初三数学下期末一模试卷带答案

一、选择题
1．如图，正方形ABCD 的边长为3cm ，以直线AB 为轴，将正方形旋转一周，所得几何体的主视图的面积是（ ）
A ．29cm
B ．29πcm
C ．218πcm
D ．218cm 2．如图是由大小相同的小正方体搭成的几何体，将其中的一个小正方体①去掉，则三视图不发生改变的是（ ）
A ．主视图
B ．俯视图
C ．左视图
D ．俯视图和左视图 3．如图所示，该几何体的主视图为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 4．用大小和形状完全相同的小正方体木块搭成一-个几何体，使得它的正视图和俯视图如图所示,则搭成这样的一个几何体至少需要小正方体木块的个数为( )
A ．22个
B ．19个
C ．16个
D ．13个
5．如图所示的几何体，它的左视图是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 6．如图，为方便行人推车过天桥，市政府在10m 高的天桥两端分别修建了50m 长的斜道．用科学计算器计算这条斜道的倾斜角，下列按键顺序正确的是（ ）
A ．sin0.2=
B ．2ndF sin0.2=
C ．tan0.2=
D ．2ndF tan0.2= 7．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 都在格点上，则∠ABC 的正切值
是（ ）
A ．2
B ．255
C ．55
D ．12
8．如图，为了测量某建筑物MN 的高度，在平地上A 处测得建筑物顶端M 的仰角为30°，向N 点方向前进16m 到达B 处，在B 处测得建筑物顶端M 的仰角为45°，则建筑物MN 的高度等于( )
A ．8(31)+m
B ．8(31)-m
C ．16(31)+m
D ．16(31)-m
9．如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，AB=5，BC=12，将△ABC 绕点A 逆时针旋转得到△ADE ，使得点D 落在AC 上，则tan ∠ECD 的值为（ ）
A ．23
B ．32
C 25
D 35
10．如图，在平面直角坐标系中，Rt OAB 的斜边OA 在第一象限，并与x 轴的正半轴夹角为30度，C 为OA 的中点，BC=1，则A 点的坐标为（ ）
A ．()3,3
B ．()3,1
C ．()2,1
D ．()2,3 11．下列判断中，不正确的有（ ）
A ．三边对应成比例的两个三角形相似
B ．两边对应成比例，且有一个角相等的两个三角形相似
C ．有一个锐角相等的两个直角三角形相似
D ．有一个角是100°的两个等腰三角形相似
12．如图，过y 轴上一个动点M 作x 轴的平行线，交双曲线y=4x
- 于点A ，交双曲线10y x
=
于点B ，点C 、点D 在x 轴上运动，且始终保持DC ＝AB ，则平行四边形ABCD 的面积是（ ）
A ．7
B ．10
C ．14
D ．28
二、填空题
13．10个棱长为a cm 的正方体摆放成如图的形状，这个图形的表面积是____________．
14．棱长是1cm 的小立方体组成如图所示的几何体，那么这个几何体的表面积是____________．
15．为解决楼房之间的挡光问题，某地区规定：两幢楼房间的距离至少为40米，中午12时不能挡光．如图，某旧楼的一楼窗台高1米，要在此楼正南方40米处再建一幢新楼．已知该地区冬天中午12时阳光从正南方照射，并且光线与水平线的夹角最小为30°，在不违反规定的情况下，请问新建楼房最高______米．（结果精确到1米．3≈1.732，2≈1.414）
16．如果在某建筑物的A 处测得目标B 的俯角为37°，那么从目标B 可以测得这个建筑物的A 处的仰角为_____．
17．如图，长方形ABCD 中，BC=6，CD=3，将△BCD 沿对角线BD 翻折，点C 落在点C’处，BC’交AD 于点E ，则线段DE 的长为____.
