2021年高三数学上学期第三次质量检测 文(含解析)新人教A版

2021年高三数学上学期第三次质量检测文（含解析）新人教A版
本试卷是高三文科试卷，以基础知识和基本技能为为主导，在注重考查运算能力和分析问题解决问题的能力，知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：不等式、复数、导数、圆锥曲线、数列、函数的性质及图象、三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形、立体几何，数列，参数方程，几何证明等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷.
【题文】一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

【题文】1.已知集合A={}，B={x},则=( )
A. B{1} C.{2} D{1，2}
【知识点】集合及其运算A1
【答案解析】C 由题意得A={1，2},B={ }则={2}故选C.
【思路点拨】先求出集合A ,B再求出。

【题文】2.已知i是虚数单位，复数z=(1+2i)(1-i)对应的点位于（）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D. 第四象限
【知识点】复数的基本概念与运算L4
【答案解析】A z=(1+2i)(1-i)=1-i+2i+2=3+i故选A
【思路点拨】先化简求出结果
【题文】3.如果a>0，b>c>0，则下列不等式中不正确的是( )
A. B. C. D.
【知识点】不等式的概念与性质E1
【答案解析】C A中b＞c两边同时加-a，不等号方向不变，正确；
B中b＞c两边同时乘以a，因为a＞0，所以不等号方向不变，正确．
C中若b=2，c=1时，错误；D正确．故选C
【思路点拨】由不等式的性质直接判断即可．
【题文】4.在区间上的零点的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【知识点】函数与方程B9
【答案解析】B 令f（x）=0，则()x=sinx，上的零点个数就转化为两个函数
y=()x和y=sinx的交点问题，分别画出它们的图象：由图知交点个数是2．故选B．
【思路点拨】令f（x）=0，则()x=sinx，原问题f(x)=( )x-sinx在区间[0，2π]上的零点个数就转化为两个函数y=()x和y=sinx的交点问题，分别画出它们的图象，由图知交点个数．
【题文】5.如果执行如图的程序框图,若输入n＝6,m＝4,那么输出的p等于( )
A.720
B.360
C.240
D.120
【知识点】算法与程序框图L1
【答案解析】B 执行程序框图，有n=6，m=4k=1，ρ=1
第一次执行循环体，ρ=3
满足条件k＜m，第2次执行循环体，有k=2，ρ=12
满足条件k＜m，第3次执行循环体，有k=3，ρ=60
满足条件k＜m，第4次执行循环体，有k=4，ρ=360
不满足条件k＜m，输出p的值为360．故选：B．
【思路点拨】执行程序框图，写出每次循环得到的k，ρ的值，当有k=4，ρ=360时不满足条件k＜m，输出p的值为360．
【题文】6.关于直线，及平面α，β,下列命题中正确的是（）
A.若l∥α，αβ=m，则l∥m
B.若∥α，m∥α，则∥m
C.若l⊥α，l∥β，则α⊥β
D.若l∥α，m⊥l，则m⊥α
【知识点】空间中的平行关系空间中的垂直关系G4 G5
【答案解析】D A．若l∥α，α∩β=m，．则l，m平行或异面，只有l⊂β，才有l∥m．故A错；B．若l∥α，m∥α，则由线面平行的性质可得l，m平行、相交、异面，故B错；C．若l⊥α，l∥β，则由线面平行的性质定理，l⊂γ，γ∩β=m，则l∥m，又l⊥α，故m⊥α，由面面垂直的判定定理得，α⊥β，故C正确；
D．若l∥α，m⊥l，则m与α平行、相交或在平面内，故D错．故选C．
【思路点拨】由线面平行的性质定理可判断A；又线面平行的性质定理和面面垂直的判定定理即可判断C；由线面平行的性质定理可判断B；由线面平行的性质定理可判断D
【题文】7.在△ABC中,若，,，则（）
A. B. C. D.
【知识点】解三角形C8
【答案解析】A ∵cosA= ，0＜∠A＜π∴sinA= = =
∵，即= ，∴sinB= ，∴∠B= 或，
∵sinA= ＞∴∠A＞∴∠B=与三角形内角和为180°矛盾．
∴∠B=，故选A．
【思路点拨】先利用同角三角函数关系求得sinA的值，进而利用正弦定理求得sinB的值，最后求得B．
【题文】8.函数的图象不可能
．．．是（）
【知识点】函数的单调性与最值B3
【答案解析】D 求导数当a<0时为减函数，所以D 不可能，故选D. 【思路点拨】先求导数确定单调性确定增减性。

