分，
于是
12
=p
，所以p=2，曲线y x C 4:23=……7分[来源:学|科|网] (2)由条件可设直线，的方程为y=kx+l(k>0)……8分，
由⎩⎨⎧+==.
1,42kx y y x 得,0)1(16,04422>+=∆=--k kx x 由求根公式得：122,1222221++=+-=k k x k k x ……9分，
由FB F A
3
1
= 得213x x =-……10分，于是122)122(322++=+--k k k k ，解得 3
12=
k ……11分，由图知k>0，33
=k ，直线l 的倾斜角为6π (2)
20．解：(1)解x212x+27=0得x1=3,x2=9，
因为{an}是递增，所以a2=3，a5=9……2分，
解⎩⎨⎧=+==+=39412
15d a a d a a ……3分，得⎩⎨⎧==211d a ，所以an=2n1……4分[来源:]
在n n
b T 211-=中，令n=l 得3
2,211111=-=b b b ……5分，
当n>2时，,211,21111---=-
=n n n n b T b T 两式相减得n n n b b b 2
1
211-=-……6分 ,31
1=-n n b b {bn}是等比数列……7分，所以n n n b b 3
2)31(11=⨯=-……8分
(2)n
n n n n b a c 32
4-=
⋅=……9分 n n n n n T 32
432)1(43234322432141
321-+--⨯++-⨯+-⨯+-⨯=
- ……10分 122103
2
432)1(43234322432143---+--⨯++-⨯+-⨯+-⨯=
n n n n n T ……11分 两式相减得：n n n n T 3
2
434343422121--++++
=- ……13分[来源:] n n 3444+-
=，所以n
n n T 3
222+-=……14分 21解：(1)f(x)是奇函数，所以f(x)=f(x)，即
a(x)+(x)ln|x+b|=(ax+xln|x+b|)……2分，所以ln|x+b|=ln|x+b|，从而 b=0……3分，此时f(x)=ax+xln|x|，f'(x)=a+l+ln|x|……4分， 依题意f'(e)=a+2=3，所以a=1……5分 (2)当x>l 时，设1
ln 1)()(-+=-=
x x x x x x f x g ，则2
/
)1(ln 2)(---=x x x x g …6分 设h(x)=x2lnx,则01
1)(/
>-
=x
x h ，h(x)在(1，+∞)上是增函数……8分 因为h(3)=lln3<0, h(4)=2ln4>0，所以∃xo ∈(3, 4)，使h(xo)=0……10分，
x ∈(1, xo)时，h(x)<O ，g'(x)<0，即g(x)在(1，xo)上为减函数；同理g(x)在(xo ，+∞0)上为增函数……12分，
从而g(x)的最小值为000
0001
ln )(x x x x x x g =-+=
……13分
所以k<xo ∈(3，4)，k 的最大值为3……14分。

(3)要证m
n n
m mn nm )()(>，即要证nlnn+mnlnm>mlnm+mnlnn…………6分，
即n(1m)lnn>m(ln)lnm ，
1
min 1ln -<
-m m
n n n ……8分，
设1
ln )(-=
x x x x ϕ，x>1……9分，则2/
)1(ln 1)(---=x x x x ϕ……10分
设g(x)=xllnx,则01
1)(/
>-
=x
x g ……11分，g(x)在(1，+∞0)上为增函数……12分， 1>∀x ，g(x)> g(l)=lll nl=0，从而ϕ'(x)>O ，ϕ(x)在(1，+∞o)上为增函数……l3分，
因为m>n>l ，所以ϕ（n ）<ϕ（m ），1
ln m 1ln -<-m m n n n ，所以m
n n m mn nm )()(>……14分
[来源:学*科*网]
高考理科数学试卷普通高等学校招生全国统一考试
注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
(3)选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的.
（1）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则A
B =
（A ）{1}（B ）{1
2}，（C ）{0123}，，，（D ）{10123}-，，，， （2）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是
（A ）(31)
-，（B ）(13)-，（C ）(1,)∞+（D ）(3)∞--，
（3）已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()⊥a +b b ，则m= （A ）－8（B ）－6 （C ）6 （D ）8
（4）圆
22
28130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a= （A ）43-
（B ）3
4-
（C ）3（D ）2
（5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为
（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9
（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为
（A ）20π（B ）24π（C ）28π（D ）32π
（7）若将函数y=2sin 2x 的图像向左平移π
12个单位长度，则评议后图象的对称轴为
（A ）x=kπ2–π6 (k ∈Z) （B ）x=kπ2+π6 (k ∈Z) （C ）x=kπ2–π12 (k ∈Z) （D ）x=kπ2+π
12
(k ∈Z)
（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图， 若输入的x=2，n=2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s=
（A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34
（9）若cos(π4–α)=35
，则sin 2α= （A ）725（B ）15（C ）–15（D ）–725
（10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有
m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率
π的近似值为
（A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m
n （11）已知F1，F2是双曲线E 22
221x y a b
-=的左，右焦点，点M 在E 上，M F1与x 轴垂直，sin 2113MF F ∠=
,则E 的离心率为
（A
B ）32
（C
D ）2 （12）已知函数学.科网()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x
+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1
()m
i i i x y =+=∑
（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m
第II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本大题共3小题，每小题5分
(13)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos A=45，cos C=513
，a=1，则b=. (14)α、β是两个平面，m 、n 是两条直线，有下列四个命题：
（1）如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β.
（2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n.
（3）如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β. （4）如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等.
其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号）
（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3。

甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是。

（16）若直线y=kx+b 是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln （x+2）的切线，则b=。

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（本题满分12分）
n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且7=128.n a S =，记[]=lg n n b a ，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]0.9=0lg99=1，.
（I ）求111101b b b ，，；
（II ）求数列{}n b 的前1 000项和.
18.（本题满分12分）
某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下： 上年度出险次数
1 2 3 4 ≥5 保费
0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
一年内出险次数
1 2 3 4 ≥5 概率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0. 05
（I ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
（II ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；
（III ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.
19.（本小题满分12分） 如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB=5，AC=6，点E,F 分别在AD,CD 上，AE=CF=54，EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△D EF '的位置，10OD '=
（I ）证明：D H '⊥平面ABCD ；
（II ）求二面角B D A C '--的正弦值.
20. （本小题满分12分）
已知椭圆E:22
13
x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E 于A,M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA.
（I ）当t=4，AM AN =时，求△AMN 的面积；
（II ）当2AM AN =时，求k 的取值范围.
（21）（本小题满分12分）
(I)讨论函数x x 2f (x)x 2
-=+e 的单调性，并证明当x >0时，(2)20;x x e x -++> (II)证明：当[0,1)a ∈时，函数2
x =(0)x e ax a g x x -->（）有最小值.设g （x ）的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域.
请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号
（22）（本小题满分10分）选修41：集合证明选讲
如图，在正方形ABCD ，E,G 分别在边DA,DC 上（不与端点重合），且DE=DG ，过D 点作DF ⊥CE ，垂足为F.
(I) 证明：B,C,E,F 四点共圆；
(II)若AB=1，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积.
（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直线坐标系xoy 中，圆C 的方程为（x+6）2+y2=25.
（I ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；
（II ）直线l 的参数方程是（t 为参数）,l 与C 交于A 、B 两点，∣AB ∣=，求l 的斜率。

（24）（本小题满分10分），选修4—5：不等式选讲
已知函数f(x)= ∣x ∣+∣x+∣，M 为不等式f(x)＜2的解集.
（I ）求M ；
（II）证明：当a,b∈M时，∣a+b∣＜∣1+ab∣。