浙教版数学七年级下册 第四章 因式分解 复习学案(无答案)

因 式 分 解
一、因式分解的意义：
因式分解是把一个多项式化成几个整式的乘积形式
注意：①结果应是整式乘积，而不能是分式或者是n 个整式的积与某项的和差形式；
②因式分解与整式的乘法在运算过程上是完全相反的。

例01．下列四个从左到右的变形，是因式分解的是（ ）
A ．
1)1)(1(2-=-+x x x B ．))(())((m n a b n m b a --=-- C ．)1)(1(1--=+--b a b a ab D ．)32(322m m m m m --=--
例02．在下面多项式中，能通过因式分解变形为)2)(13(y x x +--的是（ ）
A ．y x xy x 2632--+
B ．y x xy x 2632-+-
C ．xy x y x 6322+++
D ．
xy x y x 6322--+ 二、因式分解的方法
类型一、提公因式法
提公因式时应注意：
⑴如果多项式的第一项系数是负的一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数为正；
⑵公因式的系数和字母应分别考虑：
①系数是各项系数的最大公约数；
②字母是各项共有的字母，并且各字母的指数取次数最低的。

例01．在下面因式分解中，正确的是（ ）
A ．
)5(522x x y y xy y x +=-+ B ．2)()()()(c b a c a b c b a c b c b a a ---=+-++-+--
C ．)1)(2()2()2(2--=-+-x a x a x a x
D ．
)12(2422232--=--b b ab ab ab ab
例02．把
y x y x y x 3234268-+-进行分解因式。

例03．分解因式：m m m 126323+--
例04．分解因式：323)(24)(18)(6x y x y y x ---+--.
例05．解方程：0)2313)(21(6)1823)(612(=-++-+x x x x
例06．不解方程组⎩⎨⎧=+=-,134,32n m n m 求：32)2(2)2(5m n n m n ---的值.
类型二、公式法
1、利用平方差公式因式分解：
()()b a b a b a -+=-22 注意：①条件：两个二次幂的差的形式；
②平方差公式中的a 、b 可以表示一个数、一个单项式或一个多项式；
③在用公式前，应将要分解的多项式表示成22b a -的形式，并弄清a 、b 分别
表示什么。

例如：分解因式：
（1）291x -； （2）221694b a -； （3）22)(4)(n m n m --+
2、利用完全平方公式因式分解：()2
222b a b ab a ±=+± 注意：①是关于某个字母（或式子）的二次三项式；
②其首尾两项是两个符号相同的平方形式；
③中间项恰是这两数乘积的2倍（或乘积2倍的相反数）；
④使用前应根据题目结构特点，按“先两头，后中间”的步骤，把二次三项式整理成
222)(2b a b ab a ±=+±公式原型，弄清a 、b 分别表示的量。

例如：分解因式：
（1）2961x x +-； ⑵
36)(12)(2+---n m n m ⑶1682++x x
典型例题：
例1 用平方差公式分解因式：
（1）22)(9y x x -+-； （2）2
2331
n m -
例2 分解因式：
（1）ab b a -5； （2）)()(44n m b n m a +-+.
例3 判断下列各式能否用完全平方公式分解因式，为什么？
（1）962+-a a ； （2）982+-x x ； （3）91242--x x ；
（4）223612y x xy ++-.
例4 把下列各式分解因式：
⑴ 442-+-x x ； ⑵ 2294942y x xy -- ⑶ mn n m 4422+--
例5 分解因式：
⑴ 22363ay axy ax ++. ⑵
22222)(624b a b a +-
例6 分解因式：
⑴ 22)(9))(2(6)2(n m n m m n n m +++---；
⑵ 4224168b b a a +-；
⑶
1)2(2)2(222++++m m m m .
⑷ 63244914b b a a +-
⑸ 1)2(6)2(92+---b a b a
例7 若25)4(22+++x a x 是完全平方式，求a 的值.
例8 已知2=+b a ，求2
2212
1b ab a ++的值.
例9
已知1=-y x ，2=xy ，求32232xy y x y x +-的值.
例10 证明：四个连续自然数的积加1，一定是一个完全平方数.
例11 已知x 和y 满足方程组⎩⎨⎧=-=+346423y x y x ，求代数式2249y x -的值。

