《材料力学轴向拉压》PPT课件

拉压杆的内力
FN FN(x)
FNAFNAFA
dFN(x) p(x) dx
• 拉压杆各横截面上的内力只有轴力，可用截面法求得，约
定使杆件受拉的轴力为正。
• 轴力是截面位置的函数，其表达式称为轴力方程。函数的 图形直观反映了轴力沿杆轴线的分布，称为轴力图。
• 轴力图要画在与受力图对应的位置。
• 集中力作用处两侧截面的轴力值发生突变，改变量的大小 与集中力的大小相等。
FxFN(x)F0 xg 4(d1d2 ld1)2d0
FN(x)Fg 4[d12xd1(d2ld1)x2(d23l2 d1)2x3]
叠加原理适用
F N ( 0 ) FF N ( l) ( F P )
d d N ( x F ) x g 4[ d 1 2 2 d 1 ( d 2 l d 1 )x (d 2 ld 1 ) 2 x 2 ] g 4( d 1 d 2 ld 1 x ) 2 p ( x )
• 轴力对截面位置坐标的一阶导数的大小等于外载分布集度 的大小。
• 小变形下，叠加原理适用于内力计算。即多个力同时作用 引起的内力等于各个力单独作用引起的内力叠加结果。
2.2 拉压杆的应力
F F
x
σ
FN
一、平面假设 横截面上的应力
几何分析：根据实验观测，假设变形后横截 F 面仍保持为平面且与轴线垂直，即拉压的平
2.3
F
F
b b1
拉压杆的变形
l l1
F/ A
F 二、拉压杆的横向变形
bb1b
b
b
横向变形
横向线应变
实验表明，在胡克定律适用的范围时，有：
or
即 横向线应变与轴向线应变恒异号，两者之 比的绝对值为一常数，称为泊松比。
00.5
弹性模量 E 和泊松比μ都是材料的弹性常数， 由实验测得。
l
l /l
例：图示等截面直杆，横截面面积为A，弹性模量E，自重为W。杆的自由端受轴 向力F作用，考虑杆的自重影响，求自由端 B 及杆中截面C 的轴向位移。
B
解：采用解析方法求节点位移
F N 1 1.1 4 k4N F N 2 1k0N
1
l1F E N 1 A 1 l1 1 0 .7m 07 m l2F E N 22 A l2 2 0 .4m 04 m
45o
C2
A2 A
F A1
y A`
在小变形下，节点位移与杆件变形的关系
AiA li A`A cois () A`A co sco is A`A sin sin i
拉压杆的应力
(x) FN (x)
A(x)
cos 2
1
2
sin
2
σ
α σ
• 拉压杆横截面上只有均匀分布的法向内力，即同一横截面
上正应力σ为常量，切应力τ为零。对正应力规定拉应力
为正，压应力为负。
• 两端加载等直拉压杆斜截面上内力也是均匀分布的。同一 斜截面上既有正应力也有切应力且均为常量，并可用横截 面上的应力表示。规定使隔离体产生顺时针转动趋势的切 应力为正。
lFl lFl l FN l
A
EA
EA
or E
E
胡克定律, E 称弹性模量或杨氏模量, 与应
力有相同的量刚,EA 称杆的拉压刚度。
d(l)FNdx l FNdx
EA
l EA
l /l
lF N d xn
l EAi 1li
F E N d iiA xi n 1 lii n 1F E N liiiA
在小变形下，可用切线代替弧线，则A` 可视为A的新位置
由几何关系，可求得：
A4 A` A5
A xA2A l20.40 m4m ( ) A yA4A A 4A 5s i4 l1 n5 t al4 2n 5 1.40 m4m ( )
例： 图示桁架，在节点 A 承受铅直力 F 作用。已知：杆1 用钢管制成，弹性模量 E1=200GPa，横截面面积 A1=100mm2，杆长 l1=1m；杆2 用硬铝管制成，弹性模量 E2=70GPa，横截面面积 A2=250mm2；载荷 F=10kN。试求节点的水平和铅直位移。
• 杆中任意点的位移与杆的变形可建立确定的关系，在小变 形下，分析一点位移路径时可用切线代替弧线，使问题得 到简化。
• 小变形线弹性下，叠加原理适用于变形计算。即多个力同 时作用引起的变形等于各个力单独作用引起的变形的叠加 结果。
2.4 材料在拉伸和压缩时的力学性能
F/A
应力-拉应伸变图图 线
σ-ε曲
变截面杆或分布轴载作 用下横截面正应力计算
(x) FN (x)
