山西省大学附属中学2021-2022高二数学上学期12月月考试题 文(含解析)

山西大学附属中学2021-2022高二上学期12月月考
数学（文）试题
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1.3x y 50+-=的倾斜角是() A. 30 B. 60 C. 120 D. 150
【答案】C 【解析】 【分析】
求出直线的斜率，然后求解直线的倾斜角即可．
3x y 50+-=的斜率为：3，直线的倾斜角为：α． 所以tan α3=-α120= 故选：C ．
【点睛】本题考查直线的倾斜角的求法，基本知识的应用．
2.方程22
x y 2x 4y 60++--=表示的图形是()
A. 以()1,2-为圆心，11为半径的圆
B. 以()1,2-为圆心，11为半径的圆
C. 以()1,2-11
D. 以()1,211为半径的圆
【答案】C 【解析】 分析】
将方程转化为圆的标准方程的形式，即可确定方程表示以（-1，2）为圆心，11为半径的圆. 【详解】已知方程x 2+y 2+2x-4y-6=0,可转化为：（x+1）2+（y-2）2=11 故方程表示以（-1，211为半径的圆 故选C
【点睛】本题考查了二元二次方程表示圆的条件，考查了圆的一般方程和标准方程;判断二元二次方程表示圆时，若方程能够转化为圆的标准方程形式：()()2
2
2x a y b r -+-=，即可知
方程表示圆心为(),a b ，半径为r 的圆.
3.直线y 3x 4=-最新点()P 2,1-对称的直线方程是() A. y 3x 10=-
B. y 3x 18=-
C. y 3x 4=+
D.
y 4x 3=+
【答案】A 【解析】 【分析】
设(,)m n 为所求直线上任意一点，求出该点最新点(2,1)P -的对称点为(4,2)m n ---，将该点坐标代入方程34y x =-后整理可得所求直线的方程． 【详解】设(,)m n 为所求直线上任意一点，
则该点最新点(2,1)P -的对称点为(4,2)m n ---， 由题意得点(4,2)m n ---在直线34y x =-上， ∴23(4)4n m --=--， 整理得310n m =-，
所以所求直线的方程为310y x =-． 故选A ．
【点睛】本题考查中心对称的知识和代入法求直线的方程，考查变换思想在解题中的应用及计算能力，属于基础题．
4.已知直线1l ：x my 70++=和2l ：()m 2x 3y 2m 0-++=互相平行，则实数m (=) A. m 1=-或3 B. m 1=- C. m 3=- D. m 1=或m 3=-
【答案】A 【解析】
由题意得:2321317
m m
m m m -=≠⇒=-=或 ,选A.
5.直线l 过点()1,2-且与直线2x 3y 40-+=垂直，则l 的方程是() A. 2x 3y 50-+=
B. 2x 3y 80-+=
C. 3x 2y 10+-=
D.
3x 2y 70++=
【答案】C 【解析】
∵直线2x −3y +4=0的斜率为23，由垂直可得所求直线的斜率为3
2-， ∴所求直线的方程为y −2=3
2
-(x +1)，化为一般式可得3x +2y −1=0
本题选择C 选项.
6.若变量,x y 满足约束条件0
0340x y x y x y +≥⎧⎪
-≥⎨⎪+-≤⎩
，则32x y +的最大值是( )
A. 0
B. 2
C. 5
D. 6
【答案】C 【解析】 【分析】
由题意作出不等式组所表示的平面区域，将y x z 23+=化为322z y x =-
+，2
z
相当于直线322
z
y x =-+的纵截距，由几何意义可得结果．
【详解】由题意作出其平面区域，
令y x z 23+=，化为322z y x =-
+，2z 相当于直线322
z
y x =-+的纵截距， 由图可知， 340
y x
x y =⎧⎨
+-=⎩，解得1x =，1y =， 则32x y +的最大值是325+=，故选C ．
【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
7.已知坐标平面内三点()()(P 3,1,M 6,2,N 3,3--，直线l 过点P.若直线l 与线段MN 相交，则直线l 的倾斜角的取值范围为()
A. π5π,46⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B. π3π,44⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
C. π2π,33⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
D. ππ,63⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
【答案】A 【解析】 【分析】
由题意画出图形，分别求出直线PM ，PN 的斜率，进一步求得倾斜角得答案．
【详解】如图，
由()()(P 3,1,M 6,2,N 3,3--，
得()PM 21k 163
--=
=-，PN 33
k 333
=
=---． PM ∴所在直线的倾斜角为π4，PN 所在直线的倾斜角为5π
6
，
则直线l 的倾斜角的取值范围为π5π,46⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
． 故选：A ．
【点睛】本题考查直线的斜率，考查直线的斜率与倾斜角的关系，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．
8.直线l 过()P 1,2，且()A 2,3，()B 4,5-到l 的距离相等，则直线l 的方程是() A. 4x y 60+-=
B. x 4y 60+-=
C. 3x 2y 70+-=或4x y 60+-=
D. 2x 3y 70+-=或x 4y 60+-=
【答案】C 【解析】 【分析】
由条件可知直线平行于直线AB 或过线段AB 的中点,当直线//l AB 时，利用点斜式求出直线方程；当直线经过线段AB 的中点()2,3时，利用点斜式可得直线方程.
