微积分的试卷内含答案

湖北汽车工业学院
微积分(一)(下)考试卷
（ 2011-2012-2）
一、（本题满分21分，每小题3分）填空题： 1．='⎰
]sin [
20
x tdt 2sin 2x x ．
2．过点)3,2,1(-且与平面0144=-++z y x 平行的平面方程为 044=+++z y x .
3．设y
x z =，则 =dz xdy x dx yx
y y ln 1
+- .
4．⎰⎰+-=
D
dxdy y x I )432(，其中D }4)
,{(22≤+=y x y x ，则=I π16 .
5．微分方程)1)(1(22
y x y --='的通解为C x y +-=2
)1(arcsin .
6．平面曲线2
x y =与x y =所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体体积为15/2π . 7．设数项级数
∑∞
=1
n n
u
收敛且和为s ，则级数
∑∞
=++1
1)(n n n
u u
的和为12u s - ．
二、（本题满分21分，每小题3分）选择填空题（请将所选答案填入题号前的方括号内）： 【B 】1. 设)(x f 在),(+∞-∞内连续,)(x F 是)(x f 在),(+∞-∞内的一个原函数，0≠c ，则
dx c x f b
a
⎰
+)(等于
)(A )()(c a F c b F ---. )(B )()(c a F c b F +-+.
)(C )()(c b F c a F ---. )(D )()(c b F c a F +-+.
【C 】2．设)2,1,3(--=a ，)1,2,1(-=b ，则b a ⨯ 等于
)(A 3. )(B 7. )(C )7,1,5(. )(D )7,1,5(-. 【A 】3．下列级数中条件收敛的是
)(A ∑∞
=+-1
11
)1(n n
n . )(B ∑∞
=+-1
2
11
)1(n n
n . )(C ∑∞
=--1
1)107
()1(n n n . )(D
∑∞
=-1
51)1(n n
n . 【A 】4. 下列微分方程中是齐次方程的是
)(A dx y x ydx xdy 22-+=. )(B x y y x y sin 2=+'. )(C y y x y ln sin ='. )(D x x y y sec tan =-'．
【D 】5. 设)(x f 在]1,0[上连续且满足1)()(1
-=⎰
dt t f x x f ，则⎰1
)(dx x f 等于
)(A 1 . )(B 2. )(C 1-. )(D 2-．
【C 】6. 设x y y x D ≤≤≤+≤0,41:2
2
，则二重积分
=⎰⎰
σd x
y
D
arctan
)(A
2163π . )(B 2323π. )(C 2643π. )(D 2128
3π． 【C 】7. 函数x x f /1)(=的在1=x 点处的幂级数展开式为
)(A ∑∞=--0
)1()1()(n n
n
x x f ＝, 11<<-x ． )(B ∑∞
=-0
)1()(n n x x f ＝, 20<<x ．
)(C ∑∞=--0
)1()1()(n n
n
x x f ＝，20<<x ． )(D ∑∞
=--1
)1()1()(n n n x x f ＝，20<<x ．
三、计算下列各题（共3284=⨯分）
1． 设函数),(y x z z =由方程z y x z y x ++=++2
2
2
确定，证明：
y x y
z
x z x z z y -=∂∂-+∂∂-)()
(． [证] 方程z y x z y x ++=++2
2
2
两边对x 求导得
x
z
x z z
x ∂∂+
=∂∂+122， 解得
z
x x z 211
2--=
∂∂，由字符轮换性知z y y z 2112--=∂∂，于是 y x z
y x z z x z y y z x z x z z y -=---+---=∂∂-+∂∂-211
2)(2112)()()
(. 2 ．计算
dx x
x ⎰
--11
2
41． [解] 原式dx x
x ⎰
-=10
2
4
12
. dt t
t
t t x ⎰
⋅=20
4cos cos sin 2sin π
dt t ⎰
=2
04sin 2π8
3221432π
π=
⋅⋅⋅= 3．判别正项级数nx n
n n
21sin 2
∑∞
=的敛散性 ． [解] n
n n n nx n u 2
sin 22
≤=
， 设n n n v 2=，121
221lim lim 11<=⋅+=+∞→+∞→n n v v n n n n
n n ，于是级数∑∞
=12n n n 收敛.