18．3cosA ＜sin70°，则锐角A 的取值范围是_________ 19．如图，在Rt ACB 中，90C ∠=︒，30ABC ∠=︒，4AC =，N 是斜边AB 上方一点，连接BN ，点D 是BC 的中点，DM 垂直平分BN ，交AB 于点E ，连接DN ，交AB 于点F ，当ANF 为直角三角形时，线段AE 的长为________．
20．已知点(1,),(3,)A a B b 都在反比例函数4y x
的图像上，则,a b 的大小关系为____．（用“<”连接） 三、解答题
21．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D 为边CB 上的一个动点（点D 不与点B 重合），过D 作DO ⊥AB ，垂足为O ，点B′在边AB 上，且与点B 关于直线DO 对称，连接DB′，AD ．
（1）求证：△DOB ∽△ACB ；
（2）若AD 平分∠CAB ，求线段BD 的长；
（3）当△AB′D 为等腰三角形时，求线段BD 的长．
22．如图各图是棱长为1cm 的小正方体摆成的，如图①中,从正面看有1个正方形，表面积为6cm 2；如图②中,从正面看有3个正方形，表面积为18cm 2；如图③，从正面看有6个正方形，表面积为36cm 2；…
(1)第6个图中，从正面看有多少个正方形?表面积是多少?
(2)第n 个图形中，从正面看有多少个正方形?表面积是多少?
23．位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一．某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度．如图所示，他们在地面一条水平步道MP 上架设测角仪，先在点M 处测得观星台最高点A 的仰角为22°，然后沿MP 方向前进16m 到达点N 处，测得点A 的仰角为45°．测角仪的高度为
1.6m 求观星台最高点A 距离地面的高度（结果精确到0.1m ．参考数据：sin22°≈0.37，
cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，2≈1.41）．
24．计算
（1）()2
18232- （2）12272333
+- （3）2sin 45cos30tan60+⋅
25．如图，在四边形ABCD 中，90A C ∠=∠=︒，DE ，BF 分别平分ADC ∠，ABC ∠，并交线段AB ，CD 于点E ，F （点E ，B 不重合），在线段BF 上取点M ，N （点M 在BN 之间），使2BM FN =．当点P 从点D 匀速运动到点E 时，点Q 恰好从点M 匀速运动到点N ，记QN x =，PD y =，已知5103y x =-+，当Q 为BF 中点时，53
y =．
（1）判断DE 与BF 的位置关系，并说明理由：
（2）求DE ，BF 的长；
（3）若30AED ∠=︒
①当DP DF =时，通过计算比较BE 与BQ 的大小关系；
②连接PQ ，当PQ 所在直线经过四边形ABCD 的一个项点时，求所有满足条件的x 的值． 26．已知直线l 分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，与双曲线y ＝
m x
（m≠0，x ＞0）分别交于D 、E 两点，若点D 的坐标为(4，1)，点E 的坐标为(1，n)
（1）分别求出直线l 与双曲线的解析式；
（2）求△EOD 的面积．
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一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
先确定几何体的主视图，得到边长分别为3cm、6cm，再根据面积公式计算得出答案.【详解】
如图，所得几何体的主视图是一个长方形，边长分别为3cm、6cm，
∴所得几何体的主视图的面积是36 =2
18cm，
故选：D.
【点睛】
此题考查几何体的三视图，平面图形的面积计算公式，正确理解几何体的三视图是解题的关键.
