微积分重点内容回顾.完整版ppt资料

(d) x2 a2 可令x a se t. c
(3)并不是a 所 2x有 2, x含 2a2, x2a2的积分
用三角 ,也代 可换 凑 .如微 x a2分 x2d.x
(4)第二换元法 换 除 外 了 还 三 有 x 角 1倒 及 代 代 其 . t
类型一.被积函数a中 x， 含则 有 t令ax
例 1.计算 (1)x.x1dx(2).
例 3. 计算 lx i0m exex3x2x.
Solution.
ex ex 2x
lim
x0
x3
limex ex 2 x0 3x2
limex ex x0 6x
limex ex 1
x0 6
3
(2)一般规律如下：当被积函数中含有
(a) ax
可令 t ax
(b) a2 x2 (c) a2 x2
可令 xasitn ; 可令 xatat;n
f(1)1 00, f(2) 70, f(3)3 20.
至少1 存 (1 ,2 )在 使 , f(一 得 1 ) 0 .点 至少2 存 (2 ,3 )在 使 , f( 一 得 2 ) 0 .点
所以结论成立.
二.导数定义
1.f(x)在 xx0处的导 (变化数 率) 定义: 设 yf(x)在x 点 0的某个邻域 ,若 内有
本钱函数 C(q) 的导数 C (q) 称为边际本钱, 记为 MC, ① f(x)在x0连续与它在该点左右连续的关系有如下结论:
(3).
f(b )都 存 在 ， 就 说 f(x )在 闭 区 间 a ,b 上 可 导 . 对于区间的右端点只要左连续那么称为连续.
收益函数 R(q) 的导 数 R (q) 称为边际收益, 记为 MR,
▪ 例题：练习题P50
在将本钱 C、收益 R、利润 L 仅考虑成产量 q 的函数的情况下, (1).本钱函数 C(q) 的导数 C (q) 称为边际本钱, 记为 MC, 即: MC = C (q). (2).收益函数 R(q) 的导数 R (q) 称为边际收益, 记为 MR, 即: MR = R (q). (3).利润函数 L(q) 的导数 L (q) 称为边际利润, 记为 ML, 即: ML = L (q). 注意：由于 L(q) = R(q) - C(q), 所以 L (q) = R (q) - C
②对于区间的左端点只要右连续那么称为连续； 对于区间的右端点只要左连续那么称为连续.
2、零点定理与介值定理
定理5(零点定理) 设(1)f(x)在闭[区 a,b]上 间连 , 续 (2)且 f(a)f(b)0,
则至少存 在 (a,b)一 使 , 点 f得 ()0.
即方f(程 x)0在(a,b)内至少存在. 一个 y
函y数 f(x)在 x0处连续 xlimx0 f (x) f (x0).
概括起来f(x)在x0处连续必须满足三个条件： (1)f(x0)有定义 (2) limf(x)存在
xx0
(3)lim f(x)f(x0)
x x0
3.函数的左、右连续性
( 1 )若 .f(x ) 在 ( a ,x 0 ] 有 ,且 定 x l x i 0 fm (x ) 义 f(x 0 ),
(3) 单侧导数经常在研究分段函数分段点和区间端点的 (4) 可导性时碰到, 并且有结论:
f ( x ) 存 f ( x 在 ) f ( x ). 0 (3)无穷小是一类特殊函数, 与极限过程有关。
(3)无穷小是一类特殊函数, 与极限过程有关。
0 0
Rolle〔罗尔〕定理
(4 )如 果 f(x )在 开 区 间 a ,b 内 可 导 ， 且 f(a )及 即: ML = L (q).
几何说明:
a 1
o
2 3
7 4 5 6 b
x
例 1.2试证方5程 7 160 x1 x2 x3
有一根 (1,2)在 内 ,另一根 (2,3在 )内 .
Proof. 设 f ( x ) 5 ( x 2 ) x 3 ) ( 7 ( x 1 ) x 3 ) ( 1 ( x 1 ) x 6 2 ) 则 f(x)在闭 [1 ,2 ]o 区 [2 r,3 ]连 间 . 续
一变化过程中，极限为0的函数, 并且在一个过程中 为无穷小的量，在另一过程中可能不是无穷小量.
例5 当 x0时，试 比较以下无穷小量的阶
( 1 ) ( x ) s x ,( i x ) x n ;( 2 ) x tx , a ( x ) x n
解：〔1〕由于
lim
(x)
lim sin x x0 x
微积分重点内容回忆
一.无穷小的概念与性质
1.定义: 若变 u的 量极0限 , 则为 称 u为无 . 穷
比l如 i1 m 0 , lix m 0 , li0 m 0
x x x 0
x x 0
注意: (1)无穷小并不是一个很小的数.
(2)数“0〞是无穷小 (3)无穷量小.是一类特殊函数, 与极限过程有关。是在某
定,成 因立 为 (x)不一定0趋 .
sin 1 例如 lim x 0
x0 1
x
注意：
lim (11)xe x x
(1)该极限类型"1是 "型,
常用的(lx形 )i m (1 式 (1x)是 )(x)e,
并以此为工具可求出相应的其它一些函数的极限.