从而原级数∑∞
=12
sin 2
n n nx n 收敛.
4．某工厂生产甲种产品x 件乙种产品y 件的总利润函数为
22222040),(y xy x y x y x L ---+=
设备的最大产出力为15=+y x ，求x 与y 为何值时利润最大？ 解：作 )15(222040),(2
2
-++---+=y x y xy x y x y x F λ …
令 ⎪⎩⎪
⎨⎧=-+==+--==+--=015),,(02220),,(02440),,(y x y x F y x y x F y x y x F x x λλλλλλ
得 10=x ，5=y ．
于是当这两种产品分别生产10件与5件的时候利润最大 ． 四．（8分）交换二次积分⎰
⎰=101
y x
y dx e dy I 的次序并计算．
【解】dx e dx I x x
y
⎰⎰=
2
01
0 dx xe x y y x
y ⎰===1
002| ⎰=-=10
.2
1)(dx x xe x
五、（8分）求微分方程2
2
12)1(x
x xy y x -=
+'+的通解.
解：方程变形为：2221)1(12x
x x
x xy y -+=++
' 通解为： ])([)()(C dx e x Q e y dx
x p dx x p +⎰⎰
=⎰
- ]1)1([122
2
1222C dx e
x
x x e
dx
x x
dx
x x
+⎰⋅-+⎰=++-
⎰
]1)1([1
)1(2
2
1
)1(2222C dx e
x
x x e
x x d x x d +⎰
⋅-+⎰
=++++-
⎰
]1[11]1)1([22)
1ln(2
2)
1ln(2
2
C dx x
x
x C dx e x x x e x
x
+-+=
+⋅-+=⎰⎰
++- 11]12)1([1122
222+--=+---+=⎰x x C C x
x d x 法二：2
2
1])1[(x x y x -=
'+ 通解为 C x y x +--=+221)1(
六、（10分）求幂级数n n x n )11(1
-∑
∞
=的收敛域与和函数，并求级数n
n n n 2
11⋅-∑∞
=的和．
解：收敛域为)1,1(- )(1)1-(1)(1111x S x x n x x x n x S n n n
n n n --=-==
∑∑∑
∞
=∞=∞
=
n x x S n n ∑
∞
==1
1)(， x x n x x S n n n n -=='='
-∞=∞=∑∑11)()(11
11
)1ln()(1x x S --=， 于是 )1ln(1)(x x
x
x S -+-=
． 2ln 1)21
(-=S ，2ln 1)21(211
-==⋅-∑∞
=S n n n
n ．
湖北汽车工业学院 微积分A2考试试卷
（2013~2014~2 A 卷）
一、（本题满分21分，每小题3分）单项选择题（请将所选答案填入答题卡的指定位置）：
【 B 】1. 设)4,1,1(-=a ，),0,2(λ=b ，且b a ⊥，则=λ
)(A 2-． )(B
2
1
． )(C 2． )(D 2
1-
． 【 B 】2．极限=+-→→221
01lim
y x xy
y x
)(A 0． )(B 1． )(C 1-．
)(D
2
1． 【 C 】3．设⎰
⎰+=xy
x dx e dt t f y x F 1
1
2
)(),(,则
x
F ∂∂为
)(A )(xy f ． )(B 2
2)(x xe xy yf +． )(C )(xy yf ． )(D 2
2)(x xe xy f +．
【 D 】4．二次积分dy y x f dx x x ⎰
⎰
-20
10
),(=
)(A
ρρθρθρθπd f d ⎰
⎰
1
20
)sin ,cos (． )(B
ρρθρθρθθπd f d ⎰
⎰
cos 0
20
)sin ,cos (．
)(C
ρρθρθρθπ
d f d ⎰⎰
1
20
)sin ,cos (． )(D
ρρθρθρθθπ
d f d ⎰
⎰
cos 0
20
)sin ,cos (．
【 B 】5．已知2)(,
3)2(20
==⎰
dx x f f ，则⎰'2
)(dx x f x =
