高中数学 第1章 §3全称量词与存在量词课件 北师大版选修11
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7．(2014·河南洛阳市期末)给出如下三个命题：①若“p或
q”为假命题，则p，q均为假命题；②命题“若a>b，则2a>2b－
1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b－1”；③对“对任意x∈R，x2
＋1≥1”的否定为“存在(cúnzài)x∈R，x2＋1≤1”．其中正确命题
的个数是( )
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全称量词(liàngcí)与全称命题
思维导航 1．下列语句是命题(mìng tí)吗？若是命题(mìng tí)，则它们 是真命题(mìng tí)还是假命题(mìng tí)，它们之间有何区别？ ①2x＋1>0. ②对任意实数x,2x＋1>0. ③存在实数x，使2x＋1>0.
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1．首先判定语句是否为命题，若不是命题，就当然不是全 称命题或特称命题．
2．若是命题，再分析命题中所含的量词，含有(hán yǒu)全 称量词的命题是全称命题，含有(hán yǒu)存在量词的命题是特 称命题．
3．当命题中不含量词时，要注意理解命题含义的实质． 4．一个全称(或特称)命题往往有多种不同的表述方法，有 时可能会省略全称(存在)量词，应结合具体问题多加体会．ABiblioteka 0个B．1个C．2个
D.3个
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[答案] C [解析] ①由于(yóuyú)p、q中有一个为真命题时，“p或q” 为真命题，∴①正确；②a>b的否定为a≤b,2a>2b－1的否定为 2a≤2b－1，故②正确；③全称命题的否定为特称命题，“≥” 的否定为“<”，故③为假命题．故选C.
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存在(cúnzài)量词与特称命题
新知导学 2．“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”都有表示 __个__别__(_g_è或bié_)______一__部__分的含义，这样(zhèyàng)的词叫作存在量 词．像这样(zhèyàn存g在)含量有词__________的命题，叫作特称命题．
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[方法规律总结] 1.全称命题的真假判断 要判定一个全称命题是真命题，必须(bìxū)对限定集合M中 的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，却只 要能举出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可． 2．特称命题的真假判断 要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，找 到一个x＝x0，使p(x0)成立即可；否则，这一特称命题就是假 命题．
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牛刀小试 1．观察下列语句： (1)2x是偶数； (2)对于(duìyú)任意一个x∈Z,2x都是偶数． (3)所有的三角函数都是周期函数． 问题1：以上语句是命题吗？ 问题2：上述命题中强调的是什么？ [答案] 问题1：(1)不是命题，因为无法判断真假；(2)(3)是 命题． 问题2：(2)强调任意一个x∈Z；(3)强调所有的三角形．
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典例探究学案
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全称(quán chēnɡ)命题与特称命题的判断
判断下列语句是否为命题，若是命题，再判断 是全称命题还是特称命题，并判断真假．
(1)有一个实数 α，tanα 无意义； (2)任何一条直线都有斜率吗？ (3)圆的圆心到其切线的距离等于圆的半径； (4)圆内接四边形的对角互补； (5)对数函数都是单调函数．
成才之路 ·数学 (shùxué)
北师大版 ·选修(xuǎnxiū)1-1
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第一页，共48页。
常用(chánɡ yònɡ)逻辑用语
第一章
第二页，共48页。
§3 全称量词(liàngcí)与存在量词 (liàngcí)
第一章
第三页，共48页。
1 自主预习学案 2 典例探究学案 3 巩固提高学案
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[解析] (1)特称命题．α＝π2时，tanα 不存在，所以，特称 命题“有一个实数 α，tanα 无意义”是真命题．
(2)不是命题． (3)虽然不含有全称量词，但该命题是全称命题．它的含义 是任何一个圆的圆心到切线的距离都等于圆的半径，所以，全 称命题“圆的圆心到其切线的距离等于圆的半径”是真命题．
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[答案(dá àn)] A [解析] a>1 时，f(x)＝logax 为增函数，f(x)＝logax(a>0 且 a≠1)为增函数时，a>1，∴A 正确；“<”的否定为“≥”，故 B 错误；x＝－1 时，x2＋2x＋3≠0，x2＋2x＋3＝0 时，x 无解，故 C 错误；∵sinx＋cosx＝ 2sin(x＋π4)≤ 2恒成立，∴p 为真命题， 从而 p 的否定为假命题，∴D 错误．
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牛刀小试 2．观察下列(xiàliè)语句： (1)存在一个x0∈R，使2x0＋2＝10； (2)至少有一个x0∈R，使x0能被5和8整除． 问题1：以上语句是命题吗？ 问题2：上述命题有什么特点？ [答案] 问题1：都是命题． 问题2：两命题都强调存在符合条件的x0.
