2019-2020学年北京市北京师范大学第二附属中学高二上学期期中数学试题(解析版)

2019-2020学年北京市北京师范大学第二附属中学高二上学
期期中数学试题
一、单选题
1．过椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦
点，若1260F PF ∠=o
，则椭圆的离心率为（ ）
A ．
22
B ．
33
C ．
12
D ．
13
【答案】B
【解析】作出图形，设1PF t =，可得22PF t =，123F F t =，可将2a 和2c 均用t 表示，即可计算出该椭圆的离心率. 【详解】
设该椭圆的焦距为()20c c >，如下图所示：
设()10PF t t =>，
1PF x ⊥Q 轴，1260F PF ∠=o ，2130PF F ∴∠=o ， 22PF t ∴=，22
122123c F F PF PF t ==
-=，
由椭圆定义可得1223a PF PF t =+=，因此，该椭圆的离心率为23
23
c e a ==
. 故选：B. 【点睛】
本题考查椭圆离心率的计算，涉及椭圆的焦点三角形问题，一般利用椭圆定义来处理，考查计算能力，属于中等题.
2．在等差数列{}n a 中，若2a =4，4a =2，则6a = （ ） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．6
【答案】B
【解析】在等差数列{}n a 中，若244,2a a ==，则()()426611
4222
a a a a =+=+=，解得60a =，故选B.
3．椭圆12322
2
=+y x 的两焦点之间的距离为 A
． B
C
．
D
【答案】C
【解析】试题分析：根据题意，由于椭圆的方程为22
2
2
y 2312+=164
x x y +=∴,故可知
长半轴的长为222a 22b c a b c =
=∴=-=∴=,那么可知两个焦点
的坐标为
（0）
，因此可知两焦点之间的距离为 C
【考点】椭圆的简单几何性质
点评：解决的关键是将方程变为标准式，然后结合性质得到结论，属于基础题。

4．已知双曲线()22
221,0x y a b a b
-=>
的一条渐近线方程为y =，它的一个焦点坐
标为()2,0，则双曲线的方程为（ ）
A ．22
126
x y -=
B ．22
162x y -=
C ．2
213
y x -=
D ．2
2
13
x y -=
【答案】C
【解析】根据题意得出关于a 、b 的方程组，解出a 、b 的值，即可得出所求双曲线的方程. 【详解】
由题意可得20,0
b
a a
b ⎧=⎪=>>⎪⎪⎩
，解得1a b =⎧⎪⎨=⎪⎩22
13y x -=.
故选：C.
【点睛】
本题考查双曲线标准方程的求解，解题的关键就是求出a 、b 的值，考查方程思想的应用，属于基础题.
5．“(1)(2)0x x --=”是“10x -=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】B
【解析】试题分析：因为(1)(2)012x x x x --=⇔==或,而结论是x=1，那么根据前者表示的x 的集合包含后者，可知条件不能推出结论，但是结论可以推出条件，因此说条件是结论成立的充分不必要条件，故选B
【考点】本题主要考查充分条件的判定问题的运用。

点评：解决该试题的关键是弄清楚条件表示的集合与结论表示的集合之间的包含关系，结合集合的关系来得到判定。

6．若
11
0a b
<<，则下列不等式：①a b ab +<；②a b >；③a b <；④2ab b <中，正确的不等式有（ ） A ．①② B ．②③
C ．①④
D ．③④
【答案】C 【解析】由
11
0a b
<<推导出0b a <<，利用不等式的基本性质判断①②③④的正误，即可得出结论. 【详解】
110a b
<<Q
，11
0a b ∴->->，由不等式的性质可得0b a ->->，所以，0b a <<.
对于①中的不等式，0a b ab +<<，①中的不等式成立；
对于②中的不等式，0b a ->->，即b a >，②中的不等式不成立； 对于③中的不等式，0b a <<Q ，③中的不等式不成立； 对于④中的不等式，0b a <<Q ，2b ab ∴>，④中的不等式成立. 故选：C. 【点睛】
本题考查利用不等式的基本性质判断不等式是否成立，考查推理能力，属于基础题.