2．C
解析：C
【分析】
利用结合体的形状，结合三视图可得出主视图没有发生变化．
【详解】
解：主视图由原来的三列变为两列；
俯视图由原来的三列变为两列；
左视图不变，依然是两列，左起第一列是两个小正方形，第二列底层是一个小正方形．故选：C．
【点睛】
本题考查了简单组合体的三视图，根据题意正确掌握三视图的观察角度是解题的关键．3．B
解析：B
【分析】
找到从正面看所得到的图形即可．
【详解】
从正面看两个矩形，中间的线为虚线，
故选B．
【点睛】
考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
4．D
解析：D
【分析】
先根据俯视图判断出这个几何体的行列数，然后根据正视图推算每列小正方体的最少个数，最后将各列的小正方体个数求和即可得．
【详解】
由俯视图可得，这个几何体共有3行3列，其中左边一列有2行，中间一列有2行，右边一列有3行
由正视图可得，左边一列2行中的最高层数为2，则这列小正方体最少有213
+=个
中间一列2行中的最高层数为3，则这列小正方体最少有314
+=个
右边一列3行中的最高层数为4，则这列小正方体最少有4116
++=个
因此，这个几何体的一种可能的摆放为2,3,4
1,1,1
0,0,1
（数字表示所在位置小正方体的个数），小
正方体最少有34613
++=个
故选：D．
【点睛】
本题考查了三视图（俯视图、正视图）的定义，根据俯视图和正视图得出几何体的实际可能摆放是解题关键．另一个重要概念是左视图，这是常考知识点，需掌握．
5．D
解析：D
【解析】
分析：根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
详解：从左边看是等长的上下两个矩形，上边的矩形小，下边的矩形大，两矩形的公共边是虚线，
故选D．
点睛：本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
6．B
解析：B
【分析】
先利用正弦的定义得到10sin 0.250A =
=，然后利用计算器求锐角∠A ． 【详解】
∵ 10sin 0.250
A ==， ∴ 用计算器求值的顺序为20.2ndFsin =，
故选：B ．
【点睛】
本题考查了锐角三角函数及计算器的应用，掌握科学计算器的应用是解决本题的关键． 7．D
解析：D 【分析】
连接AC ，根据网格图不难得出=90CAB ∠︒，求出AC 、BC 的长度即可求出ABC ∠的正切值．
【详解】
连接AC ，
由网格图可得：=90CAB ∠︒，
由勾股定理可得：AC 2AB =2
∴tan ABC ∠=
21222AC AB ==． 故选：D ．
【点睛】
本题主要考查网格图中锐角三角函数值的求解，根据网格图构造直角三角形是解题关键． 8．A
解析：A
【解析】
设MN=xm ，
在Rt △BMN 中,∵∠MBN=45∘，
∴BN=MN=x ，
在Rt △AMN 中,tan ∠MAN=
MN AN ， ∴tan30∘=16x x
+ =3√3，
解得：x=8(3 +1)， 则建筑物MN 的高度等于8(3 +1)m ；
故选A.
点睛：本题是解直角三角形的应用，考查了仰角和俯角的问题，要明确哪个角是仰角，哪个角是俯角，知道仰角是向上看的视线与水平线的夹角，俯角是向下看的视线与水平线的夹角，并与三角函数相结合求边的长.
9．B
解析：B
【分析】
在Rt ABC ∆中，由勾股定理可得13AC =．根据旋转性质可得13AE =，5AD =，12DE =，所以8CD =．在Rt CED ∆中根据tan DE ECD DC ∠=
，可求解． 【详解】
解：∵在Rt ABC ∆中，AB=5，BC=12，
∴由勾股定理可得222251213AC AB BC =+=+=，
根据旋转性质可得13AE =，5AD =，12DE =，
8CD ∴=，
在Rt CED ∆中，123tan 82
DE ECD DC ∠=
==， 故选：B ．
【点睛】
本题主要考查了旋转的性质以及解直角三角形，利用勾股定理求出所求三角函数值的直角三角形的对应边长度，根据线段比就可解决问题． 10．B
解析：B
【分析】
根据题画出图形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AB 的值，再根据勾股定理可得OB 的值，进而可得点A 的坐标．
【详解】
解：如图，过A 点作AD x ⊥轴于D 点，
Rt OAB ∆的斜边OA 在第一象限，并与x 轴的正半轴夹角为30．
30AOD ∴∠=︒，
12
AD OA ∴=， C 为OA 的中点，
1AD AC OC BC ∴====，
2OA ∴=，
OD ∴=，
则点A 的坐标为：1)．
故选：B ．
【点睛】
本题考查了解直角三角形、坐标与图形性质、直角三角形斜边上的中线，解决本题的关键是综合运用以上知识．
11．B
解析：B
【分析】
由相似三角形的判定依次判断可求解．
【详解】
