高等数理逻辑作业答案

无限集合初步
z
写出集合论公理的一阶描述. 解答
外延公理:
空集公理:
偶对公理:
并集公理:
子集公理:
幂集公理:
无穷公理:
替换公理:
正规公理:
选择公理：
□
z
证明:可数符号表上有限长字符串集合是可数的.
证明
假设给定的可数符号表是集合 , 则 {长度是 的字符串的集合 . {
长度是 的字符串的集合 .
{
每个 都是可数集合, 这可数个可数集合的并集是可数的.
高等数理逻辑作业
全部
]xy(]z(z J x ?z J y)> x =y )^x ]y(y J x)./]xy ^u ]z(z J u ?z=x Z z=y).]x ^u ]y(y J u ?(^z(z J x [y J z))).]x 1,l ,x n ]x ^y ]z(z J y ?z J x [9).]x ^y(]z(z J y ?z N x )).^x(IJ x [(]y(y J x >
y +
J x ))).]x 1,l ,x n ]x(<
> ^y ]z(z J y ?^u J x 9[u,z])).]x(x=
I> ^y(y J x [y Q x=I ))./]x(x=
I> ^y(91[92))./A 1S 1
=A 2S 2={ab|a,b J A}l S n
□
z
证明: .
证明
可以仅考虑开区间 内的实数, 证明
可以按照以下方式构造双射: □
公理集合论初步
z
空集是函数. 证明
是一个函数, 当且仅当以下性质成立:
其中
{ 是公式 {
是公式
是一个函数. 这是因为:在上述定义中, 两个蕴涵式
的前提不成立.
□
z
对于集合 及 , 则它们的交集是集合.
证明
这个集合是存在的, 是由子集公理保证的:
相应的集合是 、一阶公式是 . □
z
对于集合 及 ,它们的卡氏积 是集合. 对于以下两个实数:
对应于以下实数:
R .R #R (0,1)(0,1)#(0,1).(0,1).u=0$a 0a 1a 2l v=0$b 0b 1b 2l w=0$a 0b 0a 1b 1a 2b 2l a 91[92.91
]x(x J a > ^uv(x=< u ,v> )).92]uvw(< u ,v> J a [< u ,w> J a > v =w ).I x J a > ^uv(x=< u ,v> ),< u ,v> J a [< u ,w> J a > v =w x y a-b={x|x J a [x J b}./a-b={x J a|x J b}./a x J
b /x y x #y={<
u ,v> |u J x,v J y}
证明
对于集合 及 , 乘积 的存在性可以由子集公理保证:
其中:
{ 是集合:
{ 是公式: . □
z
假设 是两个集合, 存在 到 的满射. 证明: 存在 到 的单射.
证明
假设 是满射, 则可以定义 到 的映射 : 是单射, 这是因为当 时, , 所以
□
公理集合论及自然数理论初步
z
证明: 存在无限集合 证明
定义以下公式 :
其中
{ 是公式: . {
是公式: .
对任意的 , 存在唯一一个函数 满足
由此可知, 对任意的 , 存在唯一的 使得
根据替换公理, 可知存在集合
这时
对每个 , 考虑集合
因为 是满射, 所以 不是空集, 任取 作为 的象, 则可以定义 到 的映射 . a b a #b a #b={w|w J c [9(w)}.c 3(3(x)P 3(a P b)).9(w)^uv(u J a [v J b [w=<
u ,v> )A,B A B B A f:A >
B B A g y J B f -1
({y})={x J A|f(x)=y},f f -1({y})x J f -1({y})y B A g g y 1=y 2J B /f -1({y 1})Q f -1({y 2})=I g(y 1)=g(y 2)./{0,{1},{{2}},{{{3}}},l }.)(x,y)(x=0> y =x )[(\x=0> ^f(91[92[y=f(x)))91
func (f)[0J dom (f)[f(0)=x [dom (f)=x +
92]u(u J dom (f)[u +J dom (f)> f (u +)={f(u)})n J =f 91[n][92.n J =a )[n,a]..={a|^n(n J =[)[n,a])}.0,{1},{{2}},{{{3}}},lJ ..