7．已知x ，y ＞0且x+4y=1，则11
x y
+的最小值为（ ）
A ．8
B ．9
C ．10
D ．11
【答案】B
【解析】由1111 4x y x y x y
（）（）+=++，展开多项式乘多项式，然后利用基本不等式求最值． 【详解】
0x y Q ，＞ 且41x y += ，
∴
11114 4?1459x y x y x y x y y x +=++=+++≥+（）（）．
当且仅当1
1
3
6
x y ，==
时，等号成立． ∴11
x y
+的最小值为9． 故选：B ． 【点睛】
本题考查利用基本不等式求最值，关键是“1”的灵活运用，是基础题．
8．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 A ．440 B ．330 C ．220 D ．110
【答案】A
【解析】由题意得，数列如下：
11,
1,2,1,2,4,1,2,4,,2k -L
L L
则该数列的前(1)
122
k k k ++++=
L 项和为 11(1)1(12)(122)222k k k k S k -++⎛⎫=+++++++=-- ⎪⎝⎭
L L ， 要使
(1)
1002
k k +>，有14k ≥，此时122k k ++<，所以2k +是第1k +组等比数列1,2,,2k L 的部分和，设1212221t t k -+=+++=-L ， 所以2314t k =-≥，则5t ≥，此时52329k =-=， 所以对应满足条件的最小整数2930
54402
N ⨯=
+=，故选A. 点睛:本题非常巧妙地将实际问题和数列融合在一起，首先需要读懂题目所表达的具体含义，以及观察所给定数列的特征，进而判断出该数列的通项和求和.另外，本题的难点在于数列里面套数列，第一个数列的和又作为下一个数列的通项，而且最后几项并不能放在一个数列中，需要进行判断.
二、填空题
9．在等比数列{}n a 中，若1218+=a a ，2312a a +=，则公比q 为________.
【答案】
23
【解析】根据题意得出关于1a 和q 的方程组，即可解出q 的值. 【详解】
由题意可得()()1212
23
111118
112a a a q a a a q a q a q q ⎧+=+=⎪⎨+=+=+=⎪⎩，解得23q =. 故答案为：23
. 【点睛】
本题考查等比数列基本量的计算，建立方程组是解答的关键，考查运算求解能力，属于基础题.
10．若双曲线的一个顶点坐标为()3,0,焦距为10,则它的标准方程为________.
【答案】22
1916
x y -=
【解析】根据顶点坐标求得a ,根据焦距求得c ,进而根据2b =22c a -求得b ,进而求得双
曲线的标准方程. 【详解】
依题意可知a =3,c =5
∴ 4b =
=
根据顶点坐标可知焦点在x 轴,
∴ 双曲线的方程为22
1916x y -=.
故答案为：22
1916
x y -=
【点睛】
本题考查了由,,a b c 求双曲线的标准方程，需熟记222c a b =+，属于基础题.
11．椭圆22
14
x y m +=的焦距为2，则m 的值等于________．
【答案】3
【解析】讨论4m >和04m <<两种情况，利用222a c b -=求解即可. 【详解】
当m >4时，m －4＝1，∴m ＝5；当0<m <4时，4－m ＝1，∴m ＝3. 故答案为：3 【点睛】
本题主要考查了根据椭圆的方程求,a b ，属于基础题.
12．若对任意正实数a ，不等式21x a ≤+恒成立，则实数x 的最小值为______． 【答案】-1
【解析】根据恒成立的方法化简为2
min 1a x ≥-再求解即可. 【详解】
∵对任意正实数a ,不等式21x a ≤+恒成立,∴等价于21a x ≥-恒成立, ∴2
min 1a x ≥-,201x ≥-,11x -≤≤∴实数x 的最小值为1-． 故答案为：-1 【点睛】
本题主要考查了恒成立的问题,属于基础题型.