1
(2)令 z1,有 lim (1z)ze. x z 0
▪ 例：教材P155
二. Rolle〔罗尔〕定理
教材: P123
若函数 f(x)满足:
(1) 在闭区[a间 ,b]上连;续
(2) 在开区(a间 ,b)内可;导
(3) f(a) f(b)
则至少 存 (a,b)在 使 , f一 得 () 点 0.
y
oa
bx
三. Lagrange 〔拉格朗日〕中值定理 若 函f数 (x)满 足 :
li m ylim f(x 0 x ) f(x 0 )
x 0 x x 0
x
存,则 在y称 f(x)在 x0处可导或导 有数 导 .
且称此 yf极 (x )在 x 0 限 处值 的 .记 为 导 为 数
y|xx0或 f(x0)或 d dx x y x0或 d dx x fx0. 若这样的 ,则 极 y称 f限 (x)在 x 不 0处存 不 . 在 导 若为 ,则 无 记 f(穷 x 0) 为 大 .
e 例 9.设 y si2n1 x,求 y.
类似教P材 94例7
Solution.
y
e
sin2
1 x
e sinsin 1x
esi2n1 x2si1 x nco1 xs1 x
esi2n1 x2si1 x nco1 xsx 12
e x12
s in21xsin2 x
教材: P124
(1) 在闭区 [a,b间 ]上连; 续
(2) 在开区 (a,b间 )内可; 导
则至少 (a ,b 存 )使 , f在 ( 得 )f一 (b )f(a 点 ).
b a
或 f ( b ) f ( a ) f () b ( a ). y
oa
bx
▪ 例题：习题P87
一.
0型及型未定式的极限 0
则复合函y数 f[g(x)]在点x可导 , 且
dy dx
f
(u)
g(x).或
dydydu. dx dudx
注意: 定理3也称为链式法那么, 可加以推广.
即 y f ( u ) u 若 , g ( v ) v h , ( x ) 可 , 则 y f { g [ h 导 ( x )]
可,且 导 dy dydud.v dyf(u)g(v)h(x). dxdudvdx dx
则称 f (x)在x0点左连续 .
( 2 )若 .f(x ) 在 [x 0 ,b ) 有 ,且 定 x l x i 0 fm (x ) 义 f(x 0 ),
则称 f (x)在x0点右连续 .
注意：
① f(x)在x0连续与它在该点左右连续的关系有如下结论:
xl ixm 0 f(x)f(x0)x l ix0 m f(x)x l ix0 m f(x)f(x0)
2.f(x)在开I区 内间 的导 (导函数 数)
若 f(x)在 I内每一 ,则f点 (称 x)在 可 I内导 可 .
f(x ) li m y lif m (x x ) f(x ) x 0 x x 0 x
也可 d或 y 记 y或 d为 或 ff(x ). dx dx
3.单侧导数 (左右导数) 左导数: f ( x 0 ) x l 0 i m x y x l 0 i f m ( x 0 x x ) f( x 0 ) 右导数: f ( x 0 ) x l 0 i m x y x l 0 i f m ( x 0 x x ) f( x 0 )
二、第二重要极限
lim (11)xe
该极限类型"是1"型, x x
常用的(lx形 )i m (1 式 (1x)是 )(x)e,
注意：
six n lim 1 x 0 x
常用的形 l(x)i m 0s式 i (n x()x是 )1.
并以此为工具可求出相应的其它一些函数的极限.
(2)limsin(x)1不一 x0 (x)
利润函数 L(q) 的导数 L (q) 称为边际利润, 记为 ML,
(1)无穷小并不是一个很小的数.
v(t)s(t). (R1o).ll(e5〔罗)尔速〕定度理 是路程函数的导数, 即
三.复合函数的求导法那么
定理3: 如果(1)函数ug(x)在点x可导 ,
(2)y f (u)在对应的u点g(x)可导 ,
x dx x 1
(3).
x 1dx x
解. (1).令t x1, 则xt21,且dx2td,t
x x1dx(t21)•t•2tdt
2t4dt 2t2dt
2 t 5 2 t 3 C 同理可解(2)、(3) 5 3
(4).xex1dx (5)x.sinx1dx
类型二：三角换元 (b) a2 x2
1.0型及型未定式 0
如x 果 a (或 当 x )时 ,
两个 f(x)函 与 g(x) 数 都趋 0 或 ,于
则称极 lim限 f(x)为0或型未定 . 式 xa g(x) 0
(x )
例如, lim sin x , ( 0 )
x0 x
0
limlnsinax, ( ) x0 lnsinbx
1
x0 (x)
当x 0时， s inx与x是等价无穷小，
即: sinx~ x
〔2〕由于 lim ( x ) x0 ( x)
limtanx 1 x0 x
当x0时， tanx与x是等价无穷小，
即: tanx~x
一. 第一重要极限
lim six n1 x 0 x
常用的形 l(xi) m 0式 si (nx(是 )x)1,
可令 xasitn ;
(c) a2 x2
可令 xatat;n
(d) x2 a2
可令x a se t. c
1
例 2. 计算 (1).a2x2dx(2).
dx
a2 x2
解. (1).令xasint, t [ , ] 则dxacotds,t
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且a2x2a2co 2tsacot s
a2x2dx acot•sacotdsta2 1co2stdt
同理可解(2)
a2 ta2 sin2tC
2
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