【题文】9.已知命题：“”是“当”的充分必要条件；
命题：．则下列命题正确的是（ ）
A.命题∧是真命题
B.命题（）∧是真命题
C.命题
∧（）是真命题 D.命题（
）∧（）是真命题
【知识点】命题及其关系、充分条件、必要条件A2
【答案解析】C 对于p ，当a=1时，x+ ≥2 =2，在x ＞0时恒成立， 反之，若x ＞0，x+≥2恒成立，则2≥2，即≥1，可得a≥1
因此，“a=1是x ＞0，x+≥2的充分不必要条件”，命题p 是假命题．
对于q ，∵在x 0＜-1或x 0＞2时x 02
+x 0-2＞0才成立，
∴“存在x 0∈R ，x 02
+x 0-2＞0”是真命题，即命题q 是真命题．
综上，命题p 为假命题而命题q 为真命题，所以命题“（￢p ）∧q”是真命题，故选C 【思路点拨】根据基本不等式进行讨论，可得：“a=1是x ＞0，x+ ≥2的充分不必要条件”，
命题p 是假命题．再根据一元二次不等式的解法，得到命题q ：“存在x 0∈R ，x 02
+x 0-2＞0”是真命题．由此不难得出正确的答案． 【题文】10.已知是定义在R 上的函数，且满足，对任意实数都有，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【知识点】导数的应用B12
【答案解析】D 记g （x ）=f （x ）-3x ，∵对任意实数x 都有f′（x ）＜3， ∴g′（x ）=f′（x ）-3＜0，∴g （x ）定义在R 上的单调递减函数． ∵f （1）=5，∴g （1）=f （1）-3=5-3=2．
∵f （x ）＜3x+2，∴f （x ）-3x ＜2，∴g （x ）＜g （1）． ∵g （x ）定义在R 上的单调递减函数，∴x ＞1．故选D ．
【思路点拨】本题可以构造函数g （x ）=f （x ）-3x ，利用函数g （x ）的单调性将不等式转化为两个函数值的大小，得到自变量的大小关系，从而得到本题结论 【题文】11.已知函数(a >0且a ≠1)的图象过定点P ,且点P 在直线
mx ＋ny －1＝0(m >0，且n >0)上，则1m ＋4
n
的最小值是 ( )
A.12
B.16
C.25
D.24 【知识点】基本不等式 E6
【题文】12.已知，且函数的最小值为，若函数，则不等式的解集为（）
A. B. C. D.
【知识点】基本不等式 E6
【答案解析】D ∵x∈(0，)，∴tanx＞0．
∴=(3tanx+)≥=．当且仅当tanx=，
即x=时取等号．因此b=．不等式g（x）≤1⇔①＜x＜或②，
解②得≤x≤．因此不等式f（x）≤1的解集为[，]∪(，)=[,)．
故选D．
【思路点拨】利用三角函数的平方关系和商数关系及基本不等式即可得出f（x）的最小值即b．再利用一元二次不等式的解法、交集与并集的运算即可得出．
第Ⅱ卷（非选择题）
【题文】二、填空题：本大题共4小题，每小题 5分，共20分。