解：A 、三边对应成比例的两个三角形相似，故A 选项不合题意；
B 、两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，故B 选项符合题意；
C 、有一个锐角相等的两个直角三角形相似，故C 选项不合题意；
D 、有一个角是100°的两个等腰三角形，则它们的底角都是40°，所以有一个角是100°的两个等腰三角形相似，故D 选项不合题意；
故选：B ．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定，熟练运用相似三角形的判定是本题的关键．
12．C
解析：C
【分析】
设出M 点的坐标，可得出过M 与x 轴平行的直线方程为y=m ，将y=m 代入反比例函数y=4x
-中，求出对应的x 的值，即为A 的横坐标，将y=m 代入反比例函数10y x =中，求出对应的x 的值，即为B 的横坐标，用B 的横坐标减去A 的横坐标求出AB 的长，根据DC=AB ，且DC 与AB 平行，得到四边形ABCD 是平行四边形，过B 作BN 垂直于x 轴，平行四边形底边为DC ，DC 边上的高为BN ，由B 的纵坐标为ｍ得到BN=m ，再由求出的AB 的长，得到DC 的长，利用平行四边形的面积等于底乘以高可得出平行四边形ABCD 的面积．
【详解】
解：设M 的坐标为（0，m ）（m ＞0）则直线AB 的方程为：y=m ，
将y=m 代入y=4x
-中得：4x m =-，∴A （4m -，m ）
将y=m 代入10y x =中得：10x m =，∴B （10m ，m ） ∴DC=AB=10m -（4m -）=14m
过B 作BN ⊥x 轴，则有BN=m ，
则平行四边形ABCD 的面积S=DC·
BN=14m
×m=14． 故选C ．
【点睛】
本题考查反比例函数综合题． 二、填空题
13．【分析】先画出这个图形的三视图从而可得上下面前后面左右面的小正方形的个数再根据正方形的面积公式即可得【详解】由题意画出这个图形的三视图如下：则这个图形的表面积是故答案为：【点睛】本题考查了求几何体的 解析：2236a cm
【分析】
先画出这个图形的三视图，从而可得上下面、前后面、左右面的小正方形的个数，再根据正方形的面积公式即可得．
【详解】
由题意，画出这个图形的三视图如下：
则这个图形的表面积是()()222
26262636a a cm ⨯+⨯+⨯=， 故答案为：2236a cm ．
【点睛】
本题考查了求几何体的表面积，正确画出图形的三视图是解题关键．
14．36cm2【分析】从上面看到6个正方形从正面和右面可看到6个正方形从两个侧后面可看到6个正方形从底面可到到6个正方形面积相加即为所求【详解】从上面看到的面积为6从正面和右面看到的面积为从两个侧后面看 解析：36cm 2
【分析】
从上面看到6个正方形，从正面和右面可看到62⨯个正方形，从两个侧后面可看到62⨯个正方形，从底面可到到6个正方形，面积相加即为所求.
【详解】
从上面看到的面积为62116cm ⨯⨯=，从正面和右面看到的面积为2621112cm ⨯⨯⨯=，从两个侧后面看到的面积为2621112cm ⨯⨯⨯=，从底面看到的面积为62116cm ⨯⨯=， 那么这个几何体的表面积为6+12+12+6=362cm .
【点睛】
本题考查了几何体的表面积，解决问题的关键是分别从各个视角求出面积，然后相加即可. 15．24【解析】【分析】过点C 作CE ⊥BD 与点E 可得四边形CABE 是矩形知CE=AB=40AC=BE=1在Rt △CDE 中DE=tan30°•CE 求出DE 的长由DB=DE+EB 可得答案【详解】如图过点C 作
解析：24
【解析】
【分析】
过点C 作CE ⊥BD 与点E ，可得四边形CABE 是矩形，知CE =AB =40，AC =BE =1．在Rt △CDE 中DE =tan30°•CE 求出DE 的长，由DB =DE +EB 可得答案．
【详解】
如图，过点C 作CE ⊥BD 与点E ．
在Rt △CDE 中，∠DCE =30°，CE =AB =40，则DE =tan30°•CE 3=
⨯40≈23，而EB =AC =1，∴BD =DE +EB =23+1=24（米）．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用．注意能根据题意构造直角三角形，并能借助于解直角三角形的知识求解是解答此题的关键．
16．37°【分析】由俯角和仰角的定义和平行线的性质即可得到目标B 可以测得
这个建筑物的A处的仰角为37°【详解】如图∵某建筑物的A处测得目标B的俯角为37°∴目标B可以测得这个建筑物的A处的仰角为37°故
解析：37°
【分析】
由俯角和仰角的定义和平行线的性质即可得到目标B可以测得这个建筑物的A处的仰角为37°．
【详解】
如图，
∵某建筑物的A处测得目标B的俯角为37°，
∴目标B可以测得这个建筑物的A处的仰角为37°，
故答案为：37°．
【点睛】