类型三、分组分解法
1、条件：当所给多项式有四项或四项以上时，应釆用分组分解法。

2、原则：分组后能继续分解（即分组只是为实际分解创造条件，并没有直接达到分解的目的）。

3、方法：按有公因式或可运用公式的方法合理分组，其具体步骤为： ①组内提公因式或运用公式；
②组间提公因式或运用公式。

分组分解法是因式分解的基本方法，体现了化整体为局部，又统揽全局的思想，一般分组方式不惟一，
且灵活多变.
例如：⑴a m+a n+bm+bn ； ⑵x 2-y 2+2x+1.
例1 选择题：对n np mp m 22+++运用分组分解法分解因式，分组正确的是（ ）
（A ）mp np n m +++)22( （B ）)2()2(mp n np m +++
（C ）)()22(np mp n m +++ （D ）np mp n m +++)22(
例2 因式分解：
（1）
y b x b y a x a 2222+++； （2）nx n mx mx --+2
例3 分解因式：
（1）22441y xy x -+-； （2）2222b ab a x -+-； ⑶
b a b a 2422---
例4 分解因式：
⑴ 315523+--x x x ⑵
x xy y x 21372-+-
例5 把下列各式分解因式：
（1）222z yz y xz xy -+--；
（2）122222+----a bc c b a ；
（3）
1424422+--++y x y xy x .
例6 分解因式：
（1）6)2)(1(---x x x ； （2）
)()1(222b a x x ab +++
类型四、关于x 2+(p+q)x+pq 型二次三项式的因式分解
事实上：x 2+(p+q)x+pq
=x 2+px+qx+pq
=(x 2+px)+(qx+pq)
=x(x+p)+q(x+p)
=(x+p)(x+q).
所以：x 2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).
例1 分解因式：
⑴ 652+-a a ；
⑵ 1032-+m m .
⑶ 22-+x x ；
⑷ 1522--x x .
例2 分解因式：
（1）4)(5)(2++++b a b a ；
（2）22127q pq p +-.
例3 分解因式：
⑴ q p q pq p 36522++++；
⑵ c c bc b a b a --+++-222424.
作业A ：
一、选择题
(1) 多项式62x x +提取公因式2x 后的另一个因式是（ ）
（A ）4x （B ）3x （C ）14+x （D ）13+x
(2) 下列各式分解正确切是（ ）
（A ）
)6(623222335xy y x y x y x y x y x -=+- （B ）
)21(48422xy xyz y x xyz -=- （C ）
)564(210128222332c b a ab ab abc b a b a -+-=-+- （D ）
)42(312632322243253a b ab b a b a b a b a +--=-+- (3) 多项式34)(10)(6b a b a +++的公因式是（ ）
（A ）3)(b a + （B ）4)(b a + （C ）3)(2b a + （D ）4)(2b a +
(4) 将)2()2(2n m n m ---分解因式等于（ ）
（A ）)1)(2(+-m n m （B ）)1)(2(--m n m （C ）
))(2(2m m n --（D ）以上都不对 (5) 下列因式分解的变形中，正确的是（ ）
（A ）)1)(()()(+-=---b b a a a b a b a ab
（B ）
)13)((2)1(2)(62-++=+-+q p q p p q p （C ）
)233)(()(2)(32+--=-+-x y x y y x x y （D ）
)2)(()()(32y x y x y x y x x +-=--+ (6) 多项式n n x x 32-分解因式为（ ）
（A ）a （B ）n a （C ）1-n a
（D ）1+n a
(7) 多项式n n x x 32-分解因式为（ ） （A ）)(32x x x n - （B ）)(2n n x x - （C ）
)1(2n n x x - （D ）
)1(232--n n x x
二、将下列多项式分解因式：
（1）)(6)(2x y ab y x b a -+- （2）
)()(2x y y y x -+-
（3）)3)(2()3)(3(a b b a b a b a -+--+ （4）
))(2())(2(m n n m n m n m -+--+
三、解答题
1．求满足下列等式的x 的值
（1）0632=-x x （2）0)2(4)2(5=---x x x
2．计算题
（1）21655.30656553655.72⨯+⨯-⨯-⨯
（2）02.207202.2029⨯+⨯1402.2002.2013⨯-⨯+
3．求值
yz x z xy xyz 222++，其中52=x ，207=y ，41=z .
4．解答题
已知x ，y 为不相等的正数，比较)(2y x x -与)(2y x y -的大小.
5．求值
已知5.0=a ，求多项式
)32()1(2-+a a 2)32)(1(-++a a )23)(1(a a -+-的值.
作业B ：
1. 若x 2+2(m-3)x+16是完全平方式，则m 的值等于( )
A.3
B.-5
C.7.
D.7或-1
2. 若(2x)n -81=(4x 2+9)(2x+3)(2x-3)，则n 的值是( )
A.2
B.4
C.6
D.8
3. 下列变形是否是因式分解？为什么？
(1)3x 2y-xy+y=y(3x 2-x)； (2)x 2-2x+3=(x-1)2+2；
（3）x 2y 2+2xy-1=(xy+1)(xy-1)； (4)x n (x 2-x+1)=x n+2-x n+1+x n .
4. 分解因式：4x 2-9y 2= .
5. 已知x-y=1,xy=2，则x 3y-2x 2y 2+xy 3的值为 .
6. 因式分解：
①-x 3z+x 4y ②36a by-12a bx+6a b ③3x(a -b)+2y(b-a )
④x(m-x)(m-y)-m(x-m)(y-m) ⑤(7m-8n)(x+y)-(3m-2n)(x+y) ⑥a (x-y)2+b(y-x)3+c(y-x)2
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。

--培根
11 / 11 7. 分解因式：
①1-x 2+2xy-y 2 ②(x 4+x 2-4)(x 4+x 2+3)+10.
8．计算下列各题.
(1)234×265-234×65； (2)992+198+1.
⑶
20042003200420036565434321212
2222222+-+++-++-++- . ⑷5×34+24×32+63×3
9．若a ，b ，c 是三角形的三边，且满足关系式a 2+b 2+c-a b-a c-bc=0，试判断这个三角形的形状.
10．求证：对于任意自然数n ，1322323+++-+-n n n n 一定是10的倍数。