【详解】设所求直线为l 由条件可知直线l 平行于直线AB 或过线段AB 的中点， （1）AB 的斜率为
35
424
+=--，当直线//l AB 时，l 的方程是()241y x -=--，
即460x y +
-=；
(2)当直线l 经过线段AB 的中点()3,1-时，l 的斜率为
213
132
+=--， l 的方程是()3
212
y x -=-
-，即3270x y +-=， 故所求直线的方程为3270x y +-=或460x y +-=，故选C.
【点睛】本题主要考查直线的点斜式方程的应用，以及斜率公式、直线平行的充要条件，分类讨论思想的应用，意在考查综合应用所学知识解决问题的能力.
9.设点1F ，2F 分别是椭圆22
2
2x y C 1(b 0)b 3b
：+=>+的左、右焦点，弦AB 过点1F ，若2ABF 的周长为8，则椭圆C 的离心率为()
A.
12
B.
14
15 D.
32
【答案】D 【解析】 【分析】
由已知求得b ，可得椭圆长半轴长，再由隐含条件求得c ，则椭圆离心率可求． 【详解】由已知可得，椭圆的长轴长为22a 2b 3=+
∵弦AB 过点1F ，2ABF ∴的周长为2
1212AF AF BF BF 4a 4b 38+++==+=，
解得：b 1(b 0)=>，a 2∴=，b 1=，则22c a b 3-=则椭圆的离心率为c 3
e a ==
． 故选：D ．
【点睛】本题主要考查了椭圆定义的应用及简单性质，是基础的计算题．
10.已知F 是椭圆2
2x C y 12
+=：左焦点，P 为椭圆C 上任意一点，点()Q 4,3，则PQ PF
+的最大值为() A. 52 B. 3234 D. 42
【答案】A 【解析】 【分析】
由题意，设椭圆C 的右焦点为()F'1,0，由已知条件推导出PQ PF PQ 22PF'+=+-，利用Q ，F'，P 共线，可得PQ PF +取最大值．
【详解】由题意，点F 为椭圆2
2x C y 12
+=：的左焦点，()F 1,0∴-，
点P 为椭圆C 上任意一点，点Q 的坐标为()4,3， 设椭圆C 的右焦点为()F'1,0，
PQ PF PQ 22PF'2∴+=+-= 2PQ PF'+-，
PQ PF'QF'32-≤=，
PQ PF 52∴+≤，即最大值为52，此时Q ，F'，P 共线，故选：A ．
【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程、定义及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记椭圆的标准方程、定义和简单的几何性质，合理应用是解答的关键，着重考查了转化思想以及推理与运算能力。

11.如图所示，12F F 分别为椭圆22
22x y 1a b
+=的左右焦点，点P 在椭圆上，2POF 3
的正三角形，则2b 的值为()
3 B. 3 C. 33 D. 3【答案】B 【解析】 【分析】
由2POF 32
334
c =.c 把(3P 代入椭圆方程可得：
22131a b
+=，与224a b =+联立解得即可得出． 【详解】解：
2POF 3
2
33= 解得2c =．
(3P ∴代入椭圆方程可得：
22131a b
+=，与224a b =+联立解得：223b = 故选：B ．
【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、等边三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
12.直线kx y 2k 0--=与曲线2y 1x =-交于M 、N 两点，O 为坐标原点，当OMN 面积取最大值时，实数k 的值为()
A. 33
-
B. 3
C. 1-
D. 1
【答案】A 【解析】
【分析】
根据∠MON 为直角时，△OMN 的面积取到最大值，于是得到△OMN 为等腰直角三角形，根据三角形的相关知识求出原点到直线的距离，再利用点到直线的距离公式列方程可解出k 的值，结合直线恒过（20，）
，得出k ＜0，从而得解． 【详解】由2y 1x =-，知y 0≥，将等式两边平方得2
2
y 1x =-，即2
2
x y 1+=， 所以，曲线2y 1x =-表示的图形是圆2
2
x y 1+= 的上半部分， 设MON θ∠=，则OMN 的面积为211
S 1sin θsin θ22
