1977年黑龙江省高考数学试卷

一、解答题（共16小题，满分100分）
1．（6分）（1977•黑龙江）解方程．
2．（6分）（1977•黑龙江）解不等式|x|＜5．
3．（6分）（1977•黑龙江）已知正三角形的外接圆半径为cm，求它的边长．
4．（6分）（1977•黑龙江）．
5．（6分）（1977•黑龙江）cos78°•cos3°+cos12°•sin3°（不查表求值）．
6．（6分）（1977•黑龙江）．
7．（8分）（1977•黑龙江）解方程．
8．（8分）（1977•黑龙江）求数列2，4，8，16，…前十项的和．
9．（8分）（1977•黑龙江）圆锥的高为6cm，母线和底面半径成30°角，求它的侧面积．
10．（8分）（1977•黑龙江）求过点（1，4）且与直线2x﹣5y+3=0垂直的直线方程．
11．（8分）（1977•黑龙江）如果△ABC的∠A的平分线交BC于D，交它的外接圆于E，求证AB•AC=AD•AE．
12．（8分）（1977•黑龙江）前进大队响应毛主席关于“绿化祖国”的伟大号召，1975年造林200亩，又知1975年至1977年这三年内共造林728亩，求后两年造林面积的年平均增长率是多少？13．（8分）（1977•黑龙江）解方程lg（2x+2x﹣16）=x（1﹣lg5）．
14．（8分）（1977•黑龙江）已知三角形的三边成等差数列，周长为36cm，面积为54cm2，求三边的长．
15．（1977•黑龙江）如图，AP表示发动机的连杆，OA表示它的曲柄．当A在圆上作圆周运动时，P 在x轴上作直线运动，求P点的横坐标．为什么当α是直角时，∠P是最大？
16．（1977•黑龙江）求曲线y=sinx在[0，π]上的曲边梯形绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积．
参考答案与试题解析
一、解答题（共16小题，满分100分）
1．（6分）（1977•黑龙江）解方程．
考点：方根与根式及根式的化简运算．
专题：计算题．
分析：令被开方数大于等于0，将方程两边平方得到不等式组，解不等式组求出方程的解．
解答：
解：原方程同解于
解得x=4
故x=4是原方程的根．
点评：本题考查解无理方程时，常通过平方将根号去掉，但要注意原方程有意义即开偶次方根的被开方数大于等于0．
2．（6分）（1977•黑龙江）解不等式|x|＜5．
考点：绝对值不等式的解法．
专题：计算题．
分析：先去掉绝对值然后再根据绝对值不等式的解法进行求解．
解答：解：∵|x|＜5．
∴﹣5＜x＜5．
点评：此题考查绝对值不等式的解法，解题的关键是去掉绝对值，此类题目是高考常见的题型．3．（6分）（1977•黑龙江）已知正三角形的外接圆半径为cm，求它的边长．
考点：圆周角定理.