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自主预习学案
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1．通过具体(jùtǐ)实例理解全称量词和存在量词的含义．并 会判断全称命题和特称命题的真假．
2．能够用符号表示全称命题、特称命题，能正确地对含有 一个量词的命题进行否定.
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重点：全称量词和存在量词的意义． 难点：全称命题(mìng tí)和特称命题(mìng tí)的真假的判定.
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5．(2014·湖北省八校联考)命题“对任意x∈R，ex>x2”的否 定是( )
A．不存在x∈R，使ex>x2 B．存在x∈R，使ex<x2 C．存在x∈R，使ex≤x2 D．对任意x∈R，使ex≤x2 [答案] C [解析(jiě xī)] 原命题为全称命题，故其否定为存在性命 题，“>”的否定为“≤”，故选C.
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(4)“圆内接四边形的对角互补”的实质是“所有的圆内接四 边形，其对角都互补”，所以该命题是全称命题且为真命题．
(5)虽然不含全称量词，但“对数函数(hánshù)都是单调函数 (hánshù)”中省略了“所有的”，所以该命题是全称命题且为真 命题．
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[方法规律总结] 判断一个语句是全称命题还是特称命题的 步骤：
思维导航 2．你能对下列命题进行否定吗？ (1)对所有实数x，都有x2＋x＋2>0. (2)存在一个(yī ɡè)整数，它既不是质数，也不是合数． 新知导学 3 ． 全 称 命 题 的 否 定 是 __特__称___ 命 题 ； 特 称 命 题 的 否 定 是 全称__(_qu_á_n__ch_ē_n命ɡ)题．
写出下列命题的否定形式． (1)存在实数 x，x2＋2x＋2≤0； (2)有的三角形是等边三角形； (3)所有能被 3 整除的整数是奇数； (4)每一个四边形的四个顶点共圆．
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[解析] (1)任意实数x，x2＋2x＋2>0. (2)所有的三角形都不是等边三角形． (3)存在一个能被3整除的整数不是奇数． (4)存在一个四边形的四个顶点不共圆． [方法规律总结] 1.一般地，写含有一个量词的命题的否 定，首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到量 词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在 量词改成全称量词，同时否定结论． 2．对于(duìyú)省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量 词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否 定．
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判断下列语句是否是全称命题或特称命题． (1)有一个实数a，a不能取对数； (2)若所有不等式的解集为A，则有A⊆R； (3)三角函数都是周期函数吗？ (4)有的向量方向(fāngxiàng)不定； (5)自然数的平方是正数．
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[解析] 因为(1)(4)含在存在量词，所以命题(1)(4)为特称命 题；又因为“自然数的平方是正数”的实质是“任意一个自然 数的平方都是正数”，(2)含有(hán yǒu)全称量词，故(2)(5)为 全称命题．(3)不是命题．
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指出(zhǐ chū)下列命题中，哪些是全称命题，哪些是特称命 题，并判断其真假．
(1)至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数； (2)存在x∈{x|x是无理数}，x2是无理数； (3)任意的x∈R，则x2＋2x＋1<0.