=
⨯⨯=， 显然，当θ90=时，OMN 的面积取到最大值，此时，OMN 是等腰直角三角形，
设原点到直线kx y 2k 0--=的距离为d ，则2
d 1sin452
=⨯=
， 另一方面，由点到直线的距离公式可得22k 2d k 1
-=
=
+，解得
3k 3=±， 又直线kx y 2k 0--=恒过（20，），与圆2
2
x y 1+= 的上半部分相交， 则k 0<，因此，3
k 3
=-， 故选：A ．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，将问题转化为圆心到直线的距离，是解本题的关键，属于中等题．
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.椭圆C ：22
x y 1259
+=的焦距是______．
【答案】8. 【解析】
试题分析：由题意可知：，从而22225916c a b =-=-=，即4c =，所以
焦距是28c =.
考点：由椭圆的标准方程求几何性质.
14.与圆22
1
5
C (x )(y 1)2
4
++-=：
最新直线l ：x y 10+-=对称的圆的标准方程为______． 【答案】2
2
35x (y )2
4
+-= 【解析】 【分析】
先求出圆C 的圆心和半径，可得最新直线l ：x +y ﹣1＝0对称的圆的圆心C ′的坐标，从而写出对称的圆的标准方程．
【详解】圆2215C (x )(y 1)24++-=：
的
圆心1C 12⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，， 设点C 最新直线l ：x y 10+-=对称的点()C ,y x '，则有CC 111210
2
2k x y '=⎧
⎪⎪⎨-+⎪+-=⎪⎩，即
1112
112102
2y x x y -⎧
=⎪+⎪⎪⎨
⎪-
+⎪+-=⎪⎩，解得3C'0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭54C 最新直线l ：x y 10+-=对称的圆的标准方程为2
235
x (y )24+-=
，
故答案为：2
235x (y )24
+-=．
【点睛】本题主要考查圆的标准方程，点最新直线对称的性质，关键是利用垂直平分求得点最新直线的对称点，属于中档题．
15.已知椭圆的短半轴长为1，离心率e 满足3
0e 2
<≤，则长轴长的取值范围是______． 【答案】(]2,4
【解析】 【分析】
将e 用a 表示出来，然后根据e 的范围求解即可得到结论． 【详解】∵b ＝1， ∴221c a ＝－， 又3
02
e <≤， ∴2
304
e <≤
， ∴22
1304
a a -<≤，整理得214a <≤， 解得12a <≤． ∴224a <≤，
∴长轴长的取值范围为(]
2,4． 故答案为(]
2,4．
【点睛】本题考查椭圆中基本量间的运算，解题时注意灵活运用c
e a
=和,,a b c 间的关系，属于基础题．
16.当实数x ，y 满足x 2y 40x y 10x 1+-≤⎧⎪
--≤⎨⎪≥⎩
时，ax y 4+≤恒成立，则实数a 的取值范围是______．
【答案】3,2
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
【解析】
由约束条件作可行域如图所示：
联立1{
240x x y =+-=，解得3
(1,)2C
联立10
{
240
x y x y --=+-=，解得(2,1)B
在01=--y x 中取0y =得(1,0)A ，由4ax y +≤得4y ax ≤-+，要使4ax y +≤恒成立，则平面区域在直线4y ax =-+的下方
若0a =，则不等式等价为4y ≤，此时满足条件 若0a ->，即0a <，平面区域满足条件
若0a -<，即0a >，要使平面区域在直线4y ax =-+的下方，则只要B 在直线的下方即可，即214a +≤，得2
30≤<a 综上所述，32a ≤
故答案为3,2
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
点睛：线性规划解决的是“约束条件”、“ 目标函数”中是二元的问题，目标函数中含有参数时，要根据问题的实际意义注意转化成“直线的斜率”、“点到直线的距离”等模型进行讨论研究.