□
z
证明: 证明
假设 是两个自然数, 满足 , 这时, 根据定义可知:
若 , 则 {从 可知 , 因而 .
{从 可知 , 因而 .
这时集合 不满足正规公理:
这个矛盾表明 .
□
命题逻辑的可靠性
证明命题逻辑具有可靠性. 证明
如下定义公理系统:
z
公理:
{ : . { : . {
: .
z
规则:
定义 为: 存在公式序列 使得
z 或者 ;
z 或者 是公理; z 或者存在 , 使得 是 . 且 是 .
这时, 对任意的赋值 , 都有
同时
所以
这是命题逻辑的可靠性质. 如下定义公理系统:
当 且 ,时, . 若 , 则 .
]mn(m J =[n J =[m +=n +> m =n).m,n m +=n +m P {m}=n P {n}.m=n
/m J m P {m}m J n P {n}m J n n J n P {n}n J m P {m}n J m x={m,n}x=I> ^y(y J x [y Q x=I )./m=n 91
A > (
B > A )92
(A > (B > C ))> ((A > B )> (A > C ))93(\A > B )> ((\A > \B)> A )A,A > B B
.D U C < A 1,A 2,l ,A n > A i
J > A i
j,k< i A k A j > A i A n C v v(91)=1,v(92)=1v(93)=1.v(A)=1v(A >
B )=1v(B)=1D U
C
D X C
z
公理:
z
规则:
{ . 单调性
{
反证法
{
三段论
{
演绎定理 {
,
{
{
{
, {
,
{
可以类似地验证可靠性.
□
命题逻辑完备性
对任意的极大协调集合 及公式 , 有以下性质:
z
当且仅当 . 证明
若 则 . 若 , 则这时 , 与 的协调性相矛盾.
所以 . 若 则 . 若 , 则根据极大协调集合的定义, 可知 是不协调的,
所以 , 这与 相矛盾, 所以 .
□
A U A.D U A D ,D d U A
D ,\A U B 且D ,\A U\B D U A
.D U A 且D U A > B D U B
.D ,A U B D U A > B .D U A [B D U A
D U A [B D U B
.D U A 且D U B D U A [B
.D ,A U C 且D ,B U C D ,A Z B U C
.D U A D U A Z B
D U A D U B Z A
.D U A ?B 且D U A D U B
D U A ?B 且D U B D U A
.D ,A U B 且D ,B U A D U A ?B
.D A,B \A J D A J D /\A J D A J
D /A J D A,\A J D D A J
D /A J
D /\A J D \A J
D /D P {\A}D ,\A U 0,A J D A J
D /\A J D
z
当且仅当 并且 . 证明
若 则 并且 . 因为
所以当 时,
因为极大协调集合对 是封闭的, 所以
若 并且 则 . 若 并且 ,则
因而
根据极大协调集合对 是封闭的,可知 .
□
z 当且仅当 或者 .
z 当且仅当 蕴涵 . z
当且仅当 等价于 .
命题逻辑公理独立性(1)
z
独立于 . 证明
选择以下真值表验证: □
z
独立于 . 证明
选择以下真值表验证:
A [
B J D A J D B J D A [B J D A J D B J D A [B U A 且A [B U B,A [B J D D U A 且D U B.U A J D 并且B J D .A J D B J D A [B J D A J D B J D D U A 且D U B,D U A [B,U A [B J D A Z B J D A J D B J D A > B J D A J D B J D A ?B J D A J D B J D 92{91,93}> 0123\00113310010020003030000093{91,92}> 01\0010
□
命题逻辑公理独立性(2)
z
单调性规则是独立的 证明
在单调规则之外的规则, 前提都不增加, 若不使用此规则, 则以下推演关系是不可证的:
由此可得独立性证明.
□
z
反证法规则是独立的 证明
对于任意的真值赋值 及公式 , 定义
可以得到新的逻辑推出关系 . 除反证法规则之外, 其他规则都是可靠的. 使用反证法规则可得推演关系
但
由此可得独立性的证明.