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[解析] (1)由于整数1既不是合数，也不是素数，所以特称 命题“至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数”是真命 题．
综上所述，(1)(4)为特称命题，(2)(5)为全称命题，(3)不是 命题．
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全称(quán chēnɡ)命题与特称命题的真假判断
指出下列命题中，那些是全称命题，哪些是特 称命题，并判断其真假．
(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一 点；
(2)存在一个实数，它的绝对值不是正数； (3)对任意实数 x1，x2，若 x1<x2，则 tanx1<tanx2； (4)存在一个函数，既是偶函数又是奇函数．
第二十九页，共48页。
[解析] (1)(3)是全称命题，(2)(4)是特称命题． (1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)与平面直 角坐标系中的点是一一对应的，所以该命题是真命题． (2)存在一个实数零，它的绝对值不是(bù shi)正数，所以该 命题是真命题. (3)存在x1＝0，x2＝π，x1<x2，但tan0＝tanπ，所以该命 题是假命题. (4)存在一个函数f(x)＝0，它既是偶函数又是奇函数，所以 该命题是真命题．
新知导学 1．“所有”“每个”“任何”“任意一个”“一切(yīqiè)” 都是在指定范围内，整表体示(_z_h_ě_n全_g_tǐ部_)或(q_u_á_n_b_ù的) 含义，这样的词叫 作 全 称 量 词 ． 像 这 样 含 有全_称__量__词_______ 的 命 题 ， 叫 作 全 称 命 题．
第十四页，共48页。
4．要说明一个全称(quán chēnɡ)命题是错误的，只需找出 一个反例就可以了．实际这上个是(zh要èg说e)明全称__命__题__的__否__定____________ 是正确的．
要说明一个特称命题“存在一些对象满足某一性质”是错 误这的个，特就称要命说题明(m所ìng有tí)的的对否象定 都不满足这一性质．实际上是要说 明____________________是正确的．
第十七页，共48页。
6．(2014·韶关市曲江一中月考)下列说法正确的是( ) A．“a>1”是“f(x)＝logax(a>0，a≠1)在(0，＋∞)上为增函 数”的充要条件 B．命题“存在 x∈R 使得 x2＋2x＋3<0”的否定是“对任 意 x∈R，x2＋2x＋3>0” C．“x＝－1”是“x2＋2x＋3＝0”的必要不充分条件 D．命题 p：“对任意 x∈R，sinx＋cosx≤ 2”，则 p 的否 定是真命题
(2)由于π是无理数，π2仍是无理数，所以特称命题“存在 x∈{x|x是无理数}，x2是无理数”是真命题．
(3)x2＋2x＋1＝(x＋1)2，找不到一个x使x2＋2x＋1<0，所 以全称(quán chēnɡ)命题“任意的x∈R，则x2＋2x＋1<0，是假 命题”．
第三十三页，共48页。
全称命题、特称命题的否定(fǒudìng)形式
第十五页，共48页。
牛刀小试 4．命题“存在实数x，使x>1”的否定(fǒudìng)是( ) A．对任意实数x，都有x>1 B．不存在实数x，使x≤1 C．对任意实数x，都有x≤1 D．存在实数x，使x≤1 [答案] C [解析] 特称命题的否定(fǒudìng)为全称命题． “存在实数x，使x>1”的否定(fǒudìng)是“对任意实数x， 都有x≤1”．
3．下列命题：
①有一个(yī ɡè)实数不能做除数；
②棱柱是多面体；
③所有方程都有实数解；
④有些三角形是锐角三角形．
其中是特称命题的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D.4
[答案] B
[解析] ①④是特称命题；②③是全称命题．
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全称命题(mìng tí)与特称命题(mìng tí)的否定
7．(2014·河南洛阳市期末)给出如下三个命题：①若“p或
q”为假命题，则p，q均为假命题；②命题“若a>b，则2a>2b－
1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b－1”；③对“对任意x∈R，x2
＋1≥1”的否定为“存在(cúnzài)x∈R，x2＋1≤1”．其中正确命题
的个数是( )
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全称量词(liàngcí)与全称命题
思维导航 1．下列语句是命题(mìng tí)吗？若是命题(mìng tí)，则它们 是真命题(mìng tí)还是假命题(mìng tí)，它们之间有何区别？ ①2x＋1>0. ②对任意实数x,2x＋1>0. ③存在实数x，使2x＋1>0.