专题：计算题．
分析：利用三角形外接圆的圆心距、半径及三角形边长的一半构成的直角三角形计算即可．
解答：解：设正三角形的边长为a，
则．
它的边长为18cm．
点评：本题主要考查圆中的有关线段，方法是利用直角三角形进行计算．属于基础题．
4．（6分）（1977•黑龙江）．
考点：方根与根式及根式的化简运算．
专题：计算题．
分析：
先化简m2﹣2ma+a2=（m﹣a）2再利用求值公式求得．
解答：解：当m≥a时，=m﹣a．
当m＜a时，=a﹣m．
点评：从形式上观察，确定问题的转化．
5．（6分）（1977•黑龙江）cos78°•cos3°+cos12°•sin3°（不查表求值）．
考点：两角和与差的正弦函数．
分析：先根据诱导公式将cos78°化为sin12°，再根据两角和与差的正弦公式可得答案．
解答：解：原式=sin12°•cos3°+cos12°•sin3°
=sin15°
=sin（45°﹣30°）
=sin45°cos30°﹣cos45°sin30°
=．
点评：本题主要考查两角和与差的正弦公式，属基础题．
6．（6分）（1977•黑龙江）．
考点：反三角函数的运用．
专题：计算题．
分析：
先求出的值，为再利用反正弦求出那个角的正弦值为，可知此角为
解答：
解：由已知=
因为sin=
所以．
答：=
点评：本题考查反三角函数，此是一反正弦求角的题，解决此类问题一般是逆向求解，欲求三角函数值对应的角，先找那个角的三角函数值等于这个值．
7．（8分）（1977•黑龙江）解方程．
考点：有理数指数幂的化简求值．
专题：计算题．
分析：将方程中的各项化为同底数的，通过等价变形，求出未知数的值．
解答：解：方程即：3x+1﹣3x=18，
3x（3﹣1）=18
，3x=9=32，∴x=2．
点评：本题考查有理指数幂的化简求值．
8．（8分）（1977•黑龙江）求数列2，4，8，16，…前十项的和．
考点：等比数列的前n项和．
专题：计算题．
分析：
由题设可知，．
解答：解：由题设可知，此等比数列的首项a1=2公比q=2，
∴．
点评：本题考查等比数列的前n项和公式，解题时注意此等比数列的首项a1=2公比q=2．
9．（8分）（1977•黑龙江）圆锥的高为6cm，母线和底面半径成30°角，求它的侧面积．
考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．
专题：计算题．
分析：通过圆锥的高为6cm，母线和底面半径成30°角，求出圆锥的底面半径，圆锥的母线，然后求出它的侧面积．
解答：解：由题设条件可知，
圆锥底面半径R=，
圆锥母线，
∴侧面积．
点评：本题是基础题，考查圆锥的几何体的特征，正确求出圆锥的母线长，底面半径，是解题的关键，考查计算能力．
10．（8分）（1977•黑龙江）求过点（1，4）且与直线2x﹣5y+3=0垂直的直线方程．
考点：两条直线垂直的判定；直线的一般式方程．
专题：计算题．
分析：本题考查的知识点是直线的一般式方程及两条直线垂直的判定，要求过点（1，4）且与直线2x﹣5y+3=0垂直的直线方程．我们可先根据两条直线平行斜率之积为﹣1，求出直线的斜率，
再将已知点代入即可求解．
解答：解：因为直线2x﹣5y+3=0的斜率为，
所以所求直线的斜率为．
所求直线的方程为5x+2y﹣13=0．
点评：在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与
坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否
为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．
11．（8分）（1977•黑龙江）如果△ABC的∠A的平分线交BC于D，交它的外接圆于E，求证
AB•AC=AD•AE．
考点：相似三角形的判定；与圆有关的比例线段．
专题：证明题．
分析：欲证比例线段AB•AC=AD•AE，可通过证明三角形相似得到，连接BE（如图），利用同弧所对
的圆周角相等和∠A的平分线结合即可证明．
解答：证明：连接BE（如图）
∵∠CAE=∠EAB，∠ACB=∠AEB，
∴△ACD∽△AEB，
∴．
∴AB•AC=AD•AE．
点评：本题主要考查与圆有关的比例线段和相似三角形的判定，证明乘积式的问题可转化证明比例式，最终转化为证明两个三角形相似得到．
12．（8分）（1977•黑龙江）前进大队响应毛主席关于“绿化祖国”的伟大号召，1975年造林200亩，