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.已知直线l ：ax y 2a 0++-=，若直线l 在两坐标轴上截距相等，求l 的方程． 【答案】x y 10++=或2x y 0+= 【解析】 【分析】
分别令x ，y 等于0，代入已知方程可得两截距，由题意可得a 的方程，解a 值可得答案．
【详解】当x 0=时，y a 2=-，当y 0=时，a 2x a -=，则a 2
a 2a
--=，解得a 1=或a 2=， 故直线l 的方程为x y 10++=或2x y 0+=．
【点睛】本题考查直线的一般式方程，涉及直线的截距的概念及求法，属于基础题．
18.已知ABC 的三个顶点坐标为()A 3,3-，()B 4,2-，()C 2,2-
(Ⅰ)求ABC 的外接圆E 的方程；
(Ⅱ)若一光线从()2,3--射出，经y 轴反射后与圆E 相切，求反射光线所在直线的斜率．
【答案】（Ⅰ）()()22
321x y ++-=（Ⅱ）43k =-或34
- 【解析】 【分析】
（Ⅰ）可证得AC AB ⊥，从而BC 是所求外接圆的直径，求得圆心坐标和半径，可得圆标准方程；
（Ⅱ）利用对称性，点)3,2(--最新y 的对称点(2,3)-一定在反射光线所在直线上，由直线与圆相切可得斜率．
【详解】（Ⅰ）注意到：()()1,1,1,1,?0AB AC AB AC =--=-=,于是AB AC ⊥ 所以ABC ∆是直角三角形，于是外接圆圆心为斜边BC 的中点()3,2-，半径12
BC r ==
所以：ABC ∆的外接圆E 的方程为：()()2
2
321x y ++-=
（Ⅱ）点()2,3--最新y 轴对称点()2,3-，则反射光线经过点()2,3- 有图象易得：反射光线斜率存在，故设反射光线所在直线方程为()32y k x +=- 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离255
11
k d k --=
=+，解得：43k =-或3
4-
【点睛】求圆的标准方程，关键是确定圆心坐标和圆的半径，因此只要根据圆的性质确定圆心与半径即可，而光线反射问题主要记住性质：入射光线最新反射面（线）的对称图形与反射光线共线．
19.已知直线l ：x 2y 40+-=．
()1已知圆C 的圆心为()1,4，且与直线l 相切，求圆C 的方程；
()2求与l 垂直，且与两坐标轴围成的三角形面积为4的直线方程．
【答案】（1）2
2
(x 1)(y 4)5-+-=；（2）y 2x 4=±． 【解析】 【分析】
（1）由已知结合点到直线距离公式求得半径，代入圆的标准方程得答案；
（2）设出所求直线方程，分别求出直线在两坐标轴上的截距，代入三角形面积公式，求解得答案．
【详解】()1圆C 的圆心()1,4到直线l ：x 2y 40+-=的距离11244
d 55
⨯+⨯-=
=，
即所求圆的半径为r 5=，∴圆C 的方程为2
2
(x 1)(y 4)5-+-=；
()2直线l 的斜率1k 2
=-，则设所求直线方程为y 2x b =+，
取x 0=，可得y b =，取y 0=，可得b
x 2
=-． 由题意可得，1b
S b 422
=
⋅⋅-=，解得b 4=±． ∴所求直线方程为y 2x 4=±．
【点睛】本题考查直线方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用及直线的截距的应用，是基础题．
20.已知圆22
1C x y 4+=：，圆222C (x 3)y 1-+=：
，直线l 过点()M 1,2． ()1若直线l 被圆1C 所截得的弦长为3l 的方程；
()2若圆P 是以2C M 为直径的圆，求圆P 与圆2C 的公共弦所在直线方程．
【答案】（1）1x =或3x 4y 50-+=；（2）2x 2y 50--= 【解析】 【分析】
（1）根据题意，可得圆心C 1（0，0），半径r 1＝2，可设直线l 的方程为x ﹣1＝m （y ﹣2），即
x ﹣my +2m ﹣1＝0，由点到直线的距离公式和圆的弦长公式，解方程可得m ，进而得到所求直线
方程；
（2）根据题意，求得圆心C 2的坐标，结合M 的坐标可得圆P 的方程，联立圆C 2与圆P 的方程，作差可得答案．
【详解】()1根据题意，圆22
1C x y 4+=：，其圆心()1C 0,0，半径1r 2=，
又直线l 过点()M 1,2且与圆相交，
则可设直线l 的方程为()x 1m y 2-=-，即x my 2m 10-+-=， 直线l 被圆1C 所截得的弦长为232d r 31=-=， 2
2m 1
11m -=+，解可得：0=m 或4
3；则直线l 的方程为1x =或3x 4y 50-+=：
()2根据题意，圆222C (x 3)y 1-+=：
，圆心2C 为()3,0， 其一般式方程为2
2
x y 6x 80+-+=，
又由()M 1,2，圆P 是以2C M 为直径的圆，则圆P 的方程为：