A(x)
2.2 拉压杆的应力
二、斜截面上的应力
σ
σ
F
2
2
2
单向(单轴)应力状态
2
n
m
F
α
F
mm
F
p Fα
m
n
m
α
p
m
t
2
F
2
2
2
x
切讨力应论的规力定任关以方一系使位方，隔角位斜离α体截截以有面面x轴作上上为顺的各起时应处始针力法边转及向逆动时与线的针横应趋转势截变为为面和正正上切；。应应
面假设。这样，横截面上各处法向线应变相 同，切应变为零。即变形是均匀的。
物性分析：内力与变形有确定的关系，对于
连续均匀材料，从几何分析可推论横截面上 的内力为均匀分布的法向内力。即σ为常量 τ为零。
静力学分析：FN AdA A dAA
FN
拉应力为正
F
A
压应力为负
拉压杆横截面上正应力计算公式
F 公式适用于轴载作用的杆件。
b
F α
F t
解：本问题实际上是要求轴载直杆斜截面上的应力 先计算横截面上的应力
F NF2 013 01M 0 Pa
A bt 0.20.01
再用斜截面应力公式计算要求的应力
30co2s1 0co23s07.5MPa
301 2s
i2n 11 0s
2
i2 n(30 )4.3M 3
Pa
即焊缝处的正应力为MPa，切应力为MPa。
则有： li Ac x oi s Asy in i
Ai
ΔAxΔli
A`
A
αΔi A α ΔAy x
i
Axcolisi Aytani (i 90)
A
ysinli i
Ax
tani
(i 0 or180)
A y li (i 9)0
A x li (i0) A x li (i18 )0
例： 图示桁架，在节点 A 承受铅直力 F 作用。已知：杆1 用钢管制成，弹性模量 E1=200GPa，横截面面积 A1=100mm2，杆长 l1=1m；杆2 用硬铝管制成，弹性模量 E2=70GPa，横截面面积 A2=250mm2；载荷 F=10kN。试求节点的水平和铅直位移。
x
EA l EA
将 x=l 和 x=l/2 代入，得：
B (F 1 2 W )E l A C (F 4 3 W )2 E l A
B、C 两截面的相对轴向位移为：
B C lC B B C (F 1 4 W )2 E l ( A )
例： 图示桁架，在节点 A 承受铅直力 F 作用。已知：杆1 用钢管制成，弹性模量 E1=200GPa，横截面面积 A1=100mm2，杆长 l1=1m；杆2 用硬铝管制成，弹性模量 E2=70GPa，横截面面积 A2=250mm2；载荷 F=10kN。试求节点的水平和铅直位移。
d1
解：自重是均匀分布的体积力，在本问
F若d1=题d2 中=d其则合有力作A用 线 d与2 轴为线常重量合是轴载。
ξ
d
p(x)
l
x
FN (x)
杆件受力计算中分4布外力用沿轴线的分布
-p集g度A描P述
l
FN(x)
FPx l
P d2
FN (x) F+P
dFN dx
A p(())Pldd.4dFp2.4dgF.(dd+1V PdF2-.lgd.Ad1())2d.gA()
• 过一点不同方位截面上应力的集合反映了该点处应力的全 貌，称一点处的应力状态。应力状态可用单元体表示。拉 压杆内各点为单向应力状态。
2.3 拉压杆的变形
b b1
F FN
F
l l1
FN
dx
dxd
F/ A
l
F 一、拉压杆的轴向变形
ll1l
l
l
轴向变形 轴向线应变 拉为正
d d(l)
dx dx
实验表明，当 F 在一定的范围时，有：
FN1 50kN 30kN
FN3 20kN
画内力图（轴力图）
40kN +
10kN
20kN +
校核
B
Fx 0
FN-
-
FB=50kN FN+ +
FN FN FB 10 40 50
例：图示重量为P 的变截面圆杆的质量密度为ρ，顶端受轴向外载 F，考虑 自重的影响，试画该杆的内力图。
F
F
pcos co2s22co2s psincossin2sin2
公式反映了任一点处所有方位截面上的应力。 一点处不同方位截面上应力的集合(应力全貌) 称为一点处的应力状态。
例：图示由斜焊缝焊接而成的钢板受拉力F作用。已知：F=20kN，b=200mm， t=10mm，α=30o。试求焊缝内的应力。
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2.1 拉压杆的内力 轴力及轴力图