第八页，共48页。
1．首先判定语句是否为命题，若不是命题，就当然不是全 称命题或特称命题．
2．若是命题，再分析命题中所含的量词，含有(hán yǒu)全 称量词的命题是全称命题，含有(hán yǒu)存在量词的命题是特 称命题．
3．当命题中不含量词时，要注意理解命题含义的实质． 4．一个全称(或特称)命题往往有多种不同的表述方法，有 时可能会省略全称(存在)量词，应结合具体问题多加体会．ABiblioteka 0个B．1个C．2个
D.3个
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[答案] C [解析] ①由于(yóuyú)p、q中有一个为真命题时，“p或q” 为真命题，∴①正确；②a>b的否定为a≤b,2a>2b－1的否定为 2a≤2b－1，故②正确；③全称命题的否定为特称命题，“≥” 的否定为“<”，故③为假命题．故选C.
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存在(cúnzài)量词与特称命题
新知导学 2．“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”都有表示 __个__别__(_g_è或bié_)______一__部__分的含义，这样(zhèyàng)的词叫作存在量 词．像这样(zhèyàn存g在)含量有词__________的命题，叫作特称命题．
第三十页，共48页。
[方法规律总结] 1.全称命题的真假判断 要判定一个全称命题是真命题，必须(bìxū)对限定集合M中 的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，却只 要能举出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可． 2．特称命题的真假判断 要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，找 到一个x＝x0，使p(x0)成立即可；否则，这一特称命题就是假 命题．
第九页，共48页。
牛刀小试 1．观察下列语句： (1)2x是偶数； (2)对于(duìyú)任意一个x∈Z,2x都是偶数． (3)所有的三角函数都是周期函数． 问题1：以上语句是命题吗？ 问题2：上述命题中强调的是什么？ [答案] 问题1：(1)不是命题，因为无法判断真假；(2)(3)是 命题． 问题2：(2)强调任意一个x∈Z；(3)强调所有的三角形．
第二十一页，共48页。
典例探究学案
第二十二页，共48页。
全称(quán chēnɡ)命题与特称命题的判断
判断下列语句是否为命题，若是命题，再判断 是全称命题还是特称命题，并判断真假．
(1)有一个实数 α，tanα 无意义； (2)任何一条直线都有斜率吗？ (3)圆的圆心到其切线的距离等于圆的半径； (4)圆内接四边形的对角互补； (5)对数函数都是单调函数．
成才之路 ·数学 (shùxué)
北师大版 ·选修(xuǎnxiū)1-1
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第一页，共48页。
常用(chánɡ yònɡ)逻辑用语
第一章
第二页，共48页。
§3 全称量词(liàngcí)与存在量词 (liàngcí)
第一章
第三页，共48页。
1 自主预习学案 2 典例探究学案 3 巩固提高学案
第二十三页，共48页。
[解析] (1)特称命题．α＝π2时，tanα 不存在，所以，特称 命题“有一个实数 α，tanα 无意义”是真命题．
(2)不是命题． (3)虽然不含有全称量词，但该命题是全称命题．它的含义 是任何一个圆的圆心到切线的距离都等于圆的半径，所以，全 称命题“圆的圆心到其切线的距离等于圆的半径”是真命题．
第十八页，共48页。
[答案(dá àn)] A [解析] a>1 时，f(x)＝logax 为增函数，f(x)＝logax(a>0 且 a≠1)为增函数时，a>1，∴A 正确；“<”的否定为“≥”，故 B 错误；x＝－1 时，x2＋2x＋3≠0，x2＋2x＋3＝0 时，x 无解，故 C 错误；∵sinx＋cosx＝ 2sin(x＋π4)≤ 2恒成立，∴p 为真命题， 从而 p 的否定为假命题，∴D 错误．
第十一页，共48页。
牛刀小试 2．观察下列(xiàliè)语句： (1)存在一个x0∈R，使2x0＋2＝10； (2)至少有一个x0∈R，使x0能被5和8整除． 问题1：以上语句是命题吗？ 问题2：上述命题有什么特点？ [答案] 问题1：都是命题． 问题2：两命题都强调存在符合条件的x0.