13．若命题“x R ∃∈，20--≤x mx m ”是假命题，则实数m 的取值范围是________. 【答案】()4,0-
【解析】由题意知，不等式20x mx m -->对任意的x ∈R 恒成立，可得出∆<0，即可解出实数m 的取值范围. 【详解】
由于命题“x R ∃∈，20--≤x mx m ”是假命题， 则命题“x R ∀∈，20x mx m -->”为真命题，
240m m ∴∆=+<，解得40m -<<.
因此，实数m 的取值范围是()4,0-. 故答案为：()4,0-. 【点睛】
本题考查根据特称命题的真假求参数，将问题转化为二次不等式恒成立问题是解答的关键，考查运算求解能力，属于基础题.
14．在一次调查中，甲、乙、丙、丁四位同学阅读量有如下关系：同学甲、丙阅读量之和与乙、丁阅读量之和相同，同学甲、乙阅读量之和大于丙、丁阅读量之和，丁的阅读量大于乙、丙阅读量之和.那么这四名同学按阅读量从大到小的排序依次为________. 【答案】甲丁乙丙
【解析】设甲、乙、丙、丁的阅读量分别为1x 、2x 、3x 、4x ，根据题意得出等式与不等式，利用不等式的基本性质可得出1x 、2x 、3x 、4x 的大小关系，进而可得出结论. 【详解】
设甲、乙、丙、丁的阅读量分别为1x 、2x 、3x 、4x ，则10x ≥，20x ≥，30x ≥，40x ≥. 由于同学甲、丙阅读量之和与乙、丁阅读量之和相同，则1324x x x x +=+，① 同学甲、乙阅读量之和大于丙、丁阅读量之和，则1234x x x x +>+，② 丁的阅读量大于乙、丙阅读量之和，则423x x x >+，③ ②-①得()2332232320x x x x x x x x ->-⇒->⇒>， ②+①得1232341422x x x x x x x x ++>++⇒>，
由③得42x x >，所以，1423x x x x >>>. 故答案为：甲丁乙丙. 【点睛】
本题考查了演绎推理的问题，关键是将语句之间的关系转化为等式与不等式关系，考查推理能力，属于基础题．
三、解答题
15．已知等差数列{}n a 满足32a =，前3项的和39
2
S =. （1）求{}n a 的通项公式；
（2）设等比数列{}n b 满足11b a =，415b a =，求{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）12
n n a +=
；（2）21n
n T =-. 【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，根据题意得出关于1a 和d 的方程组，解出这两个量，再利用等差数列的通项公式可求出数列{}n a 的通项公式； （2）求出等比数列{}n b 的公比，利用等比数列的求和公式可求出n T . 【详解】
（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则3131229332a a d S a d =+=⎧⎪⎨=+=⎪⎩，解得11
12a d =⎧⎪
⎨=⎪⎩
，
因此，数列{}n a 的通项公式为()111
1122
n n n a a n d -+=+-=+
=； （2）设等比数列{}n b 的公比为q ，111b a ==，4158==b a ，
34
1
8b q b ∴==，可得2q =. 因此，()()1111221112
n n n n b q T q
-⨯-==
=---.
【点睛】
本题考查等差数列的通项公式和等比数列求和，考查计算能力，属于基础题.