【题文】13.在等比数列中，则________
【知识点】等比数列及等比数列前n项和D3
【答案解析】12 设{a n}的公比为q，∵a1+a2=1，a3+a4=q2（a1+a2）=2，∴q2=2，
∴a5+a6=q2（a3+a4）=4，a7+a8=q2（a5+a6）=8，∴a5+a6+a7+a8=12．故答案为：12．
【思路点拨】可设{a n}的公比为q，利用a1+a2=1，a3+a4=2，可求得q2，从而可求得a5+a6与a7+a8．
【题文】14.已知函数的导函数为,且满足____
【知识点】导数的应用B12
【答案解析】-1 求导得：f′（x）=2f'（e）+ ，把x=e代入得：f′（e）=e-1+2f′（e），解得：f′（e）=-e-1，∴f（e）=2ef′（e）+lne=-1故答案为：-1
【思路点拨】利用求导法则求出f（x）的导函数，把x=e代入导函数中得到关于f′（e）的方程，求出方程的解即可得到f′（e）的值．
【题文】15.已知满足：对任意实数，当时都有成立，那么a的取值范围是___________ 【知识点】函数的单调性与最值B3
【答案解析】[，2）∵对任意x1≠x2，都有成立
∴函数在R上单调增∴∴≤a＜2故答案为：[，2）．
【思路点拨】先确定函数在R上单调增，再利用单调性的定义，建立不等式，即可求得a 的取值范围．
【题文】16.设定义域为的函数同时满足以下三个条件时，称为“友谊函数”：
（1）对任意的；
（2）；
（3）若，则有成立，
则下列判断正确的有_________
①为“友谊函数”，则；
②函数在区间上是“友谊函数”；
③若为“友谊函数”，且.
【知识点】函数及其表示B1
【答案解析】①②③①因为f（x）为“友谊函数”，
则取x1=x2=0，得f（0）≥f（0）+f（0），即f（0）≤0，
又由f（0）≥0，得f（0）=0，故①正确；
②显然g（x）=2x-1在[0，1]上满足：（1）g（x）≥0；（2）g（1）=1，
若x1≥0，x2≥0，且x1+x2≤1，
则有g（x1+x2）-[g（x1）+g（x2）]=2x1+x2-1-[（2x1-1）+（2x2-1）]=（2x1-1）（2x2-1）≥0，
即g（x1+x2）≥g（x1）+g（x2），满足（3）
故g（x）=2x-1满足条件（1）﹑（2）﹑（3），
所以g（x）=2x-1为友谊函数．故②正确；
③因为0≤x1＜x2≤1，则0＜x2-x1＜1，
所以f（x2）=f（x2-x1+x1）≥f（x2-x1）+f（x1）≥f（x1），
故有f（x1）≤f（x2）．故③正确；
故答案为：①②③．
【思路点拨】①直接取x1=x2=0，利用f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）可得：f（0）≤0，再结合已知条件f（0）≥0即可求得f（0）=0；
②按照“友谊函数”的定义进行验证；
③由0≤x1＜x2≤1，则0＜x2-x1＜1，故有f（x2）=f（x2-x1+x1）≥f（x2-x1）+f（x1）≥f（x1），即得结论成立．
【题文】三、解答题本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

