2005年浙江省普通高校2+2联考《高等数学B》

2005年浙江省普通高校“2+2”联考《高等数学B 》试卷
考试说明：
1、考试时间为150分钟；
2、满分为150分；
3、答案请写在试卷纸上，用蓝色或黑色墨水的钢笔、圆珠笔答卷，否则无效；
4、密封线左边各项要求填写清楚完整。

一、填空题：（只需在横线上直接写出答案，不必写出计算过程，本题共有8个小题，
每一小题3分，共24分）
1．若 0)1ln()2(lim 0
≠=+⋅-⎰→k x dt
t t x n
x
x , 则自然数 n = .
2．=⋅--++⋅-⋅+⋅--++∞→])2
()!12()1()2(!71)2(!51)2(!312[lim 1
21753n n n n πππππ
.
3 . =++-⎰2
1010cos sin 1cos sin π
dx x x x
x . 4. 已知 x x
e e x y 4)23(2+⋅+= 是二阶常系数非齐次线性微分方程 x e c by ay y 2'''⋅=++ 的一个特解，则该方程的通解
是
.
5． 已知 A ＝⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡52321100001 ， A
* 为 A 的伴随阵，则 ()1*-A
＝ . 6．已知三元非齐次线性方程组 A Ⅹ＝b ，A 的秩 r (A) = 1 ；α 1 、α 2 、α 3 是该线性方程组的三个解向量，且
α1＋α2＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-101，α2＋α3＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡531，α3＋α1＝⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡212，则该非齐次线性方程组的通
解为
.
7．设方程 02
=++βαx x 中的 α 和β 分别是连续抛掷一枚骰子先后出现的
得分 阅卷人
点数，则此方程有实根的概率为 .
8．已知男性中有 5％ 为色盲患者，女性中有 0.25％ 为色盲患者，今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，其恰好是色盲患者，则此人是男性的概率为
.
二．选择题. （本题共有8个小题，每一小题3分，共24分，每个小题给出的选项中，
只有一项符合要求）
1．设函数 x
x x f 1)(-=
, 则正确的结论是 ( ).
（A ） 1=x 是 )(x f 的极值点，但 )0,1( 不是曲线 )(x f y = 的拐点； （B ） 1=x 不是 )(x f 的极值点，但 )0,1( 是曲线 )(x f y = 的拐点； （C ） 1=x 是 )(x f 的极值点，且 )0,1( 是曲线 )(x f y = 的拐点； （D ） 1=x 不是 )(x f 的极值点，)0,1( 也不是曲线 )(x f y = 的拐点.
2. 设二元函数 ),(y x f 在点 )1,1( 处可微，1)1,1(')1,1(')1,1(===y x f f f ，又知 )),(,(x x f x f z =，则 1
=x dx
dz =
（ ）.
（A ） 1 （B ） 2 （C ） 3 （D ） 4 3．下列命题中正确的结论是 ( ) .
（A ） 若
∑+∞
=1
n n u 发散 ，则
∑+∞
=+-1
1
)
1(n n n u 必发散 ；
（B ） 若
∑+∞
=+-11
)
1(n n n u 发散 ，则 ∑+∞
=1
n n u 必发散 ；
（C ） 若
∑+∞
=1
4n n
u
发散 ，则
∑+∞
=1
n n u 必发散 ；
（D ） 若 1lim 1>++∞→n
n n u u
, 则
∑+∞
=1
4
n n
u
必发散.
4．下列等式成立的是 （ ）.
（A ） 若
⎰+∞
)(dx x f 和 ⎰∞-0
)(dx x f 均发散，则 ⎰+∞
∞
-dx x f )( 必发散 ；
（B ） 若
⎰+∞0
)(dx x f 和 ⎰+∞0
)(dx x g 均发散，则 ⎰+∞
+0
)]()([dx x g x f 必发散 ；
（C ） 若
⎰+∞0
)(dx x f 和 ⎰+∞0)(dx x g 均发散，则 ⎰+∞
⋅0
)]()([dx x g x f 必发散 ；
（D ） 若
⎰+∞0
)(dx x f 收敛， ⎰+∞0)(dx x g 发散，则 ⎰+∞
⋅0
)]()([dx x g x f 必发散 .
5．设二次型 3231212
3222142244x x x x x x x x x f +-+++=λ 为正定二次型 ，则 λ 的取值范围为（ ）.
（A ）1<λ （B ）2->λ
得分 阅卷人
（C ）22<<-λ （D ）12<<-λ
6．设随机变量 ξ～N （μ，52），η～N （μ，42），概率值 )5(1+<=μξP P , )4(2->=μξP P ，则下式（ ）是正确的 .