第十二页，共48页。
第四页，共48页。
自主预习学案
第五页，共48页。
1．通过具体(jùtǐ)实例理解全称量词和存在量词的含义．并 会判断全称命题和特称命题的真假．
2．能够用符号表示全称命题、特称命题，能正确地对含有 一个量词的命题进行否定.
第六页，共48页。
重点：全称量词和存在量词的意义． 难点：全称命题(mìng tí)和特称命题(mìng tí)的真假的判定.
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5．(2014·湖北省八校联考)命题“对任意x∈R，ex>x2”的否 定是( )
A．不存在x∈R，使ex>x2 B．存在x∈R，使ex<x2 C．存在x∈R，使ex≤x2 D．对任意x∈R，使ex≤x2 [答案] C [解析(jiě xī)] 原命题为全称命题，故其否定为存在性命 题，“>”的否定为“≤”，故选C.
第二十四页，共48页。
(4)“圆内接四边形的对角互补”的实质是“所有的圆内接四 边形，其对角都互补”，所以该命题是全称命题且为真命题．
(5)虽然不含全称量词，但“对数函数(hánshù)都是单调函数 (hánshù)”中省略了“所有的”，所以该命题是全称命题且为真 命题．
第二十五页，共48页。
[方法规律总结] 判断一个语句是全称命题还是特称命题的 步骤：
思维导航 2．你能对下列命题进行否定吗？ (1)对所有实数x，都有x2＋x＋2>0. (2)存在一个(yī ɡè)整数，它既不是质数，也不是合数． 新知导学 3 ． 全 称 命 题 的 否 定 是 __特__称___ 命 题 ； 特 称 命 题 的 否 定 是 全称__(_qu_á_n__ch_ē_n命ɡ)题．
写出下列命题的否定形式． (1)存在实数 x，x2＋2x＋2≤0； (2)有的三角形是等边三角形； (3)所有能被 3 整除的整数是奇数； (4)每一个四边形的四个顶点共圆．
第三十四页，共48页。
[解析] (1)任意实数x，x2＋2x＋2>0. (2)所有的三角形都不是等边三角形． (3)存在一个能被3整除的整数不是奇数． (4)存在一个四边形的四个顶点不共圆． [方法规律总结] 1.一般地，写含有一个量词的命题的否 定，首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到量 词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在 量词改成全称量词，同时否定结论． 2．对于(duìyú)省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量 词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否 定．
第二十六页，共48页。
判断下列语句是否是全称命题或特称命题． (1)有一个实数a，a不能取对数； (2)若所有不等式的解集为A，则有A⊆R； (3)三角函数都是周期函数吗？ (4)有的向量方向(fāngxiàng)不定； (5)自然数的平方是正数．
第二十七页，共48页。
[解析] 因为(1)(4)含在存在量词，所以命题(1)(4)为特称命 题；又因为“自然数的平方是正数”的实质是“任意一个自然 数的平方都是正数”，(2)含有(hán yǒu)全称量词，故(2)(5)为 全称命题．(3)不是命题．
第三十一页，共48页。
指出(zhǐ chū)下列命题中，哪些是全称命题，哪些是特称命 题，并判断其真假．
(1)至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数； (2)存在x∈{x|x是无理数}，x2是无理数； (3)任意的x∈R，则x2＋2x＋1<0.