【题文】17.（本小题满分12分）
已知函数．
（1）求函数的最小正周期；
（2）当时，求函数的最大值和最小值．
【知识点】三角函数的图象与性质C3
【答案解析】（Ⅰ）π（2）最小值最大值
（Ⅰ）∵f（x）=sinxcosx-cos2x+1
=sin2x-+1=sin2x-cos2x+=sin（2x-）+，
∴函数f（x）的最小正周期为T==π．
（2）解：由，得．所以，
所以，即．
当，即时，函数取到最小值
当函数取到最大值
【思路点拨】（Ⅰ）对函数解析式进行化简，求得关于正弦函数的解析式，利用正弦函数的性质求得最小正周期T．
（Ⅱ）根据x的范围，求得2x-的范围，利用正弦函数的单调性求得函数f（x）的最大和最小值．
【题文】18.（本小题满分12分）
已知函数，曲线上点处的切线方程为.
(1)若在时有极值，求的表达式；
(2)在（1）的条件下求在上的最值及相应的的值.
【知识点】导数的应用B12
【答案解析】（1）f（x）=x3+2x2-4x+5
（2）当x=±2时，f（x）取得最大值13；当x=时，f（x）取得最小值
（1）f（x）=x3+ax2+bx+c，f′（x）=3x2+2ax+b，
∵曲线y=f（x）上点P（1，f（1））处的切线方程为3x-y+1=0，
且y=f（x）在x=-2时有极值；
∴，解得，a=2，b=-4，c=5；则y=f（x）=x3+2x2-4x+5；
（2）由（1）知，f（x）=x3+2x2-4x+5，f′（x）=3x2+4x-4，
令f′（x）=0解得，x=-2或x=，又∵x∈[-3，2]，且f（-2）=13，f（）=，f（-3）=8，
H A
B
C
D P
M
Q
f （2）=13；
∴当x=±2时，f （x ）取得最大值13；当x=时，f （x ）取得最小值． 【思路点拨】（1）由题意知，f （1）=4，f'（1）=3，f'（-2）=0，从而解出参数值，从而得y=f （x ）的表达式；
（2）令f′（x ）=3x 2
+4x-4=0，解出极值点，代入求极值与端点的函数值，从而求最值及相应的x 的值．
【题文】19.（本小题满分12分） 在四棱锥中，底面为菱形，其中，，为的中点． (1) 求证：； (2) 若平面平面，且为 的中点，求四棱锥的体积． 【知识点】空间中的垂直关系G5 【答案解析】（1）略（2）1 （1），为中点，
连，在中，，，为等边三角形，
为的中点，,
,平面,平面 平面. （2）连接,作于. ,平面, 平面平面ABCD, 平面平面ABCD ， , , . ,
又,. 在菱形中，, 方法一,
. ． 方法二222cos AC AB BC AB BC ABC =
+-⋅∠
，
11
2322322
ABCD S AC BD =⨯⨯=⨯⨯=菱形,
【思路点拨】利用线线垂直证明线面垂直，先求出面积利用体积公式求解。

【题文】20.（本小题满分12分）
已知等差数列，公差，前项和为，且满足. (1)求数列的通项公式及前项和；
(2)设，若也是等差数列，试确定非零常数，并求数列 的前项和.
【知识点】等差数列 数列求和D2 D4
【答案解析】（1）.(2)
（1）已知等差数列，且,公差，. 由得，.. （2），，，
又是等差数列，， ，
111111(1)422314(1n n
T n n n =-+-+
-=
++）
【思路点拨】利用等差数列的性质求出通项，用裂项求和求出和。

【题文】21.（本小题满分12分） 已知函数（为常数）．
(1)若是函数的一个极值点，求的值； (2)当时，试判断的单调性；
(3)若对任意的 任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【知识点】导数的应用B12
【答案解析】（1）3（2）（0，+∞）上是增函数 f′(x)=+2x -a ．
（1）由已知得：f'（1）=0，∴1+2-a=0，∴a=3．（3） （-∞，-log 2e] （2）当0＜a≤2时，f′（x ）=因为0＜a≤2，所以1-＞0，而x ＞0， 即f′(x)= ＞0，故f （x ）在（0，+∞）上是增函数．
（3）当a ∈（1，2）时，由（2）知，f （x ）在[1，2]上的最小值为f （1）=1-a ， 故问题等价于：对任意的a ∈（1，2），不等式1-a ＞mlna 恒成立．即m ＜恒成立 记g(a)= ，（1＜a ＜2），则g′(a)= 令M （a ）=-alna-1+a ，则M'（a ）=-lna ＜0
所以M （a ），所以M （a ）＜M （1）=0故g'（a ）＜0，所以g(a)= 在a ∈（1，2）上单调递减，所以m≤g(2)= =-log 2e 即实数m 的取值范围为（-∞，-log 2e]． 【思路点拨】（1）求导数，利用极值的 定义，即可求a 的值； （2）当0＜a≤2时，判断导数的符号，即可判断f （x ）的单调性；
（3）问题等价于：对任意的a ∈（1，2），不等式1-a ＞mlna 恒成立．即m ＜ 恒成立． 【题文】请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