又知1975年至1977年这三年内共造林728亩，求后两年造林面积的年平均增长率是多少？
考点：数列的应用；等比数列的性质．
专题：计算题；应用题．
分析：设后两年造林面积的年平均增长率为x，依照题意可得200+200（1+x）+200（1+x）2=728，200（1+x）2+200（1+x）﹣528=0，解方程可知后两年造林面积的年平均增长率．
解答：解：设后两年造林面积的年平均增长率为x，
依照题意可得
200+200（1+x）+200（1+x）2=728，
200（1+x）2+200（1+x）﹣528=0，
（1+x）2+（1+x）﹣2.64=0，
[（1+x）﹣1.2][（1+x）+2.2]=0，
1+x=1.2，x=0.2=20%
1+x=﹣2.2，x=﹣3.2（不合题意，舍去）
故后两年造林面积的年平均增长率为20%．
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，合理地建立方程．
13．（8分）（1977•黑龙江）解方程lg（2x+2x﹣16）=x（1﹣lg5）．
考点：对数的运算性质．
专题：计算题．
分析：解对数方程与解对数不等式类似，首先要将等号两边化成底数相等的对数式，观察到已知方程的表达式中出现的对数为常用对数，故将两边都化为常用对数式，然后再根据对数相等则真数
也相等的原则，转化的一般方程．
解答：解：∵lg（2x+2x﹣16）
=x（1﹣lg5）
=xlg2
=lg2x，
∴原方程可化为：2x+2x﹣16=2x∴2x=16
∴x=8．
点评：解对数方程一般分以下几个步骤：①首先要将等号两边化成底数相等的对数式，②然后再根据
对数相等则真数也相等的原则，转化的一般方程．③解方程④代入验证，排除增根．
14．（8分）（1977•黑龙江）已知三角形的三边成等差数列，周长为36cm，面积为54cm2，求三边的
长．
考点：数列的应用；等差数列的性质．
分析：设三角形三边的长分别为a﹣d，a，a+d，则依题意有
，解这个方程组后能够求出此三角形的三
边长．
解答：解：设三角形三边的长分别为a﹣d，a，a+d，
则依题意有
由（1）得a=12（cm）．
代入（2）得，
36﹣d2=27，d2=9d=±3
故此三角形的三边长分别为9cm，12cm，15cm．
点评：本题考查数列的性质及其应用，解题时要注意公式的合理选用．
15．（1977•黑龙江）如图，AP表示发动机的连杆，OA表示它的曲柄．当A在圆上作圆周运动时，P
在x轴上作直线运动，求P点的横坐标．为什么当α是直角时，∠P是最大？
考点：在实际问题中建立三角函数模型．
专题：计算题．
分析：过A作AB⊥OP，设x为点P的横坐标，根据OP=OB+BP表示出x的表达式，根据虽然∠P 随连杆位置的变化而改变但连杆上下摆动的幅度是一样，可得到∠P的最大值是一样，即只需
0≤α≤π内∠P变化的情况，根据正弦定理可知，因为当时sinα的值最大，
进而可得到sin∠P的值也最大，再由正弦函数的性质可知此时P最大．
解答：解：过A作AB⊥OP
设x为点P的横坐标，则
x=OP=OB+BP=
因为∠P随连杆位置的变化而改变，
但连杆上下摆动的幅度是一样的，
所以∠P的最大值是一样的．
故可以考虑0≤α≤π内∠P变化的情况，
由正弦定理得
在0≤α≤π内，
当时，sinα的值最大，
因而sin∠P的值也最大
∵OA＜AP，
∴∠P＜α，即∠P总是锐角．
在内，
sin∠P是单调上升的，
所以时，∠P最大．
点评：本题主要考查正弦定理和正弦函数的性质的应用．三角函数的内容比较散，公式比较多，不容易记忆，一定要在平时多积累多练习到考试时方能够做到灵活运用．
16．（1977•黑龙江）求曲线y=sinx在[0，π]上的曲边梯形绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积．
考点：定积分．
专题：计算题．
分析：欲求曲线y=sinx在[0，π]上的曲边梯形绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积，可利用定积分计算，即求出被积函数y=πsin2x在0→π上的积分即可．
解答：解：设旋转体的体积为V，
则
==．
故旋转体的体积为：．
点评：本小题主要考查定积分、定积分的应用、三角函数的导数、三角函数的二倍角公式等基础知识，考查考查数形结合思想．属于基础题．。