2022年春学期人教版八年级数学下册第17章综合检测卷附答案

2022年春学期八年级数学下册第17章综合检测卷
【勾股定理】（100分）
一、选择题(每小题3分，共18分)
1．下列各组数，能构成直角三角形的是( )
A ．4，5，6
B ．1，1，2
C ．6，8，11
D ．5，12，23
2．如图，Rt △ABC 的直角边AB 在数轴上，点A 表示的实数为0，以A 为圆心，AC 的长为半径作弧交数轴的负半轴于点D ，若CB ＝1，AB ＝2，则点D 表示的实数为( )
A ．5
B ．
5 C ．3 D ．3
3．如图，在高为3米，斜坡长为5米的台阶上铺地毯，则地毯的长度至少要( )
A ．4米
B ．5 米
C ．6 米
D ．7 米
4．已知直角三角形中30°角所对的直角边长是23cm ，则另一条直角边的长是( )
A ．4cm
B ．43 cm
C ．6cm
D ．63 cm
5．如图，一个圆桶，底面直径为16cm ，高为18cm ，则一只小虫从下底部点A 爬到上底B 处，则小虫所爬的最短路径长是(π取3)( )
A ．50cm
B ．40cm
C ．30cm
D ．20cm
6．如图，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x ，y 表示直角三角形的两直角边(x ＞y )，下列四个说法：①x 2+y 2＝49；②x ﹣y ＝2；③x +y ＝94；④2xy +4＝49；其中说法正确的是( ) A ．①② B ．①②③ C ．①②④ D ．①②③④
二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，满分18分) 7．平面直角坐标系中，点A(-3，4)到原点的距离为 ．
8．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A 、B 、C 、D 的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E 的面积是 ． 9．如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面3尺．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为6尺，则水深是______尺． 10．如图，已知在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝3，BC ＝5，分别以Rt △ABC 三条边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为 ．
第2题
第3题
第6题
第5题
11．在由6个大小相同的小正方形组成的方格中，连结三格和两格的对角线，则，α+，β的度数
是．
12．在平面直角坐标系中，四边形ABCD四个顶点分别是A(﹣1，3)，B(﹣2，0)，C(4，0)，D(5，3)，点E为AD的中点，点P是x轴正半轴上的一个动点，若△BPE为等腰三角形，则点P的坐标为．
三、解答题(共64分)
13．(5分)如图，AD=8，CD=6，，ADC=90°，
AB=26，BC=24，求阴影部分的面积．
14．(5分)如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EC 的长．
15．(5分)学完勾股定理之后，同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算出学校旗杆的高度．爱动脑筋的小明这样设计了一个方案：将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端5米处，发现此时绳子底端距离打结处约1米．请你设法帮小明算出旗杆的高度．
16．(5分)正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．
(1)在图1中画出一个以格点为顶点，斜边长为5的直角三角形；
(2)在图2中画出一个以格点为顶点，三边长都为无理数且斜边长为10的直角三角形．
第8题第10题第11题
第9题
17．(5分)如图，在笔直的铁路上A 、B 两点相距25km ，C 、D 为两村庄，DA =10km ，CB =15km ，DA AB 于A ，CB AB 于B ，现要在AB 上建一个中转站E ，使得C 、D 两村到E 站的距离相等，求E 应建在距A 多远处？