考查了解直角三角形，解题关键是理解向下看，视线与水平线的夹角叫俯角；向上看，视线与水平线的夹角叫仰角．
17．375【分析】首先根据题意得到BE=DE然后根据勾股定理得到关于线段ABAEBE的方程解方程即可解决问题【详解】设ED=x则AE=6﹣x∵四边形ABCD 为矩形∴AD∥BC∴∠EDB=∠DBC由题意得
解析：3.75
【分析】
首先根据题意得到BE=DE，然后根据勾股定理得到关于线段AB、AE、BE的方程，解方程即可解决问题．
【详解】
设ED=x，则AE=6﹣x．
∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∴∠EDB=∠DBC．
由题意得：∠EBD=∠DBC，∴∠EDB=∠EBD，∴EB=ED=x．
由勾股定理得：BE2=AB2+AE2，即x2=9+（6﹣x）2，解得：x=3.75，∴ED=3.75．
故答案为3.75．
【点睛】
本题考查了几何变换中的翻折变换及其应用问题；解题的关键是根据翻折变换的性质，结合全等三角形的判定及其性质、勾股定理等几何知识，灵活进行判断、分析、推理或解答．
18．20°＜∠A＜30°【详解】∵＜cosA＜sin70°sin70°=cos20°∴cos30°＜cosA＜cos20°∴20°＜∠A＜30°
解析：20°＜∠A ＜30°．
【详解】 ∵3＜cosA ＜sin70°，sin70°=cos20°， ∴cos30°＜cosA ＜cos20°，
∴20°＜∠A ＜30°．
19．或【分析】（1）分别在中应用含角的直角三角形的性质以及勾股定理求得再根据垂直平分线的性质等边三角形的判定和性质等腰三角形的判定求得最后利用线段的和差即可求得答案；根据垂直平分线的性质全等三角形的判定 解析：6或
285 【分析】
（1）分别在Rt ACB ∆、Rt BDF ∆、Rt DEF ∆中应用含30角的直角三角形的性质以及勾股定理求得1EF =，2DE =，再根据垂直平分线的性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定求得2BE =，最后利用线段的和差即可求得答案；根据垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质、分线段成比例定理可证得//DM CN ，然后根据平行线的性质、相似三角形的判定和性质列出方程，解方程即可求得125
BE =
，最后利用线段的和差即可求得答案．
【详解】
解：①当90AFN ∠=︒时，如图1:
∵在Rt ACB ∆中，90C ∠=︒，4AC =，30ABC ∠=︒
∴28AB AC ==
∴2243BC AB AC
∵90AFN DFB ∠=∠=︒，30ABC ∠=︒
∴60FDB ∠=︒
∵3==CD DB ∴132
DF BD =
=∴ 在Rt DEF △中，设EF x =，则22DE EF x == ∵222EF DF DE +=
∴()()2
2223x x -= ∴1x =
∴1EF =，2DE =
∵DM 垂直平分线段BN
∴DB
DN ∵60FDB ∠=︒ ∴BDN 是等边三角形
∴30FDM EDB EBD ∠=∠=∠=︒
∴2BE DE ==
∴826=-=-=AE AB BE ；
②当90ANF ∠=︒时，连接AD 、CN 交于点O ，过点E 作⊥EH DB 于H ，如图2：
设EH x =，则3BH x =
，233DH x = ∵DM 垂直平分线段BN ，点D 是BC 的中点
∴CD DN BD ==
∵AD AD = ∴()Rt ACD Rt AND HL ≌
∵AC AN =
∵CD DN =
∴AD 垂直平分线段CN
∴90AON ∠=︒
∵CD DB =，MN BM =
∴//DM CN
∴90ADM AON ∠=∠=︒
∵90ACD EHD ∠=∠=︒
∴90ADC EDH ∠+∠=︒，90EDH DEH ∠+∠=︒
∴∠=∠ADC DEH
∴
ACD DHE ∽ ∴AC CD DH EH
=
∴
=x ∴65x =
∴1225
==BE x ∴1228855
=-=-=AE AB BE ． ∴综上所述，满足条件的AE 的值为6或
285． 故答案是：6或
285
【点睛】 本题考查了垂直平分线的性质和判定、含30角的直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等，渗透了逻辑推理的核心素养以及分类讨论的数学思想．
20．【分析】根据题意把所给点的横纵坐标代入反比例函数的解析式求出a 与b 的值比较大小即可【详解】解：点A （1a ）在反比例函数的图像上则有点B （3b ）在反比例函数的图像上则有所以故答案为：【点睛】本题主要考 解析：b a <
【分析】
根据题意把所给点的横纵坐标代入反比例函数的解析式，求出a 与b 的值，比较大小即可．
【详解】
解：点A （1，a ）在反比例函数4y x =的图像上，则有441a ==， 点B （3，b ）在反比例函数4y x
=的图像上，则有43b =， 所以b a <.