【题文】22.（本小题满分10分）选修4-1 ：几何证明选讲
已知A 、B 、C 、D 为圆O 上的四点，直线DE 为圆O 的切线，AC∥DE，AC 与BD 相交于H 点 （1）求证：BD 平分∠ABC
（2）若AB ＝4，AD ＝6，BD ＝8，求AH 的长 【知识点】选修4-1 几何证明选讲N1 【答案解析】（1）略（2）3 （1） 又切圆于点，
而（同弧）所以，BD 平分∠ABC （2）由（1）知，又，
又为公共角，所以与相似，
，因为AB＝4，AD＝6，BD＝8，所以AH=3
【思路点拨】根据同弧所对的圆周角相等，根据三角形相似求出AH=3。

【题文】23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系和参数方程
以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知某圆的极坐标方程为
（1）将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；
（2）若点在该圆上，求的最大值和最小值．
【知识点】选修4-4 参数与参数方程N3
【答案解析】（1）（2）6和2
（1）由ρ2-4ρcos(θ-)+6=0，得ρ2-4ρ(cosθcos+sinθs in)+6=0，即ρ2-4ρ(cosθ+sinθ)+6=0，
ρ2-4ρcosθ-4ρsinθ+6=0，即x2+y2-4x-4y+6=0为所求圆的普通方程，
整理为圆的标准方程（x-2）2+（y-2）2=2，令x-2=cosα，y-2=sinα．
得圆的参数方程为（α为参数）；
（2）由（1）得：x+y=4+(cosα+sinα)=4+2sin（α+），∴当sin（α+）=1时，x+y 的最大值为6，当sin（α+）=-1时，x+y的最小值为2．故x+y的最大值和最小值分别是6和2．
【思路点拨】（1）展开两角差的余弦，整理后代入ρcosθ=x，ρsinθ=y得圆的普通方程，化为标准方程后由三角函数的平方关系化参数方程；
（2）把x，y分别代入参数式，利用三角函数化积后借助于三角函数的有界性求最值．【题文】24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设函数
（1）若时，解不等式；
（2）若不等式的对一切恒成立，求实数的取值范围.
【知识点】选修4-5 不等式选讲N4
【答案解析】（Ⅰ）[-，]（2）[1，2]
（Ⅰ）由于函数f（x）=|x+1|+|x-a|（a＞0），若a=2时，则不等式f（x）≤4即|x+1|+|x-2|≤4．而由绝对值的意义可得|x+1|+|x-2|表示数轴上的x对应点到-2和2对应点的距离之和，而-
和应点到-2和2对应点的距离之和正好等于4，故不等式f（x）≤4的解集为[-，]．（Ⅱ）当x∈[a，2]，不等式即 x+1+x-a≤4，解得a≥2x-3．由于2x-3的最大值为2×2-3=1，∴a≥1，故1≤a≤2，实数a的取值范围为[1，2]．
【思路点拨】（Ⅰ）不等式f（x）≤4 即|x+1|+|x-2|≤4，再由绝对值的意义求得不等式f （x）≤4的解集．
（Ⅱ）当x∈[a，2]，不等式即 x+1+x-a≤4，解得a≥2x-3，求得2x-3的最大值为2×2-3=1，可得a≥1，从而得到1≤a≤2．9F24592 6010 怐29503 733F 猿37456 9250 鉐35223 8997 覗36032 8CC0 賀26655 681F 栟35670 8B56 譖40050 9C72 鱲21020 521C 刜39157 98F5 飵Ip。