16
．求过点(3，
，离心率为2
e =的双曲线的标准方程． 【答案】2
2
41x y -=．
【解析】试题分析：解：（1）若焦点在x 轴上，设方程为22221x y a b -=，则2292
1a b
-=，
又c e a ====， 得224a b =．
由①、②，得21a =，214
b =
，得方程为22
41x y -=． （2）若焦点在y 轴上，同理可得217
2
b =-不合题意．
故所求双曲线标准方程为2
2
41x y -=．
【考点】本题主要考查双曲线的标准方程及几何性质。

点评：基础题型，设出方程形式，注意对焦点可能在的坐标轴加以讨论。

17．已知2(),f x ax x a a R =+-∈． （1）若1a =，解不等式()1f x ≥； （2）若0a <，解不等式()1f x >． 【答案】(1) {|2x x ≤-或1}x ≥．(2) 1
{|1}a x x a
+-
<< 【解析】(1)利用一元二次不等式的解法解不等式()1f x ≥得解；（2）由题得
1(1)0a x x a +⎛⎫-+< ⎪⎝
⎭，再对a 分类讨论解不等式()1f x >．
【详解】
（1）当1a =，不等式()1f x ≥即211x x +-≥，即()()210x x +-≥， 解得2x -≤，或1x ≥，
故不等式的解集为{|2x x ≤-或1}x ≥．
（2）若0a <，不等式为210ax x a +-->，即1(1)0a x x a +⎛
⎫
-+
< ⎪⎝⎭
， ∵121
1a a a a ++⎛⎫--
=
⎪⎝⎭
， ∴当102a -
<<时，11a a +<- ，不等式的解集为1|1a x x a +⎧⎫<<-⎨⎬⎩
⎭；
当12
a =-时，11a a +=-，不等式即2
(10)x -<，它的解集为φ；
当12a <-
时，11a a +>-，不等式的解集为1
{|1}a x x a
+-
<<．
【点睛】
本题主要考查一元二次不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
18．如图，椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为12,,F F 过2F 的直线交椭圆
于,P Q 两点，且1PQ PF ⊥
（1）若1222,22PF PF ==
（2）若1,PF PQ =求椭圆的离心率
.e 【答案】（1）22
+y =14
x ；
（263-【解析】【详解】
（1）由椭圆的定义，((12222224 2.a PF PF a =+=+==，故 设椭圆的半焦距为c ，由已知12PF PF ⊥，因此
()()
2
2
22
12122||222223c F F PF PF ==+=
++-=，
即3. 从而221b a c -=
故所求椭圆的标准方程为22+y =14
x .
（2）设点P 00(,)x y 在椭圆上，且12PF PF ⊥，则
22222
000022
y +=1,x x y c a b
+=
求得2
00=.b x y c
=± 由12P =P |F PQ F ,得0>0x ,从而
(
)(22222221||=22.b PF a b a c ⎛⎫⎫+=-+=+ ⎪⎪⎭⎝⎭ 由椭圆的定义，12122,2PF PF a QF QF a +=+=,从而由122==+PF
PQ PF QF ，有1142QF a PF =-
又由12PF PF ⊥，1=PF PQ
知
11QF PF =
，因此(1=4PF a
于是(
(24.a a =
解得e ==. 解法二：如图由椭圆的定义，12122,2PF PF a QF QF a +=+=,从而由
122==+PF PQ PF QF ，有1142QF a PF =-
又由12PF PF ⊥，1=PF PQ
知11QF PF =
，因此1142a PF PF -=
,
1PF a ,
从而21=2-21)PF a PF a a a =-=
由12PF PF ⊥,知22222122|F |||(2)4PF P PF c c +===，因此
c e a =====
【考点】考查椭圆的标准方程，椭圆的几何性质.，直线和椭圆相交问题，考查运算求解能力．
19．设函数()1
a f x x x =++，[)0,x ∈+∞. （1）当2a =时，求函数()f x 的最小值；
（2）当01a <<时，求函数()f x 的最小值.
【答案】（1
）1；（2）a .
【解析】（1）当2a =时，将函数()y f x =的解析式变形为()()2111
f x x x =++
-+，
利用基本不等式可求出该函数在区间[)0,+∞上的最小值；
（2）利用单调性的定义证明出函数()y f x =在区间[)0,+∞上为增函数，由此可得出函数()y f x =在区间[)0,+∞上的最小值.