)(A 10． )(B 4． )(C 6． )(D 1． 【 C 】6．若级数
)0(1
≠∑∞
=n n n
u u
收敛，则级数∑
∞
=1
1n n
u
)(A 绝对收敛． )(B 条件收敛． )(C 发散． )(D 无法确定．
【 D 】7．函数x
x f -=
31
)(，则)(x f 的麦克劳林展开式为： )(A ∑∞
==03
)(n n n
x x f ，(1<x )．
)(B ∑∞
==13
)(n n n
x x f ，(3<x )．
)(C ∑∞
=+=013)(n n n x x f ，(1<x )． )(D ∑∞
=+=013
)(n n n
x x f ，(3<x )．
二、（本题满分21分，每小题3分）填空题：
1．过点)3,2,1(M 且与平面05532=++-z y x 平行的平面方程为
11
532=+-z y x ．
或0)3(5)2(3)1(2=-+---z y x
2．设}42),{(22≤+≤=y x y x D ，则⎰⎰D
dxdy =
π
2．
3．交换二重积分⎰
⎰=
20
1
),(x dy y x f dx I 的次序，则I =⎰
⎰11
),(y
dx y x f dy ．
4．
⎰
∞
+1
41
dx x
=3
/1．
5．已知y
x e z +=2，则dz =)
2(2dy dx e y x ++．
6．
=
+⎰
-22
3)sin 1(dx x 4
．
7．微分方程y
x dx dy 232
=的通解是C x y +=32．
三、（本题满分8分）设函数),(y x z z =由方程0e =-xyz z
所确定，求
x z ∂∂与y
z
∂∂． [解] 令xyz z y x F z
-=e ),,(，则
yz F x -='， xz F y -='， xy F z
z -='e ．
从而有
xy yz F F x z z z x -=''-=∂∂e ，xy
xz
F F y z z
z y -=''-=∂∂e ． 四、（本题满分8分）曲线2
x
y =与直线0,3==y x 围成一个平面图形，①求此平面图形的
面积；②求图形绕x 轴旋转一周所生成的旋转体的体积． [解] 90
331)1(33
2
===
⎰x dx x A ）
（2 dx x dV 2
2)(π=，于是 πππ5243
510
353
04
===⎰x dx x V ．
五、(本题满分8分) 判定级数
∑∞
=-1
3)1(n n
n
n
是否收敛，若收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛． [解] 令n n n
n n n u 3
3)1(=-=， 由于
13
1331
lim lim
11
<=+=+∞→+∞→n
n n n n n n n u u ， 所以正项级数∑∞
=13n n n 收敛，从而∑∞
=-1
3)1(n n n n 绝对收敛．
六、（本题满分8分）求微分方程x
x
x y y sin =
+
'满足初始条件0==πx y 的特解． [解] 此方程为一阶线性微分方程，其中 x x P 1)(=，x
x x Q sin )(= 其通解为
])([)()(C dx e x Q e x dx x P dx x P +⎰⎰
=⎰
-
]sin [1
1
C dx e x
x e dx x dx
x +⎰⎰=⎰-
)sin (1C xdx x x x +⋅=
⎰)sin (1⎰+=C xdx x )cos (1
C x x
+-=
由初值条件0==πx y 可得1-=C ，故特解为)1(cos 1
)1cos (1+-=--=x x
x x y ．
七、（本题满分8分）计算二重积分
⎰⎰-D
y
dxdy e ，其中D 为直线x y y x =1=0=,,所围的区域． [解]（X 型）
⎰⎰⎰⎰--=1
10
2
x
y
D
y dy e dx dxdy e ⎰⎰----=-=1
11
1
)()(dx e e dy e x x
y
110
121----=--=e e e
x
．
（Y 型）
⎰⎰⎰⎰--=y
y
D
y dx dy e dxdy e
1
2
)(1
11
⎰⎰-----==dy e ye
dy ye y y
y
10
1121)(----=+-=e e