故答案为：b a <.
【点睛】
本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，注意掌握所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积等于比例系数． 三、解答题
21．（1）证明见试题解析；（2）5；（3）
5013
． 【解析】
试题分析：（1）公共角和直角两个角相等，所以相似.(2)由（1）可得三角形相似比，设BD ＝x ，CD ，BD ，BO 用x 表示出来，所以可得BD 长.(3)同（2）原理，BD ＝B′D ＝x , AB′，B′O ，BO 用x 表示,利用等腰三角形求BD 长.
试题
（1）证明:∵DO ⊥AB ，∴∠DOB ＝90°，
∴∠ACB ＝∠DOB ＝90°,
又∵∠B ＝∠B ．∴△DOB ∽△ACB ．
（2）∵AD 平分∠CAB ，DC ⊥AC,DO ⊥AB,
∴DO ＝DC ,
在 Rt △ABC 中，AC ＝6，BC ＝,8，∴AB ＝10,
∵△DOB ∽△ACB,
∴DO ∶BO ∶BD ＝AC ∶BC ∶AB ＝3∶4∶5,
设BD ＝x ，则DO ＝DC ＝
35x ，BO ＝45x , ∵CD ＋BD ＝8，∴35
x ＋x ＝8，解得x ＝,5，即：BD ＝5． （3）∵点B 与点B′关于直线DO 对称，∴∠B ＝∠OB′D ，
BO ＝B′O ＝45
x ，BD ＝B′D ＝x , ∵∠B 为锐角，∴∠OB′D 也为锐角，∴∠AB′D 为钝角,
∴当△AB′D 是等腰三角形时，AB′＝DB′,
∵AB′＋B′O ＋BO ＝10，
∴x ＋45x ＋45x ＝10，解得x ＝5013，即BD ＝5013
， ∴当△AB′D 为等腰三角形时，BD ＝
5013. 点睛：角平分线问题的辅助线添加及其解题模型.
①垂两边：如图（1），已知BP 平分ABC ∠，过点P 作PA AB ⊥，PC BC ⊥，则PA PC =.
②截两边：如图（2），已知BP 平分MBN ∠，点A BM 上，在BN 上截取BC BA =，则ABP ∆≌CBP ∆.
③角平分线+平行线→等腰三角形：
如图（3），已知BP 平分ABC ∠，//PA AC ，则AB AP =；
如图（4），已知BP 平分ABC ∠，//EF PB ，则BE BF =.
(1) (2) (3) (4)
④三线合一（利用角平分线+垂线→等腰三角形）：
如图（5），已知AD 平分BAC ∠，且AD BC ⊥，则AB AC =，BD CD =.