横截面是杆件内最有代表性的截面，
其上的内力可用截面法求出。
F
Ⅰm Ⅱ
F
x
由隔离体的平衡条件截面上只
有截面法向的内力分量 FN(x),称
为轴力。 由Fx FN(x)F0 有 FN(x)F
约定使杆件产生纵向伸长变形的
xm
Ⅰm
F
FN
x
xm mⅡ
FN
Fx
Δl1
FN 2
A1
F
A1A l1F EN 1A 1l1 120 11.0 4 190 41 130 0 1 10 06m 7.0 71 04m0.70m7m
小变形
A2 A l2F E N 22 A l2 21 7 1 0 1 03 9 0 0 1 2 c 5 1 o 4 0 6 0 s m 5 0 .4m 04 m
轴力为正，即轴力方向与截面外 法向一致时为正，反之为负。
xm
以截面位置和内力值为坐标可绘
FN
出内力在杆件上的分布图形，称
F
为内力图,而拉压杆的内力图即为 轴力图。通常要求内力图画在与
+ x
受力图对应的位置。
例：一变截面直杆受力如图，试画该杆的内力图。
A1 FA
B2C
3 D 20kN 解：杆件受轴载作用, A 处反力 FA也为轴
G
一、低碳钢在拉伸时的力学性能
弹性阶段 撤除外力后变形可完全消失
H
线弹性阶段 OA
d
l
DBC A
e
e s
p
强度指标： E
p
b
屈服极非线限性弹性s 阶段 AD
强度极限 b e 塑性指标： e p
向外力,故内力为轴力,内力图即轴力图
1
l
50kN
2
l
30kN
3
l
求支反力
FN3
D 20kN
Fx 0 FA50203040k N
A FA
FN2
FN1 B
C 30kN
C
D 20kN
D 20kN
求内力
FN1 FA 40kN or FN1 50 20 30 40kN FN2 20 30 10kN
B
解：采用解析方法求节点位移
1
45o
C2
A2 A
F A1
y A`
Axcolisi Aytani (i 90)
A
ysinli i
Ax
tani
(i 0 or180)
A y li (i 9)0
A x li (i0) A x li (i18 )0
代入各杆参数：
Ai
ΔAxΔli
A`
A
αΔi A α ΔAy x
解：沿杆轴线建立坐标，可得轴力方程
A
l/2
FN(x)FW l (lx)
杆的上端A是固定端，直杆变形时此截面的轴向位移为零,
C
而杆内任一截面的轴向位移就是该截面到上端之间杆段
l/2
的伸长量。
B
(x)lAx
x 0
FN(x)dx 1
xW [F (lx)]dx
EA EA0 l
F
FxW(x
lx2) 2
位移是力的线性函数 叠加原理适用
24材料在拉伸和压缩时的力学性能三材料在压缩时的力学性能塑性材料屈服之前与拉伸基本相同测不到强度极限脆性材料压缩时的强度极限远高于拉伸时的强度极限25拉压杆的强度计算一许用应力工作应力达到材料的极限应力许用应力
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变横相截同面，上 即变形是m均a 匀x0 的 。因此内0 力0 均匀分
斜FA 布p纵α切截=。截应±c面面力o45A上FA上成so截的对p面全上A dFA应Ac力mmm oia 可nxp9s i分0AAn 4α45解A —5—9 —为—d0 c2 正横A斜o20 截截应s面面p力面面9 和积A积0 4 4切550 应2F2力
B 1
解：取节点A为研究对象，计算各杆的轴力
F y F N 1 c4 o 5 F s 0 F N 1 2 F 1 .1 4 k4 N
(拉伸)
F x 0 F N 2 F 1k0 N (压缩)
节点 A 变形后的新位置 A``
45o
C2
A2 A
F A1
45o A2Δl2
A``
A`
FN1
A
A
i
2 0 Ax l2 0.404mm ()
1 45
Ay
l1 sin(45)
Байду номын сангаас
l2 tan(45)
(sin4l15
t
l2 an45
)
1.404mm
()
拉压杆的变形
• 拉压杆的变形主要是轴向变形,用线应变来度量变形程度。
• 除轴向变形外还会有横向变形，且与轴向变形保持一定的 关系，即泊松效应。