（A ）对任意 μ 均有 21P P = （B ）对任意 μ 均有 21P P < （C ）对任意 μ 均有 21P P > （D ）只对 μ 的个别值有 21P P =
7．一个复杂的系统由 100 个相互独立起作用的部件组成，在整个运行期间，每个部件损坏的概率为 0.1 ，为了使整个系统起作用，至少必须有 85个部件正常工作，则整个系统起作用的概率约为（ ）.（ )(x Φ 为标准正态分布函数） （A ）)1(Φ （B ）1－)1(Φ （C ）)34(Φ （D ）)3
5(Φ
8．已知随机向量（ξ，η）的联合密度函数为
⎪⎩
⎪⎨⎧<<<<--=其它
，，04220)6(81),(y x y x y x f
则概率值 P （4≤+ηξ）＝（ ）. （A ）
21 （B ）32 （C ）83 （D ）4
3．
三．计算题：（计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分,本题共9个小题，
每小题7分，共63分）
1． 计算极限 )]1sin 1([lim 2
x
x x x ⋅-∞
→ .
2．已知 )0(4>+=
x x
b
ax y 与 x a b y ln 3-= 在 1=x 处垂直相交（即它们在交点处的切线相互垂直），求常数 a 与
b 值.
得分 阅卷人
3. 计算二重积分 )(3
1
σd y x x I D
⎰⎰+= ，其中 D 为直线 1=+y x ，0=x
和 0=y 所围成的平面区域 .
4．设函数 a x x y --=sin 2 在 )2
,0(π
内有且仅有 1 个零点，求正数 a 的取值范围 .
5．设函数 )(x f 在 ),(+∞-∞ 上可导 ，且满足：
dt t f x f x dt t x f x
)()1(1)(0
1
⎰⎰-+=+++ ， 求
)(x f 的表达式 .
6．已知矩阵 A ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡011101110，B ＝⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡111011001 ，且矩阵 P 满足 E BPA APB BPB APA ++=+ ，其中 E 为单位阵 ，求 P .
7．已知矩阵A ＝⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡60002282x 相似于对角阵 Λ，试求常数 x ，并求可逆阵 P ，使 Λ=-AP P 1
.
8．设随机变量 ξ
的密度函数为 ⎩⎨
⎧<<=其它
10)(2
x ax x f ， 求（1）常数 a ；
（2） ξ 的期望 ξE 和方差 ξD ； （3）
2ξ 的概率密度函数； （4） 概率值 )2(=ηP ，其中 η 表示对 ξ 的三次
独立重复观察中事件 ⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧≤
21ξ 出现的次数.
9．已知随机向量 （ξ，η） 的联合分布律为
η
－1 1 2 ξ
－1 0.25 0.1 0.3
2 0.15 0.15 0.05
求（1）ηξ+ 的分布律； （2）在 η＝－1 条件下 ξ 的分布律； （3）期望值 )(ηξ⋅E .
四．应用题： （本题共3个小题，每小题8分，共24分）
1．为销售某产品，拟作电视和电台广告宣传，当电视广告与电台广告宣传费分别为 x 和
y （万元）时，销售量为
y
y
x x +++10725100（吨）. 若该产品每吨销售价为2000元 . 问：（1） 如要使总广告费不超过 10 万得分 阅卷人
元 ，应如何分配电视与电台广告费 ，
使广告产生的利润最大 ？最大利润是多少 ？
（2）如总广告费恰好是 4.8 万元 ，又应如何分配电视与电台广告费 ，使
广告产生的利润最大 ？最大利润是多少 ？
2．设 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2111ξ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=112k ξ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=113k ξ，⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=c b a η ； 问：
（1）在什么条件下，η 可由 1ξ，2ξ，3ξ 线性表示 ，且表法唯一 ？
（2）在什么条件下，η 可由 1ξ，2ξ，3ξ 线性表示 ，但表法不唯一 ？并写出不同的表示式 . （3）在什么条件下 ，η 不能由 1ξ，2ξ，3ξ 线性表示 ？
3．设自动生产线加工的某种零件的内径 ξ ～ )1,(μN ；内径小于 10 或者大于12 的为不合格品 ，其余为合格品 ，销售每件合格品可获利 20 元 ，销售每件不合格品要亏损 ，其中内径小于 10 的亏 1 元 ，内径大于12 的亏 5 元 ，求平均内径 μ 取何值时 ，销售一个零件的平均利润最大 ？
五．证明题： （本题共2个小题，第一小题8分，第二小题7分，共15分）
1． 证明： （1） 若级数
)0()
1(11
>⋅-∑+∞
=+n n n n a a 绝对收敛 ，则级数
∑+∞
=-11
2n n a
是收敛级数 ；
（2） 若级数 )0()
1(1
1
>⋅-∑+∞
=+n n n n a a 条件收敛 ， 则级数
∑+∞
=-1
1
2n n a
是发散级数 .
2． 设向量 1ξ ，2ξ ，…… ，r ξ 是线性方程组 0=AX 的一个基础解系 ，向量 η 不是 0=AX 的解向量 ， 证明向量
组 η，1ξη+ ，2ξη+ ，…… ，r ξη+ 线性无关 .
得分 阅卷人。