e y
．
八、（本题满分8分）求函数324),(2
2
3
+-+-=y xy x x y x f 的极值．
［解］ 令⎩⎨⎧=-='=+-=',022,
02832y x f y x x f y
x 得唯一)2,2(,)0,0(，
又86-=''x f xx
，2=''xy f ，2-=''yy f ，于是 在点)0,0(处，2,2,8-==-=C B A ，则
0122)2)(8(22>=---=-B AC 且08<-=A ，
所以函数),(y x f 在)0,0(处有极大值3)0,0(=f ． 在点)2,2(处，2,2,4-===C B A ，则
0122)2(422<-=--⋅=-B AC ，
所以)2,2(不是函数),(y x f 的极值点．
九、（本题满分10分）求级数
∑∞
=--1
1
)
1(n n
n n
x 的收敛域与和函数． [解] 易求得1=R ，且当1=x 时级数
∑∞
=--1
1
1)
1(n n n 收敛，当1-=x 时级数∑∞
=-11n n
发散. 因此
∑∞
=--1
1
)
1(n n
n n
x 的收敛域是]1,1(-. 在区间)1,1(-内，设=
)(x S ∑∞
=--1
1
)
1(n n
n n
x ，则 x x x n x n x x S n n n n n n n n n n n +=-=-='-='⎥⎦⎤⎢⎣⎡-='∑∑∑∑∞
=-∞=--∞=-∞=-11)()1()()1()1()(11
1111
111 所以 )1ln(11
)(0x dx x x S x
+=+=
⎰，11≤<-x .
湖北汽车工业学院 微积分考试试卷
（ 2014—2015—2）
一、（本题满分21分，每小题3分）单项选择题（请将所选答案填入题号前的方括号内）：
[ A ] 1．⎰=
x
dt t x f 0cos )(，则=')0(f
（A ）1． （B ）0． （C ）1-． （D ）
2
π
． [ D ] 2．设y x z 2
=，则=∂∂22x
z
（A ）xy 2． （B ）x ． （C ）x 2． （D ）y 2．
[ B ] 3．已知平面区域D 为22
2≤+y x ，则
=+⎰⎰D
d y x σ)2(2 （A ）π． （B ）π4． （C ）π3． （D ）0．
[ C ] 4．由曲线x
e y =与直线1=x 及直线2=x 所围图形的面积为
（A ）e ． （B ）1-e ． （C ）e e -2
． （D ）2
e ．
[ D ] 5．下列级数中收敛的是
（A ）∑∞
=+1131n n ． （B ）∑∞
=+12
1n n
n
． （C ）∑∞
=1
1cos n n n ． （D ）∑∞
=+12n n n n
．
[ A ] 6．设),(y x z z =由方程02
2=--+z z xy y 所确定，则
=∂∂y
z （A ）
122++z x y ． （B ）12+z y
． （C ）122++-z x y ． （D ）1
2+-z y
．
[ C ] 7．微分方程0=-'y y 的通解为
（A ）c x y +=． （B ）．x
ce y 2= （C ）x ce y =． （D ）x
e y =．
二、（本题满分21分，每小题3分）填空题（请将正确答案填入题后相应横线上） 1．=-+→→1
2lim
1
xy xy y x 0 ．
2．设向量}1,3,2{-=→
a 与向量},1,0{k a -=→
垂直，则=m -3 ． 3．设xy y z sin =，则=dz dy xy xy xy dx xy y )cos (sin cos 2
++． 4．设220
(,)x I dx f x y dy =
⎰
⎰
，则交换积分次序后=I 42
2
(,)y I dy f x y dx =
⎰
⎰ ．
5．
=+⎰-dx x
x 1
1
2
1 0 ．
6．过点)2,1,3(-且与平面052=+-+z y x 平行的平面方程为012=+-+z y x ． 7．幂级数
∑
∞
=⋅-1
2
)1(n n
n n n x 的收敛域为 (2,2]-．
【温馨提示】请将下面解题过程直接写在各题相应空白处
三、（本题满分8分）设)ln 1ln(y x z ++=，求)
,1(e x
z