【详解】
（1）当2a =时，()()221111
f x x x x x =+=++-++， 0x ≥Q ，则11x +≥，由基本不等式得
()()
211111f x x x =++
-≥=+
， 当且仅当1x
+=1x =时，等号成立，
因此，函数()y f x =在区间[
)0,+∞上的最小值为1;
（2）任取120x x >≥，则
()()12121211a a f x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭
()()()()()()()()()()121221121212121211111111x x x x a a x x a a x x x x x x x x x x -++-⎡⎤-⎛⎫⎣⎦=-+-=-+= ⎪++++++⎝⎭
，
120x x >≥Q ，01a <<，则120x x ->，()()12111x x ++>，()()120f x f x ∴->， 即()()12f x f x >，所以，函数()1a f x x x =+
+在区间[)0,+∞上为增函数， 因此，函数()1
a f x x x =+
+在区间[)0,+∞上的最小值为()0f a =. 【点睛】
本题考查利用基本不等式与函数的单调性求最值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
20．（本小题满分14分）
有限数列12:,,,.(3)n n A a a a n ⋅⋅⋅≥同时满足下列两个条件：
①对于任意的,i j （1i j n ≤<≤），i j a a <；
②对于任意的,,i j k （1i j k n ≤<<≤），i j a a ，j k a a ，i k a a 三个数中至少有一个数是数列n A 中的项．[来
（1）若4n =，且11a =，22a =，3a a =，46a =，求a 的值；
（2）证明：2,3,5不可能是数列n A 中的项；
（3）求n 的最大值．
【答案】（1）3a =；（2）见解析；（3）n 的最大值为9
【解析】试题分析：（1）由①，得26a <<．由②，当2i =，3j =，4k =时．2a ,6a ,12中至少有一个是数列1，2，a ，6中的项，但66a >，126>，故26a =，解得3a =；
（2）假设2,3,5是数列n A 中的项，由②可知：6，10，15中至少有一个是数列n A 中的项，则有限数列n A 的最后一项5n a >，且4n ≥．由①，1231n n n n a a a a --->>>>．对于数21,,n n n a a a --，由②可知：21n n n a a a --=；对于数31,,n n n a a a --，由②可知：31n n n a a a --=所以 23n n a a --=，这与①矛盾．
试题解析：（1）由①，得26a <<．
由②，当2i =，3j =，4k =时．2a ,6a ,12中至少有一个是数列1，2，a ，6中的项，但66a >，126>，故26a =，解得3a =．
经检验，当3a =时，符合题意． 3分
（2）假设2,3,5是数列n A 中的项，由②可知：6，10，15中至少有一个是数列n A 中的项，则有限数列n A 的最后一项5n a >，且4n ≥．
由①，1231n n n n a a a a --->>>>． 4分
对于数21,,n n n a a a --，由②可知：21n n n a a a --=；对于数31,,n n n a a a --，由②可知：31n n n a a a --=． 6分 所以 23n n a a --=，这与①矛盾．
所以 2,3,5不可能是数列n A 中的项． 7分
（3）n 的最大值为9，证明如下： 8分
（1）令9111:4,2,1,,,0,,1,2242
A -----，则9A 符合①、②． 11分
（2）设12:,,,(3)n n A a a a n ⋅⋅⋅≥符合①、②，则：
（ⅰ）n A 中至多有三项，其绝对值大于1．
假设n A 中至少有四项，其绝对值大于1，不妨设i a ，j a ，k a ，l a 是n A 中绝对值最大
的四项，其中1||||||||i j k l a a a a <≤≤≤． 则对i a ，k a ，l a 有||||i l l a a a >，||||k l l a a a >，故i l a a ，k l a a 均不是数列n A 中的项，即i k a a 是数列n A 中的项．
同理：j k a a 也是数列n A 中的项．
但||||i k k a a a >，||||j k k a a a >．
所以 i k j k l a a a a a ==．
所以 i j a a =，这与①矛盾．
（ⅱ）n A 中至多有三项，其绝对值大于0且小于1． 假设n A 中至少有四项，其绝对值大于0且小于1，类似（ⅰ）得出矛盾． （ⅲ）n A 中至多有两项绝对值等于1． （ⅳ）n A 中至多有一项等于0．
综合（ⅰ），（ⅱ），（ⅲ），（ⅳ）可知n A 中至多有9项． 14分
由（1），（2）可得，n 的最大值为9．
【考点】与数列有关的新定义问题。