(5)
22．（1）126cm 2；（2）3n （n ＋1）cm 2．
【分析】
（1）由题意知，第4个图共有1＋3＋6＋10＝20个，从正面看有10个正方形，第5个图共有1＋3＋6＋10＋15＝35个，从正面看有15个正方形，即可推出第6个图形的正方体和正面看到的正方形个数；
（2）由题意知，从正面看有（1＋2＋3＋4＋…＋n ）个正方形，即可得出其表面积．
【详解】
（1）由题意可知，第6个图中，
从正面看有1＋2＋3＋4＋5＋6＝21个正方形，
表面积为：21×6＝126cm 2；
（2）由题意知，从正面看到的正方形个数有（1＋2＋3＋4＋…＋n ）＝
(1)2n n +个， 表面积为：
(1)2
n n +×6＝3n （n ＋1）cm 2． 【点睛】
本题主要考查了平面图形的有规律变化，要求学生通过观察图形，分析、归纳发现其中的规律，并应用规律解决问题．
23．约为12.3m
【分析】
过A 作AD ⊥PM 于D ，延长BC 交AD 于E ，则四边形BMNC ，四边形BMDE 是矩形，于是得到BC=MN=16m ，DE=CN=BM=1.6m ，求得CE=AE ，设AE=CE=x ，得到BE=16+x ，解直角三角形即可得到答案．
【详解】
过A 作AD ⊥PM 于D ，延长BC 交AD 于E ，
则四边形BMNC ，四边形BMDE 是矩形，
∴BC ＝MN ＝16m ，DE ＝CN ＝BM ＝1.6m ，
∵∠AEC ＝90°，∠ACE ＝45°，
∴△ACE 是等腰直角三角形，
∴CE ＝AE ，
设AE ＝CE ＝x ，
∴BE ＝16+x ，
∵∠ABE ＝22°，
∴tan22°＝AE BE ＝16x x
+≈0.40， 解得：x ≈10.7（m ），
经检验x ≈10.7是原分式方程的解
∴AD≈10.7+1.6＝12.3（m ）， 答：观星台最高点A 距离地面的高度约为12.3m ．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用－仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
24．（1）-10；（2）56-3）2.
【分析】
（1）先按照乘法分配律计算，再把二次根式化简，即可得出结果；
（2）先按照除法法则进行计算，再把各二次根式化简，即可得出结果；
（3）先把三角函数值代入，然后进行二次根式的计算即可.
【详解】
解：（1）原式36264；
（2）原式23493
33⨯⨯=2+36-6- （3）原式= 22331322+=2. 【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算及特殊角三角函数值的运算，合理安排运算顺序，可达到简便计算的目的．
25．（1）DE ∥BF ，见解析；（2）DE=10；BF=18；（3）①BQ ＜BE ；②x=6或x=1116或
x=21 8
【分析】
（1）推出∠AED=∠ABF，即可得出DE∥BF；
（2）求出DE=10，MN=6，把
5
3
y=代入
5
10
3
y x
=-+，解得x=5，即NQ=5，得出
QM=1，由FQ=QB，BM=2FN，得出FN=4，BM=8，即可得出结果；
（3）①连接EM并延长交BC于点H，易证四边形DFME是平行四边形，得出DF=EM，求出∠DEA=∠FBE=∠FBC=30°，∠ADE=∠CDE=∠FME=60°，∠MEB=∠FBE=30°，得出
∠EHB=90°，DF=EM=BM=8，MH=4，EH=12，由勾股定理得HB=43，BE=83，当DP=DF
时，求出BQ=64
5
，即可得出BQ＜BE；
②（Ⅰ）当PQ经过点D时，y=0，则x=6；（Ⅱ）当PQ经过点C时，由FQ∥DP，得出
△CFQ∽△CDP，则FQ CF
DP CD
=，即可求出x=
11
16
；（Ⅲ）当PQ经过点A时，由PE∥BQ，
得出△APE∽△AQB，则PE AE
BQ AB
=，求出AE=53，AB=133，即可得出x=
21
8
，由图
可知，PQ不可能过点B．
【详解】
解：（1）DE与BF的位置关系为：DE∥BF，理由如下：如图1所示：
∵∠A=∠C=90°，