□
z
演绎定理规则是独立的
证明
对于任意的真值赋值 及公式 , 定义
可以得到新的逻辑推出关系 . 对于与 无关的规则, 都是可靠的. 以下考虑三段论规则:
需证明:
对任意的赋值 , 若 , 则从
1000A,B U A.v A v(\A)=1.X d \\p U p.\\p X d
/p.v A,B v(A > B )=i a
a a a
a e a a a a j
0,若v(A)=1,1,否则.
X dd > D U A 且D U A > B D U B
.D X dd A
且D X dd A > B
D X dd
B
.v v(D )=1
可知
这与定义相矛盾, 所以 .
所以
是成立的. 因此
使用演绎定理规则, 可得推演关系
但
由此可得独立性的证明.
□
z
... 证明
同理可以证明其他规则是独立的.
□
直觉主义逻辑
证明以下推导关系成立:
z
证明
从 及 , 可知
同理可知
所以
□
z
若 , , 且 , 则 . D X dd A 且D X dd A > B ,v(A)=1且v(A > B )=1,v(D )=0v(D )=1D X dd A D X dd A >
B v(B)=1D X dd
B.p U q > p ,p X dd
/q > p .\(A Z B)U c \A [\B.C >
D U c \D > \C U c A > A Z B U c \(A Z B)> \A.U c \(A Z B)> \B.\(A Z B)U c \A [\B.\A [\B U c \(A Z B).
证明
. .
所以 . 所以集合
不是 协调的.
由 可知
□
z
证明 集合
不是 协调的.
所以
□
z
证明 集合
不是 协调的.
所以
□
证明以下推导关系不成立:
z
证明
假设 分别是命题变元 , 构造模型 使得
其中
{ 使得 及 ,
{ 使得 及 .
这时 , , 所以
但是 , 所以
\A,\B,A U c 0\A,\B,B U c 0\A,\B,A Z B U c 0{\A [\B,A Z B}U c -(\+)\A [\B U c \(A Z B).A Z B U c \(\A [\B).{\A [\B,A Z B}U c -A Z B U c \(\A [\B).\A Z\B U c \(A [B).{A [B,\A Z\B}U c -\A Z\B U c \(A [B).\A >
B U c \B > A A,B p,q K =<
V ,R> ,V={v,w},R={(v,v),(v,w),(w,w)}.v v(p)=0v(q)=0w w(p)=1v(q)=0q K ,v =0q K ,w =0(\q)
K ,v
=1.p K ,v =0
另一方面,
所以
即在模型 的第一层, 左边取 而右边取 . 因而上述公式是不永真的, 因而是不可证的.
□
z
证明
假设 是命题变元 . 构造模型 , 使得
其中
{ 使得 ,
{ 使得 .
这时 , 但 , 所以
□
z
证明
假设 分别是命题变元 , 构造模型 , 使得
其中
{ , , { , , {
, .
□
假设 是命题逻辑公式集合,
是命题逻辑公式,则 其中
证明
以下证明:
z .
(\q > p )K ,v =0.(\p)
K ,v
=0,(\p)
K ,w
=0,(\p > q )
K ,v
=1.K 10U c A Z\A A p K =< V ,R> V={v,w},R={(v,v),(v,w),(w,w)}.v v(p)=0w w(p)=1p K ,v =0(\p)K ,v =0(p Z\p)
K ,v
=0.\(A > \B)U c A [B A,B p,q K =< V ,R> V={v 1,v 2,v 3},R={(v 1,v 1),(v 2,v 2),(v 3,v 3),(v 1,v 2),(v 1,v 3)}.v 1(p)=0v 1
(q)=0v 2(p)=1v 2
(q)=0v 3(p)=0v 3(q)=1D A \D U\A \D U c \A \D ={\B|B J D }.\\\A U c
\A
z
若 , 则 .
则可知以下条件是等价的:
z .
z . z .
. 因为 , 所以
是不相容的, 因而 .