18．(6分)在直角坐标系中，已知两点的坐标是M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，M ，N 两点之间的距离可以用公式MN ＝221
212()()x x y y 计算．
解答下列问题：
(1)若已知点A (1，2)，B (4，﹣2)，求A ，B 两点间的距离；
(2)在(1)的条件下，点O 是坐标原点，判断△AOB 是什么三角形，并说明理由．
19．(6分)如图，已知在△ABC 中，AB ＝AC ＝13cm ，D 是AB 上一点，且CD ＝12cm ，BD ＝8cm ． (1)求证：△ADC 是直角三角形；(2)求BC 的长
20．(6分)已知，如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC =18cm ．动点P 从点A 出发，沿AB 向点B 运动，动点Q 从点B 出发，沿BC 向点C 运动，如果动点P 以2cm/s ，Q 以1cm/s 的速度同时出发，设运动时间为t (s)，解答下列问题： (1)t 为______时，△PBQ 是等边三角形？
(2)P ，Q 在运动过程中，△PBQ 的形状不断发生变化，当t 为何值时，△PBQ 是直角三角形？说明理由．
21．(6分)如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，点A (2，1)，B (﹣2，4)，直线AB 与y 轴交于点C ． (1)求点C 的坐标；(2)求证：△OAB 是直角三角形．
22．(7分)探究题
(一)小明在玩积木游戏时，把三个正方形积木摆成一定的形状，主视图如图，．
(1)若图，中的，DEF为直角三角形，P的面积为9，Q的面积为15，则M的面积为________；
(2)若P的面积为36 cm2，Q的面积为64 cm2，同时M的面积为100 cm2，则，DEF为________三角形．
(二)图形变化：如图，，分别以直角三角形ABC的三边为直径向三角形外作三个半圆，你能找出这三个半圆的面积之间有什么关系吗？请说明理由．
23．(8分)如图1，A村和B村在一条大河CD的同侧，它们到河岸的距离AC、BD分别为1千米和4千米，又知道CD的长为4千米．
(1)现要在河岸CD上建一水厂向两村输送自来水．有两种方案备选
方案1：水厂建在C点，修自来水管道到A村，再到B村(即AC+AB)．(如图2)
方案2：作A点关于直线CD的对称点A'，连接A'B交CD于M点，水厂建在M点处，分别向两村修管道AM和BM．(即AM+BM)(如图3)
从节约建设资金方面考虑，将选择管道总长度较短的方案进行施工，请利用已有条件分别进行计算，判断哪种方案更合适．
(2)有一艘快艇Q从这条河中驶过，当快艇Q在CD中间，DQ为多少时？△ABQ为等腰三角形？
第17章 1．B
2．B
3．D
4．C
5．C
6．D 7．5 8．47
9．4.5 10．6 11．45° 12．（，0）或（3，0）或（6，0）
13．解：连接AC ，在Rt，ADC 中，CD =6，AD =8，
∴
22
68366410010
AC
在， ABC 中，AB =26，BC =24，AC =10，则22222
2241057610067626BC AC AB ，
∴， ABC 为直角三角形． ∴
11
241086120249622
ABC
ADC
S S
S
阴影
． 14．，四边形ABCD 为矩形，，DC =AB =8cm ，AD =BC =10cm ，，B =，D =，C =90°， ，折叠长方形的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，，AF =AD =10cm ，DE=EF ， 在Rt，ABF 中，BF=
22221086
AF AB (cm )，，FC=BC -BF =4(cm )，
设EC=x ，则DE=8-x ，EF=8-x ，
在Rt，EFC 中，，EC 2+FC 2=EF 2，，x 2+42=(8-x )2，解得x =3，，EC 的长为3cm ． 15．解：设旗杆长为x 米，则绳长为（x +1）米，则由勾股定理可得：
，解得x =12，答：旗杆的高度为12米．
16．解：（1）由勾股定理得： 22
12= 5， △ABC 即为所求，
如图1所示：