∴∠ADC+∠ABC=360°-（∠A+∠C）=180°，∵DE、BF分别平分∠ADC、∠ABC，
∴∠ADE=1
2∠ADC，∠ABF=1
2
∠ABC，
∴∠ADE+∠ABF=1
2
×180°=90°，∵∠ADE+∠AED=90°，
∴∠AED=∠ABF，
∴DE∥BF；
（2）令x=0，得y=10，∴DE=10，
令y=0，得x=6，∴MN=6，
把y=5
3
代入
5
10
3
y x
=-+，
解得：x=5，即NQ=5，
∴QM=6-5=1，
∵Q是BF中点，
∴FQ=QB，
∵BM=2FN，
∴FN+5=1+2FN，
解得：FN=4，
∴BM=8，
∴BF=FN+MN+MB=18；
（3）①连接EM并延长交BC于点H，如图2所示：
∵FM=4+6=10=DE，DE∥BF，
∴四边形DFME是平行四边形，
∴DF=EM，EH∥CD，
∴∠MHB=∠C=90°，
∵∠A=90°，∠AED=30°
∴AD=1
2
DE=5，
∴∠DEA=∠FBE=∠FBC=30°，
∴∠ADE=60°，
∴∠ADE=∠CDE=∠FME=60°，
∴∠DFM=∠DEM=120°，
∴∠MEB=180°-120°-30°=30°，
∴∠MEB=∠FBE=30°，
∴DF=EM=BM=8，
∴MH=1
2
BM=4，
∴EH=8+4=12，
由勾股定理得：2243
BM MH
-=
∴BE=2283
EH HB
+=，
当DP=DF时，
5
108 3
x
-+=
，解得：x=
6
5
，
∴BQ=14-x=64
5
，
∵64
5
＜83，
∴BQ＜BE；
②（Ⅰ）当PQ经过点D时，如图3所示：
y=0，则x=6；
（Ⅱ）当PQ经过点C时，如图4所示：
∵BF=18，∠FCB=90°，∠CBF=30°，
∴CF=1
2
BF=9，
∴CD=9+8=17，
∵FQ∥DP，
∴△CFQ∽△CDP，
∴FQ CF
DP CD
=，
49
517
10
3
x
x
+
=
-+，解得：x=
11
16
；（Ⅲ）当PQ经过点A时，如图5所示：
∵PE∥BQ，
∴△APE∽△AQB，
∴PE AE BQ AB
=，
由勾股定理得：2253
DE AD
-=
∴AB=8353133
=
∴
5
10(10)53
3
14133
x
x
--+
=
-
x=
21
8
，
由图可知，PQ不可能过点B；
综上所述，当x=6或x=11
16
或x=
21
8
时，PQ所在的直线经过四边形ABCD的一个顶点．
【点睛】
本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理、角平分线的性质、平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；本题综合性强，难度较大，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
26．（1）y＝﹣x＋5；y＝4 x
（2）15 2
【分析】
（1）只需运用待定系数法就可求出反比例函数的解析式，把点E的坐标代入反比例函数的解析式，就可求出点E的坐标，然后运用待定系数法就可求出直线l的解析式；
（2）连接OD、OE，过点D作DM⊥OA于M，作EN⊥OA于N，如图，只需运用割补法，就可求出△EOD的面积．
【详解】
（1）把D(4，1)代入反比例函数的解析式得，
m＝4×1＝4，
∴反比例函数的解析式为y＝4
x
．
把点E(1，n)的坐标代入y＝4
x
得n＝4，
∴点E的坐标为(1，4)．
设直线l的解析式为y＝kx＋b，
则有
14
4
k b
k b
=+
⎧
⎨
=+
⎩
，
解得
1
5
k
b
=-
⎧
⎨
=
⎩
，
∴直线l的解析式为y＝﹣x＋5；
（2）连接OD、OE，过点D作DM⊥OA于M，作EN⊥OA于N，如图．
∵点A是直线y＝﹣x＋5与x轴的交点，
∴点A的坐标为(5，0)，OA＝5，
∴S△DOE＝S△AOE﹣S△ADO，
＝1
2
×5×4﹣
1
2
×5×1＝
15
2
．
【点睛】
本题考查求直线和反比例函数解析式及三角形面积，掌握待定系数法求解析式，需待定的字母，有几个待定需要找到图像上几个点，求面积多采取平行x轴的线段为底，平行y轴线段为高，掌握面积公式，也可用割补法求面积．。