()()()()x 3x 1y 2y 00--+--=，变形可得：22x y 4x 2y 30+--+=，
又由2222
x y 4x 2y 30
x y 6x 80
⎧+--+=⎨+-+=⎩，作差可得：2x 2y 50--=． 所以圆P 与圆2
C 的
公共弦所在直线方程为2x 2y 50.--=
【点睛】本题考查直线与圆的方程的应用，涉及直线与圆、圆与圆的位置关系，属于综合题．
21.在平面直角坐标系xOy 中，经过点)20(，且斜率为k 的直线l 与椭圆2212
x y +=有两个
不同的交点P 和Q ．
（1）求k 的取值范围；
（2）设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A B ，，是否存在常数k ，使得向量OP OQ +与共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）22⎛⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，，∞∞ （2）没有 【解析】
解：(1)由已知条件知直线l 的方程为 y ＝kx 2，
代入椭圆方程得2
2x ＋(kx 2)2
＝1.
整理得212k ⎛⎫
+
⎪⎝⎭
x 2＋2kx ＋1＝0.① 直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于Δ＝8k 2
－4212k ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
＝4k 2－2>0，
解得k<2或2
， 即k 的取值范围为2,2⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭∪2
2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭
.
(2)设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)， 则OP ＋OQ ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)， 由方程①得x 1＋x 2＝－
2
212k
k
+.② 又y 1＋y 2＝k(x 1＋x 2)＋222
，③ 而2，0)，B(0,1)，AB ＝(2，1)，
所以OP ＋OQ 与AB 共线等价于x 1＋x 22(y 1＋y 2)． 将②③代入上式，解得k 2. 由(1)知k<－22或k>22
，故没有符合题意的常数k.
22.已知椭圆C ：22
22x y 1(a b 0)a b
+=>>的左、右焦点为1F ，2F ，且半焦距为1，直线l 经过
点2F ，当l 垂直于x 轴时，与椭圆C 交于1A ，1B 两点，且11A B 2=
()1求椭圆C 的方程；
()2当直线l 不与x 轴垂直时，与椭圆C 相交于2A ，2B 两点，取2222F A F B ⋅的取值范围．
【答案】（1）2
2x y 12
+=；
（2）11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【解析】 【分析】
（1）由c ＝1，根据椭圆的通径公式及a 2﹣b 2＝c 2，求得a 和b 的值，即可求得椭圆的方程； （2）分类讨论，设直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得22F A •22F B 的取值范围．
【详解】()1由题意可知：c 1=，由椭圆的通径公式可知：2
112b A B 2a
==即2a 2b =，
2
2
2
a b c 1-==，解得：a 2=b 1=，∴椭圆的标准方程：22x
y 12+=；
()2由()1可知椭圆的右焦点()2F 1,0，当直线l 与x 轴不重合时，设直线l 方程x my 1=+，
()211A x ,y ，()222B x ,y ，
联立直线与椭圆方程22
1x 2y 2
x my =+⎧⎨+=⎩，整理得：()22
m 2y 2my 10++-=， 则1222m y y m 2+=-
+，ΔOAB ，()12122
4
x x m y y 2m 2
+=++=+，()()()2
2
121212122
22m x x my 1my 1m y y m y y 1m 2
-=++=+++=+， ()()()222221122121212222
m 1111F A F B x 1,y x 1,y x x x x 1y y 111,m 2m 2m 22+⎛⎫⎛
⎤⋅=-⋅-=-+++=-=--=-+∈- ⎪ ⎥+++⎝⎭
⎝⎦，
当直线l 与x 轴重合时，则()
2A 2,0，)
2
B 2,0，则
()
2222F A F B 21,0
21,01⋅=-=-，
2222F A F B ∴⋅的取值范围11,.2⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量数量积的坐标运算，考查分类讨论思想，属于中档题．。