（2）由勾股定理得： 221+1=2，222+2=22，221+3=10， ，（
2）2+（22）2=（ 10）2 ， ，以边长
2、22、10的三角形为直角三角形，
如图2所示．
17．解：设AE x ，则25BE x ，由勾股定理得：在Rt ADE △中，22
22210DE AD AE x ，
在Rt △BCE 中，2
2
2221525CE BC BE x
，由题意可知：DE CE ，
所以：
2
222
101525x x
，解得：15x km ．所以，E 应建在距A 点15km 处．
18．解：(1)由题意可知：AB ＝2
2(14)
(22)＝5；
(2)由两点之间距离公式可求得：
C
AB 2＝25，AO 2＝5，BO 2＝20，
，AB 2＝AO 2+BO 2，，，AOB 是直角三角形；
19．解：(1)，AB ＝13cm ，BD ＝8cm ，，AD ＝AB ﹣BD ＝5cm ，
，AC ＝13cm ，CD ＝12cm ，，AD 2+CD 2＝AC 2，，，ADC ＝90°，即，ADC 是直角三角形； (2)在Rt，BDC 中，，BDC ＝180°﹣90°＝90°，
BD ＝8cm ，CD ＝12cm ，
由勾股定理得：BC 22BD CD 22
812413(cm)，即BC 的长是134cm ．
20．(1)要使，PBQ 是等边三角形，即可得：PB=BQ ，
，在Rt，ABC 中，，C =90°，，A =30°，BC =18cm ．，AB=36cm ， 可得：PB=36-2t ，BQ =t ，即36-2t =t ，解得：t =12； (2)当t 为9或
72
5
时，，PBQ 是直角三角形， 理由如下：，，C =90°，，A =30°，BC=18cm ，AB=2BC=18×2=36(cm ) ，动点P 以2cm/s ，Q 以1cm/s 的速度出发，BP=AB -AP=36-2t ，BQ=t ，，PBQ 是直角三角形，，BP=2BQ 或BQ=2BP
当BP=2BQ 时，36-2t =2t ，解得t =9当BQ=2BP 时，t =2(36-2t )，解得t =725
所以，当t 为9或
72
5
时，，PBQ 是直角三角形． 21．解：如图，作AD ，OC ，BE ，OC ，依题意知：
AD =BE =2，OD =1，OE =4，，DE =3， ，在，ACD 和，BCE 中，
ADC BEC ACD BCE AD
BE
，，ACD ，，BCE ，，CD =CE =1.5， ，OC =2.5，，点C 的坐标为(0，
2
5)； (2)，点A (2，1)，B (﹣2，4)，，OA 2＝22+12＝5，OB 2＝22+42＝20，AB 2＝32+42＝25，
则OA 2+OB 2＝AB 2，，，OAB 是直角三角形．
22．解：（一）(1)，P 的面积=DE 2=9，Q 的面积=EF 2=15，M 的面积=DF 2，△DEF 为直角三角形, ，DE 2+EF 2=DF 2，即M 的面积=P 的面积+Q 的面积=24， (2)， P 的面积=DE 2=36，Q 的面积=EF 2=64，M 的面积=DF 2=100
，P 的面积+Q 的面积=M 的面积，即DE 2+EF 2=DF 2， ，，DEF 是直角三角形； (二)S 1，S 2，S 3．理由如下：
∵△ABC 是直角三角形，∴AB 2，AC 2，BC 2． ∵S 1，
12π·(12AC )2，18πAC 2，S 2，12π·(12BC )2，1
8
πBC 2， S 3，
12π·(12AB )2，1
8
πAB 2， ∴S 1，S 2，
18πAC 2，18πBC 2，18π(AC 2，BC 2)，1
8
πAB 2， ∴S 1，S 2，S 3．
23．解：(1)方案1：AC +AB ＝1+5＝6， 方案2：AM +BM ＝A ′B ＝41)(2
2
=++BD AC CD ，，6＜41，
，方案1更合适；
(2)如图，，AQ 1＝AB ＝5或AQ 4＝AB ＝5时，CQ 1＝CQ 4＝621522=-， ，QG ＝62+2(舍去)或62﹣2(舍去)；
，AB ＝BQ 2＝5或AB ＝BQ 5＝5时，DQ ＝2245-＝3， ，QG ＝3+2＝5或3﹣2＝1(舍去)， ，G 为CD 中点时，当AQ 3＝BQ 3时， (GQ 3+2)2+12＝(2﹣GQ 3)2+42， 解得：GQ 3＝
815，DQ ＝8
1
． 故当DQ ＝3或8
1
时，，ABQ 为等腰三角形．。