若 , 则 . 因为 , 所以存在一个 推演, 将出现的所有公式 都换为 , 以下证明这样得到一个 推演. 以应用 为例. 这时有
被转换为
将前提推演序列中的 换为 , 则可以由 得到
□
模态命题逻辑
z
证明以下推演关系:
证明
假设 是 . 从 及 , 根据 推演规则, 可知 . 所以 . 同理可知 . 由此可知 □
证明
: {
D U A \\D U c \\A \D U\A \\\D U c
\\\A \D U c
\A \\\A U c \A A U c \\A {\\\A,A}\\\A U c \A D U A \\D U c \\A D U A U -C \\C U c -(\-)> ,\E U F 且> ,\E U\F >
U E ,\\> ,\\\E U \\F 且\\> ,\\\E U \\\F \\>
U \\E ,\\\E \E (\+)\\> U \\E.U T (`(A > B )[`(B > A ))> (`A ?`B).D {`(A >
B ),`A}D U T `(A >
B )D U T `A T-D U T `B `(A >
B )U T `A > `B `(B >
A )U T `
B > `A U T (`(A >
B )[`(B > A ))> (`A ?`B)U T `(A [B)?(`A [`B).`(A [B)U T (`A [`B)A [B U A
{ (性质)
{ (同理)
{
{
{ (规则)
{ (性质)
{ (性质)
{
{ (性质)
□
证明
{ (已证)
{ (性质)
{ (性质)
{ (定义)
□z证明 可靠性.
证明
只需证明
对任意 及 , 若 , 则从 可知 :
因而对任意的 , 都有
根据定义, 当且仅当 当且仅当
(1)对任意的 , 都有
`(A[B)U`A
`(A[B)U`B
`(A[B)U
T
(`A[`B)
`A[`B U
T
`(A[B)
U A> (B> A[B)
U
T
`(A> (B> A[B))
U
T
`A> `(B> A[B)
`A U
T
`(B> A[B)
`A U
T
`B> `(A[B)
`A,`B U
T
`(A[B)
U
T
a(A Z B)?(a A Za B).
U
T
`(\A[\B)?(`\A[`\B)
U
T
\`(\A[\B)?\(`\A[`\B)
U
T
\`\(A Z B)?(\`\A Z\`\B)
U
T
a(A Z B)?(a A Za B)
S
4
-
D X
S
4
`A
D X
S
4``A
.
M=< V,R> J K
S
4v J V D M,v=1D X
S
4
`A `A M,v=1,
w:vRw
A M,w=1.
``A M,v=1
v 1:vRv
1
`A M,v1=1.
对任意的v
1,v
2
:vRv
1
,v
1
Rv
2
,都有A M,v2=1
但根据传递性可知 , 所以由 (1) 成立可知 (2) 成立. 所以 .
□
z
证明 可靠性. 证明
只需证明
对任意 及 , 若 , 则从 可知 :
因而存在 , 都有
根据定义,
当且仅当
当且仅当
这时 成立 所以由 (1) 成立可知 (2) 成立.
所以 .
□
谓词逻辑推演规则 以下规则是可靠的:
证明
以下证明 (:左规则) 是可靠的, 其他规则的可靠性可以类似证明. 需要证明以下事实:
对任意的模型 及一个赋值, 当 时, 从 可知, 对任意的
, 都有
(1)
对任意的 , 都有
(2)
vRv 2D X S 4
``A S 5-D X S 5a A
D X S 5
`a A
.M =<
V ,R> J K s 5
v J V D M ,v =1D X S 5
a A a A
M ,v
=1,w:vRw A M ,w =1.`a A
M ,v
=1v 1:vRv 1a A
M ,v
1
=1.
对任意的v 1:vRv 1,存在v 2:v 1Rv 2,使得A
M ,v
2
=1wRv 2D X S 5
`a A ]
]
^
^
]D ,A x t
X B D ,]xA X B
.M M X D ,]xA M X]xA a J |M |M X A[a].
而每个项 在 中代表一个具体的值, 所以 , 因而
□
谓词逻辑完备性质
已知 是公式集合,
是公式, 常元 不在 中出现, 证明: 证明
根据谓词逻辑的完备性质, 只需证明 即
因为常元 不出现在 中, 所以任意改变 在 中的取值, 都不影响 的真值.
假设 的取值是 , 从 及可靠性,可知
因为 是任意的, 所以
□
已知 是协调公式集合,且
证明这些公式集合的并集是协调的. 证明
假设 是公式集合
若 不协调, 则 . 因为每个推演仅涉及有限多个公式, 所以存在 , 使得
根据 的定义, 可以假设 .