第三十二页，共48页。
[解析] (1)由于整数1既不是合数，也不是素数，所以特称 命题“至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数”是真命 题．
综上所述，(1)(4)为特称命题，(2)(5)为全称命题，(3)不是 命题．
第二十八页，共48页。
全称(quán chēnɡ)命题与特称命题的真假判断
指出下列命题中，那些是全称命题，哪些是特 称命题，并判断其真假．
(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一 点；
(2)存在一个实数，它的绝对值不是正数； (3)对任意实数 x1，x2，若 x1<x2，则 tanx1<tanx2； (4)存在一个函数，既是偶函数又是奇函数．
第二十九页，共48页。
[解析] (1)(3)是全称命题，(2)(4)是特称命题． (1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)与平面直 角坐标系中的点是一一对应的，所以该命题是真命题． (2)存在一个实数零，它的绝对值不是(bù shi)正数，所以该 命题是真命题. (3)存在x1＝0，x2＝π，x1<x2，但tan0＝tanπ，所以该命 题是假命题. (4)存在一个函数f(x)＝0，它既是偶函数又是奇函数，所以 该命题是真命题．
新知导学 1．“所有”“每个”“任何”“任意一个”“一切(yīqiè)” 都是在指定范围内，整表体示(_z_h_ě_n全_g_tǐ部_)或(q_u_á_n_b_ù的) 含义，这样的词叫 作 全 称 量 词 ． 像 这 样 含 有全_称__量__词_______ 的 命 题 ， 叫 作 全 称 命 题．
第十四页，共48页。
4．要说明一个全称(quán chēnɡ)命题是错误的，只需找出 一个反例就可以了．实际这上个是(zh要èg说e)明全称__命__题__的__否__定____________ 是正确的．
要说明一个特称命题“存在一些对象满足某一性质”是错 误这的个，特就称要命说题明(m所ìng有tí)的的对否象定 都不满足这一性质．实际上是要说 明____________________是正确的．
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6．(2014·韶关市曲江一中月考)下列说法正确的是( ) A．“a>1”是“f(x)＝logax(a>0，a≠1)在(0，＋∞)上为增函 数”的充要条件 B．命题“存在 x∈R 使得 x2＋2x＋3<0”的否定是“对任 意 x∈R，x2＋2x＋3>0” C．“x＝－1”是“x2＋2x＋3＝0”的必要不充分条件 D．命题 p：“对任意 x∈R，sinx＋cosx≤ 2”，则 p 的否 定是真命题
(2)由于π是无理数，π2仍是无理数，所以特称命题“存在 x∈{x|x是无理数}，x2是无理数”是真命题．
(3)x2＋2x＋1＝(x＋1)2，找不到一个x使x2＋2x＋1<0，所 以全称(quán chēnɡ)命题“任意的x∈R，则x2＋2x＋1<0，是假 命题”．
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全称命题、特称命题的否定(fǒudìng)形式
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牛刀小试 4．命题“存在实数x，使x>1”的否定(fǒudìng)是( ) A．对任意实数x，都有x>1 B．不存在实数x，使x≤1 C．对任意实数x，都有x≤1 D．存在实数x，使x≤1 [答案] C [解析] 特称命题的否定(fǒudìng)为全称命题． “存在实数x，使x>1”的否定(fǒudìng)是“对任意实数x， 都有x≤1”．
3．下列命题：
①有一个(yī ɡè)实数不能做除数；
②棱柱是多面体；
③所有方程都有实数解；
④有些三角形是锐角三角形．
其中是特称命题的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D.4
[答案] B
[解析] ①④是特称命题；②③是全称命题．
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全称命题(mìng tí)与特称命题(mìng tí)的否定