∂∂，
)
,1(e y
z ∂∂．
解 由
y x x z ln 11++=∂∂，y
y x y z 1
ln 11⋅++=∂∂
所以
3
1
ln 111),1(=++=∂∂e x z e
故
(1,)
111
11ln 3e z y
e e e
∂=
⋅=
∂++
四、（本题满分8分）计算定积分
dx x x ⎰+4
1
2
解 令12+=x t ，则2
12-=t x ，tdt dx =
原式=
tdt t t ⋅⋅-⎰31
2
121dt t )1(21312⎰-==103
五、（本题满分8分）计算二重积分⎰⎰+=D
dxdy y x I )(，其中积分区域D 是由直线x y =及
曲线2
x y =所围成的区域．
解 积分区域D 为：10≤≤x ，x y x ≤≤2
画图 故⎰⎰+=
x
x
dy y x dx I 2)(1
⎰+
=1
022]21[(dx y xy x
x
⎰--=10432)21
23(dx x x x 10543]10
14121[x x x --==
203
六、（本题满分8分）求函数364),(2
2
+-++=y x y x y x f 的极值． 解 由⎩⎨⎧=-==+=0620
42y f x f y
x 得点)3,2(-，
又2==xx f A ，0==xy f B ，2==yy f C ，
故在点)3,2(-处,2=A ,0=B ,2=C 042
<-=-AC B ，且0>A
所以)3,2(-为极小值点，极小值为10)3,2(-=-f
七、（本题满分8分）求幂级数
∑∞=++0
1
)2(n n x n 的收敛域及和函数． 解 由ρ123lim ||
lim 1==++=∞
→+∞
→n n a a n n
n n ，故1ρ
1
==r ， 且幂级数在1±=x 处均发散，
故收敛域为)1,1(-
设=
)(x s ∑∞
=++0
1
)2(n n x
n =
∑∞
=+'0
2)(n n x
)(0
2'=∑∞
=+n n x
)1(2
'-=x x =22)
1(2x x x --，1||<x
八、（本题满分8分）判断级数
∑
∞
=-1
24
1n n
n 的敛散性．
解 由=+∞→n
n n u u 1lim 1441)1(lim 212-⋅-++∞→n n n n n 141
<= 故由正项级数的达朗贝尔判别法知级数收敛- 九、（本题满分10分）求微分方程x
x
x y y cos =
+
'的通解． 解 次微分方程为一阶线性微分方程 且x x p 1)(=，x
x
x Q cos )(= 则])([)()(C dx e x Q e
y dx x p dx
x p +=⎰⎰⎰-
]cos [
1
1C dx e x x e dx
x dx x +=
⎰⎰⎰-
]cos [
ln ln C dx e x x e x
x +=⎰- ]cos [1C xdx x x
x +⋅=⎰
)(sin 1
C x x
+= -
湖北汽车工业学院
微 积 分 (一)（下） 考 试 卷
（ 2014-2015-2 ）
一、（本题满分21分，每小题3分）选择填空题（请将所选答案填入题号前的方括号内）： 【B 】1. 平面曲线2
x y =与2
y x =所围成的平面图形的面积为
)(A
21. )(B 31. )(C 32. )(D 4
3
.
【C 】2．设)1,2,4(=a ，),2,2(k b -=，若a 与b 相互垂直，则k 等于
)(A 0. )(B 2-. )(C 3. )(D 4.
【A 】3．设0≠a 为常数，则级数∑∞
=-02
)1(n n
n
)(A 绝对收敛． )(B 条件收敛． )(C 发散． )(D 敛散性无法判断．
【A 】4. 积分⎰
-
=
22
2sin π
π
xdx I 等于
)(A
2π. )(B 4π. )(C 8
π. )(D 16π. 【B 】5. 设函数)1(),(-+=y x xy y x f 在点)3
1
,31(处
)(A 取极大值 . )(B 取极小值. )(C 不取极值. )(D 在该点不可微．
【D 】6. 设y
x z =，则dz 等于
)(A dy x xdx x dz y
y
+=ln . )(B ydy x xdx x dz y
y
ln ln +=.