假设 , 则 . 这与 的协调性相矛盾. 所以 是协调的.
□
实闭域的判定性质
语言 的理论 具有量词消去性质, 当且仅当 若 , 则
对于任意的模型 , 当 时,
对 的任意 个原子公式或者原子公式的否定
t M M X D ,A x t M X B.D A c D P {A}D U A x c D U]xA.D X]xA,M M X D M X]xA.c D P {A}c M D P {A}c a D U A x c M X A[a].a M X]xA.D n (n=0,1,2,l )D 0N D 1N D 1Nl > D 0P D 1P D 1Pl > >
U 0A 1,A 2,l ,A m J > A 1,A 2,l ,A m U 0.> A i J D k i
l=max {k 1,k 2,l ,k m }A 1,A 2,l ,A m J D l D l > L T L k
证明
(结构归纳法)
假设已证明以下结论 (*):
对任意的开公式 因为
而 是一个开公式, 所以存在开公式 使得
这里的 是一个开公式.
由此可知, 每个前束范式都等值于一个开公式. 对于结论 (*), 可以将开公式 写为
其中每个 是一些原子公式或者原子公式的否定的合取式. 这时
所以, 只需对上述 这一类公式考察量词消去性质.
□
(介值定理)
证明
在实闭域内, 每个多项式可以分解为 次及 次多项式的乘积, 可以假设这些多项式的最高项系数都是 .
次多项式 可以写为
z
若 , 则 可以分解为 次多项式的乘积.
z
若 , 则 .
所以, 当 的取值在一个区间 内改变符号时, 一定有一个 次因子, 它
在这个区间内取值改变符号, 该 次因子在这个区间内有零点, 因而 在这个区间内有零点.
□
存在 的一个开公式 , 使得
对任意的开公式 , 存在开公式 , 使得
9i (x ,x 1,x 2,l ,x n ),i=1,2,l ,k,L <
(x 1,x 2,l ,x n )T X]x 1,x 2,l ,x n (^x (91[92[l[9k )?< (x 1,x 2,l ,x n )).))d T X^x )?)d
.3]x 3等值于\^x \3,\33d T X^x \3?3d
,T X]x 3?\3d
,\3d
))1Z )2ZlZ )k ,)i X^x()1Z )2ZlZ )k )?(^x )1Z^x )2ZlZ^x )k ),)i RCF X]xy(x< y [f(x)f(y)< 0> ^z(x< z [z< y [f(z)=0)).1212x 2+ax+b (x+a 2
)2+(b-a
24
),(b-a 2
4
)50x 2+ax+b 1(b-a
2
4
)>
0RCF X x 2+ax+b> 0f(x)[a,b]f(x)11f
(Rolle 定理) 证明
(由介值定理证明 Rolle 定理)
每个多项式最多有有限个零点, 当 时, 可以假设在区间 内, 不再有其他零点.
所以 在区间 内不可能是单调的, 因而存在 使得 . 对于多项式 , 根据介值定理可知: 存在 使得 .
□
一阶逻辑的不可判定性质
写出以下 Turing 机对应的一阶语句:
解答
这些转换规则对应以下语句: :
:
:
:
□
RCF X]xy(x< y [f(x)=0[f(y)=0> ^z(x< z [z< y [f d (z)=0)).f(a)=f(b)=0[a,b]f f [a,b]u<
v J [a,b]f d (u)f d (v)< 0f d c J [a,b]f d (c)=0{q 01Rq 0,q 00Rq 2,q 110q 2,q 10Rq 1}q 01Rq 0]xy(R 0(x,f 1(y))> R 0(f 1(x),y))q 00Rq 2]xy(R 0(x,f 0(y))> R 2(f 0(x),y))q 110q 2]xy(R 1(f 0(x),f 1(y))> R 2(x,f 0(f 0(y))))]xy(R 1(f 1(x),f 1(y))> R 2(x,f 1(f 0(y))))q 10Rq 1]xy(R 1(x,f 0(y))> R 1(f 0(x),y))。