)(C dy x dx yx
dz y y +=-1
. )(D xdy x dx yx dz y y ln 1+=-．
【B 】7. 函数x
x f -=21
)(的马克劳林展开式的第三项为
)(A 222x . )(B 322
x . )(C 222x -. )(D 32
2x -．
二、（本题满分21分，每小题3分）填空题：
1．
=
+⎰
-11
2)sin (dx x e x x
3
2
． 2．过点)1,2,3(且与平面0132=++-z y x 平行的平面方程为0232=-+-z y x . 3．设),(y x z z =是由方程z
e z y x +=+2
2
所确定的隐函数，则=
dz )(12
ydy xdx e z
++ . 4．设⎰⎰
+=
D
dxdy y x f I )(22，其中D 是由曲线122=+y x ，直线x y =及y 轴所围成的第一象限的平
面图形，则I 的极坐标系下的二次积分为:=
I rdr r f d ⎰
⎰10
24
)(π
πθ．
5．微分方程dx y dy x 221)1(-=+的满足条件1)0(=y 的特解为2
arctan arcsin π
+=x y .
6．设数项级数
∑∞
=1
n n u 的前n 项的和为1
+=
n n
s n ，则级数的通项=n u )1(1+n n ．
7. 计算=
⎰→2
arctan lim
x tdt x x 2
1
.
三、 （8分）计算
dx x
x ⎰
---11
2
21． 解：
2
2
arcsin
22212110
11
2
11
2
11
2
π
=
=---=--⎰
⎰⎰
---x dx x
x dx x
dx x
x ．
四、（8分） 设函数)ln 1ln(y x z ++=，求
)
,1(e x
z
∂∂，
)
,1(e y
z ∂∂．
解：
y x x z ln 11++=∂∂，)
ln 1(1y x y x z ++=∂∂， 31)
,1(=
∂∂e x
z ，e
y
z e 31)
,1(=
∂∂． 五、（8分）求微分方程x e x x y
y )1(1
+=+-'的通解. 解：方程变形为：
x e x y x y =+-+'2
)
1(1 即 x e x y ='+)1
(
，C e x y x +=+1，
通解为：))(1(C e x y x
++=．．
六、（8分）判别级数∑∞
=-+++-13
13
22)
1()1(n n n n n 的敛散性，并指出是绝对收敛还是条件收敛．
解：332)1()1(31+++-=-n n n u n n ，取2
1
n v n =，∑∞
=121n n
收敛，． +∞<=+++=∞→∞→21
332)1(lim lim 32n n n n v u n n
n n ，
． 于是原级数收敛，且为绝对收敛。

．
七、计算二重积分⎰⎰
=
D
dxdy x I 2，其中D 是由抛物线2x y =与直线1=y 所围成的平面区域.
解：易知交点为：)1,1(-，)1,1(-，．．．．．．．．１分 于是 15
4
5232)1(21
221
2
11
2
2=-=
-===
⎰⎰⎰⎰⎰
-dx x x dy x dx dxdy x I x
D
八、求由曲线x
e y =及直线1=x ,x 轴，y 轴所围平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积． 解：)1(2
2
)(210
2210
-=
=
=
⎰
e e dx e V x
x x π
π
π．
九、（10分）求幂级数n
n x n ∑∞
=1
1的收敛域与和函数，并求级数n
n n n 2)1(1⋅-∑∞
=的和． 解：收敛域为)1,1(- ．
n
x x n x S n
n n n ∑∑
∞=∞
===
111)(， x x n x x S n n n n -=='='-∞=∞
=∑∑
11)(
)(11
1
． )1ln()(x x S --=， 于是 )1ln()(x x S --=．
23
ln )21(-=-S ，23ln )21(2)1(1-=-=⋅-∑∞